9.5.3多项式的因式分解-分组分解法(课件)-七年级数学下册(苏科版)

二二分组
ax+bx
+
ay+by
提公因式
x(a+b)
+
y(a+b)
②再将x(a+b)+y(a+b)提公因式(a+b)，可得：(a+b)(x+y)
01
情境引入
Q4-2：x2-2xy+y2-1具体是如何因式分解的？
因式分解
原式
多项式的乘法
(x-y+1)(x-y-1)
(x-y)2-1
x2-2xy+y2-1
分解吗？
【分析】是，符合因式分解的定义：把一个多项式写成几个整式
的积的形式，叫做多项式的因式分解。
01
情境引入
Q4-1：ax+bx+ay+by具体是如何因式分解的？
因式分解
原式
多项式的乘法
(a+b)(x+y)
x(a+b)+y(a+b)
ax+bx+ay+by
①先将ax+bx+ay+by二二分组+提公因式
公因式，二是分组后能运用公式。
对于常见的四项式，一般有两种分法：①二二分法，②三一分法。
【注意点】
一般地，因式分解一个四项式时，若其中三项可以构成完全平方式，则为三一分组，否则为二二
分组。
2
例2、分解因式：16- a + ab- b 。



【分析】
2
2
原式=16-( a - ab+ b )



2
2
=4 -( a- b)




=(4+ a- b)(4- a+ b)




=-( a- b+4)( a- b-4)


