概率论与数理统计(文科)吴传生7.2节

何值可使 k | X i X | 为 的无偏估计量
i 1 n
Ch7-65
第十四周
问 题
母亲嗜酒是否影响下一代的健康
美国的Jones医生于1974年观察了母 亲在妊娠时曾患慢性酒精中毒的 6 名七 岁儿童（称为甲组）.以母亲的年龄，文 化程度及婚姻状况与前 6 名儿童的母亲 相同或相近，但不饮酒的 46 名七岁儿童 为对照租(称为乙组). 测定两组儿童的智 商，结果如下：
i 1 2 i
n
1i j n
(c
2 i
c ) n c
2 j i 1
n
2 i
1 c n i 1
n 2 i
1 2 ˆ ) D( ˆ1 ) D( n
结论
算术均值比加权均值更有效.
Ch7-60
例如 X ~ N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本.
2
未落在拒绝域内，故接受 H 0 . 即可认为 两总体方差相等. 下面用 t — 检验法检 验 1 是否比 2 显著偏小？ 即检验假设
Ch7-70
H 0 : u1 u2 ;
T X1 X 2 Sw 1 1 n1 n2
H1 : u1 u2
~ t (n1 n2 2)
当 H 0 为真时，检验统计量
N (u1 , )和N (u 2 , )
2 1 2 2
本问题实际是检验甲组总体的均值是 否比乙组总体的均值偏小? 若是，这个差异范围有多大? 前一问 题属假设检验，后一问题属区间估计.
Ch7-68
由于两个总体的方差未知，而甲组 的样本容量较小，因此采用大样本下两 总体均值比较的U—检验法似乎不妥. 故
n 1 2 2 S ( X X ) (2) 是 D( X ) 的无偏估计量. i n 1 i 1
n 1 n 1 2 2 2 证 前已证 ( X i X ) X i X n i 1 n i 1
E ( X i ) E ( X ) , D( X i ) D( X ) 2 E ( X ) E ( X ) , D( X )
Ch7-54
1 x x 0, e f ( x ; ) 0 为常数 0 x0 ( X 1 , X 2 , , X n ) 为 X 的一个样本 的无偏 证明 X 与 n min{ X 1 , X 2 ,, X n } 都是
估计量
证Байду номын сангаас
1 X ~ E
1 2 故 (n n) p X i X m i 1
2 2
m
Ch7-53
因此, p 2 的无偏估计量为
1 1 m 2 p 2 Xi X n n m i 1
1 X i ( X i 1) m i 1 n(n 1)
m
2
例4 设总体 X 的密度函数为
1 P( X 1 z ) P( X 2 z ) P( X n z )
Ch7-56
有效性
ˆ ( X , X ,, X ) 定义 设 1 1 1 2 n
ˆ ( X , X ,, X ) 2 2 1 2 n
都是总体参数 的无偏估计量, 且
ˆ1 ) D( ˆ2 ) D(
t0.005 (50) 2.67, S w 16.32
于是置信度为 99% 的置信区间为
Ch7-73
n
2
Ch7-51
因而
n n 1 1 2 2 2 E ( X i X ) E ( X i ) E ( X ) n i 1 n i 1 2 2 2 2 ( ) ( ) n n 1 2 2 n 1 n 2 2 (Xi X ) 故 E 证毕. n 1 i 1
i 1 i 1
n
i 1
n
(2)
而
ˆ1 ) ci2 D( X i ) 2 ci2 D(
i 1 i 1
n
n
Ch7-59
n 2 j c ic 2 ic ic 1 n j i1 1 i 1 i n
2
c
落在拒绝域内，故拒绝 H 0 . 即认为母亲
嗜酒会对儿童智力发育产生不良影响.
