2019-2020年高一数学解三角形的进一步讨论 新课标 人教版
人教A版高一数学 必修5 第一章 解三角形 §1.1.3解三角形的进一步讨论
人教A版高一数学必修5 第一章解三角形§1.1.3解三角形的进一步讨论一、三维目标知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；掌握三角形各种类型的判定方法；能够应用三角形面积定理。
过程与方法：通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
情感态度与价值观：正、余弦定理在解三角形问题时，沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，使学生了解事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，培养学生从本质上寻求事物之间内在联系的能力。
二、教学重难点重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
三、学法指导：通过典型题型掌握用正弦定理,余弦定理及其变形解决问题的方法。
四、知识链接（回顾）1.正弦定理：2.余弦定理及其推论：五、学习过程题型一、判断三角形解的个数问题在利用正弦定理解“已知两边及其中一边的对角”的三角形时，可能有两解、一解、或无解。
例1、在∆ABC 中，已知,,a b A ，讨论三角形解的情况 分析：先由sin sin b A B a =可进一步求出B ；则0180()C A B =-+,从而=sin sin a C c A1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。
因为从=sin sin b A B a计算B 时，只能取锐角的值，所以只有一解。
2．当A 为锐角时，如果a ≥b ，这时从=sin sin b A B a计算B 时，也只能取锐角的值，所以只有一解。
如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若sin a b A >，这时从=sin sin b A B a计算得sinB<1,B 可以取锐角和钝角，故有两解； （2）若sin a b A =，这时从=sin sin b A B a计算得sinB=1，B 只能是直角，故有一解； （3）若sin a b A <，这时从=sin sin b A B a 计算得sinB>1,故无解。
新课标人教A版必修5教案(全)
数学必修5 第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。
通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。
本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。
在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。
”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。
人教版高一数学教案-解三角形的进一步讨论
1.1.3 解三角形的進一步討論從容說課本節課中，應先通過分析典型例題，幫助學生理解並掌握正弦定理和余弦定理；應指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然．但解題的時候，應有最佳選擇．教學過程中，我們應指導學生對利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的問題進行歸類，列表如下： 解斜三角形時可用的定理和公式 適用類型 備註 余弦定理 a 2=b 2+c 2-2bcco s Ab 2=a 2+c 2-2acco s Bc 2=b 2+a 2-2baco s C（1）已知三邊 （2）已知兩邊及其夾角 類型（1）（2）有解時只有一解 正弦定理 R Cc B b A a 2sin sin sin === （3）已知兩角和一邊（4）已知兩邊及其中一邊的對角 類型（3）在有解時只有一解，類型（4）可有兩解、一解或無解 三角形面積公式 ==A bc S sin 21 =B ac sin 21 C ab sin 21 （5）已知兩邊及其夾角同時應指出，在解斜三角形問題時，經常要利用正弦、余弦定理實施邊角轉換，轉化的主要途徑有兩條：（1）化邊為角，然後通過三角變換找出角與角之間的關係，進而解決問題；（2）化角為邊，將三角問題轉化為代數問題加以解決．一般地，當已知三角形三邊或三邊數量關係時，常用余弦定理；若既有角的條件，又有邊的條件，通常利用正弦定理或余弦定理，將邊化為角的關係，利用三角函數公式求解較為簡便．總之，關鍵在於靈活運用定理及公式．教學重點1.在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；2.三角形各種形狀的判定方法；3.三角形面積定理的應用．教學難點1.利用正、余弦定理進行邊角互換時的轉化方向;2.三角恒等式證明中結論與條件之間的內在聯繫的尋求；3.正、余弦定理與三角形的有關性質的綜合運用．教具準備 投影儀、幻燈片第一張:課題引入圖片(記作1．1．3A)正弦定理:R Cc B b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bcco s A ,b 2=c 2+a 2-2caco s B ,c 2=a 2+b 2-2abco s C ，bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+= ,abc b a C 2cos 222-+=.第二張:例3、例4(記作1．1．3B )[例3]已知△ABC , BD 為角B 的平分線,求證: AB ∶BC ＝AD ∶DC .[例4]在△ABC 中,求證:a 2sin2B +b 2sin2A =2ab sin C .第三張:例5(記作1．1．3C)[例5]在△ABC 中,bco s A =aco s B ,試判斷三角形的形狀.三維目標 一、知識與技能1.掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；2.三角形各種形狀的判定方法；3.