概率论与数理统计期末考试试题及解答

《概率论与数理统计》期末试题

一、填空题（每小题3分，共15分）

1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的

概率为__________. 答案：

解：

3.0)(=+B A B A P

即

)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=

所以

1.0)(=AB P

9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P Y .

2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.

答案：

161-e

解答：

λλ

λ

λλ---=

=+==+==≤e X P e e

X P X P X P 2

)2(,

)1()0()1(2

由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ

λλ---=+e e e 22

即 0122

=--λλ 解得

1=λ，故

16

1)3(-=

=e X P

3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2

X Y =在区间)4,0(内的概率

密度为=)(y f Y _________. 答案：

04,()()0,.

Y Y X y f y F y f <<'===⎩

其它

解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则

2

()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=-

因为~(0,2)X U

，所以(0X F =

，即()Y X F y F =

故

04,

()()

0,.

Y Y X

y

f y F y f

<<

'

===

⎩其它

另解在(0,2)上函数2

y x

=

严格单调，反函数为()

h y=

所以

04,

()

0,.

Y X

y

f y f

<<

==

⎩其它

4．设随机变量Y

X,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2

)1

(-

=

>e

X

P，则=

λ_________，}1

)

,

{min(≤

Y

X

P=_________.

答案：2

λ=，-4

{min(,)1}1e

P X Y≤=-

解答：

2

(1)1(1)

P X P X e e

λ

--

>=-≤==，故2

λ=

{min(,)1}1{min(,)1}

P X Y P X Y

≤=->

1(1)(1)

P X P Y

=->>

4

1e-

=-.

5．设总体X的概率密度为

⎪⎩

⎪

⎨

⎧<

<

+

=

其它

,0

,1

,

)1

(

)

(

x

x

x

f

θ

θ

1-

>

θ.

n

X

X

X,

,

,

2

1

Λ是来自X的样本，则未知参数θ的极大似然估计量为_________.

答案：

$

1

1

1

1

ln

n

i

i

x

n

θ

=

=-

∑

解答：

似然函数为

11

1

(,,;)(1)(1)(,,)

n

n

n i n

i

L x x x x x

θθ

θθθ

=

=+=+

∏

L L

1

ln ln(1)ln

n

i

i

L n x

θθ

=

=++∑

1

ln

ln0

1

n

i

i

d L n

x

dθθ=

=+

+

∑@

解似然方程得θ的极大似然估计为

$1

111ln n

i i x n θ

==-∑.

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设,,A B C 为三个事件，且,A B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A ）若()1P C =，则AC 与BC 也独立. （B ）若()1P C =，则A C U 与B 也独立. （C ）若()0P C =，则A C U 与B 也独立.

（D ）若C B ⊂，则A 与C 也独立. （ ）

答案：（D ）.

解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A ），（B ），（C ）都是正确的，只能选（D ）.

事实上由图

可见A 与C 不独立.

2．设随机变量~(0,1),X N X 的分布函数为()x Φ，则(||2)P X >的值为 （A ）2[1(2)]-Φ. （B ）2(2)1Φ-.

（C ）2(2)-Φ. （D ）12(2)-Φ. （ ）

答案：（A ）

解答： ~(0,1)X N 所以(||2)1(||2)1(22)P X P X P X >=-≤=--<≤ 1(2)(2)1[2(2)1]2[1(2)]=-Φ+Φ-=-Φ-=-Φ 应选（A ）.

3．设随机变量X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是

（A ）X 与Y 独立. （B ）()D X Y DX DY -=+.

（C ）()D X Y DX DY -=-. （D ）()D XY DXDY =. （ ）