正态分布

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正态分布的概念

1. 正态分布的概念随机变量X 的概率密度2()2(),()x f x x μσ--=-∞<<+∞，称X 服从正态分布，记作),(~2σμN X 。

标准正态分布(0,1)N ，其概率密度22(),()x x x ϕ-=-∞<<+∞，分布函数为22()t xx e dt φ--∞=。

2. 设),(~2σμN X ，则{}x P X x μφσ-⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，{}b a P a X b μμφφσσ--⎛⎫⎛⎫<≤=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()x φ的数值有表可查，特别有(0)0.5,()1,()1()x x φφφφ=+∞=-=-。

3. 设),(~2σμN X ，则2(),()E X D X μσ==。

4. 设),(~2σμN X ，则),(~22σμb b a N bX a Y ++=)0(≠b 。

若),(~211σμN X ，),(~222σμN Y ，X 与Y 相互独立，则),(~222121σσμμ+++N Y X 。

若12,,,n X X X 相互独立，),,2,1)(,(~2n i N X i i i =σμ，则∑∑∑===n i ni n i i i i ni ii c c c c c N Xc 1121221)(,(~为常数），，， σμ 5. 二维随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，记作），，，，（），（γσσμμ222121~N Y X ，其中12(),()E X E Y μμ==，2212(),()D X D Y σσ==，(,)r R X Y =。

设(,)X Y 服从二维正态分布，则X 与Y 相互独立的充分必要条件是0r =。

6. 当n 充分大时，独立同分布的随机变量12,,,n X X X 的和1ni i X =∑近似服从正态分布2(,)N n n μσ。

特别是当n 充分大时，若相互独立的随机变量12,,,n X X X 都服从“0-1”分布，则1ni i X =∑服从二项分布(,)B n p ，近似服从正态分布(,)N np npq (1)q p =-,这时1n i i P a X b φφ=⎛⎫⎛⎫⎧⎫<≤≈-⎨⎬⎩⎭∑。

三大分布--正态分布

( k＝0,1, 2,, m ; m＝min{M，n} )
E(X ) nM
N
D(
X
)
nM
(N N
n)(N 2(N 1)
M
)
超几何分布的应用
注1：当n≤2时，虽可套用公式但不如直接计算简捷当n≥3时，套用公式一般的，可减少操作量
注2：三个细节要留心书写格式要正规随机变量有范围 (高仿只用莫声张) 二项分布会区分
超几何分布的书写格式
由题意得X服从超几何分布
其中 N＝！,M＝！,n＝！
则
P( X
k)
C C k nk M NM CNn
(k＝0,1, 2,, m)
m ＝min{M，n}
从而X的分布列为
X
0
p
C C 0 n0 M NM
CNn
1
C C 1 n1 M NM CNn
… …
m
C C m nm M NM CNn
其密度函数f(xf ()x=)
1
e
(
x
80 200
)2
,
x,则(不, 正) 确的是
【B】
2 10
A.平均成绩为80分
B.分数在120分以上和分数在60分以下的人数相同
C.分数在110分以上和分数在50分以下的人数相同
D.这次考试的成绩标准差为10
(4)设随机变量ξ～N(2,4),则D(2ξ+3)＝_1_6__
一、概念：
1.正态曲线：称函数 f (x) , (x)
1
e
(x )2 2 2
,
x (, )
的图象
2
(其中μ和δ＞0为参量)为正态分布密度曲线,简称正态曲线

正态分布

2. 一般正态分布的概率计算
对于一般正态分布的概率计算，可以应用定积分的
换元法将其转化为标准正态分布的概率计算.
定理设X~ N(, ) ，则 X ~ N(0,1).

