天津大学管理学院运筹学课件第七章 风险型决策

0.3
26
200 0 800 1600
百度文库
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400 200 0 1000
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600 400 200
0
EOL (d1 )=320; EOL(d2 )=220; EOL(d3 )=420; EOL(d4 )=1220 。
d*= d2，即进货26件。
（3）EVPI = 220。
练习 某轻工企业利用剩余生产能力生产一种季节性新 产品，自产自销。产品成本每盒50元，售价每盒80元。 如果当日未售出将半价（40元）出售。现估计出该产品 今年的市场需求量及它们出现的概率如表：
问题：怎样构造解法？
2.解法一：最大期望利润（收益）准则
步骤：-求每个决策dj 的期望利润 E (dj )； -最大期望利润 max E (dj )对应的决策即d*。
例2 条件同例1，并知状态概率为0.2，0.5，0.3，求d*。
解：由设，利润与概率表为
P( ) i
i
d j
dd
1
2
0.2 1
80 40
第二节 风险型决策
又可分为： -先验分析——利用先验信息进行终端决策； -后验分析——利用后验信息进行终端决策； -预后分析——后验分析的预分析。
一、先验分析
1.问题的一般提法 设：利润表与状态概率为
P( ) i
P( ) 1
P( ) m
d j
i
1
m
d d
1
n
u u
11
1n
u
u
m1
mn
求：最优决策d*。
出决策。
（1）列出本问题的损益表，由最大期望收益准则确定最
优决策；
（2）列出机会损失表，由最小期望机会损失准则确定最
优决策；
（3）求本问题的EVPI。
解 （1）损益表：
P( ) i
i
d j
25
26
27
28
0.1
25
5000 4200 3400 2600
0.3
26
5000 5200 4400 3600
P( )
i
i
d j
导出机会损失表
u ij
P( )
i
i
d j
；
r ij
其中
r ij
max u
k
ik
uij称为当实施dj而发生
时的机会 i
损失；
（问题：机会损失的含义为何？）
-求每个决策dj 的期望机会损失EOL (dj )； -最小期望机会损失min EOL (dj )对应的决策即d*。
(问题：如果已知的不是利润表，而是费用表，那么最小期望机会损失的 公式应作何调整？)
请用决策分析的术语描述该问题。
解：设决策d1:增加设备投资, d2:维持现状;
状态 ：销量大， ：销量中， ：销量小。
1
2
3
损益表：
d j
d
1
d 2
i
80
40
1
20
7
2
-5
1
3
二、决策问题的分类
1.确定型：状态只有一种； 2.不确定型：状态不只一种；又可分为完全不确定型 （状态概率未知）和风险型（状态概率可知）。
日销量 概率
100 110 120 130 0.20 0.30 0.40 0.10
该企业拟订今年该产品日产量的备选方案为100盒、110 盒、120盒、130盒。试根据最大期望收益准则确定适当 的日产量，并求出企业为调查市场信息所值得付费的上 限。
解 损益表：
P( ) i
0.2 0.3 0.4 0.1
（2）由下图的分析可得，若买预报，预报状态为k ，
应采取的最优决策为d
* k
，k=1,…,m，称
*
(d1*
,,
d
* m
)
为最优策略。
不买预报
P(1' )
买预报
P( 'm )
d1
P(1 )
a11
dn
P( m )
am1
P(1 )
a1n
做先验分析
P( m )
amn
d1
dn
P(1 1' )
P( m 1' )
-状态结点 ，由此出发的分枝称机会（概率）分枝；
-后果结点 ，后标结局（损益）值。
例6 用决策树方法再解例2。
解：
1 (0.2)
80
d1 24.5 2 (0.5)
20
24.5
3 (0.3)
-5
1 (0.2)
40
d2 11.8 2 (0.5)
7
3 (0.3)
1
P( ) i
i
d j
0.2 1
0.5 2
0.3 3
dd
1
2
80 40 20 7 -5 1
最优决策d1，最大期望收益24.5。
二、后验分析
比较-先验分析：用先验概率 P(i ) 作期望值进行决策 -后验分析：用后验概率 P(i k ) 作期望值进行决策
