数学-2024届新高三开学摸底2024届高二下学期 数学考试及答案解析

2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）01
数学•全解全析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{
}2230
A x x x =--<，{}04
B x x =<<，则()R
A B = ð（
）
A.(]
0,3 B.()
0,3C.
[)3,4 D.
[)
1,4-【答案】C 【解析】
【分析】利用补集和交集的运算法则求解.
【详解】由已知得{
}{}
2
23013A x x x x x =--<=-<<，则(){}
34R A B x x ⋂=≤<ð，故选：C.
2.若,,R a b c ∈，则“ac bc =”是“a b =”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】
【分析】根据充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】若0c =，令2,1a b ==，满足ac bc =，但a b ¹；若a b =，则ac bc =一定成立，
所以“ac bc =”是“a b =”的必要不充分条件.故选：B
3.已知袋中装有8个大小相同的小球，其中4个红球，3个白球，1个黄球，从袋中任意取出3个小球，则其中恰有2个红球的概率为（）
A.
37
B.
47
C.
17
D.
928
【答案】A 【解析】
【分析】根据古典概型的概率计算公式即可求得答案.
【详解】由题意得从袋中任意取出3个小球，共有3
8C 56=种取法，其中恰有2个红球的取法有2
1
44C C 24=，故其中恰有2个红球的概率为243
567
P ==，故选：A
4.已知随机变量X 的分布列如表（其中a 为常数），则下列计算结果正确的是（）
A.0.2a =
B.()20.7P X ≥=
C.() 1.5E X =
D.()0.84
D X =【答案】D 【解析】
【分析】先由0.20.30.41a +++=，求得0.1a =，再逐项判断.【详解】解：由0.20.30.41a +++=，解得0.1a =，则()20.40.10.5P X ≥=+=，
()00.210.320.430.1 1.4E X =⨯+⨯+⨯+⨯=，
()()()()()2
2
2
2
0 1.40.21 1.40.32 1.40.43 1.40.10.84D X =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，
故选：D
5.已知函数()()1e x
f x x mx =--在区间[]
2,4上存在单调减区间，则实数m 的取值范围为（
）
A.)
44e ,+∞
⎡⎣ B.()
2
4
2e ,4e C.)22e ,∞
⎡+⎣ D.
()
2
2e ,+∞【答案】D 【解析】
【分析】求出()f x '，由题意()0f x '<在[2,4]上有解，再转化为求新函数的最小值．【详解】由已知e (1)e e 0()x x x x m x f x m '-==+--<在[2,4]上有解，即e x m x >在[2,4]上有解，
设()e x g x x =，则()()1e 0x
g x x =+>'
在[2,4]上恒成立，因此()g x 在[2,4]上是增函数，
2min ()(2)2e g x g ==，
所以22e m >，故选：D ．
6.
在二项式6
的展开式中，把所有的项进行排列，有理项都互不相邻，则不同的排列方案为（
）
A.5
2
56A A 种 B.43
45A A 种
C.52
57A A 种
D.42
42A A 种
【答案】A 【解析】
【分析】先写出二项展开式的通项，找出有理项和无理项的项数，再利用排列组合中的插空法求解即可.
【详解】解：因为二项展开式的通项为12364
16
6
C C r r
r
r
r r T x
--+=⋅=⋅，
又因为06r ≤≤，
所以当0r =或4r =时，为有理项，所以有理项共有2项，其余5项为无理项，
先排5项为无理项，共有5
5A 种排法，再排2项有理项，共有2
6A 种排法，
所以有理项互不相邻的排法总数为：52
56A A 种.故选：A.
7.[]12,1,e x x ∀∈，当12x x <时，都有()1
122
ln x a x x x <-，则实数a 的最大值为（）
A.
2
1e B.
1e
C.
D.1
【答案】B 【解析】
【分析】依题意1122ln ln x ax x ax -<-对[]12,1,e x x ∀∈，当12x x <时恒成立，()ln h x x ax =-，[]1,e x ∈，则问题转化为()h x 在[]1,e 上单调递增，求出函数的导函数，则()0h x '≥在[]1,e 上恒成立，参变分离可得
a 的取值范围，即可得解.
