湖北省八校2019届高三12月第一次联考数学文试题(WORD版)

湖北省八校2019届高三第一次联考
数学试题（文）
考试时间：2019年12月15日下午15：00—17：00
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号
条形码粘贴在答题卡上指定位置． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如要改
动，用豫皮擦干净后。

再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效． 3．非选择题用0．5毫米的黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在
试题卷上无效．
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1．已知i 为虚数单位，若{|(),},{|cos ,},n
M x x i n Z N x x k k R M N π==-∈==∈⋂=则
（ ） A ．[-1，1] B ．{-1，0，1} C ．{-1，1} D ．{1}
2．若p 是真命题，q 是假命题，则
（ ） A ．p q ∨是假命题 B ．p q ∧⌝是假命题 C ．p q ⌝∨⌝是真命题
D ．p q ⌝∧是真命题
3．设数列{}n a 是等差数列，且2158,5,n a a S =-=是数列{}n a 前n 项的和，则有
（ ）
A ．910S S <
B ．910S S =
C ．1110S S <
D ．1110S S =
4．要得到函数()cos f x x =的导函数()f x '的图像，只需将()f x 的图像
（ ）
A ．向右平移
6π
个单位 B ．向左平移
6π
个单位
C ．向右平移2π
个单位
D ．向左平移2
π
个单位
5．已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C ，若||43,||
AB OA OB OC O AC -+==
则
（ ）
鄂南高中、华师一附中、黄冈中学、黄石二中、
荆州中学、襄 阳 四中、襄阳五中、孝感高中
A ．
43
B ．
12
C ．2
D ．
34
6．下列命题正确的个数是
（ ） ①平行于同一个平面的两条直线可以相交 ②直线l 与平面α不垂直，则直线l 与平面α内的有直线都不垂直 ③若平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ ④对直线,m n 和平面,,,//m m n n ααα⊥⊥若则
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．已知函数3
1
()log z
f x e
x
-=+，若实数0x 是方程()0f x =的解，且101,()x x f x >则的值（ ）
A ．等于0
B ．不大于0
C ．恒为正值
D ．恒为负值
8．已知直线1(0)y kx k =->与抛物线2
:4C x y =交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若
||3|,|FB FA k ==则
（ ）
A ．
43
B C D 9．已知指数函数(01)x
y a a a =>≠且图像上任意一点00(,)P x y 处导数值均小于0，则函数
log |23|a y x =-的大致图像为
（ ）
10．记号[()f x ]表示不大于()f x 的最大整数，已知1
()2
1x x
e f x e =-+，则函数[()][()]f x f x +-的值域为
（ ） A ．（-1，1） B ．{1，0，-1} C ．{0，-1} D ．{0} 二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分，将答案填在答题卷相应位置上）
11．若“2
280x x -->”是“x m <”的必要不充分条件，则m 最大值为 。

12．一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱侧视图的面积是 cm 2。

13．直线2
2
(1)14440y m x x y x y =-++--+=与圆相交于A 、B 两点，则弦长|AB|的最
小值为 。

14．已知函数()f x 是定义在(,1]-∞上的减函数，且对一切x R ∈，不等式
22(sin )(sin )f k x f k x -≥-恒成立，则k 的值为 。

15．函数y kx b =+，其中,k b 是常数，其图像是一条直线，称这个函娄为线性函数，而对于
非线性可导函数()f x ，在已知点0x 附近一点x 的函数值()f x 可以用下面方法求其近似
代替值，000()()()()f x f x f x x x '≈+-，利用这一方法，对于实数m =
x 的值为4，则m 的近似代替值是 。

三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 16．（本小题满分12分）
设2
(3cos ,sin ),(1,cos )a x x b x ωωω==（其中0ω>），已知3
().f x a b =⋅-
且()f x 最小正周期为2.π
（1）求ω的值及()y f x =的表达式； （2）设2534
(
,),(,),(),().cos()63
6355
f f ππ
ππαβαβαβ∈∈-
-==--求的值。

17．（本小题满分12分） 四棱锥S —ABCD 底面是正方形，SD ⊥平面ABCD ，SD=AD=a ，点E 是SD 上的点，且
(01)DE DS λλ=<≤
（1）求证：对任意的(0,1]λ∈都有AC BE ⊥； （2）若二面角C —AE —D 的大小为60︒，求λ的值。

