北京海淀区2016-2017学年高二数学练习：第一章 统计案例 1.3 Word版含解析

1.3　可线性化的回归分析
明目标、知重点　1.进一步体会回归分析的基本思想.2.通过非线性回归分析，判断几种不同模型的拟合程度．
1．常见的非线性回归模型
幂函数曲线y ＝ax b ，指数曲线y ＝a e bx .
倒指数曲线y ＝a e ，对数曲线y ＝a ＋b ln_x .
b x 2．非线性函数可以通过变换转化成线性函数，得到线性回归方程，再通过相应变换得到非线性回归方程．
探究点一　非线性回归模型
思考1　有些变量间的关系并不是线性相关，怎样确定回归模型？
答　首先要作出散点图，如果散点图中的样本点并没有分布在某个带状区域内，则两个变量不呈现线性相关关系，不能直接利用回归方程来建立两个变量之间的关系，这时可以根据已有的函数知识，观察样本点是否呈指数函数关系或二次函数关系，选定适当的回归模型．思考2　如果两个变量呈现非线性相关关系，怎样求出回归方程？
答　可以通过对解释变量进行变换，如对数变换或平方变换，先得到另外两个变量间的回归方程，再得到所求两个变量的回归方程．
例1 某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：
身高x /cm 60708090100110体重y /kg
6.13
7.90
9.99
12.15
15.02
17.50
身高x /cm 120130140150160170体重y /kg
20.92
26.86
31.11
38.85
47.25
55.05
试建立y 与x 之间的回归方程．
解　
根据表中数据画出散点图如图所示．
由图看出，样本点分布在某条指数函数曲线
y ＝c 1e c 2x 的周围，于是令z ＝ln y .x 60708090100110120130140150160170z
1.81
2.07
2.30
2.50
2.71
2.86
3.04
3.29
3.44
3.66
3.86
4.01
画出散点图如图所示．
由表中数据可得＝115，＝2.962 5，i y i ＝4 370.5，＝173 000，x y 12∑i ＝1x 12
∑i ＝1x
2
i ∴b ＝≈0.020，
12
∑i ＝1xiyi －12 x y
12
∑i ＝1
x 2
i －12(x )2∴a ＝－b ≈0.663，
y x ∴z 与x 之间的线性回归方程为z ＝0.663＋0.020x ，则有y ＝e 0.663＋0.020x .
反思与感悟　根据已有的函数知识，可以发现样本分布在某一条指数型函数曲线y ＝c 1e c 2x 的周围，其中c 1和c 2是待定参数；可以通过对x 进行对数变换，转化为线性相关关系．跟踪训练1　在彩色显影中，由经验知：形成染料光学密度y 与析出银的光学密度x 由公式
y ＝A e (b <0)表示．现测得试验数据如下：
b x x i 0.050.060.250.310.070.10y i
0.10
0.14
1.00
1.12
0.23
0.37
x i 0.380.430.140.200.47y i
1.19
1.25
0.59
0.79
1.29
试求y 对x 的回归方程．
解　由题给的公式y ＝A e ，两边取自然对数，便得ln y ＝ln A ＋，与线性回归方程相对照，
b
x b
x 只要取u ＝，v ＝ln y ，a ＝ln A .1x 就有v ＝a ＋bu .
题给数据经变量置换u ＝，v ＝ln y 变成如下表所示的数据：
1
x u i 20.00016.667 4.000 3.22614.28610.000v i －2.303－1.96600.113－1.470－0.994
u i 2.632 2.3267.143 5.000 2.128v i
0.1740.223
－0.528
－0.236
0.255
可得ln y ＝0.548－，
0.146
x 即y ＝e0.548－＝e 0.548·e －≈1.73e －，
0.146x 0.146x 0.146
x 这就是y 对x 的回归方程．探究点二　非线性回归分析
思考　对于两个变量间的相关关系，是否只有唯一一种回归模型来拟合它们之间的相关关系？
答　不一定．我们可以根据已知数据的散点图，把它与幂函数、指数函数、对数函数、二次函数图像进行比较，挑选一种拟合比较好的函数，作为回归模型．
例2　对两个变量x ，y 取得4组数据(1,1)，(2,1.2)，(3，1.3)，(4,1.37)，甲、乙、丙三人分别求得数学模型如下：甲　y ＝0.1x ＋1，
乙　y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，
丙　y ＝－0.8·0.5x ＋1.4，试判断三人谁的数学模型更接近于客观实际．解　甲模型，当x ＝1时，y ＝1.1；当x ＝2时，y ＝1.2；
当x ＝3时，y ＝1.3；当x ＝4时，y ＝1.4.乙模型，当x ＝1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝1.2；当x ＝3时，y ＝1.3；当x ＝4时，y ＝1.3.丙模型，当x ＝1时，y ＝1；当x ＝2时，y ＝1.2；
当x＝3时，y＝1.3；当x＝4时，y＝1.35.
