高考总复习二轮数学精品课件 考点突破练13 圆锥曲线中的最值、范围、求值与证明问题
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得(3-k2)x2+2k2x-k2-3=0.
- = 1,
3
这个关于 x 的方程的两根为 x1,1.
2 +3
6
2
2
.
2
).
因此 x1=
-3
,y1=k(x1-1)=
2
因为 A(1,0),所以 M(
设 N(x2,y2),则
2
2
1 2 3 4
-3 -3
3
y2=
-3
,
2
-3
3
+8
∴当 t=4
1 2 3 4
0 2 0
+
8
2
2
=
2
64-3220
-4·
320 +10
=
2 10(320 +2)
,
2
30 +10
320 +2
5
,
,其中02 ≤10.
23
t∈[ 2,4 2],∴S△MAB= 2 .
+8
2(4 +242 )
f'(t)=
2,即02 =10
(2 +8)
1 2 3 4
2.(2023 辽宁丹东一模)已知 O 为坐标原点,F1(-2,0),F2(2,0)分别为双曲线
2
2
2
C: 2
−
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为 C 的右支上一点,当 PF2⊥x 轴时,|OP|= 13.
(1)求 C 的方程;
(2)若点 P 异于 C 的右顶点 A,点 Q 在直线
= 1 (-1 ) + 1 ,
联立 2 2
得(1-212 )x2-4k1(y1-k1x1)x-2(y1-k1x1)2-2=0,
- = 1,
2
所以 Δ=1612 (y1-k1x1)2+8(1-212 )[(y1-k1x1)2+1]=0,
即(12 -2)12 -2k1x1y1+12 +1=0.
kAB=-1,
所以 WT⊥AB,
所以 2S△WAB=|WA|·
|WB|=|WT|·
|AB|.
1 2 3 4
4.(2023山东淄博二模)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的
艺术活动,在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容,例如:用一
张圆形纸片,按如下步骤折纸(如图).
步骤1:设圆心是E,在圆内异于圆心处取一点,标记为F;
所以 a= 2.
2
6
又因为 e= 1 + 2 = ,所以
2
2 2
所以 C 的方程为 -y =1.
2
1 2 3 4
b=1,
2
W(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),则02 + 02 =1, 21
2
− 12 =1, 22
(2)证明 设
− 22 =1.
设切线 l1,l2 的斜率分别为 k1,k2,则 l1 的方程为 y=k1(x-x1)+y1.
考点突破练13
圆锥曲线中的最值、范围、求值与证明问题
1.(2023 全国甲,理 20)已知直线 x-2y+1=0 与抛物线 C:y2=2px(p>0)交于 A,B 两点,
且|AB|=4 15.
(1)求 p;
(2)设 F 为 C 的焦点,M,N 为 C 上两点, ·=0,求△MNF 面积的最小值.
1 0
2 0
所以,得
+
=1,
+
=1,
8
从而直线 BC
由
2
8
2
0
的方程是 8 x+ 20 y=1.
0
0
+
=
8
2
2
2
+ = 1,
8
2
1,
得(302 +10)x2-16x0x+64-3202 =0,
则
64-3220
160
x1+x2= 2 ,x1x2= 2
.
30 +10
30 +10
2
>0,∴f(t)在区间[ 2,4 2]上单调递增,
时,△MBC
32
的面积取到最大值 ,此时点
5
M(0,± 10).
本 课 结 束
的两解,所以 k1k2=
所以 WA⊥WB,△WAB 为直角三角形.
1 2 3 4
20 +1
=-1,
2
0 -2
1
1
因为 k1= ,所以 y1-y0= (x1-x0),
21
21
0 1
1
0 2
1
所以 y1=
− ,同理 y2=
− ,
20
0
20
0
0
1
所以直线 AB 的方程为 y=2 − ,
1
1
1
∴S△MNF=2|FM|·
|FN|=2(x3+1)(x4+1)=2(my3+n+1)(my4+n+1)
1
=2 2 (-4) + ( + )·4 + ( + 1)2 =n2-2n+1=(n-1)2,
∴当 n=3-2 2时,S△MNF=12-8 2为最小值.
∴△MNF 面积的最小值为 12-8 2.