这样，若X~ N(, )，并记其分布函数为 F(x)，则
从而
F ( x)

P{X

x}

P

X

x

P

X
1 2

5
1
2

2
0.9772
P{0

X
1.6}
P

0
1 2

X 1 2

1.6 1
2

0.3 0.5
0.3 0.5 1
0.6179 0.6915 1 0.3094
P{
解：由题意知 X ~ N (10.05,0.062 )，于是
P{
X
10.05

0.12}
P

0.12 0.06

X
10.05 0.06

0.12
0.06

2 2
22 1
2 0.9772 1 0.9544
例4 设 X ~ N(, )，求 P{ X }, P{ X 2 },
越小，图形越陡峭.
o
1 x
0.5 1 1.5
x
特别地，当 0， 1时，称 X 服从标准正态分布，
记为 X ~ N(0,1)，其概率密度函数为
(x)
1
x2

标准的正态分布

标准的正态分布
标准的正态分布是一种常见的概率分布，也被称为高斯分布或钟形曲线。

它的形状呈现出一个对称的钟形曲线，其均值为0，标准差为1。

这种分布在自然界和社会现象中都有广泛的应用，例如身高、体重、智力、收入等等。

正态分布的概率密度函数可以用数学公式表示为：
f(x) = (1/√(2πσ²)) * e^(-(x-μ)²/2σ²)
其中，μ表示均值，σ表示标准差，e表示自然对数的底数。

正态分布的特点是其均值、中位数和众数都相等，且分布的两侧呈对称性。

在标准正态分布中，约68%的数据落在均值的一个标准差范围内，约95%的数据落在均值的两个标准差范围内，约99.7%的数据落在均值的三个标准差范围内。

正态分布的应用非常广泛。

在统计学中，正态分布是许多假设检验和置信区间估计的基础。

在财务分析中，正态分布被用来计算股票价格的波动性。

在医学研究中，正态分布被用来描述人群的生理指标，例如血压、血糖等。

在工程学中，正态分布被用来描述产品的质量控制。

标准的正态分布是一种非常重要的概率分布，其应用范围广泛，可以帮助我们更好地理解和分析自然界和社会现象中的数据。

正态分布的相关概念

正态分布的相关概念
一、正态分布的基本概念
正态分布是一种常见的概率分布，它描述了许多自然现象和统计数据的分布情况。

正态分布曲线呈钟形，中间高，两边低，左右对称。

二、正态分布的参数
正态分布有两个参数，即均值（μ）和标准差（σ）。

均值决定了分布的中心位置，而标准差决定了分布的宽度。

三、正态分布的性质
正态分布具有以下基本性质：
1.集中性：正态分布曲线在均值处达到最高点，向两侧逐渐下降。

这意味着大多数数据值都集中在均值附近。

2.对称性：正态分布曲线关于均值对称，即对于任何x，都有p(x)=p(-x)。

这意味着正态分布不受符号影响。

3.均匀分布：在远离均值的地方，正态分布的概率密度逐渐减小，但不会为0。

这意味着在远离均值的地方仍然有可能出现数据值，但概率较小。

4.渐进性：当数据量足够大时，经验分布趋向于正态分布。

这意味着随着数据量的增加，数据的分布情况越来越符合正态分布。

5.偏态性：正态分布是略微偏左的，这是因为负值比正值出现的概率稍大。

但在某些情况下，可能会出现偏态分布。

四、正态分布的应用
正态分布在统计学中有着广泛的应用。

例如，在生物医学领域，
许多生理指标（如身高、体重）的分布都呈现出正态分布的特点。

此外，在金融领域，许多金融指标（如收益率、波动率）也服从正态分布。

五、正态分布的变种
除了基本形态的正态分布外，还有许多基于正态分布的变种。

例如，t分布、F分布等都是基于正态分布的变形。

这些变种在统计学中也有着广泛的应用。

正态分布

正态分布normal distribution正态分布一种概率分布。

正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2 )。

服从正态分布的随机变量的概率规律为取与μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。

正态分布的密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为0，在μ±σ处有拐点。

它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方的钟形曲线。

当μ＝0，σ2 ＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。

μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。

多元正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。

正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。

C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。

P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。

例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等。

一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。

从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。

正态分布应用最广泛的连续概率分布，其特征是“钟”形曲线。

附：这种分布的概率密度函数为：（如右图）正态分布公式正态分布1.正态分布：若已知的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）则称已知曲线服从正态分布，记号～。

