高考文科数学二轮复习专题突破练习选择题、填空题的解法

专题突破练1 选择题、填空题的解法
一、选择题
1.方程ax 2+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是 ( )
A.0<a ≤1
B.a<1
C.a ≤1
D.0<a ≤1或a<0
2.(2019北京海淀区高三一模,理6)已知复数z=a+i(a ∈R ),则下面结论正确的是( ) A.z =-a+i B.|z|≥1
C.z 一定不是纯虚数
D.在复平面上,z 对应的点可能在第三象限
3.(2019河北衡水中学高三三模,文6)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=1,且其夹角为θ,则“|a -b |>1”是“θ∈
π3
,π”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.设f (x )=ln x ,0<a<b ,若p=f (√ab ),q=f (a+b 2),r=1
2
[f (a )+f (b )],则下列关系式中正确的是( )
A .q=r<p
B .q=r>p
C .p=r<q
D .p=r>q
5.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a ,b ,c 成等差数列,则cosA+cosC
1+cosAcosC 等于( )
A.35
B.45
C.34
D.43
6.(2019河南洛阳一中高三模拟,文6)当x ∈[0,1]时,下列关于函数y=(mx-1)2的图象与y=√x +m 的图象的交点的个数说法正确的是( ) A.当m ∈[0,1]时,有两个交点 B.当m ∈(1,2]时,没有交点 C.当m ∈(2,3]时,有且只有一个交点 D.当m ∈(3,+∞)时,有两个交点
7.(2019安徽滁州一中高三模拟,文10)已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点.点A 在抛物线上,若点P 是抛物线准线上的动点,O 为坐标原点,且|AF|=5,则|PA|+|PO|的最小值为( ) A.√5 B.√13 C.2√5
D.2√13
8.设函数f (x )={3x -1,x <1,
2x ,x ≥1,
则满足f (f (a ))=2f (a )的a 的取值范围是( )
A .[2
,1]
B .[0,1]
C .[23
,+∞)
D .[1,+∞)
9.(2019天津高三二模,文7)已知四面体ABCD 的四个面都为直角三角形,且AB ⊥平面BCD ,AB=BD=CD=2.若该四面体的四个顶点都在球O 的表面上,则球O 的表面积为( ) A.3π B.2√3π C.4√3π D.12π
10.(2019山西高三二模,文12)已知函数f (x )=
xlnx+a
x+1
只有一个零点,则a 的取值范围为( )
A.-1e
,0
B.-1
e ,0 C.(-∞,0]∪{1
e }
D.(-∞,0)∪{1e }
二、填空题
11.设a>b>1,则log a b ,log b a ,log ab b 的大小关系是 .(用“<”连接)
12.(2019河北邯郸一中高三二模,文14)已知直线l 过点(1,1),过点P (-1,3)作直线m ⊥l ,垂足为M ,则点M 到点Q (2,4)距离的取值范围为 .
13.已知函数f (x )是定义在R 上的可导函数,其导函数记为f'(x ),若对于∀x ∈R ,有f (x )>f'(x ),且y=f (x )-1是奇函数,则不等式f (x )<e x 的解集为 .
14.(2019江苏无锡高三期末)已知直线y=k (x+2)(k>0)与函数y=|cos x|的图象恰有四个公共点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),D (x 4,y 4)(其中x 1<x 2<x 3<x 4),则x 4+
1
tan x 4
= .
15.设函数g (x )=x 2-2(x ∈R ),f (x )={g (x )+x +4,x <g (x ),
g (x )-x ,x ≥g (x ),
则f (x )的值域为 .
16.(2019山西晋城高三三模,文16)记数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =3a n +2n-3,则数列{a n }的通项公式为a n =.