1 2 3 4
|BC|=
20
1+
1620
0 2
1 + (- ) ·
|x1-x2|=
40
160
320 +10
·
2
2
0+ 0-1
8 2
点 M 到直线 BC 的距离 d=
3
2(320 +2)2
1
∴S△MBC=2|BC|·
d=
320 +10
令 t= 302 + 2,则
令
23
f(t)= 2 ,则
2
所以椭圆的方程为 8
1 2 3 4
2
+ 2 =1.
(2)设 B(x1,y1),C(x2,y2),M(x0,y0),则02 + 02 =10,
1
2
1
2
切线 MB 的方程为 8 + 2 =1,切线 MC 的方程为 8 + 2 =1,两直线都经过
点 M,
1 0
2 0
步骤2:把纸片折叠,使圆周正好通过点F;
步骤3:把纸片展开,并留下一道折痕;
步骤4:不断重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕.则这些折痕所围成的
图形是一个椭圆.
1 2 3 4
现取半径为 4 2的圆形纸片,定点 F 到圆心 E 的距离为 2 6,按上述方法折纸.以
向量的方向为 x 轴正方向、线段 EF 中点为原点建立平面直角坐标系.
1 2 3 4
= 2-1,
解 (1)联立 2
整理得 y2-4py+2p=0,则 Δ=16p2-8p>0,
= 2,
1
又 p>0,∴p>2.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4p,y1y2=2p.
|AB|= 1 + 4|y1-y2|= 5 · 162 -8=4 15,
·=(x3-1)(x4-1)+y3y4=(my3+n-1)(my4+n-1)+y3y4
=(m2+1)y3y4+m(n-1)(y3+y4)+(n-1)2
=-4m2n-4n+4m2n-4m2+n2-2n+1=0,
∴4m2=n2-6n+1≥0,
又 Δ1=16m2+16n=4(n-1)2>0,∴n≠1,∴n≥3+2 2,或 n≤3-2 2.
5-3
由双曲线定义得 a= 2 =1,所以 b2=3.
2
2
因此 C 的方程为 x - 3 =1.
1 2 3 4
(2)由题设可知直线 PA 的斜率 k 存在,且|k|> 3.
1
x=2上,可得
由 OQ∥PA,及点 Q 在直线
设 PA:y=k(x-1),P(x1,y1).
= (-1),
由 2 2
21
将2
即
2
− 12 =1 代入,整理得 212 12 -2k1x1y1+ 21 =0,
1
2
2 2
2
2
41 1 -4k1x1y1+1 =(2y1k1-x1) =0,所以 k1=2 ,同理可得 k2=2 .
1
2
因为切线 l1,l2 均过点 W(x0,y0),同理根据上面可知,
k1,k2 为(02 -2)k2-2x0y0k+02 +1=0
解 (1)设 P(x,y)为椭圆上一点,
则|PF|+|PE|=|PA|+|PE|=|AE|=4 2>|EF|=2 6,
所以点 P 的轨迹是以 F,E 为焦点,长轴长为 2a=4 2的椭圆.
2
设椭圆的方程为 2
+
2
2 =1(a>b>0),
所以 c= 6,a=2 2,则 b2=a2-c2=2,
0
0
2 2
代入椭圆 D 的方程 +y =1,可得(02
4
+ 02 )x2-4x0x+4-402 =0,
即 x2-4x0x+402 =(x-2x0)2=0,
所以
0 -2
xT=2x0,yT= 2 =-y0,
0
所以直线 AB 与椭圆 D 相切,切点 T(2x0,-y0),所以 kWT·
2 2
分别为 A,B,证明:直线 AB 与椭圆 D: 4 +y =1 相切于点 T,且|WT|·|AB|=
1 2 3 4
|WA|·|WB|.
(1)解 由题意知,|PQ|+|QF2|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=6a,
又因为|PF1|-|PF2|=2a,
所以|PF1|2-|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=12a2=24,
解得
3
p=-2(舍)或
1 2 3 4
p=2.∴p=2.
(2)由(1)知抛物线 C 的方程为 y2=4x,F(1,0).设 M(x3,y3),N(x4,y4),lMN:x=my+n,
= + ,
由 2
得 y2-4my-4n=0,
= 4,
则 Δ1=16m2+16n>0,y3+y4=4m,y3y4=-4n.
