八年级数学上册全册全套试卷达标检测卷(Word版 含解析)(1)

八年级数学上册全册全套试卷达标检测卷（Word版含解析）(1)
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）
1．如图1，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D是BC边的中点连接AD，则易证AD＝
BD＝CD，即AD＝1
2
BC；如图2，若将题中AB＝AC这个条件删去，此时AD仍然等于
1
2
BC．
理由如下：延长AD到H，使得AH＝2AD，连接CH，先证得△ABD≌△CHD，此时若能证得△ABC≌△CHA，
即可证得AH＝BC，此时AD＝1
2
BC，由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用
的方法．
（1）请你先证明△ABC≌△CHA，并用一句话总结题中的结论；
（2）现将图1中△ABC折叠（如图3），点A与点D重合，折痕为EF，此时不难看出
△BDE和△CDF都是等腰直角三角形．BE＝DE，CF＝DF．由勾股定理可知DE2+DF2＝EF2，因此BE2+CF2＝EF2，若图2中△ABC也进行这样的折叠（如图4），此时线段BE、CF、EF还有这样的关系式吗？若有，请证明；若没有，请举反例．
（3）在（2）的条件下，将图3中的△DEF绕着点D旋转（如图5），射线DE、DF分别交AB、AC于点E、F，此时（2）中结论还成立吗？请说明理由．图4中的△DEF也这样旋转（如图6），直接写出上面的关系式是否成立．
【答案】（1）详见解析；（2）有这样分关系式；（3）EF2＝BE2+CF2.
【解析】
【分析】
（1）想办法证明AB∥CH，推出∠BAC＝∠ACH，再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可．（2）有这样分关系式．如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．证明△EDB≌△HD （SAS），推出∠B＝∠HCD，BE＝CH，∠FCH＝90°，利用勾股定理，线段的垂直平分线的性质即可解决问题．
（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．
【详解】
（1）证明：如图2中，
∵BD＝DC，∠ADB＝∠HDC，AD＝HD，∴△ADB≌△HDC（SAS），
∴∠B＝∠HCD，AB＝CH，
∴AB∥CH，
∴∠BAC+∠ACH＝180°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACH＝∠BAC＝90°，
∵AC＝CA，
∴△BAC≌△HCA（SAS），
∴AH＝BC，
∴AD＝DH＝BD＝DC，
∴AD＝1
2 BC．
结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（2）解：有这样分关系式．
理由：如图4中，延长ED到H山顶DH＝DE．
∵ED＝DH，∠EDB＝∠HDC，DB＝DC，
∴△EDB≌△HDC（SAS），
∴∠B＝∠HCD，BE＝CH，
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠HCD＝90°，
∴∠FCH＝90°，
∴FH2＝CF2+CH2，
∵DF⊥EH，ED＝DH，
∴EF＝FH，
∴EF2＝BE2+CF2．
（3）图5，图6中，上面的关系式仍然成立．结论：EF2＝BE2+CF2．
证明方法类似（2）．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2．已知：在ABC
∆中，,90
AB AC BAC
=∠=︒，PQ为过点A的一条直线，分别过
B C
、两点作,
BM PQ CN PQ
⊥⊥，垂足分别为M N
、.
（1）如图①所示，当PQ与BC边有交点时，求证：MN CN BM
=-；
（2）如图②所示，当PQ与BC边不相交时，请写出线段BM CN
、和MN之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）MN BM CN
=+（或BM MN CN
=-或
CN MN BM
=-），理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件先证AMB CNA
≌
∆∆，得到,
AM CN BM AN
==，即可证得
MN CN BM
=-；（2）由（1）知AMB CNA
≌
∆∆，得到,
AM CN BM AN
==，即可确定MN BM CN
=+.
【详解】
证明：∵,
BM PQ CN PQ
⊥⊥，
∴∠AMB=∠CAN=90︒,
∵∠BAC=90︒，
∴∠CAN+∠ACN=90︒，
∠CAN+∠BAM=90︒（或CAN ACN CAN BAM
∠+∠=∠+∠）
∴BAM ACN
∠=∠，
在AMB
∆和CNA
∆中，
∵
AMB CNA
BAM ACN
AB CA
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴()
AMB CNA AAS
≌
∆∆，
∴,
AM CN BM AN
==，
∵MN AM AN
=-，
∴MN CN BM
=-.
（2）MN BM CN
=+（或BM MN CN
=-或CN MN BM
=-）.
理由：∵,
BM PQ CN PQ
⊥⊥，
∴∠AMB=∠CAN=90︒,
∵∠BAC=90︒，
∴∠CAN+∠ACN=90︒，
∠CAN+∠BAM=90︒（或CAN ACN CAN BAM
∠+∠=∠+∠）,
∴BAM ACN
∠=∠，
在AMB
∆和CNA
∆中，
∵
AMB CNA
BAM ACN
AB CA
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴()
AMB CNA AAS
≌
∆∆，
∴,
AM CN BM AN
==，
∴MN AN AM BM CN
=+=+.