【详解】因为[]12,1,e x x ∀∈，当12x x <时，都有()1
122
ln
x a x x x <-，即1212ln ln x x ax ax -<-，即1122ln ln x ax x ax -<-，令()ln h x x ax =-，[]1,e x ∈，则()()12h x h x <恒成立，即()ln h x x ax =-在[]1,e 上单调递增，又()1
h x a x
'=-，所以()10a x h x =-≥'在[]1,e 上恒成立，
所以1a x
≤
在[]1,e 上恒成立，因为()1
g x x =在[]1,e 上单调递减，
所以()()min 1e e g x g ==，所以1
e
a ≤，即实数a 的最大值为1e .
故选：B
8.根据汕头市气象灾害风险提示，5月12日～14日我市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至36处.已知有包括甲乙在内的5个排水施工队前往3个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同个易涝路口，则不同的安排方法有（）
A.86
B.100
C.114
D.136
【答案】C 【解析】
【分析】先将5个施工队按照3，1，1和2，2，1两种模式分成3组，注意排除甲、乙两个施工队放在一个组的种数，然后再将分好组的施工队派往3个不同的易涝路口，即可得出答案.
【详解】解：若将5个施工队分成3组，则有如下两种情况，
第一种，按照3，1，1模式分组，则有311
521
2
2C C C 10A =种分组方法，第二种，按照2，2，1模式分组，则有221531
2
2
C C C 15A =种分组方法，所以将将5个施工队分成3组，共有101525+=种分组方法，
其中，如果甲、乙施工队和另外一个队构成一个组，则有1
3C 3=种分组方法，如果甲、乙施工队单独构成一个组，则有2
3C =3种分组方法，所以将甲、乙两个施工队放在一个组，共有336+=种分组方法，
所以将5个施工队分成3组，甲、乙两个施工队不在一个组的分组方法有25619-=种，现将分好组的施工队派往3个不同的易涝路口，则有3
3A 6=种安排方法，所以符合题意的安排方法共有196144⨯=种.故选：C .
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.研究变量x ，y 得到一组样本数据，进行回归分析，以下说法正确的是（
）
A.经验回归直线ˆˆˆy bx a =+至少经过点1122(,),(,)x y x y ，⋅⋅⋅，(),n n x y 中的一个
B.若所有样本点()()1,1,2,i x y i n =都在直线1
12
y x =
+，则这组样本数据的样本相关系数为1C.在经验回归方程ˆ28y
x =-+中，当解释变量x 每增加1个单位时，响应变量ˆy 平均增加2个单位D.用决定系数2R 来比较两个模型的拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越差【答案】BD 【解析】
【分析】根据成对数据的线性相关关系的样本相关系数和决定系数的定义以及回归方程的概念求解.
【详解】对A ，经验回归直线ˆˆˆy bx a =+可以不经过点1122(,),(,)x y x y ，⋅⋅⋅，(),n n x y 中的任意一个，A
错误；
对B ，因为所有样本点()()1,1,2,,i x y i n =⋅⋅⋅都在直线1
12
y x =+，所以样本相关系数为1，B 正确；
对C ，在经验回归方程ˆ28y
x =-+中，当解释变量x 每增加1个单位时，响应变量ˆy 平均减少2个单位，C 错误；
对D ，用决定系数2R 来比较两个模型的拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越差，D 正确；故选:BD.
10.已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是（）
A.若0b a <<，则22
bc ac <B.若33a b >且0ab <，则11a b >C.若0a b c >>>，则a a c
b b
c +>
+D.若0c b a >>>，则
a b
c a c b
>--【答案】BC 【解析】
【分析】利用不等式的性质以及函数的单调性求解.
【详解】选项A ，若0c =时，22bc ac <不成立，故选项A 不正确；选项B ，由于函数()3
f x x =在R 上单调递增，所以a b >，又因为0ab <，
所以0a b >>，所以
11
a b
>，故选项B 正确；选项C ，因为0a b c >>>，所以ac bc >，所以ac ab bc ab +>+，因为
()10b b c >+，所以两边同乘()1b b c +得a a c b b c
+>+，故选项C 正确；选项D ，因为0,0,0a b c a c b -<->->，
所以
()()()0c a b a b c a c b c a c b --=<----，即a b
c a c b
<--，故选项D 不正确；故选：BC.
