6.1平方根(1) (2)
七年级数学6.1平方根、立方根讲解与例题
6.1 平方根、立方根1．了解平方根、算术平方根、立方根的定义和性质，会用根号表示非负数的平方根、算术平方根、立方根．2．能利用平方根、算术平方根、立方根的定义和性质解题． 3．知道开方是乘方的逆运算，会用开方求某些非负数的平方根． 4．能运用算术平方根解决一些简单的实际问题．1．平方根(1)平方根的概念：一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，也叫做二次方根．换句话说，如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，例如22＝4，(－2)2＝4，则4的平方根是＋2和－2(也可合写为±2)，＋2和－2都是4的平方根．(2)平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．(3)平方根的表示：正数a 有两个平方根，一个是a 的正的平方根，记作“a ”，读作“根号a ”，另一个是a 的负的平方根，记作“－a ”，读作“负根号a ”，这两个平方根合起来可记作“±a ”，读作“正、负根号a ”，其中a 叫做被开方数．【例1－1】求下列各数的平方根：(1)0.64；(2)3625；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－322．分析：要求一个数的平方根，我们可以根据平方根的概念，首先找到一个数，使它的平方等于已知的数，然后就可以求出这个数的平方根．解：(1)∵(±0.8)2＝0.64，∴0.64的平方根是±0.8．(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±652＝3625，∴3625的平方根是±65.(3)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫±322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－322的平方根是±32.求一个数的平方根，必须牢记正数有两个平方根，它们互为相反数，不会因为表达形式的改变而改变，如⎝ ⎛⎭⎪⎫－322是个正数，那么它有两个平方根，不要错误地认为它的平方根仅有－32.【例1－2】下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；若没有，请说明理由． (1)2516；(2)0；(3)－4；(4)－0.49；(5)(－3)2． 分析：解：(1)因为16是正数，所以16有两个平方根．由于⎝ ⎛⎭⎪⎫±542＝2516，所以2516的平方根是±54.(2)0只有一个平方根，是它本身．(3)因为－4是负数，所以－4没有平方根．(4)因为－0.49是负数，所以－0.49没有平方根．(5)因为(－3)2＝9，所以(－3)2为正数，有两个平方根．由于9的平方根是±3，所以(－3)2的平方根是±3．2．算术平方根的概念正数a 的正的平方根a 叫做a 的算术平方根.0的算术平方根是0.因此如果x 2＝a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根．平方根与算术平方根的区别与联系(1)区别：①表示方法不同：正数a 的平方根表示为±a ；正数a 的算术平方根表示为a .②个数不同：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；一个正数的算术平方根只有一个．③性质不同：一个正数的平方根有两个，可以是负数；一个非负数的算术平方根一定是非负数．平方根等于本身的数只有一个数，这个数是0；算术平方根等于本身的数有两个：0和1．(2)联系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一个；平方根和算术平方根都只有非负数才有．负数没有平方根和算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0.【例2】求下列各数的算术平方根：(1)196；(2)179；(3)16.分析：根据算术平方根的定义，求正数a 的算术平方根，也就是求一个非负数x ，使x 2＝a ，则x 就是a 的算术平方根．(1)因为142＝196，所以196的算术平方根是14．(2)因为179＝169，⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝169，所以169的算术平方根是43，即179的算术平方根是43.(3)因为要求的是16的算术平方根，所以要先算出16，再求算术平方根.16表示的是16的算术平方根，所以16＝4．由于22＝4，所以4的算术平方根是2，即16的算术平方根是2．解：(1)196＝14．(2)179＝169＝43.(3)因为16＝4,4的算术平方根是2，所以16的算术平方根是2．求正数a 的算术平方根，只需找出平方等于a 的正数．求一个分数的算术平方根或平方根，当这个分数是带分数时，要先化成假分数，再求这个数的算术平方根或平方根，不要出现11649＝147的错误．3．开平方(1)求一个数的平方根的运算叫做开平方．(2)用计算器求一个非负数的算术平方根及近似值．用计算器求一个非负数的算术平方根，只需直接按书写顺序按键即可．例如，用计算器求529与44.81的算术平方根：①在计算器上依次键入529＝，显示结果为23，因此529的算术平方根为529＝23．②在计算器上依次键入44.81＝，显示结果为6.940 271 88，如果要求精确到0.01，那么44.81≈6.94．(1)平方根是一个数，是开平方的结果；而开平方是和加、减、乘、除、乘方一样的一种运算，是求平方根的过程．(2)开平方是平方的逆运算．我们可以用平方运算来检验开平方的结果是否正确． (3)平方和开平方之间的关系，我们可以这样来理解：已知底数m 和指数2，求幂，是平方运算，即m 2＝(？)；已知幂a 和指数2，求底数，是开平方，即(？)2＝a .(4)选用的计算器不同，按键的顺序也不同，因此应该仔细阅读计算器的说明书，按照要求操作．【例3】求下列各式中未知数的值：(1)x 2＝25；(2)(2a ＋3)2＝16．分析：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，它有一正一负两个值．(1)因为x 2＝25，所以x 就是25的平方根，有两个，是±5；(2)将2a ＋3看成一个整体，根据平方根的定义易知2a ＋3就是16的平方根，是±4，即2a ＋3＝±4，在此基础上，分两种情况分别求出a 的值即可．解：(1)因为(±5)2＝25， 所以x ＝±5．(2)因为(±4)2＝16， 所以2a ＋3＝±4．当2a ＋3＝4时，解得a ＝12.当2a ＋3＝－4时，解得a ＝－72.故所求a 的值是12或－72.