2015-2016学年天津市高一数学寒假课程学案：第7讲《函数的综合应用》(新人教A版必修1)
1.2.1.2函数概念的综合应用PPT课件
x 1,5
配方法
2 y 11
函数的值域是{y | 2 y 11}
附注：求函数的值域，应先确定定义域，树立定义域 优先原则，再根据具体情况求y的取值范围．
9
你能求出下列函数的值域吗？
（1）y x x3
解：y （x 3) 3 1 3
x3
x3
3 0, y 1. x3
（2）y x 2x 1
第2课时 函数概念的综合应用
1
1.掌握简单函数的定义域的求法; 2.会求简单函数的值域. 3.掌握换元法求函数的对应关系.
1.函数的定义域的概念； 2.函数值域的概念； 3.函数的对应关系.
2
探究点1 函数的定义域的求法
（一）简单函数的定义域
例1 求下列函数的定义域：
(1) f (x) 1 x2
（2）已知f x的定义域0,2,求f (2x 1)的 对于抽象函数
定义域.
的定义域，在
同一对应关系f
解: 由题意知:
1 x 3
2
2
0 2x 1 2
下，括号内整 体的取值范围
相同.
故 : f (2x 1)的定义域是{x 1 x 3}.
2
2
7
1. 函数f (x) (x 1)0 的定义域是( C ) x x
(A)x | x 0
(B){x | x 1}
(C){x | x 0,且x 1} (D){x | x 0}
2. 已知f 2x 1的定义域(1,5],求f (x)的定义域.
解：由题意知 1 x 5, 3 2x 1 9,
f (x)的定义域为3,9.
3. 已知f (x 1) x2 2x 2，求 f (1).
（2）y 5x 4 y y 5 x 1
高中数学函数集体备课教案
高中数学函数集体备课教案
课时安排：2课时
教学目标：
1. 了解函数的基本概念和性质；
2. 能够掌握函数的表示方法；
3. 掌握函数的运算规律；
4. 能够解决与函数相关的问题。
教学准备：
1. 教师准备：教案、教材、课件、教具等；
2. 学生准备：学习笔记、教材、书写工具等。
教学过程：
第一课时：
1. 引入：通过实例引导学生思考什么是函数；
2. 定义函数：向学生介绍函数的定义，包括定义域、值域、对应关系等；
3. 函数的表示方法：介绍函数的表示方法，包括公式、图像、表格等；
4. 函数的运算规律：讲解函数的四则运算规律，包括加法、减法、乘法、除法；
5. 练习：让学生完成几道与函数相关的练习题。
第二课时：
1. 函数的性质：讲解函数的奇偶性、单调性、周期性等性质；
2. 函数的图像：介绍函数的图像，包括平移、翻转等变换；
3. 特殊函数：讲解常见的函数形式，如一次函数、二次函数、指数函数等；
4. 应用：引导学生通过函数解决实际问题；
5. 总结复习：回顾本节课的重点知识点，做一次小结，并布置相关作业。
教学反思：
通过本节课的教学，学生应该能够对函数的基本概念和性质有一定了解，并能够熟练运用函数的表示方法和运算规律。
同时，通过应用题的训练，学生的解决问题的能力也将有所提高。
在未来的教学中，应该继续强调函数与实际问题的联系，引导学生将数学知识灵活应用于实际生活中。
《高中数学必修1“函数的应用”教学设计及应用课教学研...（精选5篇）
《高中数学必修1“函数的应用”教学设计及应用课教学研...（精选5篇）第一篇：《高中数学必修1“函数的应用”教学设计及应用课教学研...味是屋：”年散的趟下眼不们开中偷丛这着，在笑抖里个，的青睛乡寻星杂，着了的，夫着几雨舒的的飞。
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活风步薄膊胳的混迷第二篇：高中数学必修1知识点总结：第三章函数的应用高中数学必修1知识点总结第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点。
2、函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标。
即：方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点．3、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点：（代数法）求方程f(x)=0的实数根；○2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函○数的性质找出零点．4、二次函数的零点：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)．１）△＞０，方程ax+bx+c=0有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点．２）△＝０，方程ax+bx+c=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．３）△＜０，方程ax+bx+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 222第三篇：高中数学必修1函数模型及其应用法制教育渗透教案数学教学中渗透法制教育教案 2.6 函数模型及其应用Ⅰ.教学目标：1.知识目标：(1)、掌握函数应用题的一般解题步骤.(2)、了解函数模型的意义.3.法制教育目标：(1)、《中华人民共和国道路交通安全法》第九十一条.(2)、《中华人民共和国人口与计划生育法》第一条、第二条、第九条.Ⅱ.重难点：把实际问题转化为函数模型.Ⅲ.教具：多媒体Ⅳ.教学方法：学导式Ⅴ.探究过程：例1、（2011山东威海月考）一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25％的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09mg/mL,那么，一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过_______小时才能开车。
高中数学_函数的应用教学设计学情分析教材分析课后反思
课程标准的基本要求课程标准内容目标：2.3函数的应用：能够运用一次函数、二次函数、分段函数的性质解决某些简单的实际问题．高中数学课程要求把数学探究、数学建模的思想以不同的形式渗透在各模块和专题内容之中，并在高中阶段至少安排较为完整的一次数学探究、一次数学建模活动。
教育教学目标根据课程标准要求，本课的教育教学目标可分为三个维度加以说明：1.知识目标：能够运用一次函数、二次函数、分段函数的性质解决某些简单的实际问题．(1) 能通过阅读理解读懂题目中文字叙述所反映的实际背景，领悟其中的数学道理，弄清题中出现的量及其数学含义．(2) 能根据实际问题的具体背景，进行数学化设计，将实际问题转化为数学问题（即建立数学模型），并运用函数的相关性质解决问题．(3) 能处理有民生、经济、物理等方面的实际问题．2.能力目标：通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生分析问题，解决问题的能力和运用数学的意识，也体现了函数知识的应用价值，也渗透了训练的价值．3.情感目标：通过对实际问题的研究解决，渗透了数学建模的思想．提高了学生学习数学的兴趣，使学生对函数思想等有了进一步的了解．本课时在教材的地位和作用《函数的应用》是高一数学第二章第三节的内容，函数的应用是学习函数的一个重要的方面。
学生学习函数的应用，目的就是利用已有的函数知识分析问题和解决问题。
通过函数的应用，对学生完善函数的思想、激发应用数学的意识、培养分析问题解决问题的能力、增强进行实践的能力等，都有很大的帮助。
“数学建模”是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新精神和实践能力。
这一节的出现体现了强化应用意识的要求，让学生能把数学知识应用到生产，生活的实际中去，形成应用数学的意识．所以培养学生分析解决问题的能力和运用数学的意识是本节的重点，根据实际问题建立数学模型是本节的难点．（一）教学对象：中等职业高一的学生．大部分学生由于学习兴趣较差, 思维不够活跃，缺乏分析问题和解决问题的能力（二）学生的已有的知识结构：了解正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的解析式及图像．掌握了函数的概念，函数的三种表示法，函数的单调性与奇偶性．（三）从学生的认知角度来看：学生对生活中发生的事件有较强的好奇心，喜欢究根问底，应因势利导让其了解函数在生活中的实际应用．不利因素是：学生对分段函数的表示方法是完全陌生的，接受需要一个过程，分段函数是一个函数还是两个，或多个函数，学生可能会理解错误，正确理解建立实际问题的分段函数关系和如何画出分段函数的图象对学生来讲是个难点．在这段时间学习中可以看到，由于学生们的生活实践较少，他们对条件的把握，信息的提取方面还需要加强，不够能很快的找出关键语言和关键数据。
