1.3 环上的测度

1.3 环上的测度
设X 是某个取定的集，也称为基本空间。

以X 的某些子集为元素所成的集称为X 上的集类，或简称为类。

集类用黑体英文字母表示，例如E,F,M 等。

设E 是X 上的某个集类，M 是E 的某个子集，集类{}M A M
A =∈ E E .
1.3.1 环、σ-环、代数、σ
-代数
定义1.3.1 设X 是基本空间，R 是X 上的集类，若对12,E E ∀∈R ，有
1212,
E E E E ∈-∈ R R , (1.3.1)
则称R 是X 上的环. 若还有X ∈R ，则称R 是X 上的代数，或域。

注 由定义1.3.1可知：环是对集的“ ”和“-”运算封闭的非空集，而代数是对“余”运算也封闭的环。

※
定义1.3.2 设X 是基本空间，S 是X 上的集类，若对任意一列集(1,2,)i E i ∈= S ，有
121
,
i
i E
E E ∞
=∈-∈ S S , (1.3.2)
则称S 是X 上的σ-环，若还有X ∈S ，则称S 是X 上的σ-代数，或σ-域。

注 由定义1.3.2可知：σ-环是对集的“可列并”和“-”运算封闭的非空集; 而σ-代数是对“余”运算也封闭的σ-环。

例1.3.1 设X 是任意集，X 的有限子集（包括∅）全体所成的集类R 是X 上的一个环；当X ∈R 时，R 是X 上的一个代数。

例 1.3.2 设1R 是实数全体，0R 是由1R 中的有限个左开右闭的有限区间的并集
1
(,]n
i
i i E a
b ==
全体所成的集类，则0R 是1
R 上的一个环.
注 由1
R 中的有限个左闭右开的有限区间的并集1
[,)n
i
i
i E a b == 全体所成的集类也是1
R
上
的一个环。

但由1R 中的有限个有限开区间（或闭区间）的并集全体所成的集类不是1R 上的环。

因为两个开区间的差集可以不再是开区间（对闭区间的情况也是如此）.
例1.3.3 设1R 是实数全体，1R 是由1R 中的有限个有限区间（无论是开区间、闭区间、还
是半开半闭区间）的并集1
,n
i i i E a b ==
全体所成的集类，则1R 是1
R 上的一个环.
例1.3.4 设X 是任意无限集，X 的有限子集（包括∅）及可列子集全体所成的集类S 是X 上的一个σ-环；当X ∈S 时，S 是X 上的一个σ-代数.
例1.3.5 设X 是任意集，X 的所有子集全体所成的集类=2X S 是X 上的一个σ-代数.
定理1.3.1（环的性质） 设X 是非空集，R 是X 上的环，则
(1) ∅∈R ；
(2) 若12,E E ∈R ，则12E E ∈ R ；
(3) 若(1,2,,)i E i n ∈= R ，则
1
n
i
i E
=∈ R ；
(4) X 上任意个环（或代数）的交集仍是X 上的环 (或代数).
定理1.3.2（σ-环的性质） 设X 是非空集，S 是X 上的σ-环，则
(1) ∅∈S ，且S 是X 上的环;
(2) 若(1,2,)i E i ∈= S , 则
1
i
i E
∞
=∈ S ;
(3) 若(1,2,)i E i ∈= S , 则 lim ,
lim n n n n E E →∞
→∞
∈∈S S ; (自习)
(4) X 上任意个σ-环（或σ-代数）的交集仍是X 上的σ-环(或σ-代数).
定理1.3.3 设E 是由集X 的某些子集所构成的集类，则必存在惟一的环（或代数）R ，使得
(1) ⊂E R ;
(2) 若 R 是包含E 的环（或代数），则⊂ R R
.
注1 定理1.3.3中的环（或代数）R 是包含E 的最小的环（或代数），称之为由集E 所张成的环（或代数）。

由E 所张成的环（或代数）一般用()R E （或()F E ）表示.
注2 若E 是X 上的非空集类，()R E 就是由E 中任意取有限个元素12,,,n E E E ，经过有限次“ ”，“ ”，“-”运算后所得集的全体。

若X ∈E ，则()=()R E F E . ※
定理1.3.4 设E 是由集X 的某些子集所构成的集类，则必存在惟一的σ-环（或σ-代数）S ，使得
(1) ⊂E S ;
(2) 若 S 是包含E 的环（或代数），则⊂ S S
.
注1 定理1.3.4中的σ-环（或σ-代数）S 是包含E 的最小的σ-环（或σ-代数），
称之为由集E 所张成的σ-环（或σ-代数）.
由E 所张成的σ-环（或σ-代数）一般用()S E （或()F E ）表示.
注 2 若E 是X 上的非空集类，不能简单地认为()S E 就是由E 中任意取一列集{}n E ，经过一系列“ ”，“ ”，“-”运算后所得集的全体。

一般地，对一列集{}n E ，中间插入上述运算符号，依次运算所得的集的序列不一定有极限；即使有极限，将这些极限集的全体拿来也只是()S E 中的一小部分。

所以()S E 的结构远比()R E 复杂.
推论 ()=(())S E S R E . 证明：（自证！）
1.3.2 测度的基本概念
定义1.3.3 记1ˆ={,}[,]-∞+∞=-∞+∞R R ，E 是一个集类。

设ˆ:μ→R
E 是E 到ˆR 的映射，则称μ是集函数 (Set function )。

注 由定义1.3.3知：集函数μ是以集为“自变元”，取值是实数或±∞的函数。

定义1.3.4 设X 是基本空间，R 是X 上的环，μ是R 上的集函数，若μ满足下列性质：
(1) ()0μ∅=； (2) 非负性：对,
()0E E μ∀∈≥R ；
(3) 可列可加性：若对任意一列(1,2,)i E i ∈= R ，当()i j E E i j =∅≠ 且
1
i
i E
∞
=∈ R 时，必有
1
1()i i
i i E E μμ∞∞
==⎛⎫= ⎪⎝⎭
∑ (1.3.3)
则称集函数μ为环R 上的测度，称()E μ为集E 的测度.
性质 设X 是基本空间，R 是X 上的环，μ是R 上的测度，则
(1) 有限可加性：对任意一列(1,2,,)i E i n ∈= R ，若()i j E E i j =∅≠ ，则
1
1()n n
i i
i i E E μμ==⎛⎫= ⎪⎝⎭
∑ ； (1.3.4)
(2) 单调性：若12,E E ∈R ，且12E E ⊂，则12()()E E μμ≤； (3) 可减性：若12,E E ∈R ，且12E E ⊂，1()E μ<∞，则
2121()()()E E E E μμμ-=-； (1.3.5)
(4) 次可列可加性：对任意一列(1,2,)i E i ∈= R 及E ∈R ，若1
i
i E E ∞
=⊂
则
1
1()i i
i i E E
μμ∞∞
==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
∑ ； (1.3.6)
例1.3.6 设X 是任意集，R 是由X 的有限子集（包括∅）全体所成的环；在R 上定义集函数μ如下：
()E E μ=中元素的个数 ()E ∈R ，
则μ是环R 上的测度.
例 1.3.7 设R 是1R 的所有子集全体所成的环（实际上是σ-代数），对于E ∈R ，在R 上定义集函数μ如下：
()E E μ=中元素的个数（若E 中有无限个点，则()E μ=∞）,
则μ是环R 上的测度.。