函数的单调性教案

函数的单调性教案

一、研究教材

1.认知基础分析：在初中通过对两个变量之间的数量关系的探究认识了函数的概念，学习了一元一次函数、一元二次函数、正比例函数与反比例函数的概念，初步掌握了这些函数图象的画法及其图象特征，能应用图象研究这些简单函数的基本性质，通过图象的升降关系（单调性的图象特征）了解函数值的变化与自变量的变化关系（单调性的定性描述）.在高中通过对两个非空数集之间的对应关系以及映射的研究深化了对函数概念的理解，进一步学习了函数的三种表示方法，实现从初中的形象思维逐步过渡到逻辑思维，从具体向抽象的代数推理过渡.

2.地位与作用：

函数的单调性是函数的重要性质, 它既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的基础，在解决函数的值域、定义域、不等式、比较两个实数的大小等具体问题中有着广泛的应用. 函数单调性概念的形成过程中蕴涵作许多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其它性质起作启发与示范作用.

二、教学目标

1.知识与技能

（1）理解函数的单调性的概念及其几何意义；

（2）能应用函数的图象和单调性的定义判断或证明简单函数的单调性；

（3）学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，突出数形结合思想在研究函数性质中的重要性.

2. 过程与方法

（1）首先是通过初中已经学习过的函数特别是二次函数图象的直观感悟，让学生获得图象的上升与下降来刻画函数的单调性的特征（单调性的几何语言），第二利用列表法，启发学生获得“函数的增、减性就是随着自变量的值的增大，函数值也随之增大（或减小）”（单调性的文字语言）；第三通过交流合作，将文字语言转化为抽象的符号语言（形式化的精确定义）；

（2）通过函数的单调性的学习，体会文字语言、图形语言、符号语言的相互转化；

（3）通过函数的单调性概念的形成过程的学习，让学生领悟到从观察具体特例的图象到归纳猜想再到推理论证的科学思维方法.

3．情感、态度与价格观

在形与数的结合中感知数学的内在美，在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知数学的严谨美.

三、教学重点和难点重点：理解增函数、减函数的概念；难点：单调性概念的形成

与定义的应用.

四、教法与学法

重视诱思探究的教学理论在课堂教学中的渗透，在课堂教学中体现“教师为主导、学生为主体”，教师启发诱导，学生自主探究，激发学生的学习兴趣、培养学生良好的思维习惯和思维品质.

X ，0：时）图象逐渐下 降,在y 轴的右侧图象逐渐 上升.

师：图象的这种逐渐上升与 下降，从直观上反映了函数 的一个基本性质一函数的 单调性，逐渐上升的部分为 增函数，下降的部分为减函

教学过程 教学 流程 实 例 引 入 教学情境

师生互动过程

设计意图 合作 交流 探究 概念 时间间隔 记忆量 刚刚记忆完毕 100% 20分钟后 58.2% 1小时后 44.2% [ 8-9小时后 35.8% 1天后 33. 7% 2天后 27.8% [ 6天后

25.4% 一个月后

21.1%

1.艾宾浩斯关于时间间隔与 记忆保持量的关系 师：同学们，我们前面在初 中的基础上进一步学习了 函数的概念和函数的三种 表示方法，今天我们与大家 一起来研究函数的一般性 质，它主要包括：函数的定 义域、值域、最值、单调性、 奇偶性、周期性、图象的对 称性等.今天我们主要研究 运动变化的快与慢、增或减 的变化规律.研究函数性 质的基本方法是从特殊函 数的图象上直观感知函数 的运动变化性质，归纳猜想 出一般性的规律，在用抽象 的符号语言形成概念. 出示问题1

生：结合图象回答问题1

让学生感 受到研究 函数性质 的重要性， 也让学生 认识到在 学习过程 中为什么 要及时复 习巩固.

问题1请同学们结合图象和 表格分析记忆量与时间的变 化关系？

2.画出函数y = x 和y = x 2

的 图象，引导学生探究：

冋题2从左往右看观察两个 函数的图象，请指出函数的图 象在哪些部分是上升或下降 的？

师：引导学生观察图象

生：观察、探究、合作交流, 回答问题2

从左往右看，y=x 的图象 逐渐连续下降，y = x 2

的图 像在y 轴的左侧（学生还有 可能回答：当x_0时或当 通过观察 y = x 、 y = x 2两个 函数的图 象，获得单 调性的图 形语言

3.观察几何画板，从左往右慢速运动P点，要求学生关注P 的点坐标变化情况，思考

问题3在0, 上，当自变量x增大时，函数值f(x) 有怎样的变化规律？

f(x) = X2\ 2-

-P

P: (1.50, 2.26)

［运动

P点

\ 47问题4请同学们用数学符号

语言来描述“在x三［0, • 上,

-2

当自变量x增大时，函数值

f(x)也随着增大”？问题5哪位同学能用数学符号语言来描述““ y = x2在区间

0「：上是增函数”？

数.

师：在几何画板上点击“运

动P点”生：观察动P点的坐标变化情况回答问题3

在x乏(0,母)上，当自变量x 增大时，函数值f(x)也随着增大.

师：我们称函数y = x2在区

间(0,址)上是增函数.

师反问：函数y = x2在那个10

区间上是减函数？

生：函数y = x2在区间

师：再次引导学生几何画板生：回答问题4

在区间0,七上任意的

X2，当捲：：x时，都有

2 2

x i <2.

师：提出问题5

生：在区间0, •上的自变

量的任意任意两个值

X i、X2，当X i ：： X2 时，都有

X；：：：2，则称函数y =x2在区间0, •上是增函数.

概念的形成和对概念的理解问题6请同学们将上述结论推

向一般的函数y = f (x)，给增函

数、减函数下定义

师：提出问题

生：书写定义

由特殊函数

的性质过渡

到一般函数

的性质，培

养学生的合

-::,0上是减函数.

以二次函数

为载体，引

导学生将概

念的几何语

言转化为文

字语言和符

号语言.

借助几何画

板，引导学

生将图象语

言“从左往

右看” 转化

为“自变量

增大” 在转

化为符号语

言

“为v x2

15

”的过程.

同时使学生

体会到不同

函数以及同

一函数在不

同区间上的

变化差异.