红对勾·讲与练高中数学北师大必修五：课时作业 等差数列的概念和通项公式

课时作业3等差数列的概念和通项公式

时间：45分钟满分：100分

一、选择题(每小题5分，共35分)

1．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2 011－2 012n，则此数列() A．是首项为2 011的等差数列

B．是首项为－1且公差为2 012的等差数列

C．是公差为2 011的递增等差数列

D．是首项为－1且公差为－2 012的递减等差数列

【答案】 D

【解析】a1＝－1，a n＋1－a n＝[2 011－2 012(n＋1)]－(2 011－2 012n)＝－2 012<0.故选D.

2．已知在数列{a n}中，a n＋1－a n＝2，且a1＝2，则这个数列的第10项为()

A．18B．19

C．20 D．21

【答案】 C

【解析】由条件知{a n}是公差为2的等差数列，故a10＝a1＋9d ＝2＋9×2＝20.

3．在等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为()

A．1 B．2

C．3 D．4

【答案】 B

【解析】∵a1＋a5＝10＝2a3，

∴a3＝5.故d＝a4－a3＝7－5＝2.

4．在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，a2＋a10＝14，则a4的值为() A．3 B．6

C．8 D．10

【答案】 A

【解析】由a1＋a9＝10，a2＋a10＝14得d＝2，

∵a1＋a9＝2a1＋8d＝10，

∴a1＝－3，∴a4＝－3＋3×2＝3.

5．已知递增的等差数列{a n}满足a1＝1，a3＝a22－4，则a n＝() A．2n B．2n－1

C．n－1 D．2n＋1

【答案】 B

【解析】设等差数列{a n}的公差为d(d>0)．

由a3＝a22－4得a1＋2d＝(a1＋d)2－4，即1＋2d＝(1＋d)2－4，d2＝4.又{a n}是递增数列，所以d＝2，

故a n＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)·2＝2n－1.

6．设S n是数列{a n}的前n项和，且S n＝n2，则{a n}()

A．是常数列B．是等差数列

C．是摆动数列D．非以上三种数列

【答案】 B

【解析】

a n ＝⎩⎨

⎧

S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)

⇒⎩⎨

⎧

1， (n ＝1)，2n －1 (n ≥2).

∴a n ＝2n －1(n ∈N ＋)． 又a n ＋1－a n ＝2为常数， ∴{a n }是等差数列．

7．设数列{a n }是递增的等差数列，前三项的和是12，前三项的积是48，则它的首项是( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

【答案】 B

【解析】 设等差数列{a n }前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意得

⎩⎨

⎧

a －d ＋a ＋a ＋d ＝12，(a －d )×a ×(a ＋d )＝48，

解得⎩⎨

⎧

a ＝4，d ＝±2(由题意舍去－2).

所以首项为a －d ＝2.

二、填空题(每小题5分，共15分)

8．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________. 【答案】 13

【解析】 等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得

⎩⎨

⎧

a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6，

∴⎩⎨

⎧

a 1＝3，d ＝2，

∴a 6＝a 1＋5d ＝13.

9．若lg2，lg(2x －1)，lg(2x ＋3)成等差数列，则x 的值为________． 【答案】 log 25

【解析】 lg(2x －1)－lg2＝lg(2x ＋3)－lg(2x －1)， ∴2(2x ＋3)＝(2x －1)2， ∴(2x )2－4×2x －5＝0， ∴2x ＝5，∴x ＝log 25.

10．在数列{a n }中，a 1＝3且对任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1)在直线x －y －3＝0上，则a n ＝________.

【答案】 3n 2 【解析】 ∵点(a n ，a n －1)在直线x －y －3＝0上，

∴a n －a n －1＝3，即数列{a n }是首项为3，公差为3的等差

数列．

∴数列的通项公式为a n ＝3＋(n －1)3＝3n ， ∴a n ＝3n 2.

三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

11．(15分)数列{a n }是等差数列，b n ＝ka n ＋b (k ，b 是常数，n ∈N ＋)，求证：数列{b n }也是等差数列．

【解析】 证明：因为{a n }是等差数列，所以a n ＋1－a n 为常数，不妨设为d .所以b n ＋1－b n ＝(ka n ＋1＋b )－(ka n ＋b )＝k (a n ＋1－a n )＝kd (常数)，所以数列{b n }为等差数列．

12．(15分)已知等差数列{a n }中，(1)a n ＝2n ＋3，求a 1和d ；(2)a 7

＝131，a 14＝61，求a 100，并判断0是不是该数列的项？

【解析】 (1)∵a n ＝2n ＋3，∴a 1＝2×1＋3＝5. ∴d ＝a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋3－(2n ＋3)＝2. (2)设数列{a n }的公差为d ，由题意知

⎩⎨

⎧

a 1＋6d ＝131，a 1＋13d ＝61.

解得⎩⎨

⎧

a 1＝191，d ＝－10.

故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝－10n ＋201. ∴a 100＝－10×100＋201＝－799. 令－10n ＋201＝0， 解得n ＝20.1∉N ＋， ∴0不是该数列的项．

13．(20分)第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．

(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； (2)2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？