分组分解法
【分析】第一步：分组，运用公式法-平方差
原式=(16x2-9y2)-(4x-3y)
=(4x+3y)(4x-3y)-(4x-3y)
第二步：提公因式(4x-3y)
=(4x-3y)(4x+3y-1)
二二分组
02
知识精讲
分解因式：(1)a2-2ab+b2-4；
【分析】第一步：分组，运用公式法-完全平方
原式=(a2-2ab+b2)-4
对于常见的四项式，一般有两种分法：①二二分法，②三一分法。
eg：①二二分组：
ax+ay+bx+by=(ax+bx)+(ay+by)=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)
②三一分组：
x2-2xy+y2-1=(x2-2xy+y2)-1=(x-y)2-1=(x-y+1)(x-y-1)
02
知识精讲
你能找到其他方法对上述两式进行因式分解吗？
01
情境引入
Q2-1：因式分解
(a+b)(x+y)
(1)x(a+b)+y(a+b)=__________________；
(x-y+1)(x-y-1)
(2)(x-y)2-1=__________________。
Q2-2：多项式的乘法
(1)x(a+b)+y(a+b)=__________________；
将(m-2n)2
看作整体
=(m-2n+1)2(m-2n-1)2
03
拓展——多项分组
典例精析
例4、分解因式：a2-4b2-c2+a+2b+4bc-c。
【分析】第一步：按照“4+3”分组，运用公式法-完全平方
原式=a2+a+(2b-c)-(4b2-4bc+c2)
=a2+a+(2b-c)-(2b-c)2
【分析】第一步：按照“1+3+1”分组，提公因式
原式=(m-2n)4-(2m2-8mn+8n2)+1
第三步：运用公式法-完全平方
=(m-2n)4-2(m2-4mn+4n2)+1
=[(m-2n)2-1]2
第二步：运用公式法-完全平方
第四步：运用平方差公式
=(m-2n)4-2(m-2n)2+1
=[(m-2n+1)(m-2n-1)]2
的拓展
03
典例精析
例1、分解因式：2ax-3bx+x-2a+3b-1。
【分析】法一：
第一步：按照“3+3”分组，提公因式
原式=(2ax-3bx+x)-(2a-3b+1)
=x(2a-3b+1)-(2a-3b+1)
第二步：提公因式(2a-3b+1)
=(2a-3b+1)(x-1)
拓展——多项分组
03
典例精析
=(a-b)2-4
第二步：运用公式法-平方差
=(a-b+2)(a-b-2)
三一分组
02
知识精讲
分解因式：(2)1-4x2+4xy-y2；
【分析】第一步：分组，运用公式法-完全平方
原式=1-(4x2-4xy+y2)
=1-(2x-y)2
第二步：运用公式法-平方差
=(1+2x-y)(1-2x+y)
=-(2x-y+1)(2x-y-1)
原式=(ax-bx)+(ay-by)
=x(a-b)+y(a-b)
第二步：提公因式(a-b)
=(a-b)(x+y)
二二分组
02
二二分组
知识精讲
分解因式：(2)ac2+bd2-ad2-bc2；
【分析】法一：
第一步：分组，提公因式（选择a、b作为公因式）
原式=(ac2-ad2)+(bd2-bc2)
Байду номын сангаас
=a(c2-d2)+b(d2-c2)
=(y-1)2-m2
02
知识精讲
分组分解法
【注意点】
一般地，因式分解一个四项式时，若其中三项可以构成完全平方式，
则为三一分组，否则为二二分组。
03
典例精析
例1、下列分解因式错误的是（ D ）
A．15a2+5a=5a(3a+1)
B．-x2-y2=-(x2+y2)
C．ax+x+ay+y=(a+1)(x+y)
例2、分解因式：a2+ab+2ac+bc+c2。
【分析】
第一步：按照“3+2”分组，运用公式法-完全平方&提公因式
原式=(a2+2ac+c2)+(ab+bc)
=(a+c)2+b(a+c)
第二步：提公因式(a+c)
=(a+c)(a+b+c)
03
拓展——多项分组
典例精析
例3、分解因式：(m-2n)4-2m2-8n2+8mn+1。
ax+bx+ay+by
(2)(x-y)2-1=__________________。
x2-2xy+y2-1
01
情境引入
因式分解
原式
多项式的乘法
(a+b)(x+y)
x(a+b)+y(a+b)
ax+bx+ay+by
(x-y+1)(x-y-1)
(x-y)2-1
x2-2xy+y2-1
Q3：ax+bx+ay+by=(a+b)(x+y)、x2-2xy+y2-1=(x-y+1)(x-y-1)是因式
第二步：提公因式(c2-d2)
第三步：运用公式法-平方差
=a(c2-d2)-b(c2-d2)
=(c+d)(c-d)(a-b)
=(c2-d2)(a-b)
02
二二分组
知识精讲
分解因式：(2)ac2+bd2-ad2-bc2；
法二：第一步：分组，提公因式（选择a、b作为公因式）
原式=(ac2-bc2)+(bd2-ad2)
将(2b-c)
看作整体
第二步：二二分组，运用公式法-平方差
=[a2-(2b-c)2]+[a+(2b-c)]
第三步：提公因式(a+2b-c)
=(a+2b-c)(a-2b+c)+(a+2b-c)
=(a+2b-c)(a-2b+c+1)
课后总结
【分组分解法】
分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现
例1、分解因式：2ax-3bx+x-2a+3b-1。
【分析】法二：
第一步：按照“2+2+2”分组，提公因式
原式=(2ax-2a)-(3bx-3b)+(x-1)
=2a(x-1)-3b(x-1)+(x-1)
第二步：提公因式(x-1)
=(x-1)(2a-3b+1)
拓展——多项分组
03
典例精析
拓展——多项分组
也可以选择x2、y2作为公因式
02
知识精讲
分解因式：(4)9m2-n2+3m-n；
【分析】第一步：分组，运用公式法-平方差
原式=(9m2-n2)+(3m-n)
=(3m+n)(3m-n)+(3m-n)
第二步：提公因式(3m-n)
=(3m-n)(3m+n+1)
二二分组
02
知识精讲
分解因式：(5)16x2-4x-9y2+3y。
分解因式：(1)ax-by-bx+ay；
【分析】法一：
第一步：分组，提公因式（选择a、b作为公因式）
原式=(ax+ay)-(bx+by)
=a(x+y)-b(x+y)
第二步：提公因式(x+y)
=(x+y)(a-b)
二二分组
02
知识精讲
分解因式：(1)ax-by-bx+ay；
法二：第一步：分组，提公因式（选择x、y作为公因式）
=c2(a-b)+d2(b-a)
第二步：提公因式(a-b)
第三步：运用公式法-平方差
=c2(a-b)-d2(a-b)
=(a-b)(c+d)(c-d)
=(a-b)(c2-d2)
02
二二分组
知识精讲
分解因式：(3)(ax+by)2+(ay-bx)2；
【分析】第一步：去括号
第三步：提公因式(x2+y2)
原式=a2x2+2abxy+b2y2+(a2y2-2abxy+b2x2)
=(x2+y2)(a2+b2)
=a2x2+b2y2+a2y2+b2x2
第二步：分组，提公因式（选择a2、b2作为公因式）
=(a2x2+a2y2)+(b2y2+b2x2)
=a2(x2+y2)+b2(x2+y2)
第一步：分组提公因式，
教学目标
01
理解分组分解法的概念，掌握常见四项式的分组规律
02
能运用分组分解法对四项或四项以上多项式进行因式分解
分组分解法
01
情境引入
Q1：下列四项式能否直接用提公因式法或公式法因式分解
(1)ax+bx+ay+by；
(2)x2-2xy+y2-1。
【分析】四项间无公因式，无法用提公因式法；
两项逆用平方差公式，三项逆用完全平方公式，四项无法用公式法。
D．a2-bc-ab+ac=(a-b)(a-c)
【分析】
C、ax+x+ay+y=(ax+x)+(ay+y)=x(a+1)+y(a+1)=(a+1)(x+y)，正确；
D、a2-bc-ab+ac=(a2-ab)+(ac-bc)=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)，错误。
03
典例精析
2
三一分组
02
三一分组
知识精讲
分解因式：(3)y(y-2)-(m-1)(m+1)。
【分析】第一步：去括号
第三步：运用公式法-平方差
原式=y2-2y-(m2-1)
=(y-1+m)(y-1-m)
=y2-2y-m2+1
=(y+m-1)(y-m-1)
第二步：分组，运用公式法-完全平方
原式=(y2-2y+1)-m2
①先将x2-2xy+y2-1三一分组+公式法
三一分组
x2-2xy+y2
-
1
公式法-完全平方
(x-y)2
-
1
②再将(x-y)2-1运用公式法-平方差，可得：(x-y+1)(x-y-1)
02
知识精讲
分组分解法
【分组分解法】
分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有
两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能运用公式。