高考理科数学(天津卷)试题及答案

高考理科数学天津卷试题及答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,共150分， 考试用时120分钟第Ⅰ卷1至2页， 第Ⅱ卷3至10页考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：1. 答第Ⅰ卷前， 考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上， 并在规定位置粘贴考试用条形码2. 每小题选出答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号答在试卷上的无效 参考公式：如果事件A 、B 互斥， 那么 球的体积公式)()()(B P A P B A P +=+ 334R V π=球 如果事件A 、B 相互独立， 那么 其中R 表示球的半径)(B A P ⋅=)()(B P A P ⋅ 柱体（棱柱、圆柱）的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率 V 柱体=Sh是P ， 那么n 次独立重复试验中恰好发 其中S 表示柱体的底面积， 生k 次的概率 h 表示柱体的高P n （k ）=C n P k (1-P)n-k一、选择题：本大题共10小题， 每小题5分， 共50分， 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是最符合题目要求的（1）设集合},914{R x x x A ∈≥-=, },03{R x x xx B ∈≥+=, 则=B A I （ ）(A)]2,3(-- (B) ]25,0[]2,3(⋃--(C) ),25[]3,(+∞⋃--∞ (D) ),25[)3,(+∞⋃--∞(2)若复数iia 213++（R a ∈， i 为虚数单位位）是纯虚数， 则实数a 的值为（ ）（A ）-2 (B)4 (C) -6 (D)6(3)给出下列三个命题：①若1->≥b a ,则bba a +≥+11；②若正整数m 和n 满足n m ≤,则2)(n m n m ≤-；③设),(11y x P 为圆9:221=+y x O 上任一点， 圆2O 以),(b a Q 为圆心且半径为1.当1)()(2121=-+-y b x a 时,圆1O 与圆2O 相切其中假命题的个数为（ ）(A) 0 (B) 1(C) 2(D)3(4)设γβα、、为平面， l n m 、、为直线， 则β⊥m 的一个充分条件是（ ）(A) l m l ⊥=⋂⊥,,βαβα (B) γβγαγα⊥⊥=⋂,,m (C) αγβγα⊥⊥⊥m ,,(D) αβα⊥⊥⊥m n n ,,(5)设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点， 其准线过椭圆的焦点， 则双曲线的渐近线的斜率为（ ）(A)2±(B)34±(C)21±(D)43±(6)从集合}11,,3,2,1{Λ中任选两个元素作为椭圆方程12222=+ny m x 中的m 和n ,则能组成落在矩形区域,11|||),{(<=x y x B 且}9||<y 内的椭圆个数为（ ）(A)43 (B) 72 (C) 86 (D) 90(7)某人射击一次击中的概率为0.6,经过3次射击,此人至少有两次击中目标的概率为（）(A)12581(B)12554(C)12536(D)12527 (8)要得到函数x y cos 2=的图象， 只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（ ）(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）， 再向右平行移动4π个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 再向左平行移动4π个单位长度(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 再向右平行移动8π个单位长度(9)设)(1x f -是函数)1( )(21)(>-=-a a a x f xx 的反函数， 则使1)(1>-x f 成立的x的取值范围为（ ）(A)),21(2+∞-a a (B) )21,(2a a --∞ (C) ),21(2a aa - (D) ),[+∞a (10)若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增， 则a 的取值范围是（ ）(A))1,41[(B) )1,43[(C)),49(+∞(D))49,1(第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：1答卷前将密封线内的项目填写清楚 2用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上二、填空题：本大题共6小题， 每小题4分， 共24分， 把答案填在题中横线上（11）设*∈N n ,则=++++-12321666n n n n n n C C C C Λ ．