三角形面積定理的應用． 二、過程與方法通過引導學生分析，解答三個典型例子，使學生學會綜合運用正、余弦定理，三角函數公式及三角形有關性質求解三角形問題． 三、情感態度與價值觀通過正、余弦定理，在解三角形問題時溝通了三角形的有關性質和三角函數的關係，反映了事物之間的必然聯繫及一定條件下相互轉化的可能，從而從本質上反映了事物之間的內在聯繫．教學過程 導入新課師 前面兩節課,我們一起學習了正弦定理、余弦定理的內容,並且接觸了利用正、余弦定理解三角形的有關題型.下面,我們先來回顧一下正、余弦定理的內容 (給出幻燈片 1.1.3A ).從幻燈片大體可以看出,正弦定理、余弦定理實質上反映了三角形內的邊角關係,運用定理可以進行邊與角之間的轉換,這一節,我們將通過例題分析來學習正、余弦定理的邊角轉換功能在判斷三角形形狀和證明三角恒等式時的應用.推進新課思考：在△ABC 中，已知A =22c m ，B =25c m,A =133°，解三角形．（由學生閱讀課本第9頁解答過程）從此題的分析我們發現，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出現無解的情形．下面進一步來研究這種情形下解三角形的問題．【例1】在△ABC 中，已知A ,B ,A ，討論三角形解的情況.師 分析：先由a A b B sin sin =可進一步求出B ；則C =180°-(A +B ),從而A C a c sin sin =. 一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解、無解三種情況． 1.當A 為鈍角或直角時，必須a ＞b 才能有且只有一解；否則無解．2.當A 為銳角時，如果a ≥b ，那麼只有一解； 如果a ＜b ，那麼可以分下面三種情況來討論：（1）若a ＞b sin A ，則有兩解；（2）若a =b sin A ，則只有一解；（3）若a＜b sin A，則無解．（以上解答過程詳見課本第9到第10頁）師注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當A為銳角且b sin A＜a＜b時，有兩解；其他情況時則只有一解或無解．（1）A為直角或鈍角（2）A為銳角【例2】在△ABC中，已知a =7,b=5,c =3，判斷△ABC的類型．分析：由余弦定理可知a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2⇔A是鈍角⇔△ABC是鈍角三角形，a2＜b2+c⇔A是銳角/△ABC是銳角三角形。
人教A版高中数学必修5《一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 解三角形的进一步讨论》优质课教案_17
课题: §1．1．3解三角形的进一步讨论教材分析：本课是人教A 版数学必修5第一章解三角形中学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用的延续。
对于解三角形问题中已知两边和其中一边的对角(SSA)的情况,解的个数往往是不确定的。
在人教版的第一章"解三角形"的探究与发现"解三角形的进一步讨论"一文中,编者通过正弦定理讨论解的情况,但是在教学中学生用此法来判断三角形解的个数,感觉很抽象很难入手。
本人在教学过程不断实践和反馈中,总结了比较直观易懂的讨论三角形解的情况的方法:利用尺规作图,观察交点情况;利用SSA 解个数总结口诀解题;利用大边对大角，大角对大边辅助判断。
学情分析 ：学生已经学习了正弦定理和余弦定理,在知识上具备研究问题的基础。
对于本节课内容很多学生对教材的解法感到生疏，觉得很抽象。
本节课利用几何画板探讨解决问题的学习过程,通过数与形的结合，让学生对三角形解的个数问题进一步掌握，在知识的学习过程中,由数到形,再由形到数的学习过程,也实践了由具体到抽象,由特殊到一般的研究问题的方法,对数形结合思想和由具体到抽象的研究方法有一定的认识和体会。
教学目标:知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形。
过程与方法：通过引导学生分析，解答典型例子，使学生学会数形结合求解三角形问题。
情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，同时培养学生应用数形结合思想解决数学问题的能力 重点：掌握判断解三角形问题解的个数的方法,能够熟练运用此方法判断解三角形的个数问题。
难点：利用画图来表示三角形解的个数。
教学过程：一、复习准备：正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===公式特征：对边对角（解决对边对角问题）SinA=20015030==⇒A A 或 SinA=220013545==⇒A A 或 SinA=230012060==⇒A A 或 二、讲授新课：[创设情景]思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。
新课标必修数学5“解三角形”内容分析及教学建议
新课标必修数学5“解三角形"内容分析及教学建议江苏省锡山高级中学杨志文新课程必修数学5的内容主要包括解三角形、数列、不等式。
这些内容都是高中数学中的传统内容。
其中“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性。
在历次教材改革中都作为中学数学中的重点内容,一直被保留下来。
在这次新课程改革中，新普通高中《数学课程标准》(以下简称《标准》）与原全日制普通高级中学《数学教学大纲》(以下简称《大纲》）相比，“解三角形”这块内容在安排顺序上进行了新的整合。
本文就《标准》必修模块数学5第一部分“解三角形”的课程内容、教学目标要求、课程关注点、内容处理上等方面的变化进行简要的分析，并对教学中应注意的几个问题谈谈自己的一些设想和教学建议,供大家参考。
一、《标准》必修模块数学5中“解三角形”与原课程中“解斜三角形”的比较1．课程内容安排上的变化“解三角形”在原课程中为“解斜三角形"，安排在“平面向量”一章中，作为平面向量的一个单元。
而在新课程《标准》中重新进行了整合，将其安排在必修模块数学5中,独立成为一章，与必修模块数学4中的“平面向量”分别安排在不同的模块中。