Ch7-72
下面继续考察这种不良影响的程度. 为此要对两总体均值差进行区间估计.
u2 u1 的置信度为1 的置信区间为
X 2 X1 Sw 1 1 t (n1 n2 2) n1 n2 2
取 0.01, 并代入相应数据可得
采用方差相等 (但未知) 时，两正态总体 均值比较的t—检验法对第一个问题作出 回答. 为此 , 利用样本先检验两总体方差 是否相等，即检验假设
H0 : ;
2 1 2 2
H1 :
2 1
2 2
S12 当 H 0 为真时，统计量 F 2 ~ F (5,45) S2
拒绝域为
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1 1 k k E ( Ak ) E ( X i ) E ( X i ) n i 1 n i 1 1 n k k n
n
n
Ch7-49
特别地 样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的 无偏估计量
1 2 样本二阶原点矩 A2 X i 是总体 n i 1
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例3 设 ( X 1 , X 2 , , X m ) 是总体 X 的一个样本 , X~B(n , p) n > 1 , 求 p 2 的无偏估计量.
解 由于样本矩是总体矩的无偏估计量 以及数学期望的线性性质, 只要将未知 参数表示成总体矩的线性函数, 然后用样 本矩作为总体矩的估计量, 这样得到的未 知参数的估计量即为无偏估计量. 令 X E ( X ) np m 1 2 2 2 X i E ( X ) (np) np(1 p) m i 1
定义的合理性
我们不可能要求每一次由样本得到的 估计值与真值都相等，但可以要求这些估 计值的期望与真值相等.
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例1 设总体X 的 k 阶矩 k E ( X )存在 ( X 1 , X 2 , , X n ) 是总体X 的样本,
k
证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在), 1 n 则 Ak X ik 是 k 的无偏估计量. n i 1 证 由于 E ( X ik ) k i 1,2, , n 因而
n
二阶原点矩 2 E ( X ) 的无偏
2
估计量
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例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的 样本为 ( X 1 , X 2 , , X n ) (n > 1) . 证明
n 1 2 2 (1) S n ( X i X ) 不是 D( X )的无偏估量; n i 1
的估计量. 若对于任意的 , 当n 时,
ˆ 依概率收敛于 , 即 0, ˆ ) ) 0 lim P(
n
ˆ 是总体参数 的一致(或相合)估计量. 则称
一致性估计量仅在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性.
Ch7-62
关于一致性的两个常用结论
F F1 / 2 (5,45) 或 F F / 2 (5,45) 取 0.1 F / 2 (5,45) F0.05 (5,45) 2.43
F1 / 2 (5,45) F0.95 (5,45) 1 / F0.05 (45,5) 0.22
19 F的观察值F0 2 1.41, 得 16 F0.95 (5,45) F0 F0.05 (5,45)
E( X )
故 E( X ) E( X ) X 是 的无偏估计量.
令
FZ ( z) 1 P( X 1 z, X 2 z,, X n z)
n
Z min{ X 1 , X 2 , , X n }
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0 z 0 1 (1 P( X i z )) nz i 1 1 e z0 z0 0 nz f Z ( z) n e z 0 n Z ~ E E (Z ) E (nZ ) 即 n 故 n Z 是 的无偏估计量.
Ch7-66
智商
组别
人数
智商平均数
样本标准差
甲组
乙组
n 6
46
x 78
99
s
19 16
由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一 代的智力？若有影响，推断其影响程度有 多大? 提示 前一问题属假设检验问题 后一问题属区间估计问题
Ch7-67
解 智商一般受诸多因素的影响.从而可以
假定两组儿童的智商服从正态分布.
1. 样本 k 阶矩是总体 k 由大数定律证明 阶矩的一致性估计量. 2. 设ˆ 是 的无偏估计 量, 且 lim D(ˆ ) 0, 则 用切贝雪夫不 n 等式证明 ˆ 是 的一致估计量.
矩法得到的估计量一般为一致估计量
在一定条件下, 极大似然估计具有一致性
1 e 例8 X ~ f ( x; ) 0
2 解 D( X ) ， D(n min{ X 1 , X 2 ,, X n }) n 所以, X 比n min{ X 1 , X 2 ,, X n } 更有效.
2
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例6 设总体 X，且 E( X )= , D( X )= 2
( X 1 , X 2 , , X n )为总体 X 的一个样本
n 1 (1) 设常数 ci i 1,2, , n. ci 1. n i 1 n ˆ1 ci X i 是 的无偏估计量 证明
i 1
ˆ1 ci X i 更有效 ˆX 比 (2) 证明