观察4组数据并对照知，丙的数学模型更接近于客观实际．
跟踪训练2　根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快．下面是我国能源生产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：
年份1986199119962001
产量8.610.412.916.1
根据有关专家预测，到2010年我国能源生产总量将达到21.7亿吨左右，则专家所选择的回归模型是下列四种模型中的哪一种( )
A．y＝bx＋a(b≠0)
B．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
C．y＝a x(a>0且a≠1)
D．y＝log a x(a>0且a≠1)
答案　A
1．散点图在回归分析中的作用是( )
A．查找个体个数
B．比较个体数据大小关系
C．探究个体分类
D．粗略判断变量是否相关
答案　D
2．变量x与y之间的回归方程表示( )
A．x与y之间的函数关系
B．x与y之间的不确定性关系
C．x与y之间的真实关系形式
D．x与y之间的真实关系达到最大限度的吻合
答案　D
3．变量x，y的散点图如图所示，那么x，y之间的样本相关系数r最接近的值为( )
A ．1
B ．－0.5
C ．0
D ．0.5答案　C
4．某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有下表关系，现在知道其中一个数据弄错了，则最可能错的数据是____________.
x /万元24568y /万元
30
40
60
50
70
答案　(6,50)[呈重点、现规律]
1．对于确定具有非线性相关关系的两个变量，可以通过对变量进行变换，转化为线性回归问题去解决．建立回归模型的步骤
①确定研究对象，明确变量关系；②画出散点图，观察变量之间的关系；③由经验确定回归方程的类型；④按一定规则估计回归方程中的参数2．常见曲线方程的变换公式
曲线方程变换公式
变换后的线性方程＝a ＋1y b x y ′＝，x ′＝1y 1x y ′＝a ＋bx ′y ＝ax b y ′＝ln y ，x ′＝ln x y ′＝A ＋bx ′(A ＝ln a )
y ＝a ＋b ln x y ′＝y ，x ′＝ln x y ′＝a ＋bx ′y ＝a e bx
y ′＝ln y ，x ′＝x
y ′＝A ＋bx ′(A ＝ln a )
一、基础过关
1．下列说法正确的是( )
①线性回归方程适用于一切样本和总体；
②线性回归方程一般都有时间性；
③样本的取值范围会影响线性回归方程的适用范围；④根据线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值．A ．①③④ B ．②③ C ．①② D ．③④答案　B
2．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其线性回归方程可能是( )A ．y ＝－10x ＋200 B ．y ＝10x ＋200C ．y ＝－10x －200 D ．y ＝10x －200答案　A
3．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点
图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝x ＋1上，则这组样本数据的样本12相关系数为( )
A ．－1
B ．0 C. D ．11
2答案　D
4．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x 1.9934 5.1 6.12y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
对于表中数据，现给出下列拟合曲线，其中拟合程度最好的是( )
A ．y ＝2x －2
B ．y ＝()x
12C ．y ＝log 2x D ．y ＝(x 2－1)12答案　D
解析　可以代入检验，当x 取相应的值时，所求y 与已知y 相差最小的便是拟合程度最高的．
5．对于指数曲线y ＝a e bx ，令u ＝ln y ，c ＝ln a ，经过非线性化回归分析之后，可以转化成的形式为( )
A ．u ＝c ＋bx
B ．u ＝b ＋cx
C ．y ＝b ＋cx
D ．y ＝c ＋bx 答案　A
解析　对方程y ＝a e bx 两边同时取对数，然后将u ＝ln y ，c ＝ln a 代入，不难得出u ＝c ＋bx .6．在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y ＝e bx ＋a 的周围，令z ＝ln y ，求得线性回归方程为z ＝0.25x －2.58，则该模型的回归方程为
________．答案　y ＝e 0.25x －2.58
解析　∵z ＝0.25x －2.58，z ＝ln y ，∴y ＝e 0.25x －2.58.
7.某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：
推销员编号12345工作年限x /年35679推销金额y /万元
2
3
3
4
5
(1)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；
(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．解　(1)设所求的线性回归方程为y ＝bx ＋a ，
则b ＝
＝＝0.5，a ＝－b ＝0.4.