正态分布

用
65 66.72 u1 0.8269 2.08 70 66.72 u2 1.5769 2.08
S
X
在65-70cm 的比例为29.67%+44.29%=73.96

标准正态变量（u）=－0.8269 表示从u=－∞到u=－0.8269范围内的X 比例为20.33%。（u）=1.5769 可表示u=∞到u=1.5769范围内比例为 0.0571。
e
u2 2
du
u
X

U=－1.96，表示从－到－1.96区间曲线下的面积为2.57%。 U=－1，表示从－到－1区间曲线下的面积为15.87%。
例：某地经大量调查得男童坐高 X 66.72cm ，S=2.08cm，估计总体中坐高在65-70cm的人群比例。

解：将X1=65和X2=70转换为u值，查表
Normal Distribution
µ ý ¨ © Æ Ê £ f£
30 20 10 0
14161820222426283032-
正态分布
statistics statistics statistics
¡ ¦ ¨ © ¼ Á £ kg£
（2）
0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 12.0 14.5 17.0 19.5 22.0 24.5 27.0 29.5 32.0

1.曲线下ab区间面积的含义
1）表示X值在ab区间占全部例数（X）的百分比或表示X值在ab区间出现的概率（P）。 2）X在曲线下整个面积分布为100%

或X值在曲线范围内出现的概率为1。
2.估计曲线下面积的方法

正态分布简单解释

正态分布简单解释
1 什么是正态分布？
正态分布，又称高斯分布，是概率统计学中的一种基本分布。

正态分布具有单峰性、对称性、钟形曲线的特点，是自然界中很多现象的统计分布。

2 正态分布的特点
正态分布的曲线正中间有一个顶峰，左右两侧对称，呈钟形。

这个顶峰代表了数据的平均值，也就是算术平均数。

而曲线两侧高度逐渐降低，代表了数据的集中程度。

曲线左右两侧的面积相等，也就是说左侧的面积等于右侧的面积，因此在平均值左右对称的情况下，有50%的数据落在平均值左边，有50%的数据落在平均值右边。

3 正态分布的应用
由于正态分布在自然界中很多现象中都具有普遍性和代表性，因此被广泛地应用于各种领域中。

例如，医疗诊断中使用正态分布来确定正常范围，制造业使用正态分布来控制产品质量，金融领域使用正态分布来进行风险分析等等。

此外，正态分布在统计学中也起着重要的作用，可以通过正态分布来推论总体参数，计算出置信区间和假设检验等。

4 正态分布的重要性
相信很多人都听过“大数定律”，那么正态分布对于这个定律的解释有很大的帮助。

基于中心极限定理，我们可以证明当样本容量达到一定程度时，样本均值的分布趋近于正态分布。

因此，正态分布在统计学中是非常重要的基础分布，也是许多分析方法的基础。

同时，在机器学习、人工智能等领域中，正态分布也是非常常用的一种概率分布，例如在回归分析中经常使用高斯分布来描述随机误差。

5 总结
正态分布在统计学中是非常基础和重要的概率分布，它的应用涵盖了各个领域。

理解和掌握正态分布的基本概念和特点，对于提高我们对大数据的分析能力和对实际问题的解决能力都具有重要意义。

正态分布解释

正态分布解释正态分布是统计学中最常见的分布之一，也被称为高斯分布。

它在各个领域都有广泛的应用，尤其在自然科学和社会科学中经常被使用。

正态分布的特征是呈钟形曲线，两侧的尾部逐渐衰减。

其分布是由两个参数所决定，即均值（μ）和标准差（σ）。

均值决定了曲线的中心位置，而标准差则决定了曲线的宽度。

当均值为0，标准差为1时，这个分布被称为标准正态分布。

正态分布有许多重要的性质。

首先，它是对称的，即曲线两侧呈镜像关系。

其次，68%的数据落在均值加减一个标准差的范围内，而95%的数据落在均值加减两个标准差的范围内。

这个性质被称为“三个标准差原则”。

正态分布在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在自然科学中，正态分布可以用来描述许多自然现象，如身高、体重等。