1.问题
P( )
设：利润表与状态概率
i
P( ) 1
如右表，又获得信息：将发
生状态k ,准确度为 P(k i )；
-比较买与不买的差异，做出决定。
•
加强做责任心，责任到人，责任到位 才是长 久的发 展。20. 11.420. 11.4We dnesday , November 04, 2020
•
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。1 6:34:06 16:34:0 616:34 11/4/20 20 4:34:06 PM
问：是否值得买预报，买后相应于预报的各状态应采取何决 策？
2.方法
分析-C EVPI，不买； -C < EVPI，-买后获利-C 买前获利，不买；
-买后获利-C > 买前获利，买。
（1）由最大期望利润准则（如下图）得到买与不买预报所 得的期望利润，若买后所得利润-C>买前所得利润，则值得 买，否则不买；
P( ) i
i
d j
0.2 1
0.5
2
0.3 3
dd
1
2
80 40 20 7 -5 1
1 2
3
0 .7 0 .2 0 .1
1
2
0 .1 0 .7 0 .15
0 .15 0 .2 0 .7
3
方法：-求不买预报时的期望利润，即做一个先验分析； -求买预报时的期望利润，即做3个后验分析，并对3个
的结果再平均（为此需要计算后验概率）；
第七章 风险型决策
（Risk Type Decision ）
第一节 基本概念 第二节 风险型决策
第一节 基本概念
一、决策问题的组成
1.决策者：决策的主体，一个人或团体；
2.决策：两个以上可供选择的行动方案，记dj；
3.状态（事件）：决策实施后可能遇到的自然状况，记 ； i
4.状态概率：对各状态发生可能性大小的主观估计，记P( ) ； i
P( ) m
d j
i
1
m
求：最优决策d*。
d d
1
n
u u
11
1n
u
u
m1
mn
2.方法：-先求后验概率 P(i k )，
P(i k ) P(i )
P(ik )
m i 1
P(i )
P(k )
P( i
k )
P(k ) P(k )
-再以 P(i k ) 作期望值进行决策（同先验分析）。
例7 条件同例2（即如右表），
4.完全信息期望值（EVPI）
完全信息：能够准确无误地预报将发生状态的信息；
具有完全信息的期望利润：当 必发生时的最优决策利润
i
期望值
m
P
(
) max u
。
i 1
i
ij j
例4 求例2中的具有完全信息的期望利润。
P( ) i
i
d j
dd
1
2
解：由利润表 0.2
1
0.5 2
0.3 3
80 40 可得
例3 用最小期望机会损失准则再解例2。
P( ) i
i
d j
dd
1
2
解：先由利润表 0.2
1
0.5
2
0.3 3
P( ) i
i
d j
dd
1
2
80 40 20 7 -5 1
0.2 1
0.5 2
0.3 3
0 40 0 13 60
导出机会损失表
EOL (d1 )=0×0.2+0×0.5+6 ×0.3=1.8; E OL(d2 )=40×0.2+13×0.5+0×0.3=14.5。 EOL (d1 ) ＜ EOL (d2 )， ∴ d*= d1，即增加设备投资。
5.结局（损益）：当决策dj实施后遇到状态
i
时所产生的效
益（利润）或损失（成本），记 u ，用损益表表示。 ij
d j
d
1
d n
i
1
u
11
u 1n
m
u
m1
u mn
例1 某厂需要对明年的生产投资做出决策：是增加设 备投资还是维持现状。该厂产品明年在市场上的销售情况可 能有3种：销量大、销量中、销量小。若增加设备投资遇到 各种情况后的收益（万元）分别为80、20、-5；若维持现状 遇到各种情况后的收益（万元）分别为40、7、1。
三、预后分析
比较-后验分析：用已得的附加信息修正概率后做计算 -预后分析：附加信息需付费，在买之前先分析是否应买
1.问题 设：利润表与状态概率
如右表，现还可购买价值C 元的状态预报，预报的准确
P( ) i
P( ) 1
P( ) m
d j
i
1
m
d d
1
n
u u
11
1n
u
u
m1
mn
度为 P(k i ) ；
•
安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20. 11.416:34:0616 :34Nov -204-N ov-20