11.下列结论正确的是（
）
A.若随机变量Y 的方差()2D Y =，则()328
D Y +=B.已知随机变量X 服从二项分布1,3B n ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
，若()316E X +=，则5n =C.若随机变量η服从正态分布(
)2
5,N σ
，()20.1P η≤=，则()280.8
P η<<=D.若事件A 与B 相互独立，且()0.5P A =，()0.2P B =，则()
0.4P AB =【答案】BCD 【解析】
【分析】对于A ，根据方差的性质分析判断，对于B ，根据二项分布的期望公式分析求解，对于C ，根据正态分布的性质分析判断，对于D ，根据相互独立事件的概率公式判断.
【详解】对于A ，因为随机变量Y 的方差()2D Y =，所以()()2
3239218D Y D Y +==⨯=，所以A 错
误，
对于B ，因为随机变量X 服从二项分布1,3B n ⎛⎫ ⎪⎝
⎭，所以1()3
E X n =
，因为()316E X +=，所以13()13163
E X n +=⨯+=，得5n =，所以B 正确，对于C ，因为随机变量η服从正态分布(
)2
5,N σ
，()20.1P η≤=，
所以()()()2820.5220.50.10.8P P ηη<<=-≤=⨯-=⎡⎤⎣⎦，所以C 正确，对于D ，因为事件A 与B 相互独立，且()0.5P A =，()0.2P B =，
所以()()()
()()()10.510.20.4P AB P A P B P A P B ==-=⨯-=⎡⎤⎣⎦，所以D 正确，故选：BCD
12.已知函数()2
e ax
f x x bx =++，0ab ≠，则下列结论正确的是（
）
A.当0a b +=时，函数()f x 在(),0∞-上是减函数
B.当2a b +=-时，方程()0f x =有实数解
C.对任意a ，b ，()f x 存在唯一极值点
D.对任意a ，b ，曲线()y f x =过坐标原点的切线有两条【答案】ACD 【解析】
【分析】对于A ，求导之后分类讨论，即可判断；对于B ，利用导数判断函数单调性，求函数最值，根据最值情况判断函数的零点情况；对于C ，求出函数导数，数形结合，判断导数正负，从而判断函数单调性，确定函数极值点；对于D ，设切点为(,)m n ，则可得2e am m n m b =++，利用导数的几何意义可得方程，结合方程的根的个数，判断切线的条数；
【详解】对于A ，当0a b +=时，则()2
e ax
f x x ax =+-，
所以()()
e 2e 12ax
ax
f x a x a a x '=+-=-+，
当0x <时，若0a >，则e 1ax <，则(
)
e 10ax
a -<，20x <，
所以()0f x '<，则()f x 单调递减；
当0x <时，若0a <，则e 1ax >，则(
)
e 10ax
a -<，20x <，所以()0f x '<，则()f x 单调递减；
所以当0a b +=时，函数()f x 在(),0∞-上是减函数，故A 正确；
对于C ，由已知0ab ≠，函数()2
e ax
f x x bx =++，可得()e 2ax
f x a x b '=++，
令()()2e 2,e 20ax
ax
g x a x b g x a '=++∴=+>，
则()g x 即()e 2ax
f x a x b '=++在R 上单调递增，
令()e 20ax
f x a x b '=++=，则e 2ax a x b =--，
当0a >时，做出函数e ,2ax y a y x b ==--的大致图像如图：
当0a <时，做出函数e ,2ax y a y x b =--的大致图像如图：
可知e ,2ax y a y x b ==--的图像总有一个交点，即()e 20ax
f x a x b '=++=总有一个根0x ，
当0x x <时，()0f x '<；当0x x >时，()0f x ¢>，此时()f x 存在唯一极小值点，C 正确；
对于B ，当2a b +=-时，2=--b a ，()2
e (2)ax
f x x a x =+-+，
故()e 22ax
f x a x a '=+--，该函数为R 上单调增函数，
()()020,1e (e 1)0a a f f a a a ''=-<=-=->，
故(0,1)s ∃∈，使得()0f s '=，即22e 1as
s a a
=-
++，结合C 的分析知，()f x 的极小值也即最小值为2
222
e (2)1(2())as
f s a s s s a s a a
s +-+=-
+++-+=，令2221)2)((s s a s a a m s -
+++-+=，则()2
2(2)m s s a a
'=-++，且为增函数，
当0a <时，2
(2)2)0(0a a
m -++≥=>'，当且仅当a =时取等号，
故当0s >时，()()00m s m ''>>，则()f s 在()0,1上单调递增，故2()(0)1f s f a >=
+，令3a =-，则21
(0)10,()(0)03
f f s f a =+=>∴>>，此时()f x 的最小值为()0f s >，()f x 无零点，B 错误；
对于D ，由于()01f =，故原点不在曲线()2
e ax
f x x bx =++上，且()e 2ax