18．（本小题满分12分） 某工厂生产一种产品的固定成本是20000元，每生产一件产品需要另外投入100元，市
场销售部进行调查后得知，市场对这种产品的年需求量为1000件，且销售收入函数
21
()10002
g t t t =-+，其中t 是产品售出的数量，且01000t ≤≤。

（利润=销售收入—成本）
（1）若x 为年产量，y 表示利润，求()y f x =的解析式； （2）当年产量为多少时，工厂的利润最大，最大值为多少？
19．（本小题满分12分）
在数列{}n a 中，21a +是13a a 与的等差中项，设1(1,2),(,)n n x y a a +==，且满足//.x y
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）记数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若数列{}n b 满足2log (2)n n n b a s =+，试求数列
{}n b 的前n 项的和.n T
20．（本小题满分13分）
如图，椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的顶点为A 1，A 2，B 1，B 2。

焦点为1212,,||2F F F F c =，
向量11A B 在向量12A
A 上的投影为2，且椭圆上的点到焦点距离的最小值为1。

（1）求椭圆C 的方程；
（2）是否存在同时满足以下条件的直线：
①与椭圆相交于M ，N 两点，以线段MN 为直径的圆过原点； ②与圆心在原点，半径为c 的圆相切；
若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由。

21．（本小题满分14分）
已
知
二
次
函
数
()
f x 对任意实数
x
均满足
2(2)(2)284,(1)0.f x f x x x f -+-=-+-=且
（1）求()f x 的表达式；
（2）若关于x 的方程()3ln f x x b =+在[1，2]上有两个不同实数解，求实数b 的取值范
围；
（3）设119
()ln 228
g x m x f x ⎛⎫=+
++ ⎪⎝⎭，若0,()0x g x ∃>≤使成立，求实数m 的取值范围。