（12）如图， PA ⊥平面ABC ， ∠ACB=90°且PA=AC=BC=a 则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于________．（13）在数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,且)( )1(12*+∈-+=-N n a a n n n 则100S =_____．（14）在直角坐标系xOy 中， 已知点A(0,1)和点B(-3,4)， 若点C 在∠AOB 的平分线上且| |=2,则= ．（15）某公司有5万元资金用于投资开发项目， 如果成功， 一年后可获利12%， 一旦失败， 一年后将丧失全部资金的50%， 下表是过去200例类似项目开发的实施结果：则该公司一年后估计可获收益的期望是___________（元）（16）设)(x f 是定义在R 上的奇函数， 且)(x f y =的图象关于直线21=x 对称， 则)5()4()3()2()1(f f f f f ++++=________________．三、解答题：本大题共6小题， 共76分， 解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤(17)(本小题满分12分)在ABC ∆中， C B A ∠∠∠、、所对的边长分别为c b a 、、， 设c b a 、、满足条件222a bc cb =-+和321+=b c ， 求A ∠和B tan 的值 （18）（本小题满分12分）已知)0,0,( 1221>>∈+++++=*---b a N n b ab b a b a a u n n n n n n Λ（Ⅰ）当b a =时， 求数列{}n u 的前n 项和n S （Ⅱ）求1lim -∞→n nn u u（19）（本小题满分12分）如图， 在斜三棱柱111C B A ABC -中，a B A A A AC AB AC A AB A ===∠=∠1111,,， 侧面11BCC B 与底面ABC 所成的二面角为ο120， E 、F 分别是棱A A C B 111、的中点 （Ⅰ）求A A 1与底面ABC 所成的角 （Ⅱ）证明E A 1∥平面FC B 1（Ⅲ）求经过C B A A 、、、1四点的球的体积（20）（本小题满分12）某人在一山坡P 处观看对面山项上的一座铁塔， 如图所示， 塔高BC=80（米）， 塔所在的山高OB=220（米）， OA=200（米）， 图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上， l 与水平地面的夹角为α ,tan α=1/2试问此人距水平地面多高时， 观看塔的视角∠BPC 最大（不计此人的身高）C 1B 1A 1ABCF E（21）（本小题满分14分）抛物线C 的方程为)0(2<=a ax y ， 过抛物线C 上一点P(x 0,y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1,k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1,y 1)B(x 2,y 2)两点(P,A,B 三点互不相同)， 且满足10(012-≠≠=+λλλ且k k（Ⅰ）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程（Ⅱ）设直线AB 上一点M ， 满足BM λ=， 证明线段PM 的中点在y 轴上 （Ⅲ）当λ=1时， 若点P 的坐标为（1， -1）， 求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标1y 的取值范围（22）（本小题满分14分） 设函数)( sin )(R x x x x f ∈=.（Ⅰ）证明x k x f k x f sin 2)()2(ππ=-+,其中为k 为整数；（Ⅱ）设0x 为)(x f 的一个极值点， 证明240201)]([x x x f +=；（Ⅲ）设)(x f 在(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排列ΛΛ,,,,21n a a a , 证明),2,1( 21Λ=<-<+n a a n n ππ2005天津卷试题及答案参考答案一、选择题（每小题5分， 共50分）二、填空题（每小题4分， 共24分） （11）)17(61-n； （12）2；（13）2600；（14）)5103,510(-；（15）4760； （16）0．