利用开平方解方程的方法是：先把方程化为x 2＝m (m ≥0)的形式，然后根据开平方得到x ＝±m .特别地，要注意整体思想的应用．4．立方根(1)立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根(也叫做三次方根)．也就是说，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根．(2)立方根的表示方法：数a 的立方根记为“3a ”，读作“三次根号a ”，其中a 是被开方数，3是根指数，这里的根指数“3”不能省略．【例4】求下列各数的立方根：(1)27；(2)－27；(3)338；(4)－0.064；(5)0；(6)－5．分析：求一个数a 的立方根，关键是求出满足等式x 3＝a 中x 的值，同时在学习了立方根的表示方法后，应用符号表示解题过程比语言叙述更为简洁．解：(1)因为33＝27，所以327＝3． (2)因为(－3)3＝－27，所以3－27＝－3．(3)因为338＝278，而⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝278，所以3338＝32.(4)因为(－0.4)3＝－0.064， 所以3－0.064＝－0.4． (5)因为03＝0，所以30＝0. (6)－5的立方根是3－5.开方开不尽的数，保留根号，如本题(6)，－5的立方根是3－5.5．开立方(1)求一个数的立方根的运算叫做开立方． ①开立方与立方互为逆运算．我们可以根据这种关系求一个数的立方根或检验一个数是否是某个数的立方根．②被开立方的数可以是正数、负数和0；③求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根． (2)用计算器求一个数的立方根及近似值．用计算器求一个数的立方根的操作过程和求平方根操作过程基本相同，主要差别是先按2ndf 键，再按书写顺序按键即可．例如用计算器求31 845，在计算器上依次键入2ndf 31845＝，显示结果为12.264 940 82，若计算结果要求精确到0.01，则1 845的立方根为12.26，即31 845≈12.26．【例5】解方程：(1)125x 3－27＝0；(2)(5x －3)3＝343．分析：(1)把原方程变形为x 3＝27125后，可知x 是27125的立方根．(2)把5x －3看做整体，则易知它是343的立方根，其值可求，在此基础上可求x .解：因为125x 3－27＝0，所以x 3＝27125.故x ＝35.(2)因为(5x －3)3＝343，所以5x －3＝3343＝7， 即5x ＝10．故x ＝2．利用开立方解方程的方法：先把方程化为x 3＝m 的形式，然后根据开立方得到x ＝3m .特别地，要注意整体思想的应用．6．立方根的性质正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0的立方根是0. (1)立方根的符号与被开方数的符号一致； (2)一个数的立方根是唯一的； (3)3－a ＝－3a ，3a 3＝a ，(3a )3＝a . 【例6】下列语句正确的是( )． A ．64的立方根是2 B ．－3是27的立方根C ．125216的立方根是±56D ．(－1)2的立方根是－1解析：因为64＝8，而2的立方等于8，所以64的立方根是2，即A 正确，解答时不要把“求64的立方根”误解为“求64的立方根”；因为－3的立方是－27，所以－3是27的立方根是错误的；因为56的立方是125216，所以125216的立方根是56，因此C 是错误的；因为(－1)2＝1，它的立方根是1，而不是－1，所以D 是错误的．故本题选A ．答案：A(1)任何数都有立方根，而负数没有平方根；(2)任何数的立方根只有一个，而正数有两个平方根．7．用平方根与立方根的定义及性质解题已知一个数的平方根或立方根求原数是利用平方根与立方根的定义及性质解题中的常见题型．(1)一个正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两个数的和为零． (2)对于立方根来说，任何数的立方根只有一个，根据立方根的定义可知，3－a ＝－3a ，也就是说，求一个负数的立方根时，只要先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数即可．(3)当两个数相等时，这两个数的立方根相等．反之，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等．这与平方根不同，在平方根的计算中，若两数的平方根相等或互为相反数时，这两个数相等；若这两个数相等时，则两数的平方根相等或互为相反数．【例7－1】已知2x －1和x －11是一个数的平方根，求这个数．分析：因为2x －1和x －11是一个数的平方根，根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1和x －11相等时，可列出方程2x －1＝x －11，当2x －1和x －11互为相反数时，可列出方程2x －1＋x －11＝0，从而求出x 的值，进一步可求出这个数．解：根据平方根的定义，可知2x －1和x －11相等或互为相反数．当2x －1＝x －11时，x ＝－10，所以2x －1＝－21，这时所求的数为(－21)2＝441；当2x －1＋x －11＝0时，x ＝4，所以2x －1＝7，这时所求的数为72＝49． 综上可知，所求的数为49或441．【例7－2】若32a －1＝－35a ＋8，求a 2 012的值．分析：根据立方根的唯一性和3－a ＝－3a ，可知2a －1与5a ＋8互为相反数，从而可构造出关于a 的一元一次方程2a －1＝－(5a ＋8)．进一步可求出a 2 012的值． 解：因为32a －1＝－35a ＋8，所以32a －1＝3－a ＋，即2a －1＝－(5a ＋8)．解得a ＝－1．故a 2 012＝(－1)2 012＝1． 8．非负性的应用非负数指的是正数和零，常用的非负数主要有： (1)绝对值|a |≥0；(2)平方a 2≥0；(3)算术平方根a 具有双重非负性： ①a 本身具有非负性，即a ≥0；②算术平方根a 的被开方数具有非负性，即a ≥0. 非负数有如下性质：若两个或多个非负数的和为0，则每个非负数均为0.在解决与此相关的问题时，若能仔细观察、认真地分析题目中的已知条件，并挖掘出题目中隐含的非负性，就可避免用常规方法造成的繁杂运算或误解，从而收到事半功倍的效果．与算术平方根和平方数的非负性相关的求值问题，一般情况下都是它们的和等于0的形式．此类问题可以分成以下几种形式：一是算术平方根、平方数、绝对值三种中的任意两种组成一题〔| |＋( )2＝0，| |＋ ＝0，( )2＋ ＝0〕，甚至同一道题目中出现这三个内容〔| |＋( )2＋ ＝0〕；二是题目中没有直接给出平方数，而是需要先利用数学公式把题目中的某些内容进行变形，然后再利用非负数的性质进行计算．