(整理版)函数的应用举例·例题解析
函数的应用举例·例题解析1．几何问题类用函数思想解决几何(如平面几何、立体几何及解析析几何)问题，这是常常出现的数学本身的综合运用问题．【例1】如图2．9－1，一动点P自边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，沿正方形的边界运动一周，再回到A点．假设点P的路程为x，点P到顶点A的距离为y，求A、P两点间的距离y与点P的路程x之间的函数关系式．解(1)当点P在AB上，即0≤x≤1时，AP＝x，也就是y＝x．(2)当点P在BC边上，即1＜x≤2时，AB=1，AB＋BP＝x，BP＝x－1，根据勾股定理，得AP2＝AB2＋BP2222x xy=AP=1+(x1)2∴．-=-+(3)当点P在DC边上，即2＜x≤3时，AD＝1，DP＝3－x．根据勾股定理，得AP2=AD2＋DP2．2610x x-=-+∴y=AP=1+(3x)2(4)当点P在AD边上，即3＜x≤4时，有y=AP＝4－x．∴所求的函数关系式为2．行程问题类【例2】，A、B两地相距150公里，某人开汽车以60公里/小时的速度从A 地到达B地，在B地停留一小时后再以50公里/小时的速度返回A地，求汽车离开A 地的距离x表示为时间t的函数．解根据题意：(1)汽车由A到B行驶t小时所走的距离x=60t，(0≤t≤2.5)(2)汽车在B地停留1小时，那么B地到A地的距离x＝＜x≤3.5)(3)由B地返回A地，那么B地到A地的距离x=150－50(t－3.5)＝325－＜x≤6.5)总之≤≤＜≤－＜≤x =60t(0t 2.5)150(2.5t 3.5)32550t(3.5t 6.5)⎧⎨⎪⎩⎪ 3．工程设计问题类工程设计问题是指运用数学知识对工程的定位、大小、采光等情况进行合理布局、计算的一类问题．【例3】 要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图2．9－2所示)，在窗框为定长l 的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？解 设半圆的直径为x ，矩形的高度为y ，窗户透光面积为S ，那么窗框总长＋＋，l =x 2x 2y π ∴＋＋·－y =2(2+)x4S =x xy =x 2(2+)x 4x =22l l l l --+-+++πππππππ8848242422()()x 当时，，此时，x =24+S =y =4+max 2l l l πππ242()+=x 答 窗户中的矩形高为，且半径等于矩形的高时，窗户的透光l 4+π面积最大．说明 应用二次函数解实际问题，关键是设好适当的一个变量，建立目标函数．【例4】 要使火车平安行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径不允许小于600米，如果某段铁路两端相距156米，弧所对的圆心角小于180°，试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围．解 设园的半径为R ，圆弧弓形高CD=x(m)．在Rt △BOD 中，DB ＝78，OD=B －x∴(R －x)2＋782=R 2解得 R =x 2+60842x由题意知R ≥600∴≥x x260842+600 得x 2－1200x ＋6084≥0(x ＞0)，解得x ≤5.1或x ≥1194.9(舍)∴圆弧弓形高的允许值范围是(0，5.1]．4．营销问题类这类问题是指在营销活动中，计算产品本钱、利润(率)，确定销售价格．考虑销售活动的盈利、亏本等情况的一类问题．在营销问题中，应掌握有关计算公式：利润=销售价－进货价．【例5】 将进货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，假设每件售价涨价元，其销售量就减少10件．问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润．解 设每件售价提高x 元，那么每件得利润(2＋x)元，每天销售量变为(200－20x)件，所获利润y=(2＋x)(200－20x)=－20(x －4)2＋720当x=4时，即售价定为14元时，每天可获最大利润为720元．5．单利问题类单利是指本金到期后的利息不再参加本金计算．设本金为P 元，每期利率为r ，经过n 期后，按单利计算的本利和公式为S n =P(1＋nR)．【例6】 某人于1996年6月15日存入银行1000元整存整取定期一年储蓄，月息为9‰，求到期的本利和为多少？解 这里P=1000元，r=9‰，n ＝12，由公式得S 12＝P(1＋12r)＝1000×(1＋9×12)=1108元．答 本利和为1108元．6．复利问题类复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，那么复利函数式为y=P(1＋r)x．【例7】某企业方案发行企业债券，每张债券现值500元，按年利率％的复利计息，问多少年后每张债券一次归还本利和1000元？(参考，＝0.0274)．解设n年后每张债券一次归还本利和1000元，由1000=500(1＋％)n，解得≈11．答11年后每张债券应一次归还本利和1000元．7．函数模型类这个问题是指在问题中给出函数关系式，关系式中有的带有需确定的参数，这些参数需要根据问题的内容或性质来确定之后，然后使问题本身获解．【例8】某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、万件、万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=ab x＋c(其中a、b、c为常数)，4月份该产品的产量为万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．解设二次函数y1＝f(x)=px2＋qx＋x(p≠0)则＋＋＋＋＋＋f(1)=p q r=1f(2)=4p2q r=1.2 f(3)=9p3q r=1.3⎧⎨⎪⎩⎪⇒⎧⎨⎪⎩⎪P=0.05 q=0.35r=0.7－∴y1=f(x)=－2＋＋f(4)=－×16＋×4＋又y=ab x＋c得·＋·＋·＋－a b c=1a b c=1.2a b c=1.3a=0.8b=12c=1.423⎧⎨⎪⎩⎪⇒⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪∴－＋当时，－＋经比较可知：用－＋作模拟函数较好．y =0.8(12) 1.4x =4y =0.8(12) 1.4=1.35y =0.8(12) 1.4x 4x 【例9】 有甲乙两种产品，生产这两种产品所能获得的利润依次是和万元，它们与投入资金万元的关系是，＝，今P Q()x()P =x 4Q 34x 投入3万元资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润，对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？最大利润是多少？解 设投入甲产品资金为x 万元，投入乙产品资金为(3－x)万元，总利润为y 万元．y =P Q =14x (0x 3)t =3x x =3t (0t )y =14(3t )t =1422＋＋≤≤令则－≤≤，∴－＋3433343221162----+x t () 当时，此时，－．t =32y =2116x =3t =34max 2 答 对甲、乙产品分别投资为万元和万元，获最大利润为2116万元． 8．增长率(或降低率)问题类这类问题主要是指工农业生产中计算增长率、产值等方面的一类计算题．【例10】 某工厂1988年生产某种产品2万件，方案从1989年开始，每年的产量比上一年增长20％，问哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万元(lg2＝，lg3＝0.4771)解 设过x 年后，产量超过12万件．