2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何8.6双曲线课后作业理

8．6 双曲线
[重点保分 两级优选练]
一、选择题
1．(2018·唐山统考)“k <9”是“方程
x225－k ＋y2
k －9
＝1表示双曲线”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 ∵方程x225－k ＋y2
k －9
＝1表示双曲线，∴(25－k )(k －9)<0，∴k <9或k >25，∴
“k <9”是“方程x225－k ＋y2
k －9
＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.
2．(2017·湖北黄冈二模)已知双曲线x 2
－y23
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，双曲线的
离心率为e ，若双曲线上存在一点P 使sin∠PF2F1sin∠PF1F2
＝e ，则F2P →·F2F1→
的值为( )
A ．3
B ．2
C ．－3
D ．2
答案 B
解析 由题意及正弦定理得sin∠PF2F1sin ∠PF1F2＝|PF1|
|PF2|＝e ＝2，∴|PF 1|＝2|PF 2|，由双曲线的定
义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，又|F 1F 2|＝4，由余弦定理可知cos ∠PF 2F 1＝|PF2|2＋|F1F2|2－|PF1|22|PF2|·|F1F2|＝4＋16－162×2×4＝14
，∵F2P →·F2F1→＝|F2P →|·|F2F1→
|cos ∠PF 2F 1＝
2×4×1
4
＝2.故选B.
3．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，
MN 中点的横坐标为－2
3
，则此双曲线的方程是( )
A.x23－y2
4＝1 B.x24－y23＝1 C.
x25－y2
2
＝1
D.
x22－y25
＝1
答案 D
解析 设双曲线方程x2a2－y2
b2＝1，M (x 1
，y 1
)，N (x 2
，y 2
)，∴⎩⎪⎨⎪⎧
x21a2－y21
b2＝1，①x22a2－y22
b2＝1.②
①－②，得y1－y2x1－x2＝b2a2·x1＋x2
y1＋y2
.
∴1＝b2a2·－23－5
3
，∴5a 2＝2b 2
.
又a 2
＋b 2
＝7，∴a 2
＝2，b 2
＝5，故选D.
4．过双曲线x 2
－y22
＝1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A ，B 两点，若|AB |＝4，则这样
的直线l 有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
答案 C
解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝3，由
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3，x2－y2
2＝1，得y ＝±2，
∴|AB |＝|y 1－y 2|＝4满足题意．当直线l 的斜率存在时，其方程为y ＝k (x －3)，由
⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝－3，x2－y2
2＝1， 得(2－k 2)x 2＋23k 2
x －3k 2
－2＝0.
当2－k 2
≠0时，x 1＋x 2＝23k2k2－2，x 1x 2＝3k2＋2k2－2
，
|AB |＝1＋k2＋－4x1x2
＝1＋k2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫23k2k2－22－12k2＋8k2－2
＝1＋k2＋－
＝
＋
|k2－2|
＝4，
解得k ＝±
2
2
，故这样的直线有3条．故选C.
5．(2016·浙江高考)已知椭圆C 1：x2m2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x2n2
－y 2
＝1(n >0)的焦点
重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )
A ．m >n 且e 1e 2>1
B ．m >n 且e 1e 2<1。