•
重于泰山，轻于鸿毛。16:34:0616:34:0 616:34 Wedne sday , November 04, 2020
例5 商店现需对某种货物下周的进货数量做出决策。
设这种货物进货成本为每件800元，售价为每件1000元，但一
周内如不能售出则变质报废。已知市场对这种货物的一周需
求量的概率分布如下：
需求量（件） 25 26 27 28
概率
0.1 0.3 0.5 0.1
因此进货数量也决定由25、26、27、28（件）四种可能中做
d j
i
100
110
120
130
100 110 120 130
3000 3000 3000 3000
2900 3300 3300 3300
2800 3200 3600 3600
2700 3100 3500 3900
E (d1 )=3000; E (d2 )=3220; E (d3 )=3320; E (d4 )=3260 。 d*= d3，即进货120件。
0.5
27
5000 5200 5400 4600
0.1
28
5000 5200 5400 5600
E (d1 )=5000; E (d2 )=5100; E (d3 )=4900; E (d4 )=4200 。
d*= d2，即进货26件。
P( )
（2）机会损失表： i
0.1
d j
i
25
25 26 27 28 0 800 1600 2400
0.5
2
0.3 3
20 7 -5 1
E (d1 )=80×0.2+20×0.5+(-5) ×0.3=24.5; E (d2 )=40×0.2+7×0.5+1×0.3=11.8。 E (d1 ) ＞ E (d2 )， ∴ d*= d1，即增加设备投资。
3.解法二：最小期望机会损失准则
步骤：-由利润表
0.3
P(2i )
0.06 0.35 0.06
P(2) 0.47
P(i 2 )
0.128 0.745 0.128
E (d1 )=80×0.128+20×0.745+(-5) ×0.128=24.5; E (d2 )=40×0.128+7×0.745+1×0.128=10.46。 E (d1 ) ＞ E (d2 )， ∴ d*= d1，即增加设备投资。
20 7
-5 1
具有完全信息的期望利润为 80×0.2+20×0.5+1 ×0.3 = 26.3 ;
问题：回顾例5.2中无附加信息时最优决策的期望利润是多少？ ——24.5 差额 26.3-24.5 = 1.8 说明什么？ ——完全信息的价值。
完全信息期望值：具有完全信息的期望利润与无附加信息时
最优决策的期望利润之差，记EVPI。
a11
am1
P(1 1' )
P( m 1' )
a1n
amn
做m 个后
d1
dn
P(1
' m
)
P(
m
' m
)
a11
am1
P(1
' m
)
P
(
m
' m
)
a1n
a
验分析
例8：在前例中,原始信息如下左表,现可购买一份价值0.8万元的
预报,预报结果可能为1 销量大，2 销量中，3 销量小。准确度
P(k i ) 如下右表。问是否应买预报，买后决策为何？
具有完全信息的期望利润： 3000 0.2 3300 0.3 3600 0.4 3900 0.1 3420
EVPI = 3420-3320=100，即企业为调查市场信息所值得付费 的上限为100。
5.决策树分析法
回顾：什么是树？ ——无圈的连通图。
决策树的结点与分枝
-决策结点 ，由此出发的分枝称决策分枝；
EVPI
m
P(
) max u
m
max
P(
)u
i 1
i
j
ij
j
i 1
i
ij
既然EVPI反映了完全信息的价值，而完全信息是可获信 息的最高水准，因此，EVPI在决策分析中提供了为获取附加 信息而值得付费的上限。
在例2中，EVPI= 26.3-24.5 = 1.8 ,恰好等于 EOL(d*) 。 一般地，EVPI= min EOL(dj) 。 （思考原因）
P( ) i
i
d j
现预报明年将发生“销量中”，记为 0.2 1
2 ，准确度 P(2 i ) 为
0.5 2
2
1 2 3
0.3 0.7 0.2
，求d*。 0.3
3
dd
1
2
80 40 20 7 -5 1
解：先求 P(i 2 ) ，
i P(2 i ) P(i )
1
0.3
0.2
2
0.7
0.5
3
0.2