2．教学要求的变化原大纲对“解斜三角形”的教学要求是：（1）掌握正弦定理、余弦定理,并能运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解斜三角形的计算问题.(2）通过解三角形的应用的教学，提高运用所学知识解决实际问题的能力.（3）实习作业以测量为内容，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作的能力。
《标准》对“解三角形"的教学要求是:（1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.由此可以看出，《标准》在计算方面降低了要求，取消了“利用计算器解决解斜三角形的计算问题"的要求,而在探索推理方面提高了要求，要求“通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。
新课标人教A版必修5第一章《解三角形》全章教案(按课时备课,共9课时)海口十四中范文
数学5 第一章解三角形章节总体设计（一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。
通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。
（二）编写意图与特色1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。
本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。
本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。
在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。
教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。
”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。
2．注意加强前后知识的联系加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。
本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。
2019-2020年高中数学 第一章 解三角形全套教案 新人教A版必修5
2019-2020年高中数学第一章解三角形全套教案新人教A版必修5●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。
过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。
情感态度与价值观：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。
●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。
●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。
●教学过程Ⅰ.课题导入如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。
A思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。
能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C BⅡ.讲授新课[探索研究](图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。
如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有，，又, A 则 b c从而在直角三角形ABC中， C a B(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=,则，C同理可得， b a从而 A c B(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
（证法二）：过点A作，C由向量的加法可得则 A B∴()(00j AB A j CBcos900cos90-=+∴，即同理，过点C 作，可得从而类似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。
高中数学 (1.1.3 解三角形的进一步讨论)示范教案 新人教A版必修5
1.1.3 解三角形的进一步讨论从容说课本节课中，应先通过分析典型例题，帮助学生理解并掌握正弦定理和余弦定理；应指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然．但解题的时候，应有最佳选择．教学过程中，我们应指导学生对利用正弦定理和余弦主要途径有两条：（1）化边为角，然后通过三角变换找出角与角之间的关系，进而解决问题；（2）化角为边，将三角问题转化为代数问题加以解决．一般地，当已知三角形三边或三边数量关系时，常用余弦定理；若既有角的条件，又有边的条件，通常利用正弦定理或余弦定理，将边化为角的关系，利用三角函数公式求解较为简便．总之，关键在于灵活运用定理及公式．教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2.三角形各种形状的判定方法；3.三角形面积定理的应用．教学难点1.利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向;2.三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求；3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用．教具准备 投影仪、幻灯片第一张:课题引入图片(记作1．1．3A)正弦定理:R Cc B b A a 2sin sin sin ===； 余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bcco s A ,b 2=c 2+a 2-2caco s B ,c 2=a 2+b 2-2abco s C ，bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+= ,abc b a C 2cos 222-+=.