在社会科学中，正态分布可以用来描述人口统计数据、心理测量等。

此外，在工程学中，正态分布被用来描述可靠性和质量控制等。

正态分布的解释还可以从概率密度函数来进行拓展。

概率密度函数是描述随机变量在某一点附近的概率分布的函数。

对于正态分布来说，其概率密度函数为：f(x) = (1 / (σ * √(2 * π))) * e^(-((x - μ)^2) / (2 * σ^2))其中，e为自然对数的底数。

通过概率密度函数，我们可以计算出特定取值范围内的概率。

例如，我们可以计算出落在某个特定区间的概率，或者求出某个特定值的累积概率。

总之，正态分布是一种常见的概率分布，具有许多重要的性质，可以用来描述各种现象和数据。

在实际应用中，我们可以利用正态分布的特性来进行数据分析和推断。

正态分布的公式

正态分布的公式
正态分布叠加公式是：x+y~n(3，8)。

相互立的正态变量之线性组合服从正态分布。

即x~n(u1，(q1)^2)，y~n(u2，(q2)^)。

则z=ax+by~n(a*u1+b*u2，
(a^2)*(q1)^2+(b^2)*(q2)^2)
集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。

对称性：正态曲线以均数为中心，左右等距，曲线两端永远不与横轴平行。

均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。

曲线与横轴间的面积总等同于1，相等于概率密度函数的函数从正无穷至负无穷分数的概率为1。

即为频率的总和为%。

两个正态分布的任意线性组合仍服从正态分布（可通过求两个正态分布的函数的分布证明），此结论可推广到n个正态分布。

因此，只需求x-3y的期望方差就可知道具体服从什么正态分布了。

正态分布

（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点)
σ
1 2π
（4）曲线与x轴之间的面积为1
方差相等、均数不等的正态分布图示
σ=0.5
μ=0 μ= -1
μ= 1Βιβλιοθήκη 若固定,随值的变化而
沿x轴平
移, 故
称为位置
参数；
3 1 2
均数相等、方差不等的正态分布图示
b
P(a X b) a , (x)dx
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足:
b
P(a X b) a , (x)dx
则称为X 的正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一确定. 正态分布记作N（ μ，σ2）.其图象称为正态曲线.
如果随机变量X服从正态分布，则记作 X~ N（ μ，σ2）
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
例3、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个单位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确的是
（ C）
A.曲线b仍然是正态曲线；
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
• 对称区域面积相等。
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
-x1 -x2
x2 x1
4、特殊区间的概率:
若X~N (, 2 ),则对于任何实数a>0,概率
a
P( a x ≤ a) , ( x)dx a
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的和而言，该面积的随概着率越大的，减即少X而集变中大在。这周说围明概率越越小大, 落。在区间 ( a, a]

统计学中的正态分布

统计学中的正态分布正态分布，又被称为高斯分布或钟形曲线，是统计学中应用广泛的一种概率分布。

它在自然界的许多现象中都能被观察到，对于理解数据分布和进行推断具有重要意义。

本文将介绍正态分布的定义、性质以及在统计学中的应用。

一、正态分布的定义与性质正态分布的数学定义如下：若随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ, σ^2)，其中μ为均值，σ^2为方差，并且X的取值范围为负无穷到正无穷。

