北师大版七年级下册数学《完全平方公式》整式的乘除说课教学复习课件指导

1.运用乘法公式计算(a-2)2的结果是（ A ）
A．a2-4a+4 B．a2-2a+4
C．a2-4
D．a2-4a-4
2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是( D )
A．(a－b)2
B．(－a－b)2
C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2
课堂检测
基础巩固题
3.运用完全平方公式计算: (1) (6a+5b)2=__3_6_a_2_+_6_0_a_b_+_2_5_b_2； (2) (4x-3y)2=_1_6_x_2_-2_4_x_y_+_9_y_2___ ； (3) (2m-1)2 =___4_m__2-_4_m_+__1____； (4)(-2m-1)2 =__4_m__2_+_4_m_+_1_____.
解：(1)因为x-y＝6，xy=-8， (x-y)2＝x2+y2-2xy，
所以x2+y2＝(x-y)2+2xy ＝36-16＝20；
(2)因为x2+y2＝20，xy=-8，
所以(x+y)2＝x2+y2+2xy ＝20-16＝4.
小结：本题要熟练掌握 完全平方公式的变式： x2＋y2＝(x－y)2＋2xy ＝(x+y)2－2xy, (x－y)2＝(x+y)2－4xy.
探究新知
知识点 1 完全平方公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am+an +bm +bn
（x ＋ 3)( x＋3） =x2 ＋3x ＋3x ＋9 =x2＋6x ＋9
探究新知
观察下列算式及其运算结果，你有什么发现？ ( m + 3 )2= ( m + 3 ) ( m + 3 ) = m 2 + 3m + 3m + 9 = m 2 + 2×3m + 9 = m 2 + 6m + 9， ( 2 + 3 x ) 2 = ( 2 + 3x ) ( 2 +3 x ) = 22 + 2 ×3 x +2×3 x + 9 x2= 4 + 2×2×3 x + 9 x2 = 4 + 12 x + 9 x2 ．
（3）( x + 5 ) 2 -（x-2）(x-3）
解： （1）( x + 3 )2 - x2 = x2 + 6 x + 9- x2= 6x+ 9； （2）( a + b + 3 ) ( a + b - 3 ) =[(a+b)+3][(a+b)-3] = ( a + b )2 - 32 = a2 + 2 ab + b2 - 9；
探究新知
思考: 你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗?
b
a ab 图1
b a
b a 图2
探究新知
几何解释:
b
a
=
+
a
b
a2
ab
和的完全平方公式： （a+b)2= a2+2ab+b2 .
+
+
ab
b2
探究新知
几何解释:
a−b
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
a
b
ab
a
(a−b)2 = a2 −ab −b(a−b) = a2−2ab+b2 .
巩固练习
变式训练
（1）已知x+y=10,xy=24,则x2+y2=__5_2__
已知
x
1 x
10,
则
x2
1 x2
_9_8___
（2）如果x2+kx+81是运用完全平方式得到的结果，
则k=__1_8_或__-18
如果x2+6x+m2是完全平方式，则m的值是_3_或__-_3
（3）已知ab=2,(a+b)2=9,则(a-b)2的值为_1_____ 若题目条件不变，则a-b的值为__±__1_
＝1002-400+4-1002+1＝-395； (2)原式＝20162-2×2016×2015+20152
＝(2016-2015)2＝1.
探究新知
素养考点 2 灵活运用乘法公式进行计算 例2 计算：（1）( x + 3 ) 2 - x 2 ；（2）( a + b + 3 ) ( a + b - 3 )；
1.6 完全平方公式 第2课时
课件
导入新知
有一位老人非常喜欢孩子，每当有孩子到他家做客时，老 人都要拿出糖果招待他们.来一个孩子，老人就给这个孩子一块 糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块糖，来三个，就给每 人三块糖，……
第一天有 a 个男孩一起去了老人家,第二天有 b 个女孩一起去 了老人家，第三天这(a + b)个孩子一起去看老人，这些孩子第 三天得到的糖果数与前两天他们得到的糖果总数哪个多？多多 少？
巩固练习
变式训练
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2；
(2)(－3m－4n)2；
(3)(－3a＋b)2.
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2；
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
(3)(－3a＋b完全平方公式的变形求整式的值 例2 已知x-y＝6，xy=-8.求: (1) x2+y2的值； (2)(x+y)2的值.
解：（1）(2x-3)2 = (2x)2-2·2x·3+32 =4x2-12x+9；
（2）(4x+5y)2 =(4x)2+2·4x·5y+(5y)2 =16x2+40xy+25y2；
（3）( mn-a)2=(mn)2-2·mn·a+a2=m2n2-2amn+a2．
巩固练习
变式训练
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
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1.6 完全平方公式 第1课时
课件
导入新知
这是我们学校门口那个边长为a米的正方形花坛，现 要进行扩建，将它的边长增加b米，你有哪些方法求出扩建 后的正方形花坛的面积？比一比看谁方法多？
b
a
a
b
素养目标
2. 灵活应用完全平方公式进行计算. 1. 理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构 特点、 几何解释.
