第17题+幂函数-2018精品之高中数学(理)黄金100题系列+Word版含解析

第17题幂函数
I ．题源探究·黄金母题
【例】已知幂函数)(x f y =的图象过点（2，
2
2），试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性． 【解析】设)(x f =m
x ，则
m 222=，解得2
1-=m ， 所以)(x f =2
1
-x ，定义域为),0(+∞，是非奇非偶函数，
∵02
1
-
<，∴)(x f 在),0(+∞是减函数，图像如下：
精彩解读
【试题来源】人教版A 版必修1第82页复习参考题A 组第10题
【母题评析】本题考查幂函数的解析式、图象、
奇偶性、单调性，是基础题．是高考重要考点之一．
【思路方法】求幂函数的解析式常用待定系数法，研究幂函数的定义域、值域、奇偶性、单调性常用图像法，在研究函数性质时，一定要先求定义域，注意幂函数与指数函数的区别，注意不同的幂函数定义域、图像、性质可能不同．
II ．考场精彩·真题回放
【例1】【2014高考浙江卷】在同一坐标系中，函数
)0()(>=x x x f a
，x x g a log )(=的图象可能是（）
【答案】D
【解析】对A ，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对B ，)0()(>=x x x f a 中1>a ，x x g a log )(=中
10<<a ，不符合题意；对C ，)0()(>=x x x f a
中10<<a ，x x g a log )(=中1>a ，不符合题意；对D ，
【命题意图】本类题通常主要考查幂函数的图像与性质的应用．
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基
本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与不等式、函数性质等数学知识相结合，考查幂函数的定义、图像与性质．
【难点中心】幂函数因幂指数不同其定义域、值域、图像、奇偶性、单调性也不同，故解决幂函数问题，要根据解析式，首项求函数的定义域，根据幂指数确定其图像与性质，，熟记不同范围幂指数所对函数的图像与性质，是解题要熟练处理与幂函数有关的问题的关键．
)0()(>=x x x f a 中1
0<<a ，x x g a log )(=中
10<<a ，符合题意；故选D ．
【例2】【2014上海卷】若2
13
2
)(x x x f -=，则满足
0)(<x f 的x 取值范围是．
【答案】(0,1)
【解析】根据幂函数的性质，由于
12
23
<，所以当01x <<时213
2
x x <，当1x >时，213
2
x x >，因此
()0f x <的解集为(0,1)．
III ．理论基础·解题原理
考点一幂函数的概念与表示
一般地，形如y x α
=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数． 考点二幂函数的图像与性质
1．幂函数21
3
2
,1
,,,x y x
y x y x y x y =====的图象
2．幂函数性质
IV ．题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与函数、不等式等数学知识结合考查幂函数的图像与性质． 【技能方法】
1．幂函数()y x R α
α∈＝，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准． 2．在
()0,1上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数
越大，函数图象越远离x 轴．
3．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．
【易错指导】
（1）在掌握幂函数时，注意幂函数系数为1，底数为自变量，指数为常数这一特征； （2）注意幂函数的指数定义域、值域、单调性、对称性与幂函数的幂指数有关； （3）注意幂函数与指数函数区别．
V ．举一反三·触类旁通
考向1 幂函数的概念与表示
【例1】【2018河南三门峡模拟】已知幂函数
()()()22
322Z n n
f x n n x
n -=+-∈的图象关于y 轴对称，且
(0,)+∞
(0,)+∞
奇函数
在
()0+∞,上是减函数，则n 的值为(
)
A ．3-
B ．1
C ．2
D ．1或2
【答案】
B
【例2】【2018宁夏银川模拟】已知幂函数()y f x =
的图象过点，则（） A ．(1)(2)f f >B ．(1)(2)f f <C ．(1)(2)f f =D ．(1)f 与(2)f 大小无法判定 【答案】A
【解析】设()a
f x x =，
则2a
=，1
2
a =-，即1
2()f x x -=，在(0,)+∞上是减函数，
所以(1)(2)f f >．故选A ． 【跟踪练习】
1．【2018黑龙江哈尔滨模拟】若幂函数2
2
2)33(--⋅+-=m m x m m y 的图象不过原点，则m 的取值是（）
A ．21≤≤-m
B ．21==m m 或
C ．2=m
D ．1=m 【答案】D
【解析】由幂函数的定义，可得2