那么有2(1＋20％)x ＞12解得x ＞答 从1998年开始年产量可超过12万件．9．相关学科问题类这类问题是指涉及相关学科(如物理、化学等)知识的一类数学问题．【例11】 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，a 2，…，a n ，共n 个数据，我们规定所测量的物理量的“最正确近似值〞a 是这样一个量：与其它近似值比拟，a 与各数据差的平方和最小，依此规定，求从a 1，a 2，…，a n 推出的a 值．解 a 应满足：y=(a －a 1)2＋(a －a 2)2＋…＋(a －a n )2＝－＋＋…＋＋＋＋…＋na 2(a a a )a a a a 212n 1222n 2此式表示以a 为自变量的二次函数，∵n ＞0．∴当时，有最小值．此时a =2(a +a ++a )2n=a y a =a 12n 11 ++++++a a na a n n n 22 10．决策问题类决策问题，是指根据已掌握的数据及有关信息，利用数学知识对某一事件进行分析、计算，从而作出正确决策的题．【例12】 某厂在甲、乙两地的两个分厂各生产某种机器12台和6台，现销售给A 地10台，B 地8台，从甲地调运一台至A 地、B 地的运费分别为400元和800元，从乙地调运一台至A 地、B 地的运费分别为300元和500元．(1)设从乙要调x 台至A 地，求总运费y 关于x 轴的函数关系式．(2)假设总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？(3)求出总运费最低的调运方案及最低的运费．解 (1)y=300x ＋500(6－x)＋400(10－x)＋800[12－(10－x)]=200(x ＋43)(0≤x ≤6，x ∈N)(2)当x=0，1，2时，y ≤9000，故共有三种方案，总运费不超过9000元．(3)在(1)中，当x ＝0时，总运费最低，调运方案为：乙地6台全调B 地，甲地调2台至B 地，10台至A 地，这时，总运费y ＝8600元．。
高中数学教案《函数的应用》
教学计划：《函数的应用》一、教学目标1.知识与技能：o学生能够理解和掌握函数在解决实际问题中的应用方法和技巧。
o学生能够运用所学知识分析实际问题，建立函数模型，并求解问题。
o学生能够识别并解决涉及函数概念的实际问题，如最值问题、增长率问题等。
2.过程与方法：o通过案例分析，引导学生从实际问题中抽象出函数关系，培养数学建模能力。
o运用合作探究和讨论交流的方式，培养学生的团队协作精神和问题解决能力。
o通过对比、归纳等方法，帮助学生总结函数应用的一般规律和解题思路。
3.情感态度与价值观：o激发学生对数学学习的兴趣，增强应用数学解决实际问题的意识。
o培养学生的逻辑思维能力和创新意识，鼓励学生敢于质疑和探究。
o引导学生认识到数学在现实生活中的应用价值，培养对数学学科的热爱和尊重。
二、教学重点和难点●重点：理解函数在实际问题中的应用方法，能够建立并解决函数模型。
●难点：如何从实际问题中抽象出函数关系，以及函数模型的求解和验证。
三、教学过程1. 引入新课（5分钟）●生活实例展示：展示几个涉及函数应用的实际问题（如最优购物方案、经济增长预测等），引起学生兴趣。
●提出问题：引导学生思考这些问题中是否存在函数关系？如何运用函数知识解决这些问题？●明确目标：介绍本节课将要学习的内容——函数的应用，并说明学习目标。
2. 案例分析（15分钟）●典型例题剖析：选取一两个具有代表性的实际问题（如利润最大化问题），详细分析如何从问题中抽象出函数关系，建立函数模型，并求解问题。
●思路展示：通过板书或PPT展示解题思路和步骤，引导学生理解函数应用的全过程。
●学生讨论：组织学生讨论解题过程中的关键点和难点，鼓励学生提出疑问和见解。
3. 方法归纳（10分钟）●总结规律：引导学生总结函数应用的一般规律和解题步骤（如分析问题、建立模型、求解验证等）。
●对比分析：通过对比不同问题的函数模型和应用方法，帮助学生理解函数应用的多样性和灵活性。
●巩固记忆：通过提问或练习等方式，帮助学生巩固对函数应用方法的理解和记忆。
高一数学上册《函数的基本性质》教案、教学设计
3.学生在小组合作学习中的参与度有待提高。教师应关注学生的个体差异，调动每个学生的积极性，使他们在合作交流中发挥自己的优势，共同进步。
4.学生对于数学知识在实际生活中的应用认识不足，教师可通过引入实际问题，让学生体会数学知识的价值，激发学生学习数学的兴趣。
6.教学评价，关注成长
在教学过程中，教师应关注学生的成长和发展，采用多元化的评价方式，如课堂表现、作业完成情况、小组合作交流等，全面评估学生的学习效果。
7.创设互动氛围，激发学生学习兴趣
8.融入信息技术，提高教学质量
利用多媒体、网络等信息技术手段，丰富教学资源，提高教学质量。如通过数学软件绘制函数图像，让学生更直观地感受函数性质。
3.结合所学函数性质，尝试解决以下拓展性问题：
（1）已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1，判断其奇偶性，并求单调区间。
（2）已知函数g(x) = 3cos(2x) + 4sin(x)，求最小正周期及一个周期内的单调区间。
4.请同学们预习下一节课内容，了解函数的极值及其在实际问题中的应用。
3.鼓励学生积极参与课堂讨论，勇于表达自己的观点，培养学生自信、勇敢的品质。
4.通过解决实际问题，让学生认识到数学知识在生活中的重要作用，增强学生应用数学知识解决实际问题的意识，提高学生的社会责任感。
在本章节的教学过程中，教师应以学生为主体，关注学生的个体差异，充分调动学生的积极性、主动性和创造性。通过讲解、示范、讨论等多种教学手段，使学生在掌握函数基本性质的基础上，提高自身的数学素养和综合素质。同时，注重培养学生的团队合作精神，使其在合作交流中相互学习、共同成长。
函数的应用教学设计及反思 文档
“函数的应用”教学设计及反思[文献标识码]A“函数的应用”是必修一第三章第四节的教学内容，是应用部分的一个难点，学生难以从实际中抽象出数学模型，因此，常导致教师完成不了教学任务，收不到理想的课堂效果，所以合理的教学设计以及正确的教学策略至关重要。
一、教学目标知识与技能目标：能够运用指数函数、对数函数和幂函数的性质解决某些简单的实际问题。
过程与方法目标：通过联系实际的引入问题和解决带有实际意义的某些问题，培养学生解决问题的能力和运用数学知识的意识。
情感态度与价值观目标：通过对实际问题的研究解决，提高学生学习数学的兴趣。
二、教学重点、难点以及教学方法本节的重点是培养学生分析解决问题的能力和运用数学知识的意识；难点是根据实际问题建立相应的数学模型，适宜采用的教学方法是启发式、讨论式、诱思探究。
三、教学设计过程1.知识回顾，一开课就带领学生复习之前学过的三种基本初等函数，灵活应用的前提是熟练地掌握基础知识，所以在课堂设计伊始，一定要做好复习巩固工作，先回顾指数函数、对数函数、幂函数，这．三个函数表达式最好让学生自己回想，而不是灌输式地呈现给学生。
2.情境引入，在分析情感目标时，核心词是兴趣，所以要尽可能地联系学生的生活实际，在正式讲解新课之前引入生活情境，让学生产生好奇心和求知欲，如向?W生展示有关银行的图片，提出平时学生接触过的利息概念，之后进一步引申出“复利”这个词，因为有关利息的函数的应用部分的题，大都是复利的计算方法，而且利息题是能涵盖本节知识的模型。
3，探索新知，由于上节课学过了三个基本初等函数，所以在学习这节知识时，直接利用建模例题即可，在做题的过程中掌握这节的知识内容，选取的是最具有代表性的利息问题。
[例]有一种储蓄按复利计算利息，若本金为。
元，每期利率为r。
（1）设本利和为y元，存期为z，写出本利和3，随存期z变化的函数关系式。
（2）如果本金为1000元，每期利率2.25%，试计算出5期后的本利和是多少？（精确到0.01元）分析：第一问的解答是一个建立指数函数模型的过程，通过第一问的设置就可以让学生掌握指数函数的应用，引导学生思考归纳得到本利和与存期之间的函数关系模型，它的解答过程也是循序渐进的，体现了建模和归纳的思想。
高中数学课堂教案：函数与方程的综合应用
高中数学课堂教案：函数与方程的综合应用一、引言在高中数学课堂上，函数与方程的综合应用是一个重要的教学内容。
通过探究函数与方程在现实生活中的应用，学生不仅能够更好地理解抽象概念，还能培养他们的问题解决能力和创新思维。
本文将围绕函数与方程的综合应用，从数学模型、最优化、几何等多个角度进行探讨。
