江苏省连云港市九年级数学上学期期中试卷(含解析) 浙教版(2021年整理)

江苏省连云港市2017届九年级数学上学期期中试卷（含解析）浙教版编辑整理：
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2016—2017学年江苏省连云港市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题(每小题3分,满分24分）
1．下列方程是一元二次方程的是（）
A．1﹣x2=0 B．x2+y+6=0 C．y2﹣2x﹣1=0 D．=1
2．已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是( ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3
3．如图，在⊙O中=，∠AOB=40°，则∠COD的度数（）
A．20°B．40°C．50°D．60°
4．对于一组数据﹣1，﹣1,4，2，下列结论不正确的是( ）
A．平均数是1 B．众数是﹣1 C．中位数是0。

5 D．方差是3.5
5．方程x（x+1)=0的解是( )
A．x=0 B．x=﹣1 C．x1=0，x2=﹣1 D．x1=0，x2=1
6．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是( ）
A．B．C．D．
7．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA=2，∠P=60°,则的长为（）
A．πB．πC．D．
8．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）
A．120°B．135°C．150°D．165°
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．用配方法解一元二次方程x2﹣6x=3时，方程的两边同时加上，使得方程左边配成一个完全平方式．
10．写出两根为﹣2和3的一元二次方程：．
11．张老师随机抽取6名学生，测试他们的打字能力，测得他们每分钟打字个数分别为：100,80,70，80,90，95,那么这组数据的中位数是．
12．如图,⊙O是△ABC的外接圆，∠BOC=136°，则∠A的大小是°．
13．一组数据﹣1，0，2，4，x的极差为7，则x= ．
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆,直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为．
15．如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心，r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值范围为．
16．把边长为1的正方形纸片PABC放在直线m上,OA边在直线m上,然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°,此时,点O运动到了点O1处（即点B处），点C运动到了点C1处，点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点,按顺时针方向旋转90°…,按上述方法经过2016次旋转后，顶点O经过的总路径的长为．
三、解答题(本大题共102分）
17．解下列方程：
（1)(x+1）2﹣9=0
(2）x+3﹣x（x+3)=0
（3）x2+x﹣1=0．
18．k取什么值时，关于x的一元二次方程x2﹣kx+4=0有两个相等的实数根?求此时方程的根．19．某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2。

6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．
（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7。