【点睛】
此题考察三角形全等的应用，正确确定全等三角形是解题关键，由此得到对应相等的线段，确定它们之间的和差关系得到BM CN
、和MN之间的关系式.
3．如图，ABC
∆是等腰直角三角形，0
90
BAC
∠=，点D是直线BC上的一个动点（点D与点B C
、不重合），以AD为腰作等腰直角ADE
∆，连接CE.
（1）如图①，当点D在线段BC上时，直接写出,
BC CE的位置关系，线段,
BC CD，CE之间的数量关系；
（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上时，试判断线段BC，CE的位置关系，线段,,
BC CD CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，当点D在线段CB的延长线上时，试判断线段,
BC CE的位置关系，线段,,
BC CD CE之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）BC CE
⊥，CE BC CD
=+，理由见解析；（3）,
BC CE CD BC CE
⊥=+，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据条件AB=AC ，∠BAC=90°，AD=AE ，∠DAE=90°，判定△ABD ≌△ACE （SAS ），利用两角的和即可得出BC CE ⊥；利用线段的和差即可得出BC CE CD =+；
（2）同（1）的方法根据SAS 证明△ABD ≌△ACE ，得出BD=CE ，∠ACE=∠ABD ，从而得出结论；
（3）先根据SAS 证明△ABD ≌△ACE ，得出ADB AEC ∠=∠，BD CE =，从而得出结论．
【详解】
（1）∵△ABC 、△ADE 是等腰直角三角形，
∴AB＝AC ，AE ＝AD ，
在△△ABD 和△ACE 中
90AB AC BAC DAE AD AE ⎧⎪∠∠=︒⎨⎪⎩
＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ），
∴∠B ＝∠ACE ，BD=CE,
又∵△ABC 是等腰直角三角形，
∴∠B+∠ACB=90︒,
∴∠ACE +∠ACB=90︒,即BC CE ⊥，
∵BC=BD+CD, BD=CE ，
∴BC CE CD =+；
（2）BC CE ⊥，CE BC CD =+，理由如下：
∵ABC ∆、ADE ∆是等腰直角三角形，
∴0
,,90AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠=，
∴BAC DAC DAE DAC ∠+∠=∠+∠
即BAD CAE ∠=∠,
在ABD ∆和ACE ∆中 AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩
＝＝ ∴()ABD ACE SAS ∆≅∆
∴BD CE =
∵BD BC CD =+
∴CE BC CD =+，
∴ABD ACE ∠=∠，
∵090ABD ACE ∠+∠=
∴090ACE ACB ∠+∠=
∴BC CE ⊥.
（3）,BC CE CD BC CE ⊥=+，理由如下：
∵ABC ADE ∆∆、是等腰直角三角形，
∴0
,,90AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠=，
∴BAC BAE DAE BAE ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠，
在ABD ∆和ACE ∆中 AB AC BAD CAE AD AE ⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩
＝＝ ∴()ABD ACE SAS ∆≅∆，
∴ADB AEC ∠=∠，BD CE =，
∵CD BD BC =+，
∴CD CE BC =+，
∵090ADE AED ∠+∠=，即090ADB CDE AED ∠+∠+∠=
∴090AEC CDE AED ∠+∠+∠=，
∴090DCE ∠=，即BC CE ⊥.
【点睛】
考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解题关键是根据利用两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等判定三角形全等．
4．已知点P 是线段MN 上一动点，分别以PM ，PN 为一边，在MN 的同侧作△APM ，△BPN ，并连接BM ，AN ．
（Ⅰ）如图1，当PM ＝AP ，PN ＝BP 且∠APM ＝∠BPN ＝90°时，试猜想BM ，AN 之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；
（Ⅱ）如图2，当△APM ，△BPN 都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM ，AN 之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB 得到图3，当PN ＝2PM 时，求∠PAB 度数．
【答案】（1）BM ＝AN ，BM ⊥AN ．（2）结论成立.（3）90°．
【解析】
【分析】
(1)根据已知条件可证△MBP≌△ANP，得出MB＝AN，∠PAN＝∠PMB，再延长MB交
∠=︒,因此有BM⊥AN；
AN于点C，得出MCN90
(2)根据所给条件可证△MPB≌△APN，得出结论BM＝AN；
(3)取PB的中点C，连接AC，AB，通过已知条件推出△APC为等边三角形，∠PAC＝∠PCA＝60°，再由CA＝CB，进一步得出∠PAB的度数.
