最新超全的高中数学思维导图

超全的高中数学思维导图
高难拉分攻坚特训(一)
1．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2
＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1
k 2
的取
值范围为( )
A ．(1,6)
B ．(1,5)
C ．(3,6)
D ．(3,5)
答案 D
解析 由于椭圆M ：x 2a
2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2
在第一象限有公共点P ，所以⎩⎨⎧
a 2>6－a 2，6－a 2
>1，
解得3<a 2
<5.设椭圆M ：x 2a 2＋y 2
＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在
第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0x
a 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1
k 2＝a 2，所
以k 1
k 2
∈(3,5)，故选D. 2．已知数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝4－4
a n
，且f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3
－2)＋(a 3－2)(a 4－2)＋…＋(a n －1)(a n ＋1－2)，若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立，则实数m 的最小值为________．
答案 －1
解析 ∵a 1＝4，a n ＋1＝4－4
a n
，∴
2a n ＋1－2＝24a n －4a n －2
＝a n a n －2＝1＋2
a n －2
，又
2a 1－2＝1，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫2a n －2是以1为首项，1为公差的等差数列，∴2a n －2＝1＋n
－1＝n ，a n －2＝2n ，令b n ＝(a n －2)(a n ＋1－2)＝2n ·2n ＋1＝4⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －1n ＋1，
∴f (n )＝(a 1－2)(a 2－2)＋(a 2－2)(a 3－2)＋(a 3－2)·(a 4－2)＋…＋(a n －2)(a n ＋1－2)＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝4×⎝
⎛
⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4n n ＋1. 若∀n ≥3(n ∈N *)，f (n )≥m 2－2m 恒成立， 则f (n )min ≥m 2－2m . 易知f (n )＝
4n
n ＋1
在[3，＋∞)上是增函数， ∴f (n )min ＝f (3)＝3，即m 2－2m －3≤0， 解得－1≤m ≤3， ∴实数m 的最小值为－1.
3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左焦点F 和上顶点B 在直线3x －3y ＋3＝0上，A 为椭圆上位于x 轴上方的一点且AF ⊥x 轴，M ，N 为椭圆C 上不同于A 的两点，且∠MAF ＝∠NAF .
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线MN 与y 轴交于点D (0，d )，求实数d 的取值范围． 解 (1)依题意得椭圆C 的左焦点为F (－1,0)，上顶点为B (0，3)， 故c ＝1，b ＝3，所以a ＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)设直线AM 的斜率为k ，
因为∠MAF ＝∠NAF ，
所以AM ，AN 关于直线AF 对称，
所以直线AN 的斜率为－k ，
易知A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1，32， 所以直线AM 的方程是y －32＝k (x ＋1)，
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
联立⎩⎪⎨⎪⎧ y －32＝k (x ＋1)，
x 24＋y 23＝1，
消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋(12＋8k )kx ＋(4k 2＋12k －3)＝0，
所以x 1＝－4k 2－12k ＋33＋4k 2
， 将上式中的k 换成－k ，得x 2＝－4k 2＋12k ＋33＋4k 2
， 所以k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k [(x 1＋x 2)＋2]x 1－x 2
＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2＋63＋4k 2＋2－24k
3＋4k 2
＝－12， 所以直线MN 的方程是y ＝－12x ＋d ，
代入椭圆方程x 24＋y 23＝1，得x 2－dx ＋d 2－3＝0，
所以Δ＝(－d )2－4(d 2－3)>0，
解得－2<d <2，
又因为MN 在A 点下方，
所以－1×12＋32>d ⇒d <1，
所以－2<d <1.
4．已知函数f (x )＝(x －1)e x －ax 2(e 是自然对数的底数)．
(1)讨论函数f (x )的极值点的个数，并说明理由；
(2)若对任意的x >0，f (x )＋e x ≥x 3＋x ，求实数a 的取值范围．
解 (1)f ′(x )＝x e x －2ax ＝x (e x －2a )．
当a ≤0时，由f ′(x )<0得x <0，由f ′(x )>0得x >0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，
在(0，＋∞)上单调递增，
∴f (x )有1个极值点；
当0<a <12时，由f ′(x )>0得x <ln 2a 或x >0，由f ′(x )<0得0>x >ln 2a ，
∴f (x )在(－∞，ln 2a )上单调递增，在(ln 2a,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
∴f (x )有2个极值点；
当a ＝12
时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在R 上单调递增，
∴f (x )没有极值点；
当a >12时，由f ′(x )>0得x <0或x >ln 2a ，
由f ′(x )<0得0<x <ln 2a ，
∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，ln 2a )上单调递减，在(ln 2a ，＋∞)上单调递增，
∴f (x )有2个极值点．
综上，当a ≤0时，f (x )有1个极值点；当a >0且a ≠12时，f (x )有2个极值点；
当a ＝12时，f (x )没有极值点．
(2)由f (x )＋e x ≥x 3＋x 得x e x －x 3－ax 2－x ≥0.
当x >0时，e x －x 2－ax －1≥0，
即a ≤e x －x 2－1x
对任意的x >0恒成立． 设g (x )＝e x －x 2－1x
， 则g ′(x )＝(x －1)(e x －x －1)x 2
. 设h (x )＝e x －x －1，则h ′(x )＝e x －1.
∵x >0，∴h ′(x )>0，
∴h (x )在(0，＋∞)上单调递增，
∴h (x )>h (0)＝0，即e x >x ＋1，
∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴g (x )≥g (1)＝e －2，∴a ≤e －2，
∴实数a的取值范围是(－∞，e－2]．。