二、数学模型：了解函数与方程应用的基础数学模型是建立在函数与方程基础上的工具，帮助我们描述和解决各种实际问题。
例如，在经济领域中，股票价格变动可以使用函数来进行建模。
通过分析历史数据和市场趋势，确定适当的函数表达式，并利用这个模型来预测未来走势。
而在物理领域中，抛物线运动也是一个常见的研究对象。
通过观察抛出物体的轨迹并进行数据统计，可以得到它与时间、初速度、重力等因素之间的关系，并建立相应的方程。
三、最优化问题：找到最佳解在实际生活中，我们往往需要从各种选择中找到最佳解决方案。
函数与方程的综合应用帮助我们解决这类最优化问题。
例如，在投资领域，我们需要找到最佳的投资方案，以获得最大的收益。
通过建立代表不同投资方式的函数模型，并结合约束条件，可以利用数学方法求解最优解。
此外，最优化问题也广泛应用于工程和管理领域。
例如，某公司生产一种产品需要使用两种原材料A和B，并且每种原材料有一定的成本和限量。
通过建立成本模型和约束条件，并设置目标函数为最小化成本或最大化产量，可以运用函数与方程来求解最佳使用原材料的比例。
四、几何问题：探索空间关系函数与方程的综合应用也能帮助我们研究几何问题中的空间关系。
例如，在三角形中，我们常常需要寻找各边、角度之间的关系，以及各顶点坐标之间的联系。
通过利用函数与方程建立模型，并运用几何知识进行推导证明，可以揭示出许多隐藏在图形中的规律。
另一个常见的几何问题是研究曲线与曲面之间的关系。
例如，在计算机图像处理中，我们经常会遇到需要对曲线进行平滑处理的情况。
通过建立函数模型，并运用方程求解曲线上各点的导数和曲率，可以为平滑处理算法提供数学支持。
高一数学函数教案
高一数学函数教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高一数学函数的综合应用
2.已知函数
(1)当a＝1/2时，求函数f(x)的最小值；
(2)若对任意x∈[1，+∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取 值范围.
【解题回顾】本题可借助于导数 最小值或单调性.
来判断函数的
3.设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽 与高的比为λ(λ＜1) ，画面的上、下各留8cm空白，左、 右各留5cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画 所用纸张面积最小?
. 函数思想与方程思想是密切相关的.如函数问题(例如 ：求反函数；求函数的值域等)可以转化为方程问题来解 决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决.如解方程
f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点；解不等式f(x)＞0(或 f(x)＜0)，就是求函数y＝f(x)的正负区间.
3.解答数学应用题的关键有两点： 一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题
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4。log(2/a) x1＝logax2＝log(a+1)x3＞0(0＜a＜1)，则x1，x2， x3的大小关系是( C )
(A)x3＜x2＜x1 (B)x2＜x1＜x3 (C)x2＜x3＜x1 (D)x1＜x3＜x2
5.某学生离家去学校，为了锻炼身体，一开始跑步前进， 跑累了 再走余 下的路 程，下 图中， 纵轴表 示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则下列四个 图形中较符合该学生的走法的是( D )
1.一家庭(父亲、母亲、孩子)去某地旅游，有两个旅行社 同时发出邀请，且有各自的优惠政策，甲旅行社承诺：如 果父亲买一张全票，则其家庭成员(母亲与孩子，不论孩子 多少与大)均可享受半价；乙旅行社承诺：家庭旅行算团体 票，按原价的23计算，这两家旅行社的原价是一样的，若 家庭中孩子数不同(至少一个)，试分别列出两家旅行社优 惠政策实施后的孩子个数为变量的收费表达式，比较选择 哪一家旅行社更优惠?
函数几何数学应用教案高中
函数几何数学应用教案高中
教学目标：通过本节课的学习，学生能够掌握几何数学的基本概念及其应用，了解几何数
学在现实生活中的实际应用。
教学内容：
1. 几何数学基本概念复习：点、线、面、角、平行线、垂直线等。
2. 几何数学应用：几何图形的计算、几何形状的分类、几何变换等。
教学步骤：
1. 引入：通过展示一些实际生活中的图片，让学生观察并思考其中的几何数学应用，引起
学生的兴趣和思考。
2. 复习基本概念：通过让学生回顾几何数学的基本概念，巩固他们的基础知识。
3. 讲解几何数学应用：通过实际案例和问题引导学生探讨几何数学在生活中的应用，并讲
解相关知识点。
4. 练习演练：让学生进行相关练习，巩固所学知识。
5. 总结：通过总结本节课的内容，让学生对几何数学应用有一个清晰的认识。
教学资源：教科书、课件、实物图片等。
评估方法：通过课堂练习和教师的观察，评估学生对几何数学应用的理解和掌握程度。
拓展延伸：鼓励学生积极探索更多关于几何数学应用的案例，拓展他们的视野和思维能力。
教学反思：在教学过程中，要根据学生的理解情况和实际情况及时调整教学方法，让学生
更好地理解和应用几何数学知识。
常用函数应用讲解教案
常用函数应用讲解教案教案标题：常用函数应用讲解教案教学目标：1. 了解常用函数的定义和作用；2. 掌握常用函数的使用方法；3. 能够运用常用函数解决实际问题。
教学重点：1. 常用函数的定义和作用；2. 常用函数的使用方法。
教学难点：1. 运用常用函数解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：计算机、投影仪、教材、课件；2. 学生准备：笔记本电脑。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用投影仪展示一个实际问题，引发学生思考。
2. 引导学生思考如何使用函数解决该问题。
二、概念讲解（15分钟）1. 介绍常用函数的概念和作用。
2. 分类讲解常用函数的种类及其具体功能。
三、函数使用方法演示（20分钟）1. 通过示例演示常用函数的使用方法。
2. 引导学生跟随示例进行操作，并解释每一步的含义。
四、练习与巩固（15分钟）1. 分发练习题，要求学生运用所学的常用函数解决实际问题。
2. 指导学生独立完成练习，并及时给予反馈。
五、拓展与应用（15分钟）1. 引导学生思考其他实际问题，并让学生尝试运用常用函数解决。
2. 学生展示他们的解决方案，并进行讨论。
六、总结与反思（5分钟）1. 总结今天学习的内容，强调常用函数的重要性和应用价值。
2. 让学生反思自己在学习过程中的收获和困难。
教学延伸：1. 鼓励学生自主学习其他常用函数，并尝试解决更复杂的问题。
2. 提供相关的教学资源和参考资料，供学生进一步学习和探索。
教学评估：1. 观察学生在课堂上的参与程度和学习态度；2. 评估学生在练习和拓展应用中的表现；3. 收集学生的作业，检查其对常用函数的理解和运用能力。
教学反思：通过本节课的教学，学生能够了解常用函数的定义和作用，并掌握常用函数的使用方法。
在练习和拓展应用中，学生能够运用所学的常用函数解决实际问题。
但在教学过程中，需要更多的互动和实践机会，以提高学生的学习兴趣和参与度。
在后续的教学中，可以增加更多的练习和案例分析，帮助学生更好地理解和运用常用函数。
高中数学课堂教案：函数与方程的综合应用
高中数学课堂教案：函数与方程的综合应用一、引言函数与方程的综合应用是高中数学课程中的重要内容之一，它将函数和方程的知识与实际问题相结合，帮助学生掌握如何运用数学知识解决实际生活中的各种问题。
本文将通过分析和讨论函数与方程的综合应用的教学内容、教学方法和教学目标，给出一份高中数学课堂教案，以期帮助中学数学教师更好地进行教学。
二、教学目标通过本节课的学习，学生应该能够：1. 理解函数与方程在实际问题中的应用；2. 能够运用所学知识解决实际问题；3. 培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
三、教学内容1. 函数与方程的基本概念回顾首先，回顾函数与方程的基本概念，包括函数的定义、自变量和因变量的概念，方程的定义以及方程的解的概念等。