2
22
2
33=1(33)120
m m m m y m m x m m m --⎧-+⎪=-+⋅⇒=⎨--<⎪⎩ 2．【2018山西45校第一次联考】幂函数在其图象上点处的切线方程为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】将点()2,16代入y x α
=得162α=，解得4α=，故幂函数为4
y x =，因为3
2
2
'
432x x y x ====，
故切线方程为()16322y x -=-，即3248y x =-，故选A ． 3．【2018广西钦州模拟】使代数式(|x|-11
-3
)有意义的x 的取值范围是() A ．|x|≥1 B ．-1<x<1C ．|x|>1 D ．x ∈R ，且x≠±1 【答案】
D
考向2 幂函数的图像
【例3】【2018湖北鄂东南省级示范高中高三上学期期中联考】若幂函数1,m y x y x -==与n
y x =在第一象限的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为（）
A ．101m n -<<<<
B ．10n m -<<<
C ．10m n -<<<
D ．101n m -<<<< 【答案】D
【例4】【2018浙江诸暨模拟】下图中曲线是幂函数
在第一象限内的图象，已知p 分别为
，
中
的一个，则相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的p 值依次是（）
A ．-2，，，2
B ．
，-2，2，C ．2，，
，-2D ．2，，-2，
【答案】C 【解析】做直线，与四个函数图象从上到下的交点依次记为
，而
，
从而相应于曲线
的n 依次为2，，
，-2，故选C ．
【例5】【2018山东济南模拟】已知函数()()
12310()0x x f x x x -⎧-≤⎪
=⎨⎪>⎩在区间[]1,m -上的最大值是2，则m 的取
值范围是． 【答案】(1,4]-
【解析】(
)()
1
2131=1,03()0x
x x f x x x -⎧⎛⎫
--≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎪=>⎪⎩，作出函数图象，如图所示，因为函数在[]1,m -上的最大值为2，又()()142,f f -==所以12m -<≤，即(]1,2m ∈-．
【跟踪练习】 1．函数
的图象是（）
ABC D 【答案】
B
【名师点睛】幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y=x 来刻画其它幂函数在
第一象限的凸向．
2．【2018湖北黄冈9月质量检测】函数x
y a =（0a >，1a ≠）与b
y x =的图象如图，则下列不等式一定成立的是（）
A ．0a b >
B ．0a b +>
C ．1ab >
D ．log 2a b > 【答案】D
3．【2017河南周口市上学期期末调研】已知指数函数（
且
）的图像恒过定点，
若定点在幂函数
的图像上，则幂函数
的图像是（）
A BC D 【答案】A
【解析】令，即
时，
，即指数函数
（且
）的图象恒过定
点
，又因为定点在幂函数
的图象上，所以
，即
，解得
，则
在定义域上单调递增，故选A ．
考向3 幂函数性质
【例6】【2017江西赣州模拟】幂函数的图象经过点，则是（）
A ．偶函数，且在
上是增函数 B ．偶函数，且在上是减函数
C ．奇函数，且在上是增函数
D ．非奇非偶函数，且在上是增函数
【答案】C
【解析】设幂函数为
，代入点，解得，所以，可知函数是奇函数，且在
上是增函数，故选C ．
【例7】【2017河南新乡二模】设0.46a =，0.4log 0.5b =，5log 0.4c =，则,,a b c 的大小关系是（） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a << 【答案】B
【例8】【2018内蒙古集宁一中模拟】设11,1,,32α⎧
⎫
∈-⎨⎬⎩⎭
，则使得函数y x α=的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（）
A ．-1，3
B ．-1，1
C ．1，3
D ．-1，1，3 【答案】C
【解析】由题意1,3α=，当1α=-时尽管也是奇函数，但定义域是0x ≠，应选答案C ． 【跟踪练习】
1．设a ＞0且a ≠1 ，则“函数()f x =x
a 在R 上是减函数”，是“函数()g x =3
(2)a x -在R 上是增函数”的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A ．
【解析】p ：“函数()f x =x
a 在R 上是减函数”等价于10<<a ；q ：“函数()g x =3
(2)a x -在R 上是增函数”等价于02>-a ，即,20<<a 且a ≠1，故p 是q 成立的充分不必要条件．故选A ．
2．【2018东北师大附中模拟】已知幂函数{}(),2,1,1,3n
f x x n =∈--的图象关于y 轴对称，则下列选项正
确的是（）
A ．(2)(1)f f ->
B ．(2)(1)f f -<