正态分布曲线呈钟形，中心对称，其形状由μ和σ^2决定。

正态分布的性质有以下几点：1. 对称性：正态分布曲线以均值μ为对称轴，左右两侧的面积相等。

2. 峰度：正态分布曲线在均值μ处有一个峰值，峰度取决于方差σ^2的大小。

当σ^2较小时，峰度较高；当σ^2较大时，峰度较低。

3. 标准正态分布：当μ=0，σ^2=1时，称为标准正态分布。

标准正态分布的概率密度函数可以表示为φ(x)，在统计推断中经常使用。

二、正态分布的应用正态分布在统计学中应用广泛，主要包括以下几个方面：1. 参数估计：在许多实际问题中，我们需要对总体的均值和方差进行估计。

基于正态分布的性质，可以使用最大似然估计或贝叶斯估计等方法进行参数估计。

2. 假设检验：假设检验是统计推断的一种重要方法，正态分布在假设检验中扮演着关键角色。

通过计算样本均值与总体均值的差异，以及样本方差与总体方差的比较，可以进行关于总体参数的假设检验。

3. 区间估计：在估计总体参数时，除了点估计外，还可以进行区间估计。

在正态分布下，可以使用置信区间估计总体均值或总体方差，并对估计结果进行解释和判断。

4. 统计建模：正态分布是许多统计模型的基础假设。

如线性回归模型、方差分析模型等，这些模型都基于正态分布假设，并利用正态分布的性质进行参数估计与推断。

5. 数据分析与预测：正态分布在数据分析与预测中也有广泛应用。

例如，通过分析数据的分布情况，我们可以判断数据是否符合正态分布，进而选择合适的统计方法和模型进行分析与预测。

正态分布公式

正态分布公式
正态分布标准化的公式：Y=（X-μ）/σ～N（0，1）。

标准正态分布是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。

期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。

正态分布的定义
标准正态分布又称为u分布，是以0为均数、以1为标准差的正态分布，记为N（0，1）。

标准正态分布曲线下面积分布规律是：在-1.96～+1.96范围内曲线下的面积等于0.9500，在-2.58～+2.58范围内曲线下面积为0.9900。

统计学家还制定了一张统计用表（自由度为∞时），借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。

什么是正态分布

什么是正态分布正态分布（Normal Distribution），又称高斯分布（Gaussian Distribution），是概率论和统计学中最重要的概率分布之一。

它在自然界和社会科学中广泛应用，被认为是一种非常常见的分布模式。

正态分布的特点是呈钟形曲线，对称分布于均值周围。

其概率密度函数可以用以下公式表示：f(x) = (1 / (σ * √(2π))) * e^(-((x-μ)^2) / (2σ^2))其中，f(x)表示随机变量X的概率密度函数，x表示随机变量的取值，μ表示均值，σ表示标准差，π表示圆周率，e表示自然对数的底。