可以通过简单的例子和图表来帮助学生复习这些概念。
2. 函数与方程的综合应用题接下来，给学生提供一些函数与方程的应用题，这些应用题可以涉及到生活中的各个领域，如物理、经济、生态等。
通过解答这些应用题，学生将更好地理解函数与方程的实际应用。
3. 解题步骤和方法讲解在解答应用题的过程中，教师应该引导学生掌握解题的步骤和方法。
这些步骤和方法包括：确定问题所涉及的变量和函数关系、列出方程或不等式、求解方程或不等式、验证解的合理性等。
通过讲解解题步骤和方法，帮助学生提高解题的能力。
4. 练习和拓展在讲解完解题步骤和方法后，给学生一些课堂练习题，巩固所学知识。
同时，可以提供一些拓展题，用于挑战学生的思维能力和解决问题的能力。
5. 知识总结与课堂小结最后，对本节课的知识进行总结，并进行课堂小结。
可以通过板书、提问等方式帮助学生巩固所学内容。
四、教学方法1. 案例分析法通过解析实际问题的案例，让学生理解函数与方程在实际问题中的应用。
教师可以选择一些具体的案例，引导学生分析并提出解决问题的思路和方法。
2. 课堂讨论法在教学中，可以设计一些问题和情境，引导学生进行小组或全班讨论。
通过学生之间的互动交流，激发学生的思维，提高他们的问题解决能力。
高中数学教案：函数的综合运用教学案例
高中数学教案：函数的综合运用教学案例函数是高中数学中的重要概念之一，其在数学中扮演着十分重要的角色。
掌握函数的概念和运用能力对于学生未来的学习发展具有关键意义。
本篇文章将围绕“函数的综合运用”展开讨论，并给出相应的教案示例。
一、引言函数作为高中数学的核心内容之一，是数学思想和方法在实际问题中的具体运用。
它不仅有助于培养学生逻辑思维和解决问题的能力，还可以帮助他们更好地理解数学与现实世界之间的联系。
二、函数在实际问题中的应用1. 函数在经济领域中的应用以消费支出为例，我们可以构建一个消费支出与收入关系的函数模型，来预测个人或家庭在不同收入水平下可能产生的消费支出变化。
这样的模型可以帮助我们制定合理储蓄计划或者调整消费观念。
同样，在生产领域中，利润与销售额、成本等因素之间也存在着一定关系。
我们可以利用函数将这些因素联系起来，进行成本控制和利润优化。
2. 函数在物理领域中的应用在运动学中，我们经常需要根据物体的位置、速度和加速度之间的关系建立函数模型。
通过解析这些函数模型，我们可以预测物体未来的运动状态、计算出物体所需的时间等。
同样，在电路中，电流与电压之间也存在一定的关系。
通过建立相应的函数模型，可以帮助我们分析电路的特性并解决相关问题。
三、教学案例示范下面以“消费支出与收入关系”为例，展示一个“函数的综合运用”的教学案例：任务目标：通过构建消费支出与收入关系的函数模型，帮助学生理解数学与实际问题之间的联系，并提高他们解决实际问题的能力。
1. 导入通过提问倒退法引导学生回顾函数概念，“你在日常生活中遇到过哪些和变量有关联的情境？”2. 案例呈现呈现一个实际案例:小明每个月从家长那里得到固定零花钱200元，他决定把这200元全部用于购买书籍。
已知小明每本书平均售价10元，请计算小明每个月能购买多少本书，并构建一个函数模型。
3. 讨论与解决学生可以尝试建立一张表格，列出不同的收入和消费支出情况。
然后通过观察和总结规律，发现消费支出和收入之间的关系是线性的。
函数课件教案模板范文
函数课件教案模板范文教案模板：主题：函数教学目标：1.能够理解函数的定义和特点；2.能够编写简单的函数；3.能够运用函数解决问题。
教学重点：1.函数的定义和使用；2.函数参数的传递；3.函数的返回值。
教学准备：1.演示用的计算器；2.计算器的函数模块。
教学过程：Step 1：引入1、先给学生展示一个计算器，并问他们平常在使用计算器时是否有做过类似的事情或碰到过计算相同的问题。
2、让学生谈谈他们的做法，并引出我们常常会把这个问题和解决方法进行封装，将其称之为函数。
Step 2：函数的定义和特点1、告诉学生函数是一种可以重复使用的代码块，在函数中可以包含一系列的操作和计算，目的是为了解决某个特定的问题。
2、函数具有可执行性，当调用函数时，它会执行函数中定义的操作。
3、函数可以接受参数，也可以有返回值。
Step 3：函数的编写1、告诉学生函数的定义形式：def 函数名(参数列表):。
2、通过例子来演示如何编写一个简单的函数。
例如，编写一个函数来计算两个数的和。
Step 4：函数的调用1、通过例子来演示如何调用一个函数。
例如，调用之前编写的计算两个数和的函数。
Step 5：函数参数的传递1、告诉学生函数参数的作用是用来传递数据给函数，可以根据具体情况决定是否需要传递参数。
2、通过例子来演示如何传递参数。
例如，编写一个函数来计算两个数的乘积，参数为两个待计算的数。
Step 6：函数的返回值1、告诉学生函数的返回值是函数执行完之后返回给调用者的结果。
函数可以有返回值，也可以没有返回值。
2、通过例子来演示如何使用返回值。
例如，编写一个函数来判断一个数是否为偶数，并返回判断结果。
Step 7：函数在解决问题中的应用1、通过实际问题来演示如何使用函数来解决问题。
例如，编写一个函数来计算一个列表中所有元素的和。
Step 8：总结1、复习函数的定义和特点；2、强调函数的重要性和应用。
课堂练习：1、请编写一个函数来判断一个数是否为质数，并返回判断结果。
天津市高中数学 第7讲 函数的综合应用寒假课程学案 新人教版
第七讲函数的综合应用一、知识梳理二、方法归纳1. 函数综合应用的重点函数的综合应用重点解决好四个问题：①准确深刻地理解函数的有关概念；②揭示函数与其他数学知识的内在联系；③把握数形结合的思想和方法；④认识函数思想的实质，强化应用意识.准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的基础，函数概念是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、不等式、初等函数等都是以函数为中心的代数.揭示函数与其他数学知识的内在联系函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理数、式、方程、不等式、直线与圆的方程等内容.所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量生动的辩证统一，揭示了函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.把握数形结合的思想和方法函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的思想与方法.因此，既要从定形、定性、定理、定位等方面精确地观察图形、绘制简图，又要熟练地掌握函数图象的常规变换，体现了“数”变换与“形”变换的辩证统一.认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质就是应用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数模型，求得问题的解决.函数思想方法的应用不但重要，而且广泛，必须强化函数建模思想的应用，学会运用函数建模的思想方法解决实际问题. 2.高中上学期函数的应用（1）函数图象、性质与最值的综合应用； （2）函数与方程、不等式的综合应用； （3）函数模型的综合实际应用. 三、典型例题精讲【例1】已知定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足2)()(+-=+-x x a a x g x f ，)1,0(≠>a a ，若a g =)2(，则=)2(f （ ）A. 2B.415 C.417 D.2a 解析：由条件2)2()2(22+-=+-a a g f ，2)2()2(22+-=-+--a a g f ，由此解得22)2(--=a a f ，2)2(=g .所以2=a ，41522)2(22=-=-f ，故选B 技巧提示：这是函数的解析式与函数的奇偶性的综合，属于函数自身性质间的综合，难度不大，高考常作选择题.又例：设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）A.)(x f +|)(x g |是偶函数B.)(x f -|)(x g |是奇函数C.|)(x f | +)(x g 是偶函数D.|)(x f |- )(x g 是奇函数 解析：因为)(x g 是R 上的奇函数，所以()g x 是R 上的偶函数，从而()()f x g x +是偶函数，故选A.