解法：∵f(x)是定义在R 上的奇函数， ∴f(x)=-f(-x) ①又∵y=f(x)的图象关于直线x=1/2对称， ∴f(1-x)=f(x) ② ∴f(1)=f(1-0)=f(0)=0 由①②得 f(1-x)=-f(-x)∴ f(1-x)+f(-x)=0 即 f(1+n)+f(n)=0 ∴ f(3)+f(2)=0,f(5)+f(4)=0 ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0三、解答题（共76分， 以下各题为累计得分， 其他解法请相应给分）（17）解：由余弦定理212cos 222=-+=bc a c b A ， 因此ο60=∠A ． 在ABC ∆中， B B A C ∠-=∠-∠-=∠οο120180．由已知条件， 应用正弦定理21cot 23sin sin 120cos cos 120sin sin )120sin(sin sin 321+=-=-===+B B B B B B B C b c οοο， 解得2cot =B ,从而21tan =B ． （18）解：（Ⅰ）当b a =时， nn a n u )1(+=．这时数列}{n u 的前n 项和n n n a n na a a a S )1(432132++++++=-Λ． ①①式两边同乘以a ， 得1432)1(432+++++++=n n n a n na a a a aS Λ ② ①式减去②式， 得132)1(2)1(++-++++=-n n n a n a a a a S a Λ若1≠a ，aa n aa a S a n n n ++---=-+1)1(1)1()1(，221212)1(2)2()1(1)1()1()1(a aa a n a n a a n a a a a S n n n n n -+-+-+=-+-+--=+++ 若1=a ， 2)3()1(32+=+++++=n n n n S n Λ （Ⅱ）由（Ⅰ）， 当b a =时， nn a n u )1(+=，则a n n a na a n u u n n n n n n n =+=+=∞→-∞→-∞→)1(lim )1(lim lim 11． 当b a ≠时，)(11)(1)()(1[111211+++----=--=++++=++++=n n n n n n n n n n n b a b a ab a ba ab a b a b a b ab b a a u ΛΛ此时， nnn n n n ba b a u u --=++-111． 若0>>b a ， a aba b b a b a b a u u nnn nn n n n n n n =--=--=∞→++∞→-∞→)(1)(limlim lim111． 若0>>a b ， b ba b b aa u u nn n n nn =--==∞→-∞→1)()(lim lim1．（19）解：（Ⅰ）过1A 作⊥H A 1平面ABC ， 垂足为H ．连结AH ， 并延长交BC 于G ， 于是AH A 1∠为A A 1与底面ABC 所成的角．∵AC A AB A 11∠=∠， ∴AG 为BAC ∠的平分线． 又∵AC AB =， ∴BC AG ⊥， 且G 为BC 的中点．因此， 由三垂线定理BC A A ⊥1．∵B B A A 11//， 且B B EG 1//， ∴BC EG ⊥． 于是AGE ∠为二面角E BC A --的平面角， 即ο120=∠AGE ．由于四边形AGE A 1为平行四边形， 得ο601=∠AG A ．（Ⅱ）证明：设EG 与C B 1的交点为P ， 则点P 为EG 的中点．连结PF ． 在平行四边形1AGEA 中， 因F 为A A 1的中点， 故FP E A //1． 而⊂FP 平面FC B 1， ⊄E A 1平面FC B 1， 所以//1E A 平面FC B 1．（Ⅲ）连结C A 1．在AC A 1∆和AB A 1∆中， 由于AB AC =， AC A AB A 11∠=∠，A A A A 11=， 则AC A 1∆≌AB A 1∆， 故B A C A 11=．由已知得a C A B A A A ===111．又∵⊥H A 1平面ABC ， ∴H 为ABC ∆的外心．设所求球的球心为O ， 则H A O 1∈， 且球心O 与A A 1中点的连线A A OF 1⊥．在FO A Rt 1∆中， 3330cos 21cos 111a aH AA F A O A ===ο．故所求球的半径a R 33=， 球的体积33273434a R V ππ==． （20）解：如图所示， 建立平面直角坐标系， 则)0,200(A ， )220,0(B ， )300,0(C ． 直线l 的方程为αtan )200(-=x y ， 即2200-=x y ． 设点P 的坐标为),(y x ， 则)2200,(-x x P （200>x ） 由经过两点的直线的斜率公式1x x x x k PC 28003002200-=--=， xx x x k PB 26402202200-=--=． 由直线PC 到直线PB 的角的公式得6401602886426402800121601tan 2⨯+-=-⋅-+=+-=x x x xx x x x k k k k BPC PCPB PC PB 28864016064-⨯+=xx （200>x ）要使BPC tan 达到最大， 只须288640160-⨯+xx 达到最小． 