参考答案
专题突破练1 选择题、填空题的解法
1.C 解析 当a=0时,x=-1
2,符合题意,排除A,D;当a=1时,x=-1,符合题意,排除B .故选C . 2.B 解析 z=a+i 的共轭复数为z =a-i,所以A 错误;|z|=√a 2+1≥1,所以B 正确;当a=0时,z 是纯虚数,所以C 错误;复数z 对应的点为(a ,1),因为纵坐标y=1,所以不可能在第三象限,D 也错误.故选B.
3.C 解析 ∵|a |=|b |=1,且其夹角为θ,(1)由|a -b |>1得,(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=1-2cos θ+1>1,∴cos θ<1
2
.又0≤θ≤π,∴π3
<θ≤π.即θ∈
π3
,π.
故|a -b |>1是θ∈
π3
,π的充分条件.
(2)由θ∈
π
3
,π得cos θ<1
2,∴1-2cos θ+1>1,∴a 2-2a ·b +b 2=(a -b )2>1,∴|a -b |>1.故|a -b |>1是θ∈
π
3
,π的必要条件.
综上得,“|a -b |>1”是“θ∈
π
3
,π”的充分必要条件.故选C.
4.C 解析 f (x )=ln x 是增函数,根据条件不妨取a=1,b=e,则p=f (√e )=ln √e =
12,q=f (1+e 2)>f (√e )=12,r=12·[f (1)+f (e)]=1
2
.在这种特例情况下满足p=r<q ,所以选C .
5.B 解析 (法一)由题意可取特殊值a=3,b=4,c=5,则cos A=45,cos C=0,cosA+cosC 1+cosAcosC =4
5.故选B .
(法二)由题意可取特殊角A=B=C=60°,cos A=cos C=1
2,cosA+cosC
1+cosAcosC =4
5.故选B .
6.B 解析 设f (x )=(mx-1)2,g (x )=√x +m ,其中x ∈[0,1].
A.若m=0,则f(x)=1与g(x)=√x在[0,1]上只有一个交点(1,1),故A错误;
B.当m∈(1,2]时,∵1
2≤1
m
<1,∴f(x)≤f(0)=1,g(x)≥g(0)=√m>1,
∴f(x)<g(x).
即当m∈(1,2]时,函数y=(mx-1)2的图象与y=√x+m的图象在x∈[0,1]无交点,故B正确;
C.当m∈(2,3]时,∵1
3≤1
m
<1
2
,
∴f(x)≤f(1)=(m-1)2,g(x)≤g(1)=√1+m,
当√1+m>(m-1)2时f(x)<g(x),此时无交点,即C不一定正确.
D.当m∈(3,+∞)时,g(0)=√m>1,此时f(1)>g(1),此时两个函数图象只有一个交点,故D错误.故选B.
7.D解析∵|AF|=5,∴点A到准线的距离为5,由抛物线焦半径公式可知:点A的横坐标为4.又点A在抛物线上,∴点A的坐标为(4,±4).∵坐标原点关于准线对称点的坐标为B(-2,0),∴
|PA|+|PO|=|PA|+|PB|≥|AB|=√(-2-4)2+(0±4)2=2√13.故选D.
8.C解析当a=2时,f(a)=f(2)=22=4>1,f(f(a))=2f(a),∴a=2满足题意,排除A,B选项;当a=2
3
时,f(a)=f(2
3)=3×2
3
-1=1,f(f(a))=2f(a),∴a=2
3
满足题意,排除D选项,故答案为C.
9.D解析∵BD=CD=2且△BCD为直角三角形,∴BD⊥CD.又AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,∴CD⊥AB.∴CD⊥平面ABD.由此可将四面体ABCD放入边长为2的正方体中,如图所示.
∴正方体的外接球即为该四面体的外接球O,正方体外接球半径为体对角线的一半,即R=1
2
·
√22+22+22=√3,∴球O的表面积为S=4πR2=12π,故选D.