【例2】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=2,)1(2,2)(3x x x x x f ，若关于x 的方程k x f =)(有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.解析：)2(,2)(≥=x x x f 单调递减且值域为(0，1]， )2(,)1()(3<-=x x x f 单调递增且值域为（－∞，1），k x f =)(有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0，1）.技巧提示：这是函数与方程的综合.根据函数的单调性可以作出函数的简图，数形结合时，把方程k x f =)(视为常数函数，问题被等价转换为两函数图象有两交点，容易得到k 的取值范围.又例：已知函数⎩⎨⎧≤+>=0,10,2)(x x x x x f ，若0)1()(=+f a f ，则实数a 的值等于（ ）A.－3B.－1C.1D.3 解析：显然2)1(=f ，问题转化为求方程2)(-=a f 的解.由函数)(x f ，得21-=+a ，∴3-=a .故选A.再例: 设函数⎩⎨⎧>≤-=0,0,)(2x x x x x f ， 若4)(=αf ，则实数=α（ ）A.－4或－2B.－4或2C.－2或4D.－2或2 解析：由4=-x ，得4-=x ；由42=x ，得2=x ，∴2,4-=x .故选B.【例3】函数x y 416-=的值域是（ ）A.[0,)+∞B.[0,4]C.[0,4)D.(0,4) 解析：∵x4＞0，∴164160<-≤x ，即 [)4,0416∈-x .故选C.技巧提示：由求函数的值域，转化为解简单的指数不等式，题目并不难.若改为函数的定义域，有x 416-≥0，即x4≤24. 而函数x4是Ｒ上的增函数，∴定义域为{}|2x x ≤.又例：设函数)(x f ＝⎩⎨⎧-≤-，＞，，，1log 11 221x x x x 则满足)(x f ≤2的x 的取值范围是（ ）A. [－1，2]B. [0，2]C. [1，＋∞）D. [0，＋∞） 解析：∵x-12≤2时，0≤x ≤1； 又x log 21-≤2时，x ＞1.∴满足)(x f ≤2的x 的取值范围是[0，＋∞），故选D. 再例: 若)12(log 1)(21+=x x f ，则)(x f 定义域为（ ）A.)0,21(-B.]0,21(-C.),21(+∞- D.),0(+∞解析：由⎪⎩⎪⎨⎧>+>+0)12(log 01221x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧<->021x x ，故021<<-x ，选A. 【例4】函数613122+-+-=x )a (x )a ()x (f ，（1）若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围. （2）若)(x f 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值. 解析：（1）①若012=-a ，即1±=a .当a ＝1时，6=)x (f ，定义域为R ，适合；当a ＝－1时，66)(+=x x f ，定义域不为R ，不符合.②若012≠-a ，记613122+-+-=x )a (x )a ()x (g 为二次函数.)(x f 定义域为R ，∴0)(≥x g 对R x ∈恒成立.∴⎩⎨⎧≤+-<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤---=∆>-0)511)(1(110)1(24)1(901222a a a a a a ； ∴1115<≤-a 综合①、②得a 的取值范围]1,115[-. （2）命题等价于不等式06)1(3)1(22≥+-+-x a x a 的解集为[－2，1]，显然012≠-a .∵012<-a 且21-=x 、12=x 是方程06)1(3)1(22=+-+-x a x a 的两根，∴⎪⎩⎪⎨⎧==+->-<⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=⋅-=--=+>-<4023*******)1(31122221221a a a a a a x x a a x x a a 或或，解得a 的值为a ＝2. 技巧提示：这是二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的综合问题，需要灵活地进行等价转换.在第一问中，需要对a 进行分类讨论.又例：设函数|1||1|2)(--+=x x x f ，求使22)(≥x f 成立的x 的取值范围. 解析：由于x y 2=是增函数，∴22)(≥x f 等价于 11--+x x ≥23……①（1）当x ≥1时，11--+x x ＝2，∴①式恒成立. （2）当－1＜x ＜1时，11--+x x ＝2x ，①式化为 2x ≥23，即43≤x ＜1. （3）当x ≤－1时，11--+x x ＝－2，①式无解. 综上x 的取值范围是）+∞,43[.再例：设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 .解析：依据题意得22222214(1)(1)14(1)x m x x m m---≤--+-在3[,)2x ∈+∞上恒定成立，即22213241m m x x -≤--+在3[,)2x ∈+∞上恒成立. 当32x =时函数2321y x x =--+取得最小值53-，所以221543m m -≤-，即22(31)(43)0m m +-≥，解得m ≤或m ≥ 【例5】已知()()1,011log ≠>-+=a a xxx f a且. （1）求()x f 的定义域； （2）证明()x f 为奇函数；（3）求使()x f ＞0成立的x 的取值范围. 解析：（1）∵011>-+x x ，∴011<-+x x ，即()()011<-+x x .∴11<<-x ，即()x f 的定义域为()11，-. （2）∵()x x x f a -+=11log ，∴()111log 11log -⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=-x x x x x f a a ()x f x x a-=-+-=11log ， ∴()x f 为奇函数. （3）当a ＞1时，()x f ＞0，则111>-+xx， 即0111<+-+x x ，012<-x x， ∴()012<-x x ，∴10<<x .因此，当a ＞1时，使()0>x f 的x 的取值范围为（0，1）.当10<<a 时，由()0>x f ，有1110<-+<xx， 则⎪⎩⎪⎨⎧>-+<--+0110111x x x x，解得01<<-x .因此，当10<<a 时，使()0>x f 的x 的取值范围为（－1，0）.技巧提示：（1）、（2）小题为对给定函数性质的综合研究，需要对基本初等函数性质的牢固掌握；（3）小题是函数与不等式的综合问题，需要利用函数的性质对不等式进行等价转换.又例：已知函数()x f ＝12log -x a， ,0(>a 且）1≠a ，（1）求函数()x f 的定义域； （2）求使()0>x f 的x 的取值范围.解析：（1）由12-x ＞0且012≥-x ，得 x ＞0，∴函数()x f 的定义域为），∞+0(.（2）由12log -x a＞0，知当a ＞1时，12-x ＞11>⇒x ；当10<<a 时，12-x ＜1且x ＞010<<⇒x .【例6】设函数)(x f 在),(+∞-∞上满足)2()2(x f x f +=-，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间[0，7]上，只有0)3()1(==f f .（Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.解析：（Ⅰ）由于在闭区间[0，7]上，只有(1)(3)0f f ==，故(0)0f ≠.若)(x f 是奇函数，则0)0(=f ，矛盾.所以)(x f 不是奇函数. 由(2)(2),()(4),(4)(14)(7)(7)()(14)f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x -=+=-⎧⎧⇒⇒-=-⎨⎨-=+=-⎩⎩)10()(+=⇒x f x f ，从而知函数)(x f y =是以10=T 为周期的函数.