5
∑i ＝1xiyi －5x y
5
∑i ＝1
x 2
i －5x 210
20y x ∴年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ＝0.5x ＋0.4.(2)当x ＝11时，y ＝0.5x ＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)．∴可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．二、能力提升
8．研究人员对10个家庭的儿童问题行为程度(X )及其母亲的不耐心程度(Y )进行了评价结果如下，家庭1,2,3,4,5,6,7,8,9,10，儿童得分：72,40,52,87,39,95,12,64,49,46，母亲得分：79,62,53,89,81,90,10,82,78,70.
下列哪个方程可以较恰当的拟合( )A ．y ＝0.771 1x ＋26.528B ．y ＝36.958ln x －74.604C ．y ＝1.177 8x 1.014 5D ．y ＝20.924e 0.019 3x
答案　B
解析　可以通过画散点图观察知两个变量x 、y 之间大致呈现对数函数关系．9．已知x ，y 之间的一组数据如下表：
x 1.08 1.12 1.19 1.25y
2.25
2.37
2.43
2.55
则y 与x 之间的线性回归方程y ＝bx ＋a 必过点
________________________________________________________________________．答案　(1.16,2.4)
解析　回归方程y ＝bx ＋a 必过样本点的中心(，)，
x y ∵＝
＝1.16，x 1.08＋1.12＋1.19＋1.254＝
＝2.4，
y 2.25＋2.37＋2.43＋2.554
∴样本点的中心为(1.16,2.4)．
10．已知线性回归方程为y ＝0.50x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为________．答案　11.69
解析　当x ＝25时，y ＝0.50×25－0.81＝11.69.
11．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
x 0.250.5124y
16
12
5
2
1
如何建立y 与x 之间的回归方程．
解　画出散点图如图(1)所示，观察可知y 与x 近似是反比例函数关系．
设y ＝ (k ≠0)，令t ＝，则y ＝kt .
k x 1x 可得到y 关于t 的数据如下表：
t 4210.50.25y
16
12
5
2
1
画出散点图如图(2)所示，观察可知t 和y 有较强的线性相关性，因此可利用线性回归模型进行拟合，易得：
＝1.55，＝7.2，i y i ＝94.25，＝21.312 5，
t y 5
∑i ＝1t 5
∑i ＝1t
2i b ＝≈4.134 4，a ＝－b ≈0.791 7，∑5
i ＝1tiyi －5t y ∑5 i ＝1t 2i －5t 2y t 所以y ＝4.134 4t ＋0.791 7，
所以y 与x 的回归方程是y ＝
＋0.791 7.
4.134 4
x
12．某地区六年来轻工业产品利润总额y 与年次x 的试验数据如下表所示：
年次x 123456利润总额y
11.35
11.85
12.44
13.07
13.59
14.41
由经验知，年次x 与利润总额y (单位：亿元)有如下关系：y ＝ab x e 0.其中a 、b 均为正数，求y 关于x 的回归方程．(保留三位有效数字)解　对y ＝ab x e 0两边取对数，得ln y ＝ln a e 0＋x ln b ，令z ＝ln y ，则z 与x 的数据如下表：
x 123456z
2.43
2.47
2.52
2.57
2.61
2.67
由z ＝ln a e 0＋x ln b 及最小二乘法公式，得ln b ≈0.047 7，ln a e 0≈2.38，即z ＝2.38＋0.047 7x ，所以y ＝10.8×1.05x .三、探究与拓展
13．某商店各个时期的商品流通率y (%)和商品零售额x (万元)资料如下：
x 9.511.513.515.517.5y
6
4.6
4
3.2
2.8
x 19.521.523.525.527.5y
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
散点图显示出x 与y 的变动关系为一条递减的曲线．经济理论和实际经验都证明，流通率y
决定于商品的零售额x ，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y ＝a ＋.试根据b x 上表数据，求出a 与b 的估计值，并估计商品零售额为30万元时的商品流通率．
解　设u ＝，则y ≈a ＋bu ，得下表数据：
1x u 0.105 30.087 00.074 10.064 50.057 1y
6
4.6
4
3.2
2.8
u 0.051 30.046 50.042 60.039 20.036 4y
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
进而可得n ＝10，≈0.060 4，＝3.21，
u y －102≈0.004 557 3，
10
∑i ＝1u
2i u i y i －10 ≈0.256 35，
10
∑i ＝1u
u y b ≈≈56.25，0.256 35
0.004 557 3a ＝－b ·≈－0.187 5，
y u 所求的回归方程为y ＝－0.187 5＋.
56.25
x 当x ＝30时，y ＝1.687 5，即商品零售额为30万元时，商品流通率为1.687 5%.。