【例8－1】如果y ＝2x －1＋1－2x ＋2，则4x ＋y 的平方根是__________．解析：因为2x －1≥0且1－2x ≥0，所以2x －1＝1－2x ＝0，即x ＝12.于是y ＝2x －1＋1－2x ＋2＝2．因此4x ＋y ＝4×12＋2＝4．故4x ＋y 的平方根为±2．答案：±2【例8－2】如果y ＝x 2－4＋4－x 2x ＋2＋2 012成立，求x 2＋y －3的值．分析：由算术平方根被开方数的非负性知x 2－4≥0,4－x 2≥0，因此，只有x 2－4＝0，即x ＝±2；又x ＋2≠0，即x ≠－2，所以x ＝2，y ＝2 012，于是得解．解：由题意可知x 2－4≥0且4－x 2≥0，因此x 2－4＝0，即x ＝±2． 又∵x ＋2≠0，即x ≠－2， ∴x ＝2，y ＝2 012．故x 2＋y －3＝22＋2 012－3＝2 013．【例8－3】已知a －1＋(b ＋2)2＝0，求(a ＋b )2 012的值．分析：a －1表示a －1的算术平方根，所以a －1为非负数．因为(b ＋2)2为偶次幂，所以(b ＋2)2为非负数．由于两个正数相加不能为0，所以这两项都为0，因此解方程求值即可．解：因为a －1≥0，(b ＋2)2≥0，且a －1＋(b ＋2)2＝0，所以a －1＝0，(b ＋2)2＝0， 解得a ＝1，b ＝－2．故(a ＋b )2 012＝(1－2)2 012＝1．9．利用方根探索规律(1)可以利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律． 规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动2位，则它的算术平方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．即当被开方数扩大(或缩小)100倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)10 000倍时，其算术平方根相应地扩大(或缩小)100倍….(2)可利用计算器探究被开方数扩大(或缩小)与它的立方根扩大(或缩小)的规律． 规律：如果将被开方数的小数点向左(右)每移动3位，则它的立方根的小数点就相应地向同一方向移动1位．即当被开方数扩大(或缩小)1 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)10倍；当被开方数扩大(或缩小)1 000 000倍时，其立方根相应地扩大(或缩小)100倍….(3)还可利用方根为问题背景进行规律的探索． 【例9】(1)观察下列各式：1＋13＝213，2＋14＝314，3＋15＝415，…，请你将发现的规律用含自然数n (n ≥1)的等式表示出来__________．(2)借助计算器可以求出42＋32，442＋332，4442＋3332，…，观察上述各式特点，__________.解析：(1)第一个等式右边的2比左边被开方数里的1大1，被开方数13与左边被开方数的13相同且3比2大1；第二个等式右边的3比左边被开方数里的2大1，被开方数14与左边被开方数14相同且4比3大1，…，故有n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1)． (2)借助计算器，可以分别求得42＋32＝5，442＋332＝55，4442＋3332＝555，…，由此观察发现每个式子的结果都是由若干个5组成的，且5的个数为相应式子的左边4或35n 个.答案：(1)n ＋1n ＋2＝(n ＋1)1n ＋2(n ≥1) (2)5555n 个10．平方根与立方根的实际应用解实际问题时，首先要读懂题意，善于构造数学模型，将它转化为数学问题．与平方根、立方根有关的实际应用多以正方形、正方体等几何图形为问题背景设题，解答时，常常根据题意列出方程，然后再利用平方根与立方根的定义及性质解方程即可．注意求出的结果要符合实际问题的实际意义．【例10－1】计划用100块地板砖来铺设面积为16 m 2的客厅，求需要的正方形地板砖的边长．解：设地板砖的边长为x m ，根据题意，得100x 2＝16，即x 2＝0.16，所以x ＝±0.16＝±0.4．由于长度不能为负数，所以x ＝0.4(m)． 故地板砖的边长为0.4 m.【例10－2】一种形状为正方体的玩具名为“魔方”，(每个面由9个小正方体面组成)体积为216 cm 3，求组成它的每个小正方体的棱长．解：设小正方体的棱长为a cm ，则玩具的棱长为3a cm ，由题意得(3a )3＝216．于是27a3＝216，a 3＝8，a ＝2(cm)．故每个小正方体的棱长为2 cm.。
人教版初一数学下册6.1算术平方根(第1课时)
6.1平方根（第1课吋）平方根是初中数学中的重要概念，与之对应的开平方运算是学生在学习了加、减、乘、除、乘方等五种运算的基础上引入的一种新的运算.它们为引入无理数作铺垫，是学习实数的准备知识，同时也是今后学习二次根式、一元二次方程等知识的基础.平方根是偶次方根的特例.学习目标：(1)了解算术平方根的概念.(2)会求一些数的算术平方根，并用算术平方根符号表示.学习重点：算术平方根的概念和求法.1 •情境导入学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25 dm?的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？请你说一说解决问题的思路.1 •情境导入(1)若正方形的面积如下，请填表:一般地，如果^正数X的平方等于2 7a,即H =a，那么这个叫做a的算术平方根。
a的算术平方根记为誦~, 读作“根号a”，a叫做被开方数。
即：x2 =a (x>0),x叫做a的算术平方根记作：x = Va特殊:0的算术平方根是0。
1 己作0=0归纳算术平方根的表示方法：如果宀偽那么r =V7.八读做:根号。
0的算术平方根根号 ------ ► ---- 被开方数例1求下列各数的算术平方根:(1)100 ； (2) —； (3) 0,0001.0 1解：(1)因为102=100，所以100的算术平方根是10 .即7100=10例1求下列各数的算术平方根:(1)100 ； (2) — ； (3) 0,0001.0 1解: 所以一的算术平方根是.. I I | (2)因为 4964即圧L\64 83.例题解析例1求下列各数的算术平方根:(1)100 ； (2) —； (3) 0.0001 ・J I解：(3)因为oof=oc®i，所以0.000啲算术平方根是0.01・即VCKJODL^OOl4.练习求下列各式的值：⑴/ ；⑵石；解：(1) JT 二1；(3)-4；(4)也二0-(3)&；(4)『课本41页练习1・25.提出问题被开方数的大小与对应的算术平方根的大小之间有什么关系呢？G ____________________________________被开方数越大，对应的算术平方根也越大, 这个结论对所有正数都成立。