10.C 解析 ∵f (x )=
xlnx+a
x+1
只有一个零点,∴x ln x+a=0只有一解,即a=-x ln x 只有一解.设g (x )=-x ln
x (x>0),则g'(x )=-ln x-1=-(ln x+1),当0<x<1
e 时,g'(x )>0,当x>1
e 时,g'(x )<0,∴g (x )在0,1
e 上单调递增,在
1
e
,+∞上单调递减.故当x=1
e 时,g (x )取得最大值g
1e
=1
e ,且当x →0时,g (x )→0,当x →+∞
时,g (x )→-∞.∵a=g (x )只有一解,∴a ≤0或a=1
e
.故选C.
11.log ab b<log a b<log b a 解析 考虑到两个数的大小关系是确定的,不妨令a=4,b=2,则log a b=1
2,log b a=2,log ab b=1
3,显然1
3<1
2<2,∴log ab b<log a b<log b a. 12.[√2,3√2] 解析
直线l 过定点设为A ,则有A (1,1),设M (x ,y ),因为直线m ⊥l ,则MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(-1-x ,3-y )·(1-x ,1-y )=0,化简为:x 2+(y-2)2=2,所以点M 的轨迹为以C (0,2)为圆心,√2为半径的圆.∵|CQ|=√22+22=2√2,∴|CQ|-√2≤|MQ|≤|CQ|+√2,即√2≤|MQ|≤3√2.故答案为[√2,3√2]. 13.(0,+∞) 解析 由题意令
g (x )=f (x )
e x ,则
g'(x )=
f '(x )e x -(e x )'f (x )
(e x )2
=
f '(x )-f (x )
e x
, ∵f (x )>f'(x ),∴g'(x )<0,
故函数g (x )=f (x )
e x 在R 上单调递减.
∵y=f (x )-1是奇函数,
∴f (0)-1=0,即f (0)=1,g (0)=1,则不等式f (x )<e x 等价为f (x )
e x <1=g (0),即g (x )<g (0),解得x>0.
14.-2 解析 直线y=k (x+2)过定点(-2,0),如图所示.
由图可知,直线与余弦函数图象在x 4处相切,且x 4∈π2
,π,即k (x 4+2)=-cos x 4,所以k=
-cos x 4
x 4+2
.又y'=(-cos x )'=sin x ,即直线的斜率为k=sin x 4,因此k=-cos x 4x 4+2=sin x 4,即cos x 4
sin x 4
=-x 4-2,所以x 4+1tan x 4
=x 4+cos x
4sin x 4
=x 4-x 4-2=-2.
15.[-9
4
,0]∪(2,+∞) 解析 由x<g (x ),得x<x 2-2,
∴x<-1或x>2;
由x ≥g (x ),得x ≥x 2-2,
∴-1≤x ≤2.
∴f (x )={x 2+x +2,x <-1或x >2,
x 2-x -2,-1≤x ≤2,
即f (x )=
{
(x +12)2+74,x <-1或x >2,
(x -1)2-9,-1≤x ≤2.
当x<-1时,f (x )>2;当x>2时,f (x )>8.
∴当x ∈(-∞,-1)∪(2,+∞)时,函数的值域为(2,+∞).
当-1≤x ≤2时,-9
4≤f (x )≤0.
∴当x ∈[-1,2]时,函数的值域为[-9
4,0].综上可知,f (x )的值域为[-9
4,0]∪(2,+∞).
16.2-(3
2)
n
解析当n=1时,S1=a1=3a1-1,解得a1=1
2
;当n≥2时,S n=3a n+2n-3,S n-1=3a n-1+2n-5,两式
相减可得a n=3a n-3a n-1+2,故a n=3
2a n-1-1.设a n+λ=3
2
(a n-1+λ),故λ=-2,即a n-2=3
2
(a n-1-2),故a n-2
a n-1-2
=3
2
.故
数列{a n-2}是以-3
2为首项,3
2
为公比的等比数列,故a n-2=-3
2
·(3
2
)
n-1
.故a n=2-(3
2
)
n
.。