【详解】
解：（Ⅰ）结论：BM＝AN，BM⊥AN．
理由：如图1中，
∵MP＝AP，∠APM＝∠BPN＝90°，PB＝PN，
∴△MBP≌△ANP（SAS），
∴MB＝AN．
延长MB交AN于点C．
∵△MBP≌△ANP，
∴∠PAN＝∠PMB，
∵∠PAN+∠PNA＝90°，
∴∠PMB+∠PNA＝90°，
∴∠MCN＝180°﹣∠PMB﹣∠PNA＝90°，
∴BM⊥AN．
（Ⅱ）结论成立
理由：如图2中，
∵△APM，△BPN，都是等边三角形
∴∠APM＝∠BPN＝60°
∴∠MPB＝∠APN＝120°，
又∵PM＝PA，PB＝PN，
∴△MPB ≌△APN （SAS ）
∴MB ＝AN ．
（Ⅲ）如图3中，取PB 的中点C ，连接AC ，AB ．
∵△APM ，△PBN 都是等边三角形
∴∠APM ＝∠BPN ＝60°，PB ＝PN
∵点C 是PB 的中点，且PN ＝2PM ，
∴2PC ＝2PA ＝2PM ＝PB ＝PN ，
∵∠APC ＝60°，
∴△APC 为等边三角形，
∴∠PAC ＝∠PCA ＝60°，
又∵CA ＝CB ，
∴∠CAB ＝∠ABC ＝30°，
∴∠PAB ＝∠PAC +∠CAB ＝90°．
【点睛】
本题是一道关于全等三角形的综合性题目，充分考查了学生对全等三角形的判定定理及其性质的应用的能力，此类题目常常需要数形结合，借助辅助线才得以解决，因此，作出合理正确的辅助线是解题的关键.
5．综合与实践：
我们知道“两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等”.但是，乐乐发现：当这两个三角形都是锐角三角形时，它们会全等.
（1）请你用所学知识判断乐乐说法的正确性.
如图，已知ABC ∆、111A B C ∆均为锐角三角形，且11AB A B =，11BC B C =，1C C ∠=∠. 求证：111ABC A B C ∆∆≌.
（2）除乐乐的发现之外，当这两个三角形都是______时，它们也会全等.
【答案】（1）见解析；（2）钝角三角形或直角三角形.
【解析】
【分析】
（1）过B 作BD ⊥AC 于D ，过B 1作B 1D 1⊥B 1C 1于D 1，得出
∠BDA=∠B 1D 1A 1=∠BDC=∠B 1D 1C 1=90°，根据SAS 证△BDC ≌△B 1D 1C 1，推出
BD=B 1D 1，根据HL 证Rt △BDA ≌Rt △B 1D 1A 1，推出∠A=∠A 1，根据AAS 推出
△ABC ≌△A 1B 1C 1即可．
（2）当这两个三角形都是直角三角形时，直接利用HL 即可证明；当这两个三角形都是钝角三角形时，与（1）同理可证.
【详解】
（1）证明：过点B 作BD AC ⊥于D ，过1B 作1111B D A C ⊥于1D ，
则11111190BDA B D A BDC B D C ∠=∠=∠=∠=︒.
在BDC ∆和111B D C ∆中，
1C C ∠=∠，111BDC B D C ∠=∠，11BC B C =，
∴111BDC B D C ∆∆≌，
∴11BD B D =.
在Rt BDA ∆和111Rt B D A ∆中，
11AB A B =，11BD B D =，
∴111Rt Rt (HL)BDA B D A ∆∆≌，
∴1A A ∠=∠.
在ABC ∆和111A B C ∆中，
1C C ∠=∠，1A A ∠=∠，11AB A B =，
∴111(AAS)ABC A B C ∆∆≌.
（2）如图，当这两个三角形都是直角三角形时，
∵11AB A B =，11BC B C =，190C C ∠==∠︒.
∴Rt ABC ∆≌111Rt A B C ∆（HL ）；
∴当这两个三角形都是直角三角形时，它们也会全等；
如图，当这两个三角形都是钝角三角形时，作BD ⊥AC ，1111B D A C ⊥，
与（1）同理，利用AAS 先证明111BDC B D C ∆∆≌，得到11BD B D =，
再利用HL 证明111Rt Rt BDA B D A ∆∆≌，得到1A A ∠=∠，
再利用AAS 证明111ABC A B C ∆∆≌；
∴当这两个三角形都是钝角三角形时，它们也会全等；
故答案为：钝角三角形或直角三角形.
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．解题的关键是熟练掌握证明三角形全等的方法.
二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）
6．如图，在△ABC 中，AB=BC=AC=20 cm ．动点P ，Q 分别从A ，B 两点同时出发，沿三角形的边匀速运动．已知点P ，点Q 的速度都是2 cm/s ，当点P 第一次到达B 点时，P ，Q 两点同时停止运动．设点P 的运动时间为t （s ）．
（1）∠A=______度；
（2）当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，求t 的值； （3）当△APQ 为等边三角形时，直接写出t 的值．
【答案】（1）60；（2）
103或203
；（3）5或20 【解析】
【分析】
(1)根据等边三角形的性质即可解答；
（2）需分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况进行解答；
（3）需分以下两种情况进行解答：①由∠A=60°，则当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形；②当P 于B 重合，Q 与C 重合时，△APQ 为等边三角形.