6.1平方根(1)教学设计晒课
第六章实数6.1平方根（1）弥勒市民族中学一、学生起点分析学生已经具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能．在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．这节课的教学，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性．二、教学任务分析本节课是义务教育课程标准实验教科书人教版版七年级（下）第六章《实数》的第一节《平方根》中的第一个课时《算术平方根》本节内容计3个课时，本节课是第1课时，主要是算术平方根的概念和性质的教学．课程标准要求，对于数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，因此确定本节的教学目标如下：·知识与技能目标1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根．2．了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．3．了解算术平方根的性质．·过程与方法目标1．在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力．2．在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识．·情感与态度目标1.通过对实际生活中问题的解决，让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的；2.通过探究活动培养动手能力和锻炼克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情教学重点：理解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根．教学难点：对算术平方根的概念和性质的理解．三、教法学法教学方法：讲授法．课前准备：教具：教材，多媒体课件，电脑．学具：教材，笔，练习本．四、教学过程：本课时设计六个环节：第一环节：复习旧知；第一环节：问题情境；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习；第五环节：学习小结。
本节课教学流程为：第一环节：复习旧知方法一：复习（求一个正数的平方的运算）112= 422= 932= 1642=第二环节：情景引入一、ppt 演示引入新课（自主探究）学校要举行美术作品比赛，小鸥很高兴.他想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少分米？ （一）说这块正方形画布的边长应取多少分米？你是怎么算出来的？答：因为52＝25，所以这个正方形画布的边长应取5分米。
第六章平方根与立方根 导学案模板
的算术平方根是_ .并说明另外三个式子的意义：_______________________六、课后反思？“分组合作，自信高效”导学案课题:_6.1 平方根（2）_ 课型新授 __七_年级教者张强教学目标：知识与能力：1了解有的正数的算术平方根开不尽方；2．了解无限不循环小数特点；3．会用计算器算术求平方根；4．会比较开不尽方的正数的算术平方根与有理数的大小.过程与方法：通过拼正方形，体验解决问题方法的多样性，培养估算意识，了解从两个方向无限逼近的数学思想，并学会比较开不尽方的正数的算术平方根与有理数的大小情感态度价值观：认识数学和生活实际的密切关系，建立自信心，提高学习热情教学重点：初步感受无理数，能进行比较教学难点：探究2大小教学过程：一、课前展示（前奏版-5分钟）（科代表主持，各小组答题，必答题有板答和口答，计分）二、创境激趣（启动板—教师创设情境）用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形，并求出这个大正方形的边长. 三、自主探究，展示汇报（核心板：教师明确目标——学生自学——小组交流讨论——分组展示和汇报——强化训练）1.拼法：按下图所示，很容易用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形.2．问题：①拼成的大正方形的边长是多少？②你能像上节课那样得到一个平方等于2的正有理数吗？③我们只能把边长表示为2，那么2是多大呢？3.两端逼近法探究2的大小：∵12=1,22=4，∴1<2<4；∵1.42=1.96，1.52=2.25，∴1.4<2<1.5；∵1.412=1.988,1.422=2.0164，∴1.41<2<1.42；∵1.4142=1.999396,1.4152=2.002225，∴1.414<2<1.415；……如此进行下去，可以得到2的更精确地近似值.事实上，2=1.414 213 56…，同π一样，是一个无限不循环小数，这样的数与以前学的有理数一样吗？得到：小数位数无限且小数部分不循环的小数叫无限不循环小数.像7,5,3,2这样，所有开方开不尽的正数的算术平方根都是无限不循环小数.4.用计算器计算算术平方根的三个步骤：①进入()；②输入(被开方数)；③输出()用计算器计算，并将计算结果填在表中.观察上表，你发现什么了吗？(1)被开方数增大，算术平方根怎样变化？(2)被开方数与算术平方根的小数点有何移动规律？(3)直接写出：_____625000;_____62500==5.例题讲解用一块面积为400cm2的正方形纸片沿边的方向，能否裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2？四、实践创新，知识反馈（升华板—拓展延伸训练）1．已知164.1354.1≈，则≈4.135，≈01354.0.2．一个正方形的面积扩大为原来的100倍，则它的边长扩大为原来的倍.3．与30最接近的两个整数是.414012；21215-.5．一个数的算术平方根大于2小于3，那么它的整数位上可能取到的数值为___________________．6．7的整数部分是，小数部分可表示为.7．若a<440-<b，则整数a的最大值为_____；整数b的最小值为．8．用计算器计算：2010=______(精确到0.001)9. 8567<<，那么与56最接近的两个数是7和8，与哪一个更接近呢？可以这样考虑：25.565.72=，因为56<56.25，所以56<7.5，那么56更应靠近7.按以上的方法判断：与72最接近的一个数是什么？五、板书设计0625.0625.025.65.626256250六、课后反思？“分组合作，自信高效”导学案课题:_6.1 平方根（3）_ 课型 新授 __七_年级 教者 张强 教学目标：知识与能力：1．理解平方根的概念，知道开平方是平方逆运算.2. 会用符号表示平方根，并会求平方数的平方根.3. 