146万元,求可变成本平均每年增长的百分率x．20．八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制)：甲789710109101010
乙10879810109109
（1）甲队成绩的中位数是分,乙队成绩的众数是分;
（2）计算乙队的平均成绩和方差；
（3）已知甲队成绩的方差是1.4分2，则成绩较为整齐的是队．
21．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）：
（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出D点的坐标为;
（2）连接AD、CD,⊙D的半径为，∠ADC的度数为；
(3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图,求该圆锥底面半径．
22．如图，在矩形ABCD中,AB=16cm，BC=6cm，点P从A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止;同时,点Q从点C出发沿以2cm/s的速度向点D移动．经过多长时间P、Q
两点的距离是10？
23．如图,在Rt△ABC中，∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心,OA为半径的圆经过点C,过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．
(1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=4,∠BCM=60°,求图中阴影部分的面积．
24．某商店经销的某种商品，每件成本为40元．经市场调研，售价为50元时，可销售200件；售价每增加1元,销售量将减少10件．如果这种商品全部销售完,那么该商店可盈利2000元．问：该商店销售了这种商品多少件？每件售价多少元？
25．阅读材料:如图（一），△ABC的周长为l，内切圆O的半径为r，连接OA，OB，OC，△ABC 被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．
∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA
又∵S△OAB=AB•r，S△OBC=BC•r，S△OCA=CA•r
∴S△ABC=AB•r+BC•r+CA•r=l•r
∴r=（可作为三角形内切圆半径公式）
根据上述阅读材料完成下列各题：
（1）理解与应用：利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径;
(2）类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆,如图（二））且面积为S,各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；
(3）拓展与延伸:若一个n边形（n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、a3、…、a n,合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．
26．如图,边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是AB上的一动点（不与A，B重合)，点F 是BC上的一点，连接OE，OF,分别与AB,BC交于点G，H，且∠EOF=90°．
（1）求证： =；
（2）试判断△OGH的形状，并说明理由；
③随着点E位置的变化，四边形OGBH的面积是否发生变化？请说明理由．
2016—2017学年江苏省连云港市九年级（上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分,满分24分）
1．下列方程是一元二次方程的是（)
A．1﹣x2=0 B．x2+y+6=0 C．y2﹣2x﹣1=0 D．=1
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【解答】解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、不是一元二次方程，故此选项不符合题意;
C、不是一元二次方程,故此选项不符合题意;
D、不是一元二次方程，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值是( ）
A．﹣3 B．3 C．0 D．0或3
【考点】一元二次方程的解．
【分析】直接把x=2代入已知方程就得到关于m的方程,再解此方程即可．
【解答】解：∵x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，
∴4+2m+2=0，
∴m=﹣3．故选A．
3．如图，在⊙O中=，∠AOB=40°，则∠COD的度数（）
A．20°B．40°C．50°D．60°
【考点】圆心角、弧、弦的关系．
【分析】首先得到=，进而得到∠AOB=∠COD，即可选择正确选项．
【解答】解:∵=，
∴=，
∴∠AOB=∠COD，
∵∠AOB=40°，
∴∠COD=40°，
故选B．
4．对于一组数据﹣1，﹣1，4，2，下列结论不正确的是（)
A．平均数是1 B．众数是﹣1 C．中位数是0。

5 D．方差是3.5
【考点】方差;算术平均数；中位数；众数．
【分析】根据众数、中位数、方差和平均数的定义和计算公式分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【解答】解:这组数据的平均数是:（﹣1﹣1+4+2）÷4=1；
﹣1出现了2次，出现的次数最多，则众数是﹣1；
把这组数据从小到大排列为：﹣1,﹣1，2，4，最中间的数是第2、3个数的平均数,则中位数是=0.5；
这组数据的方差是：［(﹣1﹣1）2+（﹣1﹣1）2+（4﹣1）2+（2﹣1）2］=4。