(1)求折痕围成的椭圆 Γ 的标准方程;
(2)已知点 M 是圆 x2+y2=10 上任意一点,过点 M 作椭圆 Γ 的两条切线,切点分别
是 B,C,求△MBC 面积的最大值,并确定此时点 M 的坐标.
2
注:椭圆:2
1 2 3 4
+
2
2
=1(a>b>0)上任意一点
0
0
P(x0,y0)处的切线方程是 2 + 2 =1.
1
x=2上,AP∥OQ,M
OM 与直线 QF2 的交点为 N,求|NF1|的取值范围.
1 2 3 4
为 AP 的中点,直线
解 (1)因为 F2(2,0),所以 a2+b2=4.
因为当 PF2⊥x 轴时,|OP|= 13,可知 P(2,±3).
点 P 到两个焦点 F1(-2,0),F2(2,0)的距离分别为 3 和 5,
6
右焦点分别为 F1,F2,离心率等于 2 ,点 P 是双曲线 C 在第一象限上的点,直线 PF1
与 y 轴的交点为 Q,△PQF2 的周长等于 6a,|PF1|2-|PF2|2=24.
(1)求 C 的方程;
(2)过圆 O:x2+y2=1 上一点 W(W 不在坐标轴上)作 C 的两条切线 l1,l2,对应的切点
+1
因此|NF1|= (2 + 2)2 + 22 =
即|NF1|的取值范围为( 7,4).
1 2 3 4
(x2=0 舍去),
(2 + 2)2 + 1-(2 -1)2 =
62 + 4∈( 7,4).
3.(2023 山东青岛二模)已知 O 为坐标原点,双曲线
2
C:2
−
2
2
=1(a>0,b>0)的左、
2
x2,所以
-3
3
y2=x2.
1 1
Q(2 , 2k).
由
由
3
2 = 2 ,
1
(2 -2) 2 =
3
2 = 2 ,
1
(2 -0)(2 -2),
得 x2= 9
(2 -1)2 + 22 = 1,
因为|k|>
得(x2-1)2+22.
2
2
- = 1,
3
这个关于 x 的方程的两根为 x1,1.
2 +3
6
2
2
.
2
).
因此 x1=
-3
,y1=k(x1-1)=
2
因为 A(1,0),所以 M(
设 N(x2,y2),则
2
2
1 2 3 4
-3 -3
3
y2=
-3
,
2
-3
3
+8
∴当 t=4
1 2 3 4
0 2 0
+
8
2
2
=
2
64-3220
-4·
320 +10
=
2 10(320 +2)
,
2
30 +10
320 +2
5
,
,其中02 ≤10.
23
t∈[ 2,4 2],∴S△MAB= 2 .
+8
2(4 +242 )
f'(t)=
2,即02 =10
(2 +8)
1 2 3 4
2.(2023 辽宁丹东一模)已知 O 为坐标原点,F1(-2,0),F2(2,0)分别为双曲线
2
2
2
C: 2
−
=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 为 C 的右支上一点,当 PF2⊥x 轴时,|OP|= 13.
(1)求 C 的方程;
(2)若点 P 异于 C 的右顶点 A,点 Q 在直线
= 1 (-1 ) + 1 ,
联立 2 2
得(1-212 )x2-4k1(y1-k1x1)x-2(y1-k1x1)2-2=0,
- = 1,
2
所以 Δ=1612 (y1-k1x1)2+8(1-212 )[(y1-k1x1)2+1]=0,
即(12 -2)12 -2k1x1y1+12 +1=0.
kAB=-1,
所以 WT⊥AB,
所以 2S△WAB=|WA|·
|WB|=|WT|·
|AB|.
1 2 3 4
4.(2023山东淄博二模)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的
艺术活动,在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容,例如:用一
张圆形纸片,按如下步骤折纸(如图).
步骤1:设圆心是E,在圆内异于圆心处取一点,标记为F;
所以 a= 2.
2
6
又因为 e= 1 + 2 = ,所以
2
2 2
所以 C 的方程为 -y =1.
2
1 2 3 4
b=1,
2
W(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),则02 + 02 =1, 21
2
− 12 =1, 22
(2)证明 设
− 22 =1.