知道平方根的特性，会判别一个式子有无意义过程与方法：类比算术平方根概念探究平方根，利用平方与开平方互逆揭示开平方运算的本质，经历观察、思考、交流、总结归纳出平方根的特征.情感态度价值观：使学生深入体验平方与开平方的互逆关系，培养学生逆向思维解决问题的习惯教学重点：理解平方根概念，会用符号表示一个正数的平方根 教学难点：理解平方根的意义 教学过程：一、课前展示（前奏版-5分钟）（科代表主持，各小组答题，必答题有板答和口答，计分） 二、创境激趣（启动板—教师创设情境）通过前面的学习，我们已经知道3的平方等于9，3是9的算术平方根，那么，除了3以外，还有没有别的数的平方也等于9呢？三、自主探究，展示汇报1．填表：2. 问题：如果不论正负，所有平方等于9的数都叫做9的平方根，你能类比算术平方根的定义，给平方根下定义吗？.3.归纳：① a 的平方根或二次方根.的定义＿＿＿＿＿＿＿＿； 即如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根. 用符号：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿②求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方. 平方与开平方这两种运算互为逆运算.基本运算一共有六种：加、减、乘、除、乘方、开方.③结合上表可以看出正数，0，负数的平方根各有什么特点？一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 于是，当a ≥0时a 有意义，a ＜0时，a 无意义. 4.例题讲解例1.求下列各数的平方根：(1)16 (2)0 (3)15例2.求下列各式的值：(1) 144 (2) 81.0- (3) 225±例3.已知021=++-y x ，求x ，y 的值四、实践创新，知识反馈（升华板—拓展延伸训练）1．7的平方根是_______.2．如果数a 只有一个平方根，则a =______. 3．如果数b 没有平方根，则b _______.4．如果23是x 的一个平方根，那么x = ，x 的另一个平方根是 . 5．若一个正数的一个平方根是a ，则它的另一个平方根是_____. 6．若a 的两个平方根分别为m 、n ，则m +n =_____. 7．若0)4(32=-++b a ，则b a +=______. 8．一个负数的平方等于1225，这个数是______. 9．下列式子中正确的是（ ） A. 24±= B.24=± C.()222-=- D. 222-=-10．下列说法正确的有（ ） A ．3是3的平方根 B ．3的平方根是3C ．3±是3±的平方根D ．3-是-3的一个负的平方根 11．求下列各数的负的平方根： (1) 256 (2)324 (3)13712．下列各式如果有意义请说明它表示的意义，并求值。
人教版初一数学下册6.1平方根(1)算术平方根
第八早实数6.1平方根⑴【学习目标】1. 理解并掌握算术平方根的概念，会用根号表示一个非负数的算术平方根. 2•了解算术平方根的非负性，会求一个非负数的算术平方根.【学习重点】算术平方根的概念.【学习难点】根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根.散爭环节蓿导行为提示：点然学生的学习的激情，引发学生思考本节课学什么.行为提示：教会学生看书，独学时对于书中的问题要认真探究，教会学生落实重点.情景导入生成问题情景导入请同学欣赏本节导图，并回答问题.学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为25 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？如果这块画布的面积是12 dm2呢？这个问题实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题.这就要用到平方根的概念，也就是本章的主要学习内容•这本节课我们先学习有关算术平方根的概念.自学互研生成能力【自主探究】认真阅读教材P40的内容，并尝试完成下面问题：1. 一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2= a,那么这个正数x叫做a的算术平方根.a的算术平方根记为，读作“根号a”，a叫做被开方数.规定：0的算术平方根是0.2. 对于所有正数，被开方数越大，对应的算术平方根也越大. —3. 负数有算术平方根吗？答：负数没有算术平方根.【合作探究】活动1：填表：思考：上述问题可以看作已知什么，求什么问题.学生讨论展示：是已知一个正数的平方，求这个正数的问题•也就是，在等式x 2= a(x > 0)中，已知 的值.归纳结论：一般地，如果一个正数 x 的平方等于a ,即x 2 = a ,那么这个正数 x 叫做a 的算术平方根, 术平方根记为，读作“根号 a ”，a 叫做被开方数•规定：0的算术平方根是0.对应练习：试一试：你能根据等式122= 144说出144的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来. 记：(1)一个正数只有一个算术平方根； (2)求算术平方根时，若遇带分数应将其化为假分数，若遇带根号的式子,则应先将含根号的式子化简，然后再求其算术平方根，平方开不尽的用根号表示；(3)具有双重非负性：一: 方数a 是非负数，二是算术平方根的值为非负数.行为提示：教会学生怎么交流，充分在小组内展示自己，提出疑惑，共同解决.【自主探究】解答下面各题：1. 求下列各数的算术平方根:49(1) 100 ; (2)1 ; (3)64；(4)196 ; 49 7⑶64= 8； (4) = 14；= 102. 求下列各式的值：9 3=1； 25 = 5 ； (3) = 2.【合作探究】活动2：思考：(1)什么样的数有算术平方根？正数和 0.(2) 一个数的算术平方根可能为负数吗？不可一(3) >0，其中a > 0.(填不等号)(4) 当非负数a 逐渐变大时，发生怎样的变化？变 一学生讨论交流展示：归纳总结：1.由算术平方根的定义知：a > 0,> 0，即算术平方根的被开方数为非负数.2. 被开方数越大，对应的算术平方根也越大，这个结论对所有正数都成立.交流展示生成新知【交流预展】1. 将阅读教材时“生成的新问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的结论展示在各小组的小黑板上，并 将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑.2. 各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知” 【展示提升】 a ,求x a 的算 学习笔 £被开 (5)10解: (1) = 10 ；⑵=1 ;知识模块一算术平方根的概念知识模块二算术平方根的性质检测反馈达成目标【当堂检测】1下列各式中无意义的是(D )1A. —B.C.D.22. (—2)2的算术平方根是(A )A. 2B.