由均值不等式2886401602288640160-⨯≥-⨯+x x ．当且仅当xx 640160⨯=时上式取等号．故当320=x 时BPC tan 最大．这时， 点P 的纵坐标y 为602200320=-=y ．由此实际问题知， 20π<∠<BPC ， 所以BPC tan 最大时， BPC ∠最大．故当此人距水平地面60米高时， 观看铁塔的视角BPC ∠最大．（21）解：（Ⅰ）由抛物线C 的方程2ax y =（0<a ）得， 焦点坐标为)41,0(a， 准线方程为ay 41-=． （Ⅱ）证明：设直线PA 的方程为)(010x x k y y -=-， 直线PB 的方程为)(020x x k y y -=-．点),(00y x P 和点),(11y x A 的坐标是方程组0102()y y k x x y ax -=-⎧⎨=⎩①② 的解． 将②式代入①式得000112=-+-y x k x k ax ，于是a k x x 101=+， 故011x akx -= ③ 又点),(00y x P 和点),(22y x B 的坐标是方程组0102()y y k x x y ax -=-⎧⎨=⎩④⑤的解．将⑤式代入④式得000222=-+-y x k x k ax ．于是ak x x 202=+， 故022x ak x -=． 由已知得， 12k k λ-=， 则012x k ax --=λ． ⑥设点M 的坐标为),(M M y x ， 由λ-， 则λλ++=112x x x M ．将③式和⑥式代入上式得0001x x x x M -=+--=λλ，即00=+x x M ．所以线段PM 的中点在y 轴上．（Ⅲ）因为点)1,1(-P 在抛物线2ax y =上， 所以1-=a ， 抛物线方程为2x y -=． 由③式知111--=k x ， 代入2x y -=得211)1(+-=k y ．将1=λ代入⑥式得112-=k x ， 代入2x y -=得222)1(+-=k y ．因此， 直线PA 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标为)12,1(1211-----k k k A ， )12,1(1211-+--k k k B ．于是)2,2(1211k k k ++=， )4,2(11k k =，)12)(2(2)2(4)2(2111121111++=+++=⋅k k k k k k k k ．因PAB ∠为钝角且P 、A 、B 三点互不相同， 故必有0<⋅． 求得1k 的取值范围是21-<k 或0211<<-k ． 又点A 的纵坐标1y 满足211)1(+-=k y ， 故 当21-<k 时， 11-<y ；当0211<<-k 时， 4111-<<-y ． 即)41,1()1,(1----∞∈Y y（22）解：（Ⅰ）证明：由函数)(x f 的定义， 对任意整数k ， 有(2)()(2)sin(2)sin f x k f x x k x k x x πππ+-=++-(2)sin sin 2sin x k x x x k x ππ=+-=．（Ⅱ）证明：函数)(x f 在定义域R 上可导， x x x x f cos sin )(+=' ① 令0)(='x f ， 得0cos sin =+x x x ．显然， 对于满足上述方程的x 有0cos ≠x ，上述方程化简为x x tan -=．此方程一定有解．)(x f 的极值点0x 一定满足00tan x x -=． 由x x x x x x 222222tan 1tan cos sin sin sin +=+=， 得020202tan 1tan sin x x x +=． 因此， 20400220201sin )]([x x x x x f +==．（Ⅲ）证明：设00>x 是0)(='x f 的任意正实数根， 即00tan x x -=， 则存在一个非负整数k ， 使),2(0ππππk k x ++∈， 即0x 在第二或第四象限内．由①式， )(tan cos )(x x x x f +='在第二或第四象限中的符号可列表如下：所以满足0)(='x f 的正根0x 都为)(x f 的极值点．由题设条件， 1a ， 2a ， …， n a ， …为方程x x tan -=的全部正实数根且满足 ΛΛ<<<<n a a a 21，那么对于Λ,2,1=n ，)tan()tan tan 1()tan (tan 1111n n n n n n n n a a a a a a a a -⋅+-=--=-++++． ② 由于ππππ)1()1(2-+<<-+n a n n ， ππππn a n n +<<++12， 则2321ππ<-<+n n a a ， 由于0tan tan 1>⋅+n n a a ， 由②式知0)tan(1<-+n n a a ．由此可知n n a a -+1必在第二象限， 即π<-+n n a a 1． 综上， ππ<-<+n n a a 12．。