f x a x b '=++，
设切点为2e
(,),am
m n n bm m =++，则()2e e
2am am
n m bm
f m a m b m m
++'=++==
，即e e
am
am
a m m
+=，即2e (1)0am am m -+=，令2()e (1)am h m am m =-+，2()e (1)e 2(e 2)am am am h m a am a m m a '=-++=+，当0m <时，()0h m '<，()h m 在(,0)-∞上单调递减，当0m >时，()0h m '>，()h m 在(0,)+∞上单调递增，故min ()(0)1h m h ==-，
当m 趋向负无穷时，e (1)am am -的值趋近于0，2m 趋近于无穷大，故()h m 趋近于正无穷大，当m 趋向正无穷时，e (1)am am -的值趋近于正无穷大，2m 趋近于无穷大，故()h m 趋近于正无穷大，故()h m 在(,0)-∞和(0,)+∞上各有一个零点，即2e (1)0am am m -+=有两个解，故对任意a ，b ，曲线()y f x =过原点的切线有两条，D 正确；故选：ACD
【点睛】难点点睛：本题综合新较强，综合考查了导数的几何意义以及极值点、零点、最值问题，计算量较大；难点在于利用导数解决函数的零点问题时，要能构造恰当的函数，结合零点存在定理判断导数值的情况，从而判断函数的单调性，求得最值，解决零点问题.
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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．现从4名男志愿者和3名女志愿者中，选派2人分别去甲、乙两地担任服务工作，若被选派的人中至少有一名男志愿者，则不同的选派方法共有___________种.(用数字作答)【答案】36
【详解】依题意分两种情况讨论，①选一名男志愿者与一名女志愿者，则有11243224
C C A =种选派方法；
②选两名男志愿者，则有224212C A =种选派方法；
综上可得一共有241236+=种选派方法；故答案为：36
14．
《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭ABCD EFHG -，其中上底面与下底面的面积之比为1:4，6
2
BF EF =
，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为体积为______.
在等腰梯形ABFE 中，因为所以MN EF =，EM FN =因为AE BF =，EM FN =，所以Rt Rt AME BNF ≌△△15．设函数f (x )＝sin 3x πω⎛⎫
+ ⎪⎝
⎭
在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是
16．已知F 为双曲线()0,0122
22>>=-b a b
y a x C ：的右焦点，A 、B 是双曲线C 的一条渐近
线上关于原点对称的两点，0=⋅BF AF 且线段AF 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率=
e .
17．记△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin 2sin cos 2sin c A B A a A
+=．（1）求B 的大小；
（2）若b =，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．
底面
,
为
的中点,
是棱
(不与端点重合)上的
点,
,
,.
(1)求证:平面平面;
(2)当的长为何值时,平面
与平面所成的角的大小为?
【解析】(1)
,
为的中点,
,
,
,
四边形为平行四边形,.
,.
,,.
又平面平面,平面平面,
平面,.又,平面.
平面,平面平面.
(2)由(1)可知平面.如图,以为原点,分别以,,所在直线为
轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
,,,,
.
设,则,且,得,
.
设平面的法向量为,
则,即,
令,则,,
平面的一个法向量为.
设平面的法向量为,
则,即
令,则,,
平面的一个法向量为.
平面
与平面
所成的锐二面角的大小为
,
,
.
.
即当时,平面与平面所成的角大小为
19．已知函数f (x )＝e x －ax －a ，a ∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)当a ＝1时，令g (x )＝2f (x )
x 2
.证明：当x >0时，g (x )>1.
20．已知数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，0,n d S ≠为{}n a 的前n 项和．
()()()
2
3345232555C 1C 1C 61510p p p p p p p p ⎡⎤=-+-+=-+⎣⎦
，
）
的垂直平分线交半径2F M 与点P ，
1PF ，
24MF ==是定值，1224F F =<，
点轨迹为椭圆，其长轴为4，焦距为2，
Q 的方程22143
x y +=.
所以6,2S ⎛∈ ⎝⎦.。