【详解】
解：（1）60°． （2）∵∠A=60°，
当∠APQ=90°时，∠AQP=90°－60°=30°． ∴QA=2PA ． 即2022 2.t t -=⨯ 解得 10
.3
t =
当∠AQP=90°时，∠APQ=90°－60°=30°． ∴PA=2QA ． 即2(202)2.t t -= 解得 20.3
t =
∴当0＜t ＜10，且△APQ 为直角三角形时，t 的值为102033
或． （3）①由题意得：AP=2t ，AQ=20-2t ∵∠A=60°
∴当AQ=AP 时，△APQ 为等边三角形 ∴2t=20-2t ，解得t=5
②当P 于B 重合，Q 与C 重合，则所用时间为：4÷2=20 综上，当△APQ 为等边三角形时，t=5或20． 【点睛】
本题考查了等边三角形和直角三角形的判定以及动点问题，解答的关键在于正确的分类讨论以及对所学知识的灵活应用.
7．如图，在等边△ABC 中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边在CD 的下方作等边△CDE ，连结BE ． （1）求∠CAM 的度数；
（2）若点D 在线段AM 上时，求证：△ADC ≌△BEC ；
（3）当动D 在直线．．AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断∠AOB 是否为定值？并说明理由．
【答案】（1）30°；（2）答案见解析；（3）∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°． 【解析】 【分析】
（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；
（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，由等式的性质就可以∠BCE ＝∠ACD ，根据SAS 就可以得出△ADC ≌△BEC ；
（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知△ACD ≌△BCE ，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出△ACD ≌△BCE 而有∠CBE ＝∠CAD ＝30°而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出△ACD ≌△BCE 同样可以得出结论． 【详解】
（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°． ∵线段AM 为BC 边上的中线，∴∠CAM 1
2
=∠BAC ，∴∠CAM ＝∠BAM ＝30°． （2）∵△ABC 与△DEC 都是等边三角
形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD +∠DCB ＝∠DCB +∠BCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ．
在△ADC 和△BEC 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）；
（3）∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°．理由如下：
①当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知△ACD ≌△BCE ，则∠CBE ＝∠CAD ＝30°，又∠ABC ＝60°，∴∠CBE +∠ABC ＝60°+30°＝90°．
∵△ABC 是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线，∴AM 平分∠BAC ，即
11603022
BAM BAC ∠∠==⨯︒=︒，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．
②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2． ∵△ABC 与△DEC 都是等边三角
形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB +∠DCB ＝∠DCB +∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ．
在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ＝30°． 由（1）得：∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°． ③当点D 在线段MA 的延长线上时． ∵△ABC 与△DEC 都是等边三角
形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD +∠ACE ＝∠BCE +∠ACE ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ．
在△ACD和△BCE中，∵
AC BC
ACD BCE
CD CE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠CAD．
由（1）
得：∠CAM＝30°，∴∠CBE
＝∠CAD＝150°，∴∠CBO＝30°，∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．
综上所述：当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB＝60°．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
8．如图，在平面直角坐标系中，点B坐标为()
6,0
-，点A是y轴正半轴上一点，且10
AB=，点P是x轴上位于点B右侧的一个动点，设点P的坐标为()0
m,.
（1）点A的坐标为___________；
（2）当ABP
△是等腰三角形时，求P点的坐标；
（3）如图2，过点P作PE AB
⊥交线段AB于点E，连接OE，若点A关于直线OE的对称点为A'，当点A'恰好落在直线PE上时，BE=_____________.（直接写出答案）【答案】（1）()
0,8；（2）()
4,0或()
6,0或
7
,0
3
⎛⎫
⎪
⎝⎭
；（3）
42
5
【解析】
【分析】
（1）根据勾股定理可以求出AO 的长，则可得出A 的坐标； （2）分三种情况讨论等腰三角形的情况，得出点P 的坐标； （3）根据PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，得到EAG
OPG ，利用点A ，A '关于直线
OE 对称点，根据对称性，可证
'
OPG EAO ，可得'
8OP OA ，82AP
，
设BE x =，则有6AE x ，根据勾股定理，有：2222
2BP BE EP AP AE
解之即可． 【详解】
解：（1）∵点B 坐标为6,0，点A 是y 轴正半轴上一点，且10AB =，
∴ABO 是直角三角形，根据勾股定理有：
2
2
2
2
1068AO
AB BO ，
∴点A 的坐标为()0,8； （2）∵ABP △是等腰三角形， 当BP
AB 时，如图一所示：
∴106
4OP BP BO ，
∴P 点的坐标是()4,0； 当AP AB =时，如图二所示：
∴6OP BO
∴P 点的坐标是()6,0； 当AP BP =时，如图三所示：
设OP x =，则有6AP x
∴根据勾股定理有：222OP AO AP += 即：2
2
2
86
x x
解之得：73
x =
∴P 点的坐标是
7
,03
； （3）当ABP △是钝角三角形时，点A '不存在； 当ABP △是锐角三角形时，如图四示：
连接'OA ， ∵PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，
∴AEG △和GOP 是直角三角形，EGA
OGP
∴
EAG
OPG ，
∵点A ，A '关于直线OE 对称点， 根据对称性，有'
8OA OA ，'EA
EA
∴'
FAO FAO
，'
FAE FAE
∴'
EAG
EAO
则有：'
OPG EAO
∴
'
AOP 是等腰三角形，则有'8OP OA ，
∴2222
8882AP
AO OP ，
设BE x =，则有6AE x ，
根据勾股定理，有：
22
2
2
2BP BE EP AP AE
即：2
2
2
2
68
82
10
x x
解之得：42
5
BE x
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，涉及的知识点有：解方程，等腰三角形的判定与性质，对称等知识点，能分类讨论，熟练运用各性质定理，是解题的关键．
9．(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形，点B D E 、、在同一直线上，连接.CE
①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.
