高中数学 新高考 复习试卷讲义 第6章 §6.3 等比数列

§6.3 等比数列 考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系．
知识梳理
1．等比数列有关的概念
(1)定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q (q ≠0)表示.
(2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ .
2．等比数列的通项公式及前n 项和公式
(1)若等比数列{a n }的首项为a 1，公比是q ，则其通项公式为a n ＝ .
(2)等比数列通项公式的推广：a n ＝a m q n －m .
(3)等比数列的前n 项和公式：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝ ＝ .
3．等比数列性质
(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则 ，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2w ＝m ＋n ，则 ，其中m ，n ，w ∈N *.
(2)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为 (k ，m ∈N *)．
(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{a n ·b n }，{pa n ·qb n }和⎩⎨⎧⎭
⎬⎫pa n qb n 也是等比数列(b ，p ，q ≠0)．
(4)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ， ， 仍成等比数列，其公比为q n .(n 为偶数且q ＝－1除外)
(5)若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1，
则等比数列{a n }递 ． 若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递 ． 常用结论
1．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0.
2．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)．
3．数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．
(1)若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3n T 2n
，…成等比数列． (2)若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q ，或S 偶S 奇－a n
＝q . 思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )
(2)当公比q >1时，等比数列{a n }为递增数列．( )
(3)等比数列中所有偶数项的符号相同．( )
(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( )
教材改编题
1．设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6等于( )
A ．31
B ．32
C ．63
D ．64
3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________________．
题型一 等比数列基本量的运算
例1 (1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{a n }的前3项和为168，a 2－a 5＝42，则a 6等于( )
A ．14
B ．12
C ．6
D ．3
(2)(2023·桂林模拟)朱载堉(1536～1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率是
最初那个音的2倍．设第二个音的频率为f 1，第八个音的频率为f 2.则f 2f 1
等于( ) A. 2 B.82 C.122 D ．4122
听课记录：______________________________________________________________ 思维升华 等比数列基本量的运算的解题策略
(1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．
(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．
(3)运用等比数列的前n 项和公式时，一定要讨论公比q ＝1的情形，否则会漏解或增解． 跟踪训练1 (1)设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则公比q 等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
(2)在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M ，插入11个数后这13个数之和为N ，则依此规则，下列说法错误的是( )
A ．插入的第8个数为3
4
B ．插入的第5个数是插入的第1个数的32倍
C ．M >3
D ．N <7
题型二 等比数列的判定与证明
例2 已知数列{a n }的各项均为正数，记S n 为{a n }的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{a n }是等比数列；②数列{S n ＋a 1}是等比数列；③a 2＝2a 1.
注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 等比数列的三种常用判定方法
(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1
＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．
(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．
跟踪训练2 在数列{a n }中，a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，且a 1＝2，a 2＝5.
(1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n .
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题型三 等比数列的性质
例3 (1)(2023·黄山模拟)在等比数列{a n }中，a 1，a 13是方程x 2－13x ＋9＝0的两根，则a 2a 12a 7
的值为( ) A.13 B ．3 C ．±13 D ．±3
(2)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n 且S 8－2S 4＝6，则a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为______．
听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________
思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
跟踪训练3 (1)(2023·六安模拟)在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝16，a 3＋a 4＝24，则a 7＋a 8等于( )
A ．40
B ．36
C ．54
D ．81
(2)等比数列{a n }共有奇数个项，所有奇数项和S 奇＝255，所有偶数项和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(3)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8
的值为( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16。