± 2C. —2D.3. 下列各数没有算术平方根的是(B )2A. 0B.—1C. 10D. 104•求下列各数的算术平方根：16(1)144; (2)1 ; (3)25；(4)0.008 1 ; (5)0.4解：(1)12; (2)1 ; (3)5; (4)0.09 ; (5)0.5.兴华的书房面积为10.8 m2,她数了一下地面所铺的正方形地砖正好是120块，请问每块地砖的边长是多少？解：设每块地砖的边长是x m,则有120x2= 10.8.因为x>0，所以x = 0.3.答：每块地砖的边长为0.3 m.【课后检测】见学生用书课后反思查漏补缺2 .存在困惑：1.收获：______________________________________________________________________________________2 .存在困惑：。
《6.1 平方根2》优课教学设计
教学设计6.1 平方根(2)2——含根号的无理数人教版初中数学七年级下册 第六章第一节第二课时（共三课时） P41-44教学目标：1.经历2是无限不循环小数的探究过程，认识含根号的无理数；2.在探究2大小的过程中，感受数形结合、无限逼近的数学思想方法；3.在探究学习中，锻炼学生动手操作、小组合作的能力；渗透数学文化，提高学生学习数学的热情.重点、难点：重点：尝试用逐步逼近的方法探究2的大小，认识含根号的无理数 难点：尝试用逐步逼近法探究2的大小学情分析：本节的第一课时学生刚刚学习了平方根、算术平方根的概念，所以在探究1剪拼得到面积为2的正方形后，它的边长顺理成章表示为2，学生比较容易理解。
难点是2开方开不出及对2大小的探究，在此过程中我设计：通过测量、画数轴、代数计算三种方法让学生经历从直观感知到理性思考计算这样一个过程来认识含根号的无理数，在此过程中，体会数形结合、无限逼近的数学思想方法.教学过程：一、引入：1.复习：求下列各数的平方根． (1)36 (2)0.0049 (3) 问：0，-9的平方根是多少呢？平方根的特性：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 2.问题：学校要举行国庆美术作品比赛，小东想裁出一块面积为25平方分米的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 求边长，就是求25的算术平方根，即 问1：面积为36的正方形，边长是： 面积为4的正方形，边长是：面积为2的正方形，边长是？（根据算术平方根的意义可以表示为） 问2： 是多大？这样的正方形存在吗？971525=636=24=22教学设计二、探究发现，学习新知1.①你能用两个面积均为1 dm 2的小正方形剪拼成一个面积为2 dm 2的大正方形吗?学生活动：以四人小组为单位，动手操作 分享成果：小组1：小组2：…… ②关于 的数学史话，第一次数学危机，渗透数学文化． 2. 究竟有多大？方法一：测量法：用直尺测量面积为２的正方形的边长，直观感知 的大小，约1.4 方法二：数轴法：尺规作图感受 在数轴上的位置，更准确的估计 的范围，大于 1.4但小于1.5，感受数形结合的数学思想．方法三：代数法求准确值：步骤１：因为12=１，22=４，2)2(2=而１＜２＜４即2222)2(1<<所以221<<22222教学设计由此可知：的整数位是１ 步骤２：请用计算器计算：1.12=________，1.22=________，1.32=________，1.42=________，1.52=_______观察计算结果，你有什么发现？2)2(即２越接近于哪个数的平方， 就越接近于那个数．小结：由以上计算结果可知：1.42<2<1.52，根据上述规律可得：1.4<2<1.5，所以2的十分位为4.步骤３：学生操作，请用同样的方法，计算确定2的百分位可以计算出2的百分位是１依次进行下去，可以算出2的千分位、万分位……，越来越精确。
6.1.1 算术平方根
5．例题讲解
解：设剪出的长方形的两边长分别为3x cm和2x cm， 则有3x∙2x=300 ， 6x2=300 ， x2=50， x 50 ， 故长方形纸片的长为 3 50 cm ，宽为 2 50 cm ．
长方形的长和宽与正方形的边长之间的 大小关系是什么？小丽能用这块纸片裁 出符合要求的纸片吗？
3．例题解析 例1 求下列各数的算术平方根：
49 100 ；（2） ；（3） 0.0001 ． （1） 64
解：（1）因为102 100 ， 所以100的算术平方根是10 ．
即 100=10． 按照这格式，同学们一起来解后边两题目
3．例题解析 例1 求下列各数的算术平方根：
49 100 ；（2） ；（3） 0.0001 ． （1） 64
4．练习 求下列各式的值：
9 （1） 1 ；（2） ；（3） 42 ；（4） 0 ． 25 解：（1） 1 1 ；
9 3 （ 2） ； 25 5
（3） 42 4 ； （ 4） 0 0 ．
5．提出问题
被开方数的大小与对应的算术平 方根的大小之间有什么关系呢？
-4有算术平方根吗？什么数才有 算术平方根？
„„
1．解决问题 你以前见过这种数吗？
2有多大呢？
2
2．用计算器求算术平方根 例3 用计算器求下列各式的值： (1) 3136 ； (2) 2 （精确到 0.001 ）．
，
解：(1) 依次按键 3136 显示：56． ∴ 3136 56 ．
， (2) 依次按键 2 显示：1.414213562． ∴ 2 1.414 ．
2
2
2
2
2 有多大呢？
1．解决问题
2 有多大呢？
人教版6.1平方根(第1课时)
4．练习 求下列各式的值：
2 2 1 （1） 0；（2） 4 ；（3） 2 ；（4） 13 12 ． 4
2
解：（1） 0 0 ；
2 4 （ 2） = 16= 4；
4．练习 求下列各式的值：
2 2 1 （1） 0；（2） 4 ；（3） 2 ；（4） 13 12 ． 4
第六章
6.1、平方根 6.2、立方根
实数
6.3、实数
6.1 平方根
（第1课时）
学习目标： （1）了解算术平方根的概念． （2）会求一些数的算术平方根，并用算术平 方根符号表示． 学习重点： 算术平方根的概念和求法．
问题1：
你能求出下列各数的平方吗？
1 1 0, 1,5, , 3,3,1, . 5 5
2、算是平方根等于本身的数有 。 3、 若 3, 则 ______ 4、已知 a、b满足等式 a 2 b 3 0, 求ab的值。
7．归纳小结
（1）什么是算术平方根？ 如何求一个正数的算术平方根？ （2） 什么数才有算术平方根？
8．布置作业
教科书41页 练习 第1、2题
正方形 的面积
1
9
16
36
/dm2
正方形 的边长 /dm
4 25
2 5
aa 0
1
3
4
6
都是已知一个正数的 （2）你能指出它们的共同特点吗？ 平方，求这个正数.