5；
则下列结论不正确的是D；
故选D．
5．方程x（x+1）=0的解是（）
A．x=0 B．x=﹣1 C．x1=0，x2=﹣1 D．x1=0,x2=1
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】此题考查了学生用降次的方法解一元二次方程的思想，此题可以化为两个一次方程：x=0，x+1=0，解此两个一次方程即可求得．
【解答】解：∵x（x+1)=0
∴x=0，x+1=0
∴x1=0,x2=﹣1．
故选C．
6．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是( )
A．B．C．D．
【考点】根的判别式;一次函数的图象．
【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．
【解答】解:∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=4﹣4（kb+1)＞0，
解得kb＜0，
A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；
B．k＞0,b＜0,即kb＜0，故B正确;
C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；
D．k＜0，b=0，即kb=0,故D不正确；
故选：B．
7．如图,PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA=2，∠P=60°，则的长为（）
A．πB．πC．D．
【考点】弧长的计算；切线的性质．
【分析】由PA与PB为圆的两条切线,利用切线的性质得到两个角为直角，再利用四边形内角和定理求出∠AOB的度数，利用弧长公式求出的长即可．
【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
在四边形APBO中，∠P=60°，
∴∠AOB=120°，
∵OA=2,
∴的长l==π,
故选C
8．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是（）
A．120°B．135°C．150°D．165°
【考点】圆心角、弧、弦的关系;翻折变换（折叠问题)．
【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°,再利用弧度与圆心角的关系得出答案．
【解答】解:如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，
由题意可得:EO=BO，AB∥DC,
可得∠EBO=30°,
故∠BOD=30°,
则∠BOC=150°，
故的度数是150°．
故选：C．
二、填空题(每小题3分，共24分)
9．用配方法解一元二次方程x2﹣6x=3时，方程的两边同时加上9 ,使得方程左边配成一个完全平方式．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】两边配上一次项系数一半的平方即可得出答案．
【解答】解:用配方法解一元二次方程x2﹣6x=3时,方程的两边同时加上32，即9，使得方程左边配成一个完全平方式，
故答案为：9．
10．写出两根为﹣2和3的一元二次方程：x2﹣x﹣6=0 ．
【考点】根与系数的关系．
【分析】根据根与系数的关系内容得出即可．
【解答】解：根为﹣2和3的一元二次方程为x2﹣x﹣6=0，
故答案为：x2﹣x﹣6=0．
11．张老师随机抽取6名学生，测试他们的打字能力，测得他们每分钟打字个数分别为：100，80，70，80，90,95，那么这组数据的中位数是85 ．
【考点】中位数．
【分析】按从小到大的顺序排列后，求出最中间的两个数的平均数即可．
【解答】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：70,80，80，90，95,100，
则中位数为:(80+90）=85．
故答案为85．
12．如图，⊙O是△ABC的外接圆,∠BOC=136°,则∠A的大小是68 °．
【考点】圆周角定理．
【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠BOC与∠A是同弧所对的圆心角与圆周角,∠BOC=136°，
∴∠BAC=∠BOC=68°．
故答案为：68．
13．一组数据﹣1，0，2,4，x的极差为7，则x= 6或﹣3 ．
【考点】极差．
【分析】分别当x为最大值和最小值时，根据极差的概念求解．
【解答】解:当x为最大值时，x﹣（﹣1)=7，
解得:x=6,
当x为最小值时，4﹣x=7,
解得：x=﹣3．
故答案为:6或﹣3．
14．如图,⊙O是△ABC的外接圆，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，则AC长为2．
【考点】三角形的外接圆与外心;圆周角定理．
【分析】连接CD，由∠ABC=∠DAC可得，得出则AC=CD,又∠ACD=90°,由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求得AC的长．
【解答】解：连接CD,如图所示:
∵∠B=∠DAC,
∴，
∴AC=CD，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°,
在Rt△ACD中，AD=4，
∴AC=CD=AD=×4=2，
故答案为：2．
15．如图，在网格中（每个小正方形的边长均为1个单位)选取9个格点（格线的交点称为格点）．如果以A为圆心,r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为．
【考点】点与圆的位置关系．
【分析】先根据勾股定理计算点A与其它格点的距离，根据点和圆的位置关系确定半径的取值．【解答】解：分别连接A与其它各格点，
由勾股定理得：AB===4，
AC===3，
AD==,
AE===2，
AF==5，
AG==，
AH==，
AP==5，
当r=3时，有三个点在圆内：D、E、G，
当r=时,点E在圆内，点D和G在圆上,
则r的取值范围为:＜r≤3．
故答案为:＜r≤3．
16．把边长为1的正方形纸片PABC放在直线m上,OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O1处（即点B处)，点C运动到了点C1处,点B运动到了点B1处，又将正方形纸片AO1C1B1绕B1点,按顺时针方向旋转90°…,按上述方法经过2016次旋转后，顶点O经过的总路径的长为π．
【考点】轨迹；正方形的性质;旋转的性质．
【分析】为了便于标注字母，且更清晰的观察，每次旋转后向右稍微平移一点，作出前几次旋转后的图形，点O的第1次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，第2次旋转路线是以正方形的对角线长为半径，以90°圆心角的扇形，第3次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形；
①根据弧长公式列式进行计算即可得解；
②求出2016次旋转中有几个4次，然后根据以上的结论进行计算即可求解．
【解答】解:如图,为了便于标注字母，且位置更清晰,每次旋转后不防向右移动一点，
第1次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为=π；第2次旋转路线是以正方形的对角线长为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为=π；
第3次旋转路线是以正方形的边长为半径,以90°圆心角的扇形，路线长为=π；
第4次旋转点O没有移动，旋转后与最初正方形的放置相同，
因此4次旋转，顶点O经过的路线长为π++π=π；
∵2016÷4=504，
∴经过2016次旋转，顶点O经过的路程是4次旋转路程的504倍,即504×（π）=π．故答案为：π．
三、解答题(本大题共102分）
17．解下列方程：
（1）（x+1）2﹣9=0
（2）x+3﹣x（x+3）=0
（3）x2+x﹣1=0．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法;解一元二次方程﹣直接开平方法;解一元二次方程﹣公式法．
【分析】（1）直接开平方法求解可得；
(2）因式分解法求解可得;
（3）公式法求解可得．
【解答】解：(1）∵（x+1）2=9，
∴x+1=3或x+1=﹣3，
解得：x=2或x=﹣4;
(2）∵（x+3)（1﹣x）=0，
∴x+3=0或1﹣x=0，
解得:x=﹣3或x=1;
(3）∵a=1，b=1，c=﹣1,
∴△=1﹣4×1×（﹣1)=5＞0，
∴x=．
18．k取什么值时，关于x的一元二次方程x2﹣kx+4=0有两个相等的实数根?求此时方程的根．【考点】根的判别式．
【分析】根据方程有两个相等的实数根得到△=b2﹣4ac=0，求出k的值即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣kx+4=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=（﹣k）2﹣4×1×4=0，
∴k2﹣16=0,
∴k=±4，
当k=4时，x2﹣4x+4=0的两根x1=x2=2;
当k=﹣4时，x2+4x+4=0的两根x1=x2=﹣2；
19．某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2。