(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒,点
B D E 、、在同一直线上AF ，为ADE 中DE 边上的高，连接.CE ①求BE
C ∠的度数:
②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).
()3解决问题:如图3，
AB 和ADE 均为等腰三角形，BAC DAE n ∠=∠=,点
B D E 、、在同一直线上，连接CE .求AE
C ∠的度数(用含n 的代数式表示，直接写出结果即可).
【答案】（1）①证明见解析；②60°；（2）①90°；②BE =CE+2AF ；（3）∠AEC =90°+1
2
n ︒. 【解析】 【分析】
（1）根据等边三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE,依据其性质可得 BD CE =，再根据对应角相等求出BEC ∠的度数；
（2）根据等腰直角三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=90°，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出BEC ∠的度数；因为DE=2AF,BD=EC,结合线段的和差关系得出结论；
（3）根据等腰三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=n °，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出得出∠ADB=BEC ∠的度数,结合内角和用n 表示∠ADE 的度数，即可得出结论.
【详解】
（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形(如图1)，
∴ AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE.
∴△BAD≌△CAE（SAS）
∴ BD=CE.
②由△CAE≌△BAD，
∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°.
∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.
（2）①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形(如图2)，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE.
∴△BAD≌△CAE（SAS）.
∴ BD=CE，∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°.
∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°.
② BE=CE+2AF.
（3）如图3：∠AEC=90°+1
2
n ，理由如下，
∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=n°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE.
∴△BAD≌△CAE（SAS）.
∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=180°-
180
18090
22
n n
.
∴∠AEC=90°+1
2
n .
【点睛】
本题考查等边三角形、等腰直角三角形的性质及旋转型三角形全等，掌握全等常见模型及由特殊到一般找出解题规律是解答此题的关键.
10．已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别是直线AB，BC上的动点．
（1）如图1，当点P从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时从顶点B沿BC向C点运动，它们的速度都为lcm/s，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．
①当t＝2时，求∠AQP的度数．
②当t为何值时△PBQ是直角三角形？
（2）如图2，当点P在BA的延长线上，Q在BC上，若PQ＝PC，请判断AP，CQ和AC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①∠AQP＝30°；②当t＝4
3
秒或t＝
8
3
秒时，△PBQ为直角三角形；（2）
AC＝AP+CQ，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）①由△ABC是等边三角形知AQ⊥BC，∠B＝60°，从而得∠AQB＝90°，△BPQ是等边三角形，据此知∠BQP＝60°，继而得出答案；
②由题意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，再分∠PQB＝90°和∠BPQ＝90°两种情况分别求解可得．
（2）过点Q作QF∥AC，交AB于F，知△BQF是等边三角形，证∠QFP＝∠PAC＝120°、∠BPQ＝∠ACP，从而利用AAS可证△PQF≌△CPA，得AP＝QF，据此知AP＝BQ，根据BQ+CQ＝BC＝AC可得答案．
【详解】
解:（1）①根据题意得AP＝PB＝BQ＝CQ＝2，∵△ABC是等边三角形，
∴AQ⊥BC，∠B＝60°，
∴∠AQB＝90°，△BPQ是等边三角形，
∴∠BQP＝60°，
∴∠AQP＝∠AQB﹣∠BQP＝90°﹣60°＝30°；
②由题意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，
当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，得：4﹣t＝2t，解得t＝4
3
；
当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），解得t＝8
3
；
∴当t＝4
3秒或t＝
8
3
秒时，△PBQ为直角三角形；
（2）AC＝AP+CQ，理由如下：
如图所示，过点Q作QF∥AC，交AB于F，
则△BQF是等边三角形，
∴BQ＝QF，∠BQF＝∠BFQ＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC，∠BAC＝∠BFQ＝60°，
∴∠QFP＝∠PAC＝120°，
∵PQ＝PC，
∴∠QCP＝∠PQC，
∵∠QCP＝∠B+∠BPQ，∠PQC＝∠ACB+∠ACP，∠B＝∠ACB，∴∠BPQ＝∠ACP，
在△PQF和△CPA中，
∵BPQ ACP QFP PAC PQ PC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△PQF ≌△CPA （AAS ），
∴AP ＝QF ，
∴AP ＝BQ ，
∴BQ +CQ ＝BC ＝AC ，
∴AP +CQ ＝AC ．
【点睛】
考核知识点:等边三角形的判定和性质.利用全等三角形判定和性质分析问题是关键.