第二张:例3、例4(记作1．1．3 B )[例3]已知△ABC , BD 为角B 的平分线,求证: AB ∶BC ＝AD ∶DC .[例4]在△ABC 中,求证:a 2sin2B +b 2sin2A =2ab sin C .第三张:例5(记作1．1．3C)[例5]在△ABC 中,bco s A =aco s B ,试判断三角形的形状.三维目标一、知识与技能1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；2.三角形各种形状的判定方法；3.三角形面积定理的应用．二、过程与方法通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题．三、情感态度与价值观通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系．教学过程导入新课师 前面两节课,我们一起学习了正弦定理、余弦定理的内容,并且接触了利用正、余弦定理解三角形的有关题型.下面,我们先来回顾一下正、余弦定理的内容 (给出幻灯片 1.1.3A ).从幻灯片大体可以看出,正弦定理、余弦定理实质上反映了三角形内的边角关系,运用定理可以进行边与角之间的转换,这一节,我们将通过例题分析来学习正、余弦定理的边角转换功能在判断三角形形状和证明三角恒等式时的应用.推进新课思考：在△ABC 中，已知A =22c m ，B =25c m,A =133°，解三角形．（由学生阅读课本第9页解答过程）从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形．下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题．【例1】在△ABC 中，已知A ,B ,A ，讨论三角形解的情况.师 分析：先由a A b B sin sin =可进一步求出B ；则C =180°-(A +B ),从而A C a c sin sin =. 一般地，已知两边和其中一边的对角解三角形，有两解、一解、无解三种情况．1.当A 为钝角或直角时，必须a ＞b 才能有且只有一解；否则无解．2.当A 为锐角时，如果a ≥b ，那么只有一解；如果a ＜b ，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若a ＞b sin A ，则有两解；（2）若a =b sin A ，则只有一解；（3）若a＜b sin A，则无解．（以上解答过程详见课本第9到第10页）师注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且b sin A＜a＜b时，有两解；其他情况时则只有一解或无解．（1）A为直角或钝角（2）A为锐角【例2】在△ABC中，已知a =7,b=5,c =3，判断△ABC的类型．分析：由余弦定理可知a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2⇔A是钝角⇔△ABC是钝角三角形，a2＜b2+c⇔A是锐角/△ABC是锐角三角形。
2019_2020版高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理课件新人教A版必修5
2.填空: (1)文字语言:三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的 和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. (2)符号语言:在△ABC 中,a2=b2+c2-2bccos A,b2= a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.
3.做一做:
(1)在△ABC 中,若 AB=1,AC=3,A=60°,则 BC=
1.1.2 余弦定理
课 标 阐 释思 维 脉 络
1.掌握余弦定理
及其变形.
2.掌握余弦定理
余弦定理
的证明过程. 3.能够利用余弦
余弦定理 余弦定理的变形 余弦定理的应用 解三角形 判断三角形的形状
定理解决有关问
题.
一二
提示边 c 的长度可视为|������������|;������������ = ������������ − ������������;通过向量的数量积求 |������������|;c2=a2+b2-2abcos C.
变式训练 1(1)在△ABC 中,AB=5,BC=1,tan B=34,则 AC=
;
(2)在△ABC 中,cos A=35,a=4,b=3,则 c=
.
解析(1)由 tan B=34,得 cos B=45.由余弦定理,得
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=52+12-2×5×1×45=18,所以 AC=3 2.
思路分析(1)根据已知条件结合余弦定理的变形求解;(2)先由三边的
比值设出三边的长度,再利用余弦定理的变形求解.
(1)解析由 a2+b2+ab=c2,得 a2+b2-c2=-ab.由余弦定理,得 cos C=������2+2���������������2���-������2 = 2-������������������������=-12,故 C=120°.
2019_2020版高中数学第一章解三角形1.2.2角度问题课件新人教A版必修5
即从 A 到 D 的方位角约为 93.8°,距离约为 1 531 m.
t=-152(舍去).所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23 h. 此时 AB=14,BC=6. 在△ABC 中,由正弦定理,得sin∠������������������������������ = sin���∠���������������������������,
所以
sin∠CAB=������������si���n���∠������������������������
A.25°
B.65°
C.245°
解析方位角等于 360°-65°=295°.