6万元，设可变成本平均每年增长的百分率为x．
(1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为 2.6（1+x）2万元；
（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1)根据增长率问题由第1年的可变成本为2。

6万元就可以表示出第二年的可变成本为2.6（1+x），则第三年的可变成本为2.6（1+x）2，故得出答案；
（2）根据养殖成本=固定成本+可变成本建立方程求出其解即可
【解答】解：（1)由题意,得
第3年的可变成本为：2。

6（1+x)2,
故答案为：2.6（1+x）2；
（2)由题意，得
4+2.6(1+x）2=7.146，
解得：x1=0.1,x2=﹣2.1（不合题意，舍去)．
答：可变成本平均每年增长的百分率为10％．
20．八（2）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表（10分制)：甲789710109101010
乙10879810109109
(1)甲队成绩的中位数是9.5 分，乙队成绩的众数是10 分;
（2）计算乙队的平均成绩和方差；
(3）已知甲队成绩的方差是1.4分2，则成绩较为整齐的是乙队．
【考点】方差；加权平均数；中位数;众数．
【分析】（1）根据中位数的定义求出最中间两个数的平均数；根据众数的定义找出出现次数最多的数即可；
（2）先求出乙队的平均成绩，再根据方差公式进行计算；
(3)先比较出甲队和乙队的方差，再根据方差的意义即可得出答案．
【解答】解：（1）把甲队的成绩从小到大排列为：7，7，8,9，9，10，10，10,10，10，最中间两个数的平均数是（9+10）÷2=9。