三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）
11．（1）你能求出（a ﹣1）（a 99+a 98+a 97+…+a 2+a +1）的值吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值．
（a ﹣1）（a +1）＝ ；
（a ﹣1）（a 2+a +1）＝ ；
（a ﹣1）（a 3+a 2+a +1）＝ ；…
由此我们可以得到：（a ﹣1）（a 99+a 98+…+a +1）＝ ．
（2）利用（1）的结论，完成下面的计算：
2199+2198+2197+…+22+2+1．
【答案】（1）21a -，31a -，41a -，1001a -（2）20021-
【解析】
【分析】
根据简单的多项式运算推出同类复杂多项式运算结果的一般规律，然后根据找出的规律进行解决较难的运算问题．
【详解】
解：（1）21a - 31a - 41a - 1001a -
（2）1991981972222221+++⋅⋅⋅++
=()21- ⨯（1991981972222221+++⋅⋅⋅++）
=20021-．
【点睛】
考查了学生的基础运算能力和对同一类运算问题计算结果的一般规律性洞察力．
12．若一个正整数x 能表示成22a b -(,a b 是正整数，且a b >)的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a 与b 是x 的一个平方差分解. 例如：因为22532=-，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：
22222222()M x xy x xy y y x y y =+=++-=+-(,x y 是正整数)，所以M 也是“明礼崇
德数”，()x y +与y 是M 的一个平方差分解.
(1)判断：9_______“明礼崇德数”(填“是”或“不是”)；
(2)已知2246N x y x y k =-+-+(,x y 是正整数，k 是常数，且1x y >+)，要使N 是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k 值，并说明理由；
(3)对于一个三位数，如果满足十位数字是7，且个位数字比百位数字大7，称这个三位数为“七喜数”.若m 既是“七喜数”，又是“明礼崇德数”，请求出m 的所有平方差分解.
【答案】（1）是；（2）k=-5；（3）m=279，222794845=-，222792011=-.
【解析】
【分析】
(1)根据9=52-42，确定9是“明礼崇德数”；
(2)根据题意分析N 应是两个完全平方式的差，得到k=-5，将k=-5代入计算即可将N 平方差分解，得到答案；
(3)确定“七喜数”m 的值，分别将其平方差分解即可.
【详解】
(1)∵9=52-42，
∴9是“明礼崇德数”，
故答案为：是；
(2)当k=-5时，N 是“明礼崇德数”，
∵当k=-5时，
22465N x y x y =-+--，
=224649x y x y -+-+-，
=22(44)(69)x x y y ++-++，
=22(2)(3)x y +-+，
=(23)(23)x y x y ++++--
=(5)(1)x y x y ++--.
∵,x y 是正整数，且1x y >+，
∴N 是正整数，符合题意，
∴当k=-5时，N 是“明礼崇德数”；
(3)由题意得：“七喜数”m=178或279，
设m=22a b -=（a+b ）（a-b ），
当m=178时，
∵178=2⨯89，
∴892a b a b +=⎧⎨-=⎩，得45.543.5a b =⎧⎨=⎩
（不合题意，舍去）； 当m=279时，
∵279=3⨯93=9⨯31，
∴①933a b a b +=⎧⎨-=⎩，得4845
a b =⎧⎨=⎩，∴222794845=-， ②319a b a b +=⎧⎨-=⎩，得2011
a b =⎧⎨=⎩，∴222792011=-， ∴既是“七喜数”又是“明礼崇德数”的m 是279，222794845=-，222792011=-.
【点睛】
此题考查因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的前提，(3)是此题的难点，解题时需根据百位与个位数字的关系确定具体的数据，再根据“明礼崇德数”的要求进行平方差分解.