连接中考
（2020•枣庄）图(1)是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形， 用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小 都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间 空余的部分的面积是（ C ）
A．ab
B．（a+b）2 C．（a-b）2 D．a2﹣b2
课堂检测
基础巩固题
探究新知
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的 形式表示实验田的总面积, 并进行比较.
直接求：总面积=（a+b)(a+b) b
间接求：总面积=a2+ab+ab+b2
你发现了什么？
a
（a+b)2=a2+2ab+b2
a
b
探究新知
=4x2+4xy+y2﹣4； （2）原式=x2+14x+49﹣x2+6x﹣8
=20x+41．
连接中考 1.（2020•宿迁）已知a+b=3，a2+b2=5，则ab=__2___． 2.（2020•成都）已知a=7-3b，则代数式a2+6ab+9b2 的值为__4_9____．
课堂检测
基础巩固题
1．如图，从边长为（a+1） cm的正方形纸片中剪去一个边长 为（a﹣1） cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成 一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ C ）
(1)(x+y)2=x2 +y2
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
×
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2 × (-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
= 1002+2×100×2+22
=2002-2×200×3+32
= 10000+400+4
=40000-1200+9
=10404；
=38809．
探究新知
素养考点 1 利用完全平方公式进行简便计算
例1 运用完全平方公式计算：
(1) 1042；
(2) 992.
解： 1042 = (100+4)2
992 = (100 –1)2
(2)原式=[(x-y)-(m-n)][(x-y)+(m-n)] =(x-y)2-(m-n)2 =x2-2xy+y2-m2+2mn-n2.
课堂检测
拓广探索题
1.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
A．2 cm2 B．2a cm2 C．4a cm2 D．（a2﹣1） cm2
2．若（x+m）2=x2﹣6x+n，则m、n的值分别为（ C ）
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的 式子，可能需要先添括号变形 成符合公式的要求才行 3.弄清完全平方公式和平方差公 式不同（从公式结构特点及结 果两方面）
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2.
北师大版 数学 七年级 下册
=10000+800+16 =10000 -200+1
=10816.
=9801.
方法总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟 记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全 平方公式的形式．
巩固练习
变式训练 利用乘法公式计算：
(1)982-101×99； (2)20162-2016×4030+20152. 解：(1)原式＝(100-2)2-(100+1)(100-1)
（3）( x + 5 )2 - ( x - 2 ) ( x - 3 ) = x2 + 10 x + 25 - ( x 2 - 5 x + 6 ) = x2 + 10 x + 25 - x2 + 5 x - 6 = 15 x + 19．
巩固练习
变式训练
计算：
（1）（2x+y﹣2）（2x+y+2）； （2）（x+7）2﹣（x﹣2）（x﹣4）. 解：（1）原式=（2x+y）2﹣4
素养目标
3. 会利用公式变形进行整式乘法运算. 2. 灵活应用乘法公式进行化简计算. 1. 灵活掌握运用完全平方公式进行简便计算.
探究新知
知识点
完全平方公式的运用
怎样计算1022 ，1972 更简单呢？
（1）1022 ； 解：
（2）1972 ．
（1）1022=(100+2)2
（2）1972=(200-3)2
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝ 64，运用这一方法计算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792 ＝____2_5___．
课堂检测
能力提升题
计算 (1)(3a＋b－2)(3a－b＋2)； (2)(x－y－m＋n)(x－y＋m－n)．
解：(1)原式=[3a＋(b－2)][3a－(b－2)] =(3a)2－(b－2)2 =9a2-b2+4b-4.
问题1 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1） （p-1)2=(p-1)(p-1)= p2-2p+1 . （2） （m-2)2=(m-2)(m-2)= m2-4m+4 . 问题2 根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
（a-b)2= a2-2ab+b2 .
探究新知
完全平方公式
（a+b)2= a2+2ab+b2 . （a-b)2= a2-2ab+b2 . 也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们 的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个 公式叫做（乘法的）完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中间”
差的完全平方公式： （a-b)2= a2-2ab+b2 .
探究新知 观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
(a+b)2= a2+2ab+b2. (a-b)2=a2-2ab+b2.
1.说一说积的次数和项数. 2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有什么关系？
3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与a, b有什么 关系？它的符号与什么有关？
2.已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：因为x+y=8, 所以(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
因为x-y=4,所以(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②; 由①-②得 4xy=48 所以xy=12.
课堂小结
法则
完全平方 公式
注意
常用 结论
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
探究新知 公式特征： 1.积为二次三项式； 2.积中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍，且与两数中间的符号相同. 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
探究新知 素养考点 1 利用完全平方公式进行计算 例1 利用完全平方公式计算： （1）( 2 x - 3 ) 2 ； （2）( 4 x + 5 y )2 ；（3）( mn - a ) 2 ．