2019版高考数学理一轮课时达标39空间几何体的三视图、

课时达标 第39讲
[解密考纲]考查空间几何体的结构特征与三视图、体积与表面积，以选择题或填空题的形式出现．
一、选择题
1．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( D )
解析 如图所示，点D 1的投影为C 1，点D 的投影为C ，点A 的投影为B ，故选D ．
2．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( D )
解析 由几何体的正视图和侧视图，结合四个选项中的俯视图知，若为D 项，则正视图
应为，故D 项不可能，故选D 项．
3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( B )
A ．2＋5
B ．2＋2 5
C ．4
3
D ．23
解析 三棱锥的高为1，底面为等腰三角形，如图，因此表面积是12×2×2＋2×1
2×5×1
＋1
2
×5×2＝2＋25，故选B ．
4．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( A )
A ．π
2＋1
B ．π2＋3
C ．3π
2
＋1
D ．3π2
＋3
解析 由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V ＝13×12×π×3＋13×12×2×1×3＝π
2
＋1，故选A ．
5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( B )
A ．62
B ．6
C ．42
D ．4
解析 由三视图知，该几何体为三棱锥D 1－CEC 1(如图所示)，
∵平面CEC 1⊥平面D 1C 1C ，△D 1C 1C 为等腰直角三角形，△CEC 1为等腰三角形，且D 1C 1⊥CC 1，
所以CE ＝C 1E ＝42＋22＝25，CD 1＝42＋42＝42， D 1E ＝42＋()252＝6，则该三棱锥最长的棱为6.
6．在如图所示的空间直角坐标系O xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( D )
A ．①和③
B ．③和①
C ．④和③
D ．④和②
解析 由三视图可知，正视图与俯视图分别为④②. 二、填空题
7．(2017·江苏卷)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是__32
__.
解析 设球O 的半径为r ，则圆柱的底面半径为r 、高为2r ，所以V 1V 2＝πr 2·2r 43πr 3＝3
2
.
8．等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底 AB ＝ 3，以下底所在直线
为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为2
解析 如图所示．因为OE ＝(2)2－1＝1，所以O ′E ′＝12，E ′F ′＝2
4，则直观图
A ′
B ′
C ′
D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝2
2
.
9．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是
解析由三视图知，该几何体为一个四棱锥P－ABCD，其中P A⊥底面ABCD，底面ABCD 是直角梯形，AD∥BC，AB＝2AD＝4，AD⊥AB，P A＝2，∴该四棱锥的最长的棱为PC＝22＋32＋42＝29.
三、解答题
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PC与底面ABCD垂直，该
四棱锥的正视图和侧视图如图所示，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．
(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；
(2)求P A．
解析(1)该四棱锥的俯视图是边长为6 cm的正方形(内含对角线)，如图，其面积为36
cm2.
(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2.
由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，
P A＝PD2＋AD2＝(62)2＋62＝6 3 (cm)．
11．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，
下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥
的高PO1的4倍．
(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？
解析 (1)由PO 1＝2知O 1O ＝4PO 1＝8.
因为A 1B 1＝AB ＝6，所以正四棱锥P －A 1B 1C 1D 1的体积
V 锥＝13A 1B 2
1·PO 1＝13×62×2＝24(m 3)；
正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积 V 柱＝AB 2·O 1O ＝62×8＝288(m 3)． 所以仓库的容积V ＝V 锥＋V 柱＝312(m 3)． (2)设A 1B 1＝a (m)，PO 1＝h (m)， 则0＜h ＜6，O 1O ＝4h .连接O 1B 1.
因为在Rt △PO 1B 1中，O 1B 21＋PO 21＝PB 2
1，
所以⎝⎛
⎭
⎫2a 22
＋h 2＝36，即a 2＝2(36－h 2)． 于是仓库的容积
V ＝V 柱＋V 锥＝a 2·4h ＋13a 2·h ＝133a 2h ＝26
3(36h －h 3)，0＜h ＜6，
从而V ′＝26
3(36－3h 2)＝26(12－h 2)．
当0＜h ＜23时，V ′＞0，V 是单调增函数； 当23＜h ＜6时，V ′＜0，V 是单调减函数． 故当h ＝23时取得极大值，也是最大值． 因此，当PO 1＝2 3 m 时，仓库的容积最大．
12．如图，在棱长为6的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在C 1D 1与C 1B 1上，且C 1E ＝4，C 1F ＝3，连接EF ，FB ，BD ，DE ，DF ，求几何体EFC 1DBC 的体积．
解析 如图，连接DC 1，那么几何体EFC 1DBC 被分割成三棱锥D －EFC 1及四棱锥D －CBFC 1，那么几何体EFC 1DBC 的体积为V ＝13×12×3×4×6＋13×1
2×(3＋6)×6×6＝12＋54
＝66.
故所求几何体EFC1DBC的体积为66.。