答案 D
D.295°
2.我舰在敌岛 A 处南偏西 50°的 B 处,且 A,B 的距离为 12 n mile,发
现敌舰正离开岛沿北偏西 10°的方向以每小时 10 n mile 的速度航
行,若我舰要用 2 小时追上敌舰,则速度大小为( )
=40(m). 因为 AB=40 m,所以 AB=PB,所以∠APB=∠PAB=30°,所以∠ PBA=120°.因此测绘人员到达点 B 时,目标参照物 P 相对于该测绘 人员的方位角为 180°-120°=60°,且目标参照物 P 与他的距离为 40 m.
反思感悟解决实际测量中的角度问题的基本步骤: (1)找准观测点以及参照物,根据“上北下南,左西右东”确定正北方 向; (2)根据题意作出示意图; (3)分析图中的已知量和未知量,标出有关角和线段的大小; (4)利用正弦定理或余弦定理解三角形,求出未知量.
人教版高中数学必修五第一章《解三角形的进一步讨论-解三角形中的一类倍角问题》教学设计
人教版高中数学必修五第一章《解三角形的进一步讨论-解三角形中的一类倍角问题》教学设计解三角形的进一步讨论——解三角形中的一类倍角问题1．教学内容解析“正弦定理和余弦定理”是高中数学必修5中“解三角形”的一节内容．本节教学内容与前后知识联系紧密，涉及多种数学思想方法，主要工具是正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和三角形内角和定理，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中边角之间的数量关系．有些问题的求解还会用到三角函数中的和、差角公式和二倍角公式．根据问题的不同类型和不同形式，广泛联想、合理选择、灵活运用公式是求解问题的关键．2．教学目标设置教学目标：(1)掌握并熟练运用正弦、余弦定理转化三角形中的边角关系；(2)理解三角形中有关边角关系的几何意义，如cos a B 、sin b A 、22a b bc -=、2A B =，并对以此为背景的试题进行深入的探究，理解其数学本质；(3)通过对问题背景与变式探究学习，激发学生参与数学活动的兴趣与热情．教学重难点：(1)能够熟练运用正弦、余弦定理转化三角形中的边角关系；(2)理解三角形中有关边角关系的几何意义，如cos a B 、sin b A 、22a b bc -=、2A B =，探究其数学本质．（2）问题探究揭示本质【探究一】一般地，在ABC∆中，由等式2B A=可以得到什么结论?它具有什么代数特征呢？【设计意图】通过发散性探究，学生能够体会正、余弦定理在转化三角形边角关系中的作用，以及在解三角形的过程中三角恒等变换的作用．在问题的解决过程中，引导学生发现等式2B A=的代数特征．【提问】反之是否成立呢？【探究二】一般地，在ABC∆中，若22b a ac=+，则2B A=．【设计意图】通过探究，进一步体会正、余弦定理在转化三角形边角关系中的作用．同时，通过两次探究，我们得到了一个重要的推论：一般地，在ABC∆中，222a b bc A B-=⇔=．并能利用正弦定理和余弦定理证明该推论，感受正弦定理和余弦定理的内在联系．【提问】在ABC∆中，222a b bc A B-=⇔=，这个代数恒等式具有怎么样的几何意义呢？【设计意图】引导学生发现其几何背景，从几何角度看清问题本质，感受在三角形中的数与形的统一性，培养数学抽象与数形结合的能力，了解此类问题的命题策略，（3）应用探【练习】在ABC∆中，,,a b c分别为角,,A B C所对的边，已知B C A>>，且2,4,8B A c a b==+=，求,a b的值．【设计意图】通过微调题目条件，增加了思维容量，培养学生综合运用正弦定理和余弦定理的能力，并在问题的解决过程中，引导究尝试解决学生体会等式2B A=的代数特征．【高考链接】（2019年高考北京卷（理））在ABC∆中，,,a b c分别为角,,A B C所对的边，若3,26,2a b B A==∠=∠．(I)求cos A的值；(II)求c的值．【高考链接】（2019年浙江高考）在ABC∆中，内角,,A B C所对的边分别为,,a b c．已知2cosb c a B+=．（I）证明：2A B=；（II）若ABC∆的面积2=4aS，求角A的大小．【设计意图】进一步熟悉正弦、余弦定理，注重推论的应用性，引导学生落实核心知识，培养实践能力．（4）直通自招探究不止（2019上海交大自招）是否存在三边长为连续自然数的三角形，使得(1)最大角是最小角的两倍；(2)最大角是最小角的三倍．若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由．【探究三】一般地，在ABC∆中，由等式3B A=可以得到什么结论?它具有什么代数特征和几何意义呢？