导数及其应用-变化率问题-数学人教A版(2019)选择性必修第二册

切线呢？
y
4
将点P逐渐靠近点P0，观
察割线P0P的位置变化情况.
P T
3
2
1
O
P0
1
2
x
当点P无限趋近于点P0时，
割线P0P无限趋近于一个确定
的位置，这个确定的位置的
直线P0T称为抛物线 f(x)=x2在
点 P0(1,1) 处的切线.
探究新知
追问4：如何求抛物线 f(x)=x2在点 P0(1,1) 处的切线P0T 的斜率k0呢？
f ( x2 ) f ( x1 )
y

x
x2 x1
几何意义
割线的斜率
物体运动的瞬时速度
无限逼近
函数的瞬时变化率
f ( x0 x) f ( x0 )
f '( x0 ) lim
x 0
t
几何意义
切线的斜率
割线位置
割线斜率
无限逼近
无限逼近
取极限
切线位置
切线斜率
记点P的横坐标 x=1+Δx，则点P的坐标即为 (1+Δx,(1+Δx)2).
于是割线P0P 的斜率
f ( x) f (1) f (1 x) f (1) (1 x) 2 1
k


x 2
x 1
(1 x) 1
lim
lim (x 4)=4
x 0
x 0
x
故抛物线 f(x)=x2在点 P0(2,4) 处的切线P0T 的斜率为4.
y
4
P0
3
2
P
1
O 1 2 x
探究新知
问题3：一般地，如何求抛物线 f(x)=x2在点 P0(x0, x02) 处的切
线P0T 的斜率呢？
切线斜率的本质是瞬时变化率
x
让横坐标变化量 Δx趋近于0，观察割线斜率的变化情况.
探究新知
x 0
x 0
x
k Δx 2
x
k Δx 2
0.01
1.99
0.01
2.01
0.001
1.999
0.001
2.001
0.0001
1.999 9
0.000 1
2.000 1
0.000 01
1.999 99
x 0
(0 x) 0
故抛物线在点(0,1) 处的切线的斜率为0.
(2)抛物线在点(0,1) 处的切线方程为 y =1.
课堂小结
物体运动的平均速度
无限逼近
h(t0 t ) h(t0 )
v(t0 ) lim
t 0
t
h(t2 ) h(t1 )
v
t2 t1
函数的平均变化率
(1)抛物线在点(0,1) 处的切线的斜率；
(2)抛物线在点(0,1) 处的切线方程.
f (0 x) f (0) (0 x) 2 1 (0 2 1)
解：(1)
=
=x
(0 x) 0
x
f (0 x) f (0)
lim
= lim x 0
x 0
t
几何意义？
探究新知
探究：抛物线的切线的斜率
我们知道，如果一条直线与一个圆只有
一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.
对于一般的曲线C，如何确定它的切线呢？
下面我们以抛物线() = 2 为例进行研究.
问题1：我们知道斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物
线 f(x)=x2 在点 P0(1,1) 处的切线的斜率呢？
5.1.1 变化率问题
复习引入
1.瞬时速度的本质是平均速度的极限.
物体运动的
平均速度
无限逼近
取极限
物体运动的
瞬时速度
2.求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤：
h(t0 t ) h(t0 )
(1) 平均速度：v
t
h
(
t


t
)

h
(
t
)
0
0
(2) 瞬时速度：v(t0 ) lim
t 0


x 2 x0
x
x
f ( x0 x) f ( x0 )
lim
lim (x 2 x0 )=2 x0
x 0
x 0
x
故抛物线 f(x)=x2在点 P0(x0, x02) 处的切线P0T 的斜率为2x0.
y
4
3
2
1
O
P
P0
1 2
x
小试牛刀
1.已知抛物线 f(x)=x2+1. 求:
记点P的横坐标 x= x0+Δx，则点P的坐标即
为 (x0 +Δx,(x0 +Δx)2).于是割线P0P 的斜率
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 )
k

x x0
( x0 x) x0
( x0 x) 2 x02 (x) 2 2 x0 x
切线呢？
类比上节课的研究思路，例如研究运动员在 t =1s的瞬时速度
h(1 t ) h(1)
v
t
h(1 t ) h(1)
v(1) lim
t 0
t
几何意义：函数图象上过点 (1,h(1))
和点(1+Δt, h(1+Δt))的直线斜率
几何意义是什么？
探究新知
追问3：对于抛物线 f(x)=x2，应该如何定义它点 P0(1,1) 处的
0.000 01
2.000 01
0.000 001
1.999 999
0.000 001
2.000 001
……
……
当Δx无限趋近于0，割线斜率k无限趋近于2.
探究新知
f (1 x) f (1)
我们把2叫做“当Δx无限趋近于0时，k
的
x
极限“，记为
f (1 x) f (1)
切线P0T 的斜率吗？
记点P的横坐标 x=2+Δx，则点P的坐标即
为 (2+Δx,(2+Δx) 2).于是割线P0P 的斜率
f ( x) f (2) f (2 x) f (2)
k

x2
(2 x) 2
(2 x) 2 4

x 4
x
f (2 x) f (2)
lim
2
x 0
x
y
从几何图形上看，当横坐标间隔| Δx |
4
P T
无限变小时， 当点P无限趋近于点P0时，
3
割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T .
2
割线P0P的斜率k 无限趋近于点P0处
1
P0
的切线的斜率k0.
O 1 2 x
因此，切线P0T ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ斜率k0=2.
探究新知
问题2：你能用上述方法，求抛物线 f(x)=x2在点 P0(2,4) 处的
探究新知
追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条
直线与这条曲线一定相切吗？
不一定
追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们只有一个公
共点吗？
不一定
因此，我们不能像研究直线和圆的位置关系那样，通过交点
的个数来定义相切了.
探究新知
追问3：对于抛物线 f(x)=x2，应该如何定义它点 P0(1,1) 处的