5(分），
则中位数是9.5分；
乙队成绩中10出现了4次,出现的次数最多,
则乙队成绩的众数是10分；
故答案为：9.5,10；
（2）乙队的平均成绩是：×(10×4+8×2+7+9×3）=9，
则方差是:×[4×（10﹣9)2+2×(8﹣9）2+(7﹣9）2+3×（9﹣9）2]=1；
（3）∵甲队成绩的方差是1.4,乙队成绩的方差是1,
∴成绩较为整齐的是乙队；
故答案为：乙．
21．如图,在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C,请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号)：
（1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置,并写出D点的坐标为（2，0）;
（2）连接AD、CD，⊙D的半径为2，∠ADC的度数为90°；
（3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图,求该圆锥底面半径．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1)利用垂径定理可作AB和BC的垂直平分线，两线的交点即为D点，可得出D点坐标；
（2）在△AOD中AO和OD可由坐标得出,利用勾股定理可求得AD和CD,过C作CE⊥x轴于点E，则可证得△OAD≌△EDC,可得∠ADO=∠DCE，可得∠ADO+∠CDE=90°，可得到∠ADC的度数；（3）先求得扇形DAC的面积，设圆锥底面半径为r，利用圆锥侧面展开图的面积=πr•AD,可求得r．
【解答】解：（1）如图1，分别作AB、BC的垂直平分线，两线交于点D，
∴D点的坐标为（2,0）,
故答案为：（2，0）；
（2）如图2，连接AD、CD,过点C作CE⊥x轴于点E，
则OA=4,OD=2，在Rt△AOD中,可求得AD=2,
即⊙D的半径为2，
且CE=2,DE=4,
∴AO=DE，OD=CE，
在△AOD和△DEC中，
,
∴△AOD≌△DEC（SAS），
∴∠OAD=∠CDE,
∴∠CDE+∠ADO=90°,
∴∠ADC=90°，
故答案为：2；90°；
（3）弧AC的长=π×2=π,
设圆锥底面半径为r则有2πr=π，解得：r=，所以圆锥底面半径为．
22．如图，在矩形ABCD中,AB=16cm，BC=6cm，点P从A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿以2cm/s的速度向点D移动．经过多长时间P、Q 两点的距离是10?
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】作PH⊥CD，垂足为H，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．【解答】解:设P,Q两点从出发经过t秒时，点P,Q间的距离是10cm，
作PH⊥CD,垂足为H，
则PH=BC=6，PQ=10，HQ=CD﹣AP﹣CQ=16﹣5t．
∵PH2+HQ2=PQ2，
可得：（16﹣5t）2+62=102，
解得t1=4。