设切线 l1,l2 的斜率分别为 k1,k2,则 l1 的方程为 y=k1(x-x1)+y1.
考点突破练13
圆锥曲线中的最值、范围、求值与证明问题
1.(2023 全国甲,理 20)已知直线 x-2y+1=0 与抛物线 C:y2=2px(p>0)交于 A,B 两点,
且|AB|=4 15.
(1)求 p;
(2)设 F 为 C 的焦点,M,N 为 C 上两点, ·=0,求△MNF 面积的最小值.
1 0
2 0
所以,得
+
=1,
+
=1,
8
从而直线 BC
由
2
8
2
0
的方程是 8 x+ 20 y=1.
0
0
+
=
8
2
2
2
+ = 1,
8
2
1,
得(302 +10)x2-16x0x+64-3202 =0,
则
64-3220
160
x1+x2= 2 ,x1x2= 2
.
30 +10
30 +10
2
>0,∴f(t)在区间[ 2,4 2]上单调递增,
时,△MBC
32
的面积取到最大值 ,此时点
5
M(0,± 10).
本 课 结 束
的两解,所以 k1k2=
所以 WA⊥WB,△WAB 为直角三角形.
1 2 3 4
20 +1
=-1,
2
0 -2
1
1
因为 k1= ,所以 y1-y0= (x1-x0),
21
21
0 1
1
0 2
1
所以 y1=
− ,同理 y2=
− ,
20
0
20
0
0
1
所以直线 AB 的方程为 y=2 − ,
1
1
1
∴S△MNF=2|FM|·
|FN|=2(x3+1)(x4+1)=2(my3+n+1)(my4+n+1)
1
=2 2 (-4) + ( + )·4 + ( + 1)2 =n2-2n+1=(n-1)2,
∴当 n=3-2 2时,S△MNF=12-8 2为最小值.
∴△MNF 面积的最小值为 12-8 2.
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|BC|=
20
1+
1620
0 2
1 + (- ) ·
|x1-x2|=
40
160
320 +10
·
2
2
0+ 0-1
8 2
点 M 到直线 BC 的距离 d=
3
2(320 +2)2
1
∴S△MBC=2|BC|·
d=
320 +10
令 t= 302 + 2,则
令
23
f(t)= 2 ,则
2
所以椭圆的方程为 8
1 2 3 4
2
+ 2 =1.
(2)设 B(x1,y1),C(x2,y2),M(x0,y0),则02 + 02 =10,
1
2
1
2
切线 MB 的方程为 8 + 2 =1,切线 MC 的方程为 8 + 2 =1,两直线都经过
点 M,
1 0
2 0
步骤2:把纸片折叠,使圆周正好通过点F;
步骤3:把纸片展开,并留下一道折痕;
步骤4:不断重复步骤2和3,就能得到越来越多的折痕.则这些折痕所围成的
图形是一个椭圆.
1 2 3 4
现取半径为 4 2的圆形纸片,定点 F 到圆心 E 的距离为 2 6,按上述方法折纸.以
向量的方向为 x 轴正方向、线段 EF 中点为原点建立平面直角坐标系.
1 2 3 4
= 2-1,
解 (1)联立 2
整理得 y2-4py+2p=0,则 Δ=16p2-8p>0,
= 2,
1
又 p>0,∴p>2.
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4p,y1y2=2p.
|AB|= 1 + 4|y1-y2|= 5 · 162 -8=4 15,
·=(x3-1)(x4-1)+y3y4=(my3+n-1)(my4+n-1)+y3y4
=(m2+1)y3y4+m(n-1)(y3+y4)+(n-1)2
=-4m2n-4n+4m2n-4m2+n2-2n+1=0,
∴4m2=n2-6n+1≥0,
又 Δ1=16m2+16n=4(n-1)2>0,∴n≠1,∴n≥3+2 2,或 n≤3-2 2.
5-3
由双曲线定义得 a= 2 =1,所以 b2=3.
2
2
因此 C 的方程为 x - 3 =1.
1 2 3 4
(2)由题设可知直线 PA 的斜率 k 存在,且|k|> 3.