若)(x f 是偶函数，则(1)(1)0f f -==.又(1)(110)(9)f f f -=-+=， 从而0)9(=f .由于对任意的x ∈（3，7]上，0)(≠x f ，又函数)(x f y =的图象的关于7=x 对称，所以对区间[7，11）上的任意x 均有0)(≠x f .所以0)9(≠f ，这与前面的结论矛盾. 所以，函数()y f x =是非奇非偶函数.（Ⅱ）由第（Ⅰ）小题的解答，我们知道0)(=x f 在区间（0，10）有且只有两个解，且0)0(≠f .由于函数()y f x =是以10T =为周期的函数，故(10)0,()f k k Z ≠∈. 所以在区间[－2000，2000]上，方程0)(=x f 共有4000280010⨯=个解. 在区间[2000，2010]上，方程0)(=x f 有且只有两个解. 因为(2001)(1)0,(2003)(3)0f f f f ====，所以，在区间[2000，2005]上，方程0)(=x f 有且只有两个解. 在区间[－2010，－2000]上，方程0)(=x f 有且只有两个解. 因为(2009)(1)0,(2007)(3)0f f f f -==-==， 所以，在区间[－2005，－2000]上，方程0)(=x f 无解.技巧提示：函数图象的对称性与函数的奇偶性和函数的周期性密切相关.第（1）小题需要综合利用所给函数的对称性及零点，再根据奇偶函数的特征作出判断.事实上由(0)0f ≠就能判断)(x f 不是奇函数.又如果)(x f 的图象关于0=x 对称，那么因为)(x f 的图象关于2=x 和7=x 对称，可知4，10，14都是函数)(x f 的周期.于是由0)3()1(==f f 得0)7()5(==f f ，这就产生了矛盾，所以)(x f 的图象不能关于0=x 对称，)(x f 不是偶函数.第（2）小题是根据函数周期性和函数在一个周期内的零点，数出函数在给定区域内的零点.又例：偶函数)(x f y =的定义域为R ，且对于任意R x ∈，都有)4()(x f x f -=，又当]2,0[∈x 时，1)(2+-=x x f ，则当[]2012,2010∈x 时，)(x f ＝ . 解析：偶函数)(x f 满足)4()(x f x f -=，得)(x f 的周期为4.又偶函数)(x f 当]2,0[∈x 时，1)(2+-=x x f ，得]0,2[-∈x 时，1)(2+-=x x f . 当[]2012,2010∈x 时，[]0,2)2012(-∈-x ，)(x f ＝)2012(-x f ＝1)2012(2+--x . 综上所述，方程[]()02005,2005802f x =-在上共有个解。
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第七讲函数的综合应用一、知识梳理二、方法归纳1. 函数综合应用的重点函数的综合应用重点解决好四个问题：①准确深刻地理解函数的有关概念；②揭示函数与其他数学知识的内在联系；③把握数形结合的思想和方法；④认识函数思想的实质，强化应用意识.准确、深刻理解函数的有关概念概念是数学的基础，函数概念是数学中最主要的概念之一，函数概念贯穿在中学代数的始终.数、式、方程、不等式、初等函数等都是以函数为中心的代数.揭示函数与其他数学知识的内在联系函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理数、式、方程、不等式、直线与圆的方程等内容.所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去加以考虑.在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量生动的辩证统一，揭示了函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.把握数形结合的思想和方法函数图象的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的思想与方法.因此，既要从定形、定性、定理、定位等方面精确地观察图形、绘制简图，又要熟练地掌握函数图象的常规变换，体现了“数”变换与“形”变换的辩证统一.认识函数思想的实质，强化应用意识函数思想的实质就是应用联系与变化的观点提出数学对象，抽象数量特征，建立函数模型，求得问题的解决.函数思想方法的应用不但重要，而且广泛，必须强化函数建模思想的应用，学会运用函数建模的思想方法解决实际问题.2.高中上学期函数的应用（1）函数图象、性质与最值的综合应用；（2）函数与方程、不等式的综合应用；（3）函数模型的综合实际应用.三、典型例题精讲【例1】已知定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足2)()(+-=+-x x a a x g x f ，)1,0(≠>a a ，若a g =)2(，则=)2(f （ ）A.2 B.415 C.417 D.2a 解析：由条件2)2()2(22+-=+-a a g f ，2)2()2(22+-=-+--a a g f ，由此解得22)2(--=a a f ，2)2(=g .所以2=a ，41522)2(22=-=-f ，故选B 技巧提示：这是函数的解析式与函数的奇偶性的综合，属于函数自身性质间的综合，难度不大，高考常作选择题.又例：设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）A.)(x f +|)(x g |是偶函数B.)(x f -|)(x g |是奇函数C.|)(x f | +)(x g 是偶函数D.|)(x f |- )(x g 是奇函数解析：因为)(x g 是R 上的奇函数，所以()g x 是R 上的偶函数，从而()()f x g x +是偶函数，故选A.【例2】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=2,)1(2,2)(3x x x x x f ，若关于x 的方程k x f =)(有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________.解析： )2(,2)(≥=x x x f 单调递减且值域为(0，1]， )2(,)1()(3<-=x x x f 单调递增且值域为（－∞，1），k x f =)(有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是（0，1）.技巧提示：这是函数与方程的综合.根据函数的单调性可以作出函数的简图，数形结合时，把方程k x f =)(视为常数函数，问题被等价转换为两函数图象有两交点，容易得到k 的取值范围.又例：已知函数⎩⎨⎧≤+>=0,10,2)(x x x x x f ，若0)1()(=+f a f ，则实数a 的值等于（ ） A.－3 B.－1 C.1 D.3解析：显然2)1(=f ，问题转化为求方程2)(-=a f 的解.由函数)(x f ，得21-=+a ，∴3-=a .故选A.再例: 设函数⎩⎨⎧>≤-=0,0,)(2x x x x x f ， 若4)(=αf ，则实数=α（ ） A.－4或－2 B.－4或2 C.－2或4 D.－2或2解析：由4=-x ，得4-=x ；由42=x ，得2=x ，∴2,4-=x .故选B.【例3】函数x y 416-=的值域是（ ）A.[0,)+∞B.[0,4]C.[0,4)D.(0,4)解析：∵x4＞0，∴164160<-≤x ，即 [)4,0416∈-x .故选C. 技巧提示：由求函数的值域，转化为解简单的指数不等式，题目并不难.若改为函数的定义域，有x 416-≥0，即x 4≤24.而函数x4是Ｒ上的增函数，∴定义域为{}|2x x ≤. 又例：设函数)(x f ＝⎩⎨⎧-≤-，＞，，，1log 11 221x x x x 则满足)(x f ≤2的x 的取值范围是（ ）A. [－1，2]B. [0，2]C. [1，＋∞）D. [0，＋∞）解析：∵x -12≤2时，0≤x ≤1； 又x log 21-≤2时，x ＞1.∴满足)(x f ≤2的x 的取值范围是[0，＋∞），故选D.