8，t2=1.6．
答：P，Q两点从出发经过1。

6或4.8秒时，点P,Q间的距离是10cm．
23．如图，在Rt△ABC中,∠B=90°，点O在边AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点C，过点C作直线MN，使∠BCM=2∠A．
（1）判断直线MN与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若OA=4，∠BCM=60°,求图中阴影部分的面积．
【考点】直线与圆的位置关系；扇形面积的计算．
【分析】（1）MN是⊙O切线,只要证明∠OCM=90°即可．（2）求出∠AOC以及BC,根据S阴=S扇形OAC﹣S△OAC计算即可．【解答】解：（1）MN是⊙O切线．
理由：连接OC．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∠BCM=2∠A，
∴∠BCM=∠BOC，
∵∠B=90°，
∴∠BOC+∠BCO=90°,
∴∠BCM+∠BCO=90°，
∴OC⊥MN，
∴MN是⊙O切线．
（2）由(1）可知∠BOC=∠BCM=60°，
∴∠AOC=120°，
在RT△BCO中,OC=OA=4，∠BCO=30°,
∴BO=OC=2，BC=2
∴S阴=S扇形OAC﹣S△OAC=﹣=﹣4．
24．某商店经销的某种商品，每件成本为40元．经市场调研，售价为50元时，可销售200件；售价每增加1元，销售量将减少10件．如果这种商品全部销售完，那么该商店可盈利2000元．问：该商店销售了这种商品多少件?每件售价多少元?
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】等量关系为:（售价﹣成本）×(原来的销售量﹣10×提高的价格)=2000，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设每件商品售价为x元，则销售量为［200﹣10(x﹣50)]件，
由题意得：（x﹣40)[200﹣10（x﹣50)]=2000，
整理得：x2﹣110x+3000=0，
解得x1=60，x2=50．
当x=60时,销售量为:200﹣10(x﹣50）=200﹣10（60﹣50）=100（件）；
当x=50时，销售量为：200件．
答：该商店销售了这种商品100或200件，每件售价为60或50元．
25．阅读材料:如图（一），△ABC的周长为l,内切圆O的半径为r,连接OA，OB，OC，△ABC 被划分为三个小三角形，用S△ABC表示△ABC的面积．
∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA
又∵S△OAB=AB•r，S△OBC=BC•r,S△OCA=CA•r
∴S△ABC=AB•r+BC•r+CA•r=l•r
∴r=（可作为三角形内切圆半径公式）
根据上述阅读材料完成下列各题：
（1)理解与应用:利用公式计算边长分为5、12、13的三角形内切圆半径;
（2)类比与推理：若四边形ABCD存在内切圆(与各边都相切的圆，如图（二)）且面积为S,各边长分别为a、b、c、d，试推导四边形的内切圆半径公式；
（3）拓展与延伸：若一个n边形（n为不小于3的整数）存在内切圆，且面积为S，各边长分别为a1、a2、a3、…、a n，合理猜想其内切圆半径公式（不需说明理由）．
【考点】三角形的内切圆与内心；切线长定理．
【分析】（1)首先证明三角形是直角三角形，再根据面积公式计算即可．
(2）连接OA、OB、OC、OD．由S四边形ABCD=S△OAB+S△OBC+S△OCD+S△AOD，由S四边形ABCD=AB•r+BC•r+CD•r+AD•r=（a+b+c+d)•r=S，即可推出r=．
（3)类似（2）可得r=．
【解答】解：（1）∵52+122=25+144=169=132，
∴边长分为5、12、13的三角形是直角三角形，
∴×5×12=（5+12+13）•r，
∴r=2，
∴边长分为5、12、13的三角形内切圆半径为2．
（2）如图（二）中，连接OA、OB、OC、OD．
∵S四边形ABCD=S△OAB+S△OBC+S△OCD+S△AOD
又∵S△OAB=AB•r，S△OBC=BC•r,S△OCD=CD•r，S△AOD=AD•r，
∴S四边形ABCD=AB•r+BC•r+CD•r+AD•r=（a+b+c+d）•r=S,
∴r=．
（3）若一个n边形（n为不小于3的整数)存在内切圆，且面积为S,各边长分别为a1、a2、a3、…、a n，
其内切圆半径r=．
26．如图,边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是AB上的一动点（不与A，B重合)，点F 是BC上的一点,连接OE,OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF=90°．
(1)求证: =；
（2）试判断△OGH的形状，并说明理由；
③随着点E位置的变化，四边形OGBH的面积是否发生变化？请说明理由．
【考点】圆的综合题．
【分析】（1)欲证明=，只要证明∠AOE=∠BOF即可．
（2）结论：△OGH是等腰直角三角形．只要证明△AOG≌△BOH,可得OG=OH，即可证明．
∴OG=OH，
(3）结论：四边形OGBH的面积不发生变化．由△AOG≌△BOH，推出四边形OGBH的面积=△AOB 的面积=正方形ABCD的面积,即可解决问题．
【解答】（1）证明:如图1中,连接OB、OA．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EOF=∠AOB=90°，
∴∠AOE=∠BOF,
∴=．
（2)解：结论：△OGH是等腰直角三角形．
理由：如图1中，在△AOG和△BOH中，
，
∴△AOG≌△BOH；
∴OG=OH,∵∠G OH=90°，
∴△OGH是等腰直角三角形．
（3)解:结论：四边形OGBH的面积不发生变化．
理由：如图1中，∵△AOG≌△BOH，
∴四边形OGBH的面积=△AOB的面积=正方形ABCD的面积，
∴四边形OGBH的面积不发生变化．。