1
x=2上,可得
由 OQ∥PA,及点 Q 在直线
设 PA:y=k(x-1),P(x1,y1).
= (-1),
由 2 2
21
将2
即
2
− 12 =1 代入,整理得 212 12 -2k1x1y1+ 21 =0,
1
2
2 2
2
2
41 1 -4k1x1y1+1 =(2y1k1-x1) =0,所以 k1=2 ,同理可得 k2=2 .
1
2
因为切线 l1,l2 均过点 W(x0,y0),同理根据上面可知,
k1,k2 为(02 -2)k2-2x0y0k+02 +1=0
解 (1)设 P(x,y)为椭圆上一点,
则|PF|+|PE|=|PA|+|PE|=|AE|=4 2>|EF|=2 6,
所以点 P 的轨迹是以 F,E 为焦点,长轴长为 2a=4 2的椭圆.
2
设椭圆的方程为 2
+
2
2 =1(a>b>0),
所以 c= 6,a=2 2,则 b2=a2-c2=2,
0
0
2 2
代入椭圆 D 的方程 +y =1,可得(02
4
+ 02 )x2-4x0x+4-402 =0,
即 x2-4x0x+402 =(x-2x0)2=0,
所以
0 -2
xT=2x0,yT= 2 =-y0,
0
所以直线 AB 与椭圆 D 相切,切点 T(2x0,-y0),所以 kWT·
2 2
分别为 A,B,证明:直线 AB 与椭圆 D: 4 +y =1 相切于点 T,且|WT|·|AB|=
1 2 3 4
|WA|·|WB|.
(1)解 由题意知,|PQ|+|QF2|+|PF2|=|PF1|+|PF2|=6a,
又因为|PF1|-|PF2|=2a,
所以|PF1|2-|PF2|2=(|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=12a2=24,
解得
3
p=-2(舍)或
1 2 3 4
p=2.∴p=2.
(2)由(1)知抛物线 C 的方程为 y2=4x,F(1,0).设 M(x3,y3),N(x4,y4),lMN:x=my+n,
= + ,
由 2
得 y2-4my-4n=0,
= 4,
则 Δ1=16m2+16n>0,y3+y4=4m,y3y4=-4n.
(1)求折痕围成的椭圆 Γ 的标准方程;
(2)已知点 M 是圆 x2+y2=10 上任意一点,过点 M 作椭圆 Γ 的两条切线,切点分别
是 B,C,求△MBC 面积的最大值,并确定此时点 M 的坐标.
2
注:椭圆:2
1 2 3 4
+
2
2
=1(a>b>0)上任意一点
0
0
P(x0,y0)处的切线方程是 2 + 2 =1.
1
x=2上,AP∥OQ,M
OM 与直线 QF2 的交点为 N,求|NF1|的取值范围.
1 2 3 4
为 AP 的中点,直线
解 (1)因为 F2(2,0),所以 a2+b2=4.
因为当 PF2⊥x 轴时,|OP|= 13,可知 P(2,±3).
点 P 到两个焦点 F1(-2,0),F2(2,0)的距离分别为 3 和 5,
6
右焦点分别为 F1,F2,离心率等于 2 ,点 P 是双曲线 C 在第一象限上的点,直线 PF1
与 y 轴的交点为 Q,△PQF2 的周长等于 6a,|PF1|2-|PF2|2=24.
(1)求 C 的方程;
(2)过圆 O:x2+y2=1 上一点 W(W 不在坐标轴上)作 C 的两条切线 l1,l2,对应的切点
+1
因此|NF1|= (2 + 2)2 + 22 =
即|NF1|的取值范围为( 7,4).
1 2 3 4
(x2=0 舍去),
(2 + 2)2 + 1-(2 -1)2 =
62 + 4∈( 7,4).
3.(2023 山东青岛二模)已知 O 为坐标原点,双曲线
2
C:2
−
2
2
=1(a>0,b>0)的左、
2
x2,所以
-3
3
y2=x2.
1 1
Q(2 , 2k).
由
由
3
2 = 2 ,
1
(2 -2) 2 =
3
2 = 2 ,
1
(2 -0)(2 -2),
得 x2= 9
(2 -1)2 + 22 = 1,
因为|k|>
得(x2-1)2+22.
2
2