C ．(2)(1)f f =
D ．(2)(1)f f ->- 【答案】B
【解析】由于幂函数n
x x f =)(的图象关于y 轴对称，可知n
x x f =)(为偶函数，所以2-=n ，即
2)(-=x x f ．则有4
1
)2()2(=
=-f f ，1)1()1(==-f f ，所以)1()2(f f <-，故选B ．
3．【2017浙江省余姚中学二模】已知幂函数()f x 过点，则满足(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围是． 【答案】3
[1,)2
考向4 幂函数的综合应用
【例9】【2018山东滕州三中模拟】已知幂函数f （x ）=x a 的图象经过点（2，4），则下列判断中不正确的是（ ）
A ．函数图象经过点（﹣1，1）
B ．当x ∈[﹣1，2]时，函数f （x ）的值域是[0，4]
C ．函数满足f （x ）+f （﹣x ）=0
D ．函数f （x ）的单调减区间为（﹣∞，0] 【答案】C
【解析】由题意可知24a =，2a =，所以()2
f x x =，所以()11f -=，A 对，x ∈[﹣1，2]时，函数f
（x ）的值域是[0，4]，B 对．在（﹣∞，0]上单调递减，D 对，偶函数，C 错，选C ． 【例10】【2018山东济宁微山县二中高三上学期第一次月考】下列命题正确的是（） A ．
的图像是一条直线B ．幂函数的图像都经过点
C ．若幂函数是奇函数，则
是增函数D ．幂函数的图像不可能出现在第四象限
【答案】D
【解析】对于，函数的图象是一条直线除去点，故错误；对于，幂函数的图象都经过
点，当指数大于时，都经过点，当指数小于时，不经过点，故错误；对于，若幂函数是奇函数，且
时，
是定义域上的增函数，
时，
在
及
上均为减函数，
故错误；由幂函数的性质，幂函数的图象一定过第一象限，不可能出现在第四象限，正确，故选D ． 【方法点睛】本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查幂函数的单调性、幂函数的奇偶性、
幂函数的图象与性质，属于难题．这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题． 【例11】【2017河南濮阳模拟】当时，下列函数中图象全在直线
下方的增函数是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】因对任意
，都有
，故当
时，函数的图象全在直线
下方的函数有
和
，而函数
是单调递增函数，
函数
是单调递减函数，所以应选答案A ．
【例12】【2017河南息县一中高三下学期第三次阶段测试】若集合
()1
3
{|},{|ln 1}A y y x B x y x ====-，则A B ⋂=（）
A ．[
)1,+∞ B ．()0,1 C ．()1,+∞ D ．(),1-∞ 【答案】
C
【跟踪练习】
1．设函数2
,0(),0
x x f x x x -≤⎧=⎨>⎩，若()f α=4，则实数α= A ．-4或-2 B ．-4或2 C ．-2或4 D ．-2或2 【答案】B
【解析】∵()f α=4 ∴0
4αα≤⎧⎨-=⎩或204
αα>⎧⎨=⎩，解得α=－4或α=2，故选B ．
2．已知函数32
,
2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩
，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范
围是________． 【答案】（0，1）
1
2 3．若31
)1(-+a <31
)23(--a ，则实数a 的取值范围是_____________． 【答案】)2
3,32()1,(⋃--∞ 【解析】不等式(a ＋1)
1
3－<(3－2a )13－等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ．
解得a <－1或23<a <32． 4．已知幂函数()()22421m m f x m x
-+=-在()0,+∞上单调递增，函数()2x
g x k =-． （1）求m 的值； （2）当[]1,2x ∈时，记()(),f x g x 的值域分别为集合,A B ，若A
B A =，求实数k 的取值范围．
【答案】（1）0m =（2）[]0,1 【解析】（1）由幂函数的定义可得()211m -=，解出m 的值，注意验证（2）当[]1,2x ∈时，()(),f x g x 单调递增，易得()(),f x g x 的值域,A B ，由A
B A =即B A ⊆可求实数k 的取值范围． 试题解析：（1）依题意得：()211m -=，解得0m =或2m =．
当2m =时，()2
f x x -=在()0,+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去．∴0m =． （2）由（1）可知()2
f x x =，当[]1,2x ∈时，()(),f x
g x 单调递增，∴[][]1,2,2,4A B k k ==--，∵A
B A =，∴B A ⊆，∴210144k k k -≥⎧⇒≤≤⎨-≤⎩．故实数k 的取值范围是[]0,1．。