数学文科卷参考答案
一、选择题（50分）
二、填空题（25分）
三、解答题
16.解: (1) 2
1
3cos sin 22
a b wx wx ⋅=+
1sin 2cos 2222wx wx =++sin(2)32
wx π=++3分
3()sin(2)3
f x a b wx π∴=⋅-
=+ 又0w > 222T w ππ=
= 1
2
w ∴=5分 ()sin()3
f x x π
∴=+6分
(2) 3()5f α= 3
sin()35πα∴+=
又2(,)63ππα∈，∴(,)32ππαπ+∈ 4
c o s ()35πα∴+=-
8分
4()5f β=- 4
sin()35πβ∴+=-，
又5(,)63ππβ∈--，∴(,0)32ππβ+∈- 3
cos()35
πβ∴+=
10
分
cos()cos[()()]cos()cos()sin()sin()333333
ππππππ
αβαβαβαβ-=+-+=+++++
433424
()()555525
=-⋅+⨯-=-
12分
17. (1)证明: SD ⊥平面ABCD ∴SD AC ⊥
又ABCD 为正方形 B D A C ∴⊥,又SD
BD D =
AC ∴⊥平面SDB
又DE DS λ=，∴D 、S 、E 三点共线，∴BE SDB ⊂平面
AC BE
∴⊥6分
(2)过点D 作DF AE ⊥交AE 于点F ，连结CF ,
CD ⊥平面S A D ，则DFC ∠即为二面角C A E
D
--的平面角
8分
060DFC ∴∠=，AD DE DF AE
⋅
=
==
tan 60CD
a a DF
λ==
==
λ∴=
12分
18.解．（1）当01000x ≤≤时，t x =，
∴21
1000200001002y x x x =-+--
2
190020000
2
x x =-+-2分
当1000x >时，1000t =
22
1
10001000200001002
y x =-⨯+-- 480000
100
x =-4分
()2
190020000
(01000)2480000100(1000)x x x f x x
x ⎧-+-≤≤⎪∴=⎨⎪->⎩
6分
（2）当01000x ≤≤时()2211
90020000(900)3850022
f x x x x =-
+-=--+ ∴当900x =时，()max 385000
f x =9分
当1000x >时，()480000100f x x =-为减函数，
∴()480000100100f x <-⨯，即()380000
f x <11分
∴当年产量为900件时，工厂的利润最大，最大值为385000元．
12
分
19. 解: (1)//x y 12n n a a +∴=
∴数列{}n a 是以公比为2的等比数列
2分
又1n a +是1a 与3a 的等差中项，213
2(1)a a a ∴+=+
1112(21)4a a a ∴+=+ 12
a ∴=4分 即1222
n n
n a -=⋅=6分
(2) 由2n
n a = 1
2(12)2212
n n n S +⨯-∴=
=-- 7分
122n n S +∴+=
122log (2)2log 2(1)2n n n n n n b a S n +∴=+=⋅=+9分
12122322(1)2n n n T n n -=⨯+⨯++⋅++⋅ 231222322(1)2n n n T n n +=⨯+⨯+
+⋅++⋅
123122222(1)2n n n T n +∴-=⨯+++
+-+⋅
1212(222)(1)2n n n +=++++-+⋅
112(12)2(1)2212n n n n n ++⨯-=+-+⋅=-⋅-
1
2n n T n +∴=⋅12
分
20.解: 1(,0)A a -，1(0,)B b ，2(,0)A a
11(,)A B a b ∴=，12(2,0)A A a =
2
1112
12
222A B A A a a
A A ⋅∴
== 2
a ∴=2
分
又1a c -= 1c ∴=，
2223b a c =-=
∴椭圆方程为22
143
x y +=5
分
（2）假设满足题设的直线l 存在，设M 、N 两点坐标分别为1112(,),(,)x y x y .
①当l 不垂直于x 轴时，设l 方程为
y kx m =+，
直线与2
2
1x y +=相切1=即221
m k =+6分
又以MN 为直径的圆过原点
OM ON ∴⊥ 12120x x y y ∴+=
7分
将y kx m =+代入椭圆方程得222
(34)84120k x kmx m +++-=
122834km
x x k -∴+=
+ ， 212241234m x x k -=+ ………………………………（Ⅰ） ∴22122212121212()()(1)()0x x y y x x kx m kx m k x x km x x m +=+++=++++=
将（Ⅰ）代入上式可得2
2
2
2
2
2
(1)(412)8(34)0k m k m m k +--++= (Ⅱ)
将22
1m k =+代入（Ⅱ）可得2
5(1)0k -+=，即不存在这样的实数k ，
∴ 此直线l 不存在.
10分
②当l 垂直于x 轴时 ∴直线l 的方程为1x =或1x =-
当1x =时，直线l 与椭圆的交点为3
(1,)2
和3(1,)2-
9
10
4
OM ON ⋅=-≠11分
当1x =-时，同理可得0OM ON ⋅≠ 即此直线l 也不存在
12分
综上可知：满足条件的直线l 不存在
13
分
21.解：（1）设2
()(0)f x ax bx c a =++≠
22(2)(2)2882284f x f x ax ax a c x x -+-=-++=-+
又(1)0f -= 0a b c ∴-+=
1a ∴=， 1b =-， 2c =-
2()2
f x x x ∴=--3分
（2）()3ln f x x b =+，2
3ln 2b x x x ∴=---
设
()23ln 2
h x x x x =---，则
()3
(
23)
'2
1
x x h x x x
x
-+=--
=5分
∴当31,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()'0h x <；当3,22x ⎛⎤
∈ ⎥⎝⎦
时，()'0h x >
因此()h x 在31,
2⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，在3,22⎛⎫
⎪⎝⎭
是增函数；
∴()h x 的最小值为3533ln 242h ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
，又()()12,23ln 2h h =-=-
23ln 2->-
∴533ln ,3ln 242b ⎛⎤
∈--- ⎥
⎝⎦
8分
（3）由题意可得()2
1ln 2
g x m x x =+
（0x >） ①当0m >时，()g x 在为增函数，显然0x ∃>，如1m
x e -=，使得()0g x ≤成立，所以0m >符合题意;
9分
②当0m =时，()2
02
x g x =>恒成立，所以0m =不符合题意; 10分
③当0m <时，()2'm x m g x x x x +=+==
∴()g x 在(为减函数，在
)
∞为增函数；
()
min 2
m
g x g m ==-
+
02
m
m -
+≤，∴ ∴m e
≤-13分
综
上
：
(]
()
,0
,
m e ∈-∞-+∞14分。