13．阅读下列材料：
1637年笛卡尔在其《几何学》中，首次应用“待定系数法”将四次方程分解为两个二次方程求解，并最早给出因式分解定理．
他认为：对于一个高于二次的关于x 的多项式，“x a =是该多项式值为0时的一个解”与“这个多项式一定可以分解为（x a -）与另一个整式的乘积”可互相推导成立．
例如：分解因式3223x x +-．
∵1x =是32230x x +-=的一个解，∴3223x x +-可以分解为()1x -与另一个整式的乘积．
设()()
322231x x x ax bx c +-=-++ 而()()
()()2321x ax bx c ax b a x c b x c -++=+-+--，则有 1203a b a c b c =⎧⎪-=⎪⎨-=⎪⎪-=-⎩，得133a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，从而()()
32223133x x x x x +-=-++ 运用材料提供的方法，解答以下问题：
（1）①运用上述方法分解因式323x x ++时，猜想出3230x x ++=的一个解为_______（只填写一个即可），则323x x ++可以分解为_______与另一个整式的乘积；
②分解因式323x x ++；
（2）若1x -与2x +都是多项式32x mx nx p +++的因式，求m n -的值．
【答案】（1）①：x=-1；（x+1）；②3223=(1)(3)x x x x x +++-+；（2）3
【解析】
【分析】
（1）①计算当x=-1时，方程成立，则323x x ++必有一个因式为（x+1）,即可作答； ②根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据多项式乘多项式的计算即可求得结论；
（2））设32=(1)(2)x mx mx p x x M +++-+（其中M 为二次整式），由材料可知，
x=1，x=-2是方程320x mx nx p +++=的解，然后列方程组求解即可．
【详解】
解：（1）①323x x ++，观察知，显然x=-1时，原式=0，则3230x x ++=的一个解为x=-1；原式可分解为（x+1）与另一个整式的积．
故答案为：x=-1；（x+1）
②设另一个因式为（x 2+ax+b ），
（x+1）（x 2+ax+b ）=x 3+ax 2+bx+x 2+ax+b
=x 3+（a+1）x 2+（a+b ）x+b
∴a+1=0 ，a=-1， b=3
∴多项式的另一因式为x 2-x+3．
∴32
23=(1)(3)x x x x x +++-+．
（2）设32=(1)(2)x mx nx p x x M +++-+（其中M 为二次整式），
由材料可知，x=1，x=-2是方程320x mx nx p +++=的解， ∴可得108420m n p m n p +++=⎧⎨-+-+=⎩
①②， ∴②-①，得m-n=3
∴m n -的值为3．
【点睛】
本题考查了分解因式，正确理解题意，利用待定系数法和多项式乘多项式的计算法则求解是解题的关键．
14．由多项式的乘法：(x ＋a)(x ＋b)＝x 2＋(a ＋b)x ＋ab ，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：
x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝(x ＋a)(x ＋b)．
实例 分解因式：x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×3＝(x ＋2)(x ＋3)．
(1)尝试 分解因式：x 2＋6x ＋8；
(2)应用 请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0.
【答案】(1) (x+2)(x ＋4)；(2) x ＝4或x ＝－1.
【解析】
【分析】
（1）类比题干因式分解方法求解可得；
（2）利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得．
【详解】
(1)原式=(x+2)(x ＋4)；
(2)x 2－3x －4＝(x －4)(x ＋1)＝0，所以x －4＝0或x ＋1＝0，即x ＝4或x ＝－1.
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的
关键．
15．下面是某同学对多项式()()22676114x x x x -+-++进行因式分解的过程．
解：设2
6x x y -=，
原式(7)(11)4y y =+++（第一步） 21881y y =++（第二步）
2(9)y =+（第三步）
()2
269x x =-+．（第四步） 请你回答下列问题：
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______；
A ．提公因式法
B ．平方差公式
C ．两数和的完全平方公式
D ．两数差的完全平方公式
（2）该同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______； （3）仿照以上方法因式分解：()()222221x x x x --++．
【答案】（1）C ；（2）4(3)-x ；（3）4(1)x -
【解析】
【分析】
（1）根据公式法分解因式可得答案；
（2）先将269x x -+分解因式得2(3)x -，由此得到答案；
（3）设22x x y -=，得到原式()21y =+，将22x x y -=代回得到()2
221x x -+，再将括号内根据完全平方公式分解即可得到答案.
【详解】
解：（1）由21881y y ++2(9)y =+是运用了因式分解的两数和的完全平方公式，
故选：C ；
（2）∵269x x -+=2(3)x -，
∴()2
269x x -+=4(3)-x ，
故答案为：4(3)-x ；
（3）设22x x y -=， 原式()21y y =++，
221y y =++，
()2
1y =+，
()2
221x x =-+， 4(1)x =-．
【点睛】
此题考查特殊方法分解因式，完全平方公式分解因式法，分解因式时注意应分解到不能再分解为止.
四、八年级数学分式解答题压轴题（难）
16．小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼．
（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？
（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m 倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n 分钟．
①当3m =，6n =时，求小强跑了多少分钟？
②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m n ，的式子表示）．
【答案】（1）小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分；（2）①小强跑的时间为
3分；②
1000(1)m mn
-． 【解析】
【分析】 （1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据路程除以速度等于时间得到方程，解方程即可得到答案；
（2）①设小明的速度为y 米/分，由m ＝3，n ＝6，根据小明的时间-小强的时间=6列方程解答；
②根据路程一定，时间与速度成反比，可求小强的时间进而求出小明的时间，再根据速度=路程除以时间得到答案.
【详解】
（1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分， 根据题意得：1200x ＝4500220
x +． 解得：x ＝80．
经检验，x ＝80是原方程的根，且符合题意．
∴x+220＝300．
答：小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分．
（2）①设小明的速度为y 米/分，∵m ＝3，n ＝6，
∴1000100063y y -=，解之得10009
y =. 经检验，10009
y =是原方程的解，且符合题意， ∴小强跑的时间为：10001000(3)39÷⨯
=（分） ②小强跑的时间：1n m -分钟，小明跑的时间：11
n mn n m m +=--分钟， 小明的跑步速度为： 1000(1)10001mn m m mn -÷
=-分． 故答案为：
1000(1)m mn
-． 【点睛】 此题考查分式方程的应用，正确理解题意根据路程、时间、速度三者的关系列方程解答是解题的关键.