2．总结概念 一般地，如果一个正数的平方等于 a， 2 即 x a ，那么这个正数 x 叫做 a 的算术 平方根．a的算术平方根记为 a ，读作 “根号 a ”, a 叫做被开方数． 规定：0的算术平方根是0 ，也就是说， 2 若 x a( x 0)，则 x a ． 例如，由于 52 25 ,5是25的算术平方根， 即 25 5 ．
初中数学_6.1 平方根教学设计学情分析教材分析课后反思
第六章实数6.1平方根第一课时四、《平方根》教学设计（第1课时）一、内容和内容解析1．内容算术平方根的概念，表示及求一个数的算术平方根2．内容解析算术平方根是初中数学中的重要概念，引入算术平方根，是解决实际问题的需要．作为《实数》的开篇第一课，掌握好算术平方根的概念和计算，一方面可为后续研究平方根、立方根提供方法上的借鉴，另一方面也是为认识无理数，完成数集的扩充，解决数学内部运算，以及二次根式的学习等作准备．算术平方根的概念分两个部分，分别是关于一个正数算术平方根的定义和关于0的算术平方根的规定．由算术平方根的概念引出其符号表示、读法及什么是被开方数．根据算术平方根的概念，可以利用互逆关系，求一些数的算术平方根．根据这些数的算术平方根的结果，不难归纳得出“被开方数越大，对应的算术平方根也越大”的结论，其间体现了从特殊到一般的思想方法．基于以上分析，确定本节课的教学重点为：算术平方根的概念和求法．二、目标和目标解析1．教学目标（1）了解算术平方根的概念，会用根号表示一个非负数的算术平方根．（2）会求一些数的算术平方根．2．目标解析（1）学生能说出正数的算术平方根的定义，记住0的算术平方根是0；会用符号表示一个非负数的算术平方根，并能正确读出符号，能够说出中数的名称；理解符号中被开方数≥0(即是一个非负数)的条件，了解也是一个非负数．（2）学生能依据算术平方根的定义判断一个数有没有算术平方根；掌握用平方运算求某些数的算术平方根的方法，会求出100以内完全平方数或分子、分母均是这类数的分数的算术平方根，以及上述这类数扩大(或缩小)100倍、10000倍的数的算术平方根；了解被开方数越大，对应的算术平方根也越大．三、教学问题诊断分析在本课学习之前，学生们已经掌握了一些完全平方数，对乘方运算也有一定的认识．但对于算术平方根为什么只是就正数进行定义，并对0的算术平方根作出规定，大多数学生不习惯．还有就是负数没有算术平方根，这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的前五种代数运算中，一般不会碰到(0不能作除数除外)；加之算术平方根的符号表示只涉及一个数，这与前面所学都涉及两个数的运算不一样，学生可能难以理解．基于以上分析，本节课的教学难点是：深化对算术平方根的理解．四、教学过程设计1．创设情境，引入新课教师展示本章课题,并提出下面的问题．问题 1 请同学们结合已有的经验,猜想一下,我们会从哪几个方面来对本章的内容加以研究.本章将要学习的主要内容以及大致的研究思路是什么？师生活动教师先启发学生根据自已的认知来猜想本章所要研究的内容,体现知识的连续性、共性.展示本章的内容简介,系统的介绍本章内容.设计意图：让学生对本章内容有一个大体的了解.为后续的学习打下基础,以利于学生在学习的过程中构建知识框架.2．师生互动，学习新知问题2学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25dm的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？师生活动：学生可能很快答出边长为5dm．追问请说一说，你是怎样算出来的？师生活动：学生理清解决问题的思路，回答，教师可结合图片强调思路．设计意图：从现实生活中提出数学问题，使学生积极主动的投入到数学活动中去，同时为学习算术平方根提供实际背景和生活素材．问题3完成下表：正方形的面积/dm 1 9 16 36边长/dm师生活动：学生可能很快答出．设计意图：通过多个已知正方形面积求边长问题的解答，加强学生对这种运算的理解，为引出算术平方根作好铺垫．问题4 你能指出问题2与问题3的共同特点吗？师生活动：学生可能回答：上述问题都是“已知一个正方形的面积，求这个正方形的边长”的问题，教师可引导学生进一步归纳为“已知一个正数的平方，求这个正数”的问题，从而揭示问题的本质．在此基础上教师给出算术平方根的定义．一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根．的算术平方根记为，读作“根号”，叫做被开方数．问题5 上面就一个正数给出了算术平方根的定义，那么，你认为“0的算术平方根是多少？”“怎样表示”比较合适呢？师生活动：学生不难回答“0的算术平方根是0”，可以表示为“”；教师指明：算术平方根的概念包含“正数算术平方根”的定义和“0的算术平方根”的规定两部分．追问（1） 根据以上学习，你认为对于算术平方根中被开方数可以是哪些数？师生活动：学生回答，教师明确：算术平方根中被开方数可以是正数或0，即非负数．追问（2） 为什么负数没有算术平方根呢？师生活动：学生思考、回答，教师点拨：因为任何一个正数的平方都不可能是负数．设计意图：通过不断追问，由学生思考解决，体会分类讨论，既加深学生对算术平方根的理解，又让学生养成全面考虑问题的习惯．3．习题示范，学会应用挑战1 写出下列各数的算术平方根的表示方式 （1）49 （2）0.09 （3）3 （4） 师生活动：请4名学生到黑板板书问题的答案,边写边读,检查学生的掌握情况.设计意图：通过让学生先写后读,及时发现问题,解决问题,强化学生对一个正数的算术平方根的表示方法的掌握,同时,也活跃课堂气氛.挑战2 求下列各数的算术平方根：（1）100；（2）；（3）0．0001．师生活动：教师给出第（1）小题求数的算术平方根的思考过程，学生模仿独立完成第（2）、第（3）小题，两名学生板演后，全班交流．追问 从例1中，你能发现被开方数的大小与对应的算术平方根的大小之间有什么关系吗？师生活动：学生比较被开方数的大小以及其算术平方根的大小，试图归纳出结论．如有困难，教师再举一些具体例子加以引导，说明．设计意图：通过求大小不同的三种形式的正数的算术平方根的实践，巩固求算术平方根的方法，由特殊到一般归纳出结论：被开方数越大，对应的算术平方根也越大．为下节课学习估计平方根的大小做准备．挑战3师生活动：学生先说明所求式子的含义，然后三名学生板演，全班交流，教师点评．设计意图：使学生熟悉算术平方根的符号表示，全面了解算术平方根．12(11(9225(232(()244-挑战4 快速完成下列问题,分享你的快乐!1.下列各数有算术平方根吗？如果有，请求出它们的算术平方根：(1) 81 (2) (3) -4 (4) 2. 自由下落物体的高度h(单位：m)与下落时间t(单位：s)的关系式为 如果有一个物体从490m 高的建筑物上自由落下，那么它到达地面需要多少时间？师生活动：学生先判断1中的数有没有算术平方根,展示自已的想法,请1名同学到黑板板书2题的步骤,师生点评．设计意图：使学生理解被开方数不能是负数,再次熟悉算术平方根的求法,借助第2题,让学生体会算术平方根的价值,激发学生的学习兴趣,提高学生学习数学的热情.4．回顾反思师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：（1）什么是算术平方根？（2）如何求一个正数的算术平方根？（3）什么数才有算术平方根？设计意图：让学生对本节课知识进行梳理，进一步落实相关概念．5.即时训练，巩固新知师生活动：学生独立完成，教师巡视，对个别差生进行辅导．对“求的算术平方根”，要让学生明白此题包含两层运算，即先求=？，然后再求“？”的算术平方根，实际上就是上述例1、例2类型的综合题．设计意图：通过练习使学生在了解算术平方根及有关概念的基础上，达到能自己求一个数的算术平方根，进一步巩固、深化对算术平方根的理解．6．布置作业：1. 写出你对本节中出现的知识点的认识，完成《同步学习》中自我尝试的1--6小题。