再例: 若)12(log 1)(21+=x x f ，则)(x f 定义域为（ ） A.)0,21(- B.]0,21(- C.),21(+∞- D.),0(+∞ 解析：由⎪⎩⎪⎨⎧>+>+0)12(log 01221x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧<->021x x ，故021<<-x ，选A.【例4】函数613122+-+-=x )a (x )a ()x (f ，（1）若)(x f 的定义域为R ，求实数a 的取值范围.（2）若)(x f 的定义域为[－2，1]，求实数a 的值.解析：（1）①若012=-a ，即1±=a .当a ＝1时，6=)x (f ，定义域为R ，适合；当a ＝－1时，66)(+=x x f ，定义域不为R ，不符合.②若012≠-a ，记613122+-+-=x )a (x )a ()x (g 为二次函数.)(x f 定义域为R ，∴0)(≥x g 对R x ∈恒成立.∴⎩⎨⎧≤+-<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤---=∆>-0)511)(1(110)1(24)1(901222a a a a a a ； ∴1115<≤-a综合①、②得a 的取值范围]1,115[-.（2）命题等价于不等式06)1(3)1(22≥+-+-x a x a 的解集为[－2，1]，显然012≠-a .∵012<-a 且21-=x 、12=x 是方程06)1(3)1(22=+-+-x a x a 的两根， ∴⎪⎩⎪⎨⎧==+->-<⇒⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-=⋅-=--=+>-<40231121611)1(31122221221a a a a a a x x a a x x a a 或或，解得a 的值为a ＝2. 技巧提示：这是二次函数、一元二次方程和一元二次不等式的综合问题，需要灵活地进行等价转换.在第一问中，需要对a 进行分类讨论.又例：设函数|1||1|2)(--+=x x x f ，求使22)(≥x f 成立的x 的取值范围.解析：由于x y 2=是增函数，∴22)(≥x f 等价于 11--+x x ≥23……① （1）当x ≥1时，11--+x x ＝2，∴①式恒成立.（2）当－1＜x ＜1时，11--+x x ＝2x ，①式化为 2x ≥23，即43≤x ＜1.（3）当x ≤－1时，11--+x x ＝－2，①式无解.综上x 的取值范围是）+∞,43[. 再例：设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是 . 解析：依据题意得22222214(1)(1)14(1)x m x x m m---≤--+-在3[,)2x ∈+∞上恒定成立， 即22213241m m x x -≤--+在3[,)2x ∈+∞上恒成立. 当32x =时函数2321y x x =--+取得最小值53-， 所以221543m m -≤-，即22(31)(43)0m m +-≥，解得2m ≤-或2m ≥【例5】已知()()1,011log ≠>-+=a a xx x f a 且. （1）求()x f 的定义域；（2）证明()x f 为奇函数；（3）求使()x f ＞0成立的x 的取值范围.解析：（1）∵011>-+x x ，∴011<-+x x ，即()()011<-+x x .∴11<<-x ，即()x f 的定义域为()11，-.（2）∵()x x x f a -+=11log ，∴()111log 11log -⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=-x x x x x f a a ()x f x x a -=-+-=11log ， ∴()x f 为奇函数.（3）当a ＞1时，()x f ＞0，则111>-+x x ， 即0111<+-+x x ，012<-x x ， ∴()012<-x x ，∴10<<x .因此，当a ＞1时，使()0>x f 的x 的取值范围为（0，1）.当10<<a 时，由()0>x f ，有1110<-+<xx ， 则⎪⎩⎪⎨⎧>-+<--+0110111xx x x ，解得01<<-x . 因此，当10<<a 时，使()0>x f 的x 的取值范围为（－1，0）.技巧提示：（1）、（2）小题为对给定函数性质的综合研究，需要对基本初等函数性质的牢固掌握；（3）小题是函数与不等式的综合问题，需要利用函数的性质对不等式进行等价转换.又例：已知函数()x f ＝12log -x a ， ,0(>a 且）1≠a ，（1）求函数()x f 的定义域； （2）求使()0>x f 的x 的取值范围.解析：（1）由12-x ＞0且012≥-x ，得 x ＞0，∴函数()x f 的定义域为），∞+0(. （2）由12log -x a ＞0，知当a ＞1时，12-x ＞11>⇒x ；当10<<a 时，12-x ＜1且x ＞010<<⇒x .【例6】设函数)(x f 在),(+∞-∞上满足)2()2(x f x f +=-，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间[0，7]上，只有0)3()1(==f f .（Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.解析：（Ⅰ）由于在闭区间[0，7]上，只有(1)(3)0f f ==，故(0)0f ≠.若)(x f 是奇函数，则0)0(=f ，矛盾.所以)(x f 不是奇函数.由(2)(2),()(4),(4)(14)(7)(7)()(14)f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x -=+=-⎧⎧⇒⇒-=-⎨⎨-=+=-⎩⎩)10()(+=⇒x f x f ，从而知函数)(x f y =是以10=T 为周期的函数.若)(x f 是偶函数，则(1)(1)0f f -==.又(1)(110)(9)f f f -=-+=，从而0)9(=f .由于对任意的x ∈（3，7]上，0)(≠x f ，又函数)(x f y =的图象的关于7=x 对称，所以对区间[7，11）上的任意x 均有0)(≠x f .所以0)9(≠f ，这与前面的结论矛盾.所以，函数()y f x =是非奇非偶函数.（Ⅱ）由第（Ⅰ）小题的解答，我们知道0)(=x f 在区间（0，10）有且只有两个解，且0)0(≠f .由于函数()y f x =是以10T =为周期的函数，故(10)0,()f k k Z ≠∈.所以在区间[－2000，2000]上，方程0)(=x f 共有4000280010⨯=个解. 在区间[2000，2010]上，方程0)(=x f 有且只有两个解.因为(2001)(1)0,(2003)(3)0f f f f ====，所以，在区间[2000，2005]上，方程0)(=x f 有且只有两个解.在区间[－2010，－2000]上，方程0)(=x f 有且只有两个解.因为(2009)(1)0,(2007)(3)0f f f f -==-==，所以，在区间[－2005，－2000]上，方程0)(=x f 无解.技巧提示：函数图象的对称性与函数的奇偶性和函数的周期性密切相关.第（1）小题需要综合利用所给函数的对称性及零点，再根据奇偶函数的特征作出判断.事实上由(0)0f ≠就能判断)(x f 不是奇函数.又如果)(x f 的图象关于0=x 对称，那么因为)(x f 的图象关于2=x 和7=x 对称，可知4，10，14都是函数)(x f 的周期.于是由0)3()1(==f f 得0)7()5(==f f ，这就产生了矛盾，所以)(x f 的图象不能关于0=x 对称，)(x f 不是偶函数.第（2）小题是根据函数周期性和函数在一个周期内的零点，数出函数在给定区域内的零点.又例：偶函数)(x f y =的定义域为R ，且对于任意R x ∈，都有)4()(x f x f -=，又当]2,0[∈x 时，1)(2+-=x x f ，则当[]2012,2010∈x 时，)(x f ＝ . 解析：偶函数)(x f 满足)4()(x f x f -=，得)(x f 的周期为4.又偶函数)(x f 当]2,0[∈x 时，1)(2+-=x x f ，得]0,2[-∈x 时，1)(2+-=x x f .当[]2012,2010∈x 时，[]0,2)2012(-∈-x ，)(x f ＝)2012(-x f ＝1)2012(2+--x .综上所述，方程[]()02005,2005802f x =-在上共有个解。