概率论与数理统计答案第四版第2章(浙大)

1、考虑为期一年的一张保险单，若投保人在投保一年后因意外死亡，则公司赔付20万元，

若投保人因其他原因死亡，则公司赔付5万元，若投保人在投保期末生存，则公司无需付给任何费用。若投保人在一年内因意外死亡的概率为0.0002，因其他愿意死亡的概率为0.0010，求公司赔付金额的分布律。

解：设X为公司的赔付金额，X=0,5,20

P（X=0）=1-0.0002-0.0010=0.9988

P（X=5）=0.0010

P（X=20）=0.0002

X 0 5 20

P 0.9988 0.0010 0.0002

2.(1) 一袋中装有5只球，编号为1,2,3,4,5.在袋中同时取3只球，以X表示取出的三只中的最大号码，写出随机变量的分布律.

解：方法一: 考虑到5个球取3个一共有=10种取法，数量不多可以枚举来解此题。

设样本空间为S

S=｛123,124,125,134,135,145,234,235,245,345 ｝

易得，P｛X=3｝=；P｛X=4｝=；P｛X=5｝=；

X 3 4 5

1/10 3/10 6/10

方法二：X的取值为3,4,5

当X=3时，1与2必然存在，P｛X=3｝= =;

当X=4时，1,2,3中必然存在2个，P｛X=4｝= =；

当X=5时，1,2,3,4中必然存在2个，P｛X=5｝= =；

X 3 4 5

1/10 3/10 6/10

(2)将一颗骰子抛掷两次，以X表示两次中得到的小的点数，试求X的分布律.

解：P｛X=1｝= P (第一次为1点)+P（第二次为1点）- P（两次都为一点）

= =；

P｛X=2｝= P (第一次为2点，第二次大于1点)+P（第二次为2点，第一次大于1点）- P（两次都为2点）

= =；

P｛X=3｝= P (第一次为3点，第二次大于2点)+P（第二次为3点，第一次大于2点）- P（两次都为3点）

= =；

P｛X=4｝= P (第一次为4点，第二次大于3点)+P（第二次为4点，第一次大于3点）- P（两次都为4点）

= =；

P｛X=5｝= P (第一次为5点，第二次大于4点)+P（第二次为5点，第一次大于4点）- P（两次都为5点）

= =；

P｛X=6｝= P (第一次为6点，第二次大于5点)+P（第二次为6点，第一次大于5点）- P（两次都为6点）

= =；

X 1 2 3 4 5 6

11/36 9/36 7/36 5/36 3/36 1/36

3.设在15只同类型的零件中有2只是次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样.以X表示取出的次品的只数.

(1)求X的分布律.

解：P｛X=0｝= =;

P｛X=1｝= =;

X 0 1 2

22/35 12/35 1/35

(2)画出分布律的图形.

4、进行独立重复试验，设每次试验的成功率为p，失败概率为q=1-p（0

（1）将试验进行到出现一次成功为止，以X表示所需的试验次数，求X的分布律。（此时称X服从以p为参数的几何分布）

（2）将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需的试验次数，求Y得分布律。（此时称Y服从以r,p为参数的帕斯卡分布或负二项分布）

（3）一篮球运动员的投篮命中率为45%。以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取得偶数的概率

解：（1）k=1,2,3，……

P（X=k）=

（2）k=r+1,r+2,r+3, ……

P（Y=k）=

（3）k=1,2,3, ……

P（X=k）=0.45,

设p为X取得偶数的概率

P=P{X=2}+ P{X=4}+ ……+ P{X=2k}

=0.45+0.45……+0.45

=

5. 一房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。有一只鸟自开着的窗子飞入了房间，它只能从开着的窗子飞出去。鸟在房子里飞来飞去，试图飞出房间。假定鸟是没有记忆的，它飞向各扇窗子是随机的。

(1) 以X表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求X的分布律。

(2) 户主声称，他养的一只鸟是有记忆的，它飞向任一窗子的尝试不多于一次。以Y表示这只聪明的鸟为了飞出房间试飞的次数。如户主所说是确实的，试求Y的分布律。

(3)求试飞次数X小于Y的概率和试飞次数Y小于X的概率。

解：

（1）由题意知，鸟每次选择能飞出窗子的概率为1/3，飞不出窗子的概率为2/3，且各次选择之间是相互独立的，故X的分布律为：

P(X=k)=，k=1,2,3……

X 1 2 3

（2）Y的可能取值为1，2，3，其分布律为

方法一：

P(Y=1)=

P(Y=2)==

P(Y=3)==

方法二：

由于鸟飞向各扇窗户是随机的，鸟飞出指定窗子的尝试次数也是等可能的。

即P(X=1)=P(Y=2)=P(X=3)=

Y 1 2 3

（3）设试飞次数X小于Y为事件A，Y小于X为事件B。普通鸟和聪明鸟的选择是独立的X小于Y的情况有：①X=1, Y=2 ②X=1, Y=3 ③X=2, Y=3

故P(A)=P(X=1)*P(Y=2)+ P(X=1)*P(Y=3)+ P(X=2)*P(Y=3)

=

Y小于X的情况有：①Y=1, X≥2 ②Y=2, X≥3 ③Y=3, X≥4

故P(B)=P(Y=1)*P(X≥2)+P(Y=2)*P(X≥3)+P(Y=3)*P(X≥4)

=P(Y=1)*[1-P(X=1)]+P(Y=2)*[1-P(X=1)-P(X=2)]+P(Y=3)*[1-P(X=1)-P(X=2)-P(X=3)

]

=(1-)+(1--)+(1---)

=

6. 一大楼装有5台同类型的供水设备。设各台设备是否被使用相互独立。调查表明在任一时刻t每台设备被使用的概率为0.1，问在同一时刻，

(1) 恰有2台设备被使用的概率是多少？

(2) 至少有3台设备被使用的概率是多少？

(3) 至多有3台设备被使用的概率是多少？

(4) 至少有1台设备被使用的概率是多少？

解：设同一时刻被使用的设备数为X，试验次数为5且每次试验相互独立，显然X满足二次分布X

(1)P(X=2)==0.0729

(2)P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=++=0.00856