17．一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式．例如：a b c ++，abc ，22a b +，
含有两个字母a ，b 的对称式的基本对称式是+a b 和ab ，像22a b +，(2)(2)a b ++等对称式都可以用+a b 和ab 表示，例如：222()2a b a b ab +=+-．
请根据以上材料解决下列问题：
（1）式子①22a b ，②22a b -，③
11a b +中，属于对称式的是__________（填序号）．
（2）已知2()()x a x b x mx n ++=++．
①若m =-n =，求对称式b a a b
+的值． ②若4n =-，直接写出对称式442211a b a b
+++的最小值．
【答案】（1）①③．（2）①2．②
172
【解析】
试题分析：（1）由对称式的定义对三个式子一一进行判断可得属于对称式的是
①、③；（2）①将等号左边的式子展开， 由等号两边一次项系数和常数项对应相等可得a +b =m ，ab =n ，已知m 、n 的值，所以a +b 、ab 的值即求得，因为
b a +a b =22a b ab +=()2
2a b ab ab +-，所以将a +b 、ab 的值整体代入化简后的式子计算出结果即可；②421a a ++421b b
+= a 2+21a +b 2+21b =（a +b ）2－2ab ()2
222a b ab a b
+-+=m 2+8+2816m +=21716m +172，因为1716m 2≥0，所以1716m 2+172≥172，所以421a a ++421b b
+的最小值是172． 试题解析：
（1）∵a 2b 2=b 2a 2，∴a 2b 2是对称式，
∵a 2-b 2≠b 2－a 2，∴a 2－b 2不是对称式， ∵
1a +1b =1b +1a ，∴1a +1b
是对称式， ∴①、③是对称式； （2）①∵（x +a ）（x +b ）=x 2+（a +b ）x +ab =x 2+mx +n ，
∴a +b =m ，ab =n ，
∵m =－
n
， ∴b a +a b =22a b ab +=()22a b ab ab +-
2
2
-
－2； ②421a a ++42
1b b +， =a 2+21a +b 2+21b
， =（a +b ）2－2ab +
()2222a b ab a b +-， =m 2+8+2816m +， =21716m +172
， ∵
1716m 2≥0， ∴1716m 2+172≥172
， ∴421a a ++421b b
+的最小值是172． 点睛：本题关键在于理解对称式的定义，并利用分式的性质将分式变形求解.
18．某商场计划销售A ，B 两种型号的商品，经调查，用1500元采购A 型商品的件数是用600元采购B 型商品的件数的2倍，一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多30元． （1）求一件A ，B 型商品的进价分别为多少元？
（2）若该商场购进A ，B 型商品共100件进行试销，其中A 型商品的件数不大于B 型的件数，已知A 型商品的售价为200元/件，B 型商品的售价为180元/件，且全部能售出，求该商品能获得的利润最小是多少？
【答案】(1) B 型商品的进价为120元， A 型商品的进价为150元;(2) 5500元. 【解析】
分析：（1）设一件B 型商品的进价为x 元，则一件A 型商品的进价为（x+30）元，根据“用1500元采购A 型商品的件数是用600元采购B 型商品的件数的2倍”，这一等量关系列分式方程求解即可；
（2）根据题意中的不等关系求出A 商品的范围，然后根据利润=单价利润×减数函数关系式，根据函数的性质求出最值即可.
详解：（1）设一件B 型商品的进价为x 元，则一件A 型商品的进价为（x+30）元． 由题意： =×2，
解得x=120，
经检验x=120是分式方程的解，
答：一件B 型商品的进价为120元，则一件A 型商品的进价为150元．
（2）因为客商购进A 型商品m 件，销售利润为w 元．
m≤100﹣m ，m≤50，
由题意：w=m （200﹣150）+（100﹣m ）（180﹣120）=﹣10m+6000，
∵﹣10＜0，
∴m=50时，w 有最小值=5500（元）
点睛：此题主要考查了分式方程和一次函数的应用等知识，解题关键是理解题意，学会构建方程或一次函数解决问题，注意解方式方程时要检验.
19．甲、乙两商场自行定价销售某一商品．
（1）甲商场将该商品提价25%后的售价为1.25元，则该商品在甲商场的原价为 元；
（2）乙商场定价有两种方案：方案①将该商品提价20%；方案②将该商品提价1元。

某顾客发现在乙商场用60元钱购买该商品，按方案①购买的件数是按方案②购买的件数的2倍少10件，求该商品在乙商场的原价是多少？
（3）甲、乙两商场把该商品均按原价进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率是a ，第二次提价的百分率是b ；乙商场：两次提价的百分率都是2
a b （a ＞0，b ＞0，a≠b）．请问甲、乙两商场，哪个商场的提价较多？请说明理由．
【答案】（1）1元；（2）1元;（3）乙商场两次提价后价格较多,理由见解析.
【解析】
分析：(1)灵活利用利润公式:售价-进价=利润,直接填空即可;。