【设计意图】体会推论应用的广泛性，培养学生数学抽象，逻辑推理，数学运算等能力，树立用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界的数学核心素养．（【学生命题】5）自主命题总结反思以三角形中有关边角关系的几何意义为背景，如cosa B、sinb A、22a b bc-=、2A B=（或者其它自选），命制一道解答题．【学生归纳】1．正弦定理、余弦定理体现了三角形中边与角存在的一种内在联系，其主要作用是将已知的边、角互化或统一；2．理解三角形中有关边角关系的几何意义，如cosa B、sinb A、22a b bc-=、2A B=，掌握此类问题的“源”与“流”；【设计意图】学生通过归纳，回顾自己在本节课所学得知识要点与思想方法，并与同学，老师交流，完善知识结构与思维方式；通过自主命题，旨在引导学生与命题者对话，加深对问题本质的理解，拓展探究学习的维度．（6）作业布置1．书本P25 B组练习3；2．小组合作完成探究三；3．以三角形中有关边角关系的几何意义为背景命制一道解答题．。
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●教学目标
知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。
●教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
●教学难点
正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。
●教学过程
Ⅰ.课题导入
[创设情景]
思考：在ABC中，已知，，，解三角形。
（由学生阅读课本第9页解答过程）
从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。
下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。
Ⅱ.讲授新课
[探索研究]
例1．在ABC中，已知，讨论三角形解的情况
分析：先由可进一步求出B；
则
从而
1．当A为钝角或直角时，必须才能有且只有一解；否则无解。
2．当A为锐角时，
如果≥，那么只有一解；
如果，那么可以分下面三种情况来讨论：
（1）若，则有两解；
（2）若，则只有一解；
（3）若，则无解。
（以上解答过程详见课本第910页）
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且
时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。
[随堂练习1]
（1）在ABC中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）在ABC中，若，，，则符合题意的b的值有_____个。
（3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。
（答案：（1）有两解；（2）0；（3））
例2．在ABC中，已知，，，判断ABC的类型。
分析：由余弦定理可知
222222222是直角ABC 是直角三角形是钝角ABC 是钝角三角形是锐角a b c A a b c A a b c A =+⇔⇔∆>+⇔⇔∆<+⇔⇔ABC 是锐角三角形
∆
（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆）
解：，即，
∴。
[随堂练习2]
（1）在ABC 中，已知sin :sin :sin 1:2:3A B C =，判断ABC 的类型。
（2）已知ABC 满足条件，判断ABC 的类型。
（答案：（1）；（2）ABC 是等腰或直角三角形）
例3．在ABC 中，，，面积为，求的值
分析：可利用三角形面积定理111sin sin sin 222
S ab C ac B bc A ===以及正弦定理
解：由得，
则=3，即，
从而
Ⅲ.课堂练习
（1）在ABC 中，若，，且此三角形的面积，求角C
（2）在ABC 中，其三边分别为a 、b 、c ，且三角形的面积，求角C
（答案：（1）或；（2））
Ⅳ.课时小结
（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；
（2）三角形各种类型的判定方法；
（3）三角形面积定理的应用。
Ⅴ.课后作业
（1）在ABC 中，已知，，，试判断此三角形的解的情况。
（2）设x 、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x 的取值范围。
（3）在ABC 中，，，，判断ABC 的形状。
（4）三角形的两边分别为3cm ，5cm,它们所夹的角的余弦为方程的根，
求这个三角形的面积。
●板书设计
●授后记。