正态分布的均值和标准差决定了曲线的位置和形状。

均值决定了曲线的中心位置，标准差决定了曲线的宽度。

当均值为0，标准差为1时，曲线称为标准正态分布。

正态分布具有许多重要的性质和应用。

以下是正态分布的几个重要特点：1. 对称性：正态分布是对称的，均值处于曲线的中心位置，两侧的概率密度相等。

2. 峰度：正态分布的峰度较高，曲线较陡峭，尾部较平缓。

3. 独立性：正态分布的随机变量之间是相互独立的。

4. 中心极限定理：当样本容量足够大时，样本均值的分布接近正态分布。

正态分布在实际应用中具有广泛的应用。

以下是几个常见的应用场景：1. 自然科学：正态分布常用于描述测量误差、实验数据、物理量的分布等。

2. 社会科学：正态分布常用于描述人口统计数据、心理测量数据、考试成绩等。

3. 金融领域：正态分布常用于描述股票价格、利率、风险收益等。

4. 质量控制：正态分布常用于描述产品尺寸、重量、强度等的分布。

5. 生物学：正态分布常用于描述身高、体重、血压等生物特征的分布。

正态分布的应用不仅限于上述领域，还广泛应用于工程、经济学、环境科学等各个领域。

总之，正态分布是一种重要的概率分布，具有对称性、峰度高、独立性等特点。

它在自然界和社会科学中广泛应用，用于描述各种随机变量的分布。

了解正态分布的特点和应用，对于理解和分析实际问题具有重要意义。

正态分布概念

x
正态分布曲线下面积的含义
1.表示变量值（x）在【a-b】区间变量值所占全部（总体）变量值的比例或概率 (p)。
2变量值在整个曲线下的面积为100%,或出现的概率为1。
[例1] 设X～N(1,22)，试求： (1)P(－1＜X≤3)；(2)P(X≥5)． [思路点拨] 首先确定μ＝1，σ＝2，然后根据三个特殊区间上的概率值求解． [精解详析] 因为X～N(1,22)，所以μ＝1，σ＝2. (1)P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝P(μ－σ＜X≤μ＋σ) ＝0.683.
2.正态曲线的性质
(1)非负性：曲线 f? ,? ( x) 在轴的上方,与x轴
不相交(即x轴是曲线的渐近线).
(2)定值性:曲线f?,? (x) 与x轴围成的面积为1．
(3)对称性：正态曲线关于直线 x=μ对称，曲线成“钟形”． (4)单调性：在直线 x=μ的左边, 曲线是上升的 ; 在直线 x=μ的右边, 曲线是下降的 .
f（X）
0.14 0.12
0.1 0.08 0.06 0.04 0.02
0 12.00 14.50 17.00 19.50 22.00 24.50 27.00 29.50 32.00
图2-4 频数分布与正态分布曲线示意图
一、正态分布的概念和特征
1.正态分布曲线的数学函数表达式：
X服从的概率密度函数f（x）
2．如图所示，是一个正态分布密度曲线．试根据图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，并求出总体随机变量的期望和方差．
解析：从正态曲线的图像可知，该正态曲线关于直线 x＝20
对称，最大值为 2 1π，所以 μ＝20，
1 2π
·σ＝2
1

正态分布

或 x Z s
23
例题：
例9-11 利用表9-1的资料计算95%参考值范围。
表9-1的资料近似服从正态分布，可以利用正
态分布法计算95%参考值范围。
X 350.24，S 32.97
双侧95%的参考值范围：
X 1.96 S 350.24 1.96 32.97 ( 285.62 ~ 414.86) 20-29岁正常成年男子的尿酸浓度的95%参考值
25
（二）质量控制：随机误差系统误差
26
判断异常的8种情况
有一个点距中心线的距离超过3个标准差（控制限以外）在中心线的一侧连续有9个点连续6个点稳定地增加或减少连续14个点交替上下连续3个点中有两个点距中心线距离超过2个标准差（警戒限以外）连续5个点中有4个点距中心线距离超过1个标准差中心线一侧或两侧连续15个点距中心线距离都超出1个标准差以内中心线一侧或两侧连续8个点距中心线距离都超出1个标准差范围。
的疾病和有关因素的同质人群。
一般认为至少应在 120 例以上。例数过少，
确定的参考值范围往往不够准确。
19
B.对选定的正常人进行准确的测量；
C.决定取单侧范围还是双侧范围值；根据研究目的和专业知识确定单双侧例：白细胞计数过低过高均异常，故双侧；肺活量过低为异常，故单侧；血铅、发汞含量过高为异常，故单侧。
知道面积求U值。查附表1 得：0.10 对应的U值为-1.28
0.10
0.80
0.10
则: 80%的男孩身高集中： (116.9cm，129.2cm)
X 1.28 s
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三、正态分布的应用（一）确定医学参考值范围(reference range) ：

正态分布

正态分布
正态分布也称常态分布或常态分配，是连续随机变量概率分布的一种，是在数理统计的理论与实际应用中占有重要地位的一种理论分布。

自然界、人类社会、心理与教育中大量现象均按正态形式分布。

例如能力的高低，学生成绩的好坏，人们的社会态度，行为表现以及身高、体重等身体状态。

正态分布是由阿伯拉罕·德莫弗尔(Abraham de Moivre)1733年发现的。

其他几位学者如拉普拉斯(Marquis de Laplace)、高斯 (Carl Friedrich Gauss)对正态分布的研究也做出了贡献，故有时称正态分布为高斯分布。

一、正态分布的特征
(一)正态分布的函数(又称密度函数)为
(5—2)
式中π是圆周率3．14159…
e是自然对数的底2．71828…
x为随机变量取值一∞<x<∞
μ为理论的（x）平均数
σ2为理论的方差, σ为标准偏差
y为概率密度即正态分布上的纵坐标。

依上面的公式，当x＝μ时，上式可写作当σ＝1时＝0．3989 在中央点的y最高，即y的最大值为0．3989。