沪科版数学七年级下册6.1《平方根》教学设计1)
沪科版数学七年级下册6.1《平方根》教学设计1）一. 教材分析《平方根》是沪科版数学七年级下册第六章的第一节内容。
本节课的主要内容是让学生理解平方根的概念，掌握求平方根的方法，以及理解平方根在实际问题中的应用。
教材通过引入平方根的概念，让学生了解平方根的性质，进而学习求平方根的方法，最后通过实际问题让学生体会平方根的应用价值。
二. 学情分析学生在七年级上学期已经学习了有理数、实数等概念，对数的运算也有一定的了解。
但是，对于平方根的概念和性质可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实际问题来理解平方根的概念，并通过例题让学生掌握求平方根的方法。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生理解平方根的概念，掌握求平方根的方法，以及理解平方根在实际问题中的应用。
2.过程与方法：通过实际问题引入平方根的概念，让学生通过自主学习、合作交流的方式掌握求平方根的方法。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力，让学生感受数学在生活中的应用。
四. 教学重难点1.重点：平方根的概念，求平方根的方法。
2.难点：理解平方根的性质，求平方根的方法。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引入平方根的概念，让学生在具体的情境中理解平方根的意义。
2.自主学习法：让学生通过自主学习，掌握求平方根的方法。
3.合作交流法：学生在小组内合作交流，共同解决问题，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.课件：制作平方根的教学课件，包括平方根的概念、性质、求法等。
2.例题：准备一些求平方根的例题，包括简单和复杂的题目。
3.练习题：准备一些练习题，让学生在课堂上进行操练。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，如：一个正方形的面积是36，求这个正方形的边长。
让学生思考如何解决这个问题，从而引入平方根的概念。
2.呈现（10分钟）介绍平方根的概念，让学生理解平方根的定义，并通过PPT展示平方根的性质。
沪科版数学七年级下册6.1《平方根》教学设计1)
沪科版数学七年级下册6.1《平方根》教学设计1）一. 教材分析《平方根》是沪科版数学七年级下册第六章第一节的内容。
本节课主要学习了平方根的概念，以及如何求一个数的平方根。
教材通过引入平方根的概念，让学生理解平方根的性质，并能运用平方根解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘方、相反数和绝对值等概念。
但他们对平方根的概念和性质可能还不够了解，需要通过实例和练习来进一步理解和掌握。
三. 教学目标1.理解平方根的概念，掌握求一个数的平方根的方法。
2.能够运用平方根解决实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。
四. 教学重难点1.平方根的概念和性质。
2.求一个数的平方根的方法。
3.运用平方根解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入平方根的概念，让学生在实际情境中理解平方根。
2.小组合作学习：学生分组讨论，共同探究平方根的性质和求解方法。
3.练习法：通过大量的练习题，巩固学生对平方根的理解和运用。
六. 教学准备1.教学PPT：制作包含平方根概念、性质和求解方法的PPT。
2.练习题：准备一些有关平方根的练习题，用于课堂练习和巩固。
3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如正方形的面积公式，引出平方根的概念。
让学生思考：什么是平方根？为什么需要平方根？2.呈现（10分钟）通过PPT展示平方根的定义和性质，让学生直观地理解平方根的概念。
同时，讲解如何求一个数的平方根，以及平方根的性质。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，共同探究如何求一个数的平方根。
每组选一个数，尝试求出它的平方根，并解释求解过程。
4.巩固（10分钟）出示一些有关平方根的练习题，让学生独立完成。
然后，学生进行讲解，互相交流解题思路。
5.拓展（10分钟）让学生运用平方根解决实际问题，如：一个正方形的边长是a，求它的面积；一个数的平方根是5，求这个数。
6.1平方根(导学案)
第六章 实数第一课时：6.1平方根（一）【学习目标】1.经历算术平方根概念的形成过程，了解算术平方根的概念.2.学会求某些正数（完全平方数）的算术平方根并会用符号表示.【学习重点】算术平方根的概念. 【学习难点】算术平方根的概念. 【学习过程】 一、学前准备写出下列数的平方=21 ；=22 ；=23 ；=24 ；=25 ；=26 ；=27 ；=28 ；=29 ；=210 ；=211 ；=212 ；=213 ；=214 ；=215 ；=216 ；=217 ；=218 ；=219 ；=220 ；=225 ；二、探索思考算术平方根的概念： a 的算术平方根记为 ，读作 ，a 叫做 据算术平方根的概念可知：a 是 数是 数练习一： 1.填空：(1)因为_____2=64，所以64的算术平方根是______＝______； (2)因为_____2=0.25，所以0.25的算术平方根是____________；(3)因为_____2=1649，所以1649的算术平方根是____________. 2.求下列各式的值：＝______；＝______；＝______；______；______；＝______. 按被开放数从小到大排列可以发现：被开方数越大，对应的算术平方根3、2的算术平方根是 ，10的算术平方根是 ，36的算术平方根是4、辨析题：卓玛认为，因为(－4)2＝16，所以16的算术平方根是－4.你认为卓玛的看法对吗？为什么？三、典例分析例:已知：023=-++y x，求yx 的算术平方根。
四、当堂反馈1、若一个数的算术平方根等于它本身，这个数是2、如果2a-18=0，那么a 的算术平方根是 . 3、、下列数没有算术平方根的是（）A.0B.-1C.10D.1024有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ≥0B ．0x <C ．0x ≠D ．0x> 5、填空并记住下列各式：_______，_______，_____________________，_______，_______，___________ ___，=625 ；6、若x 、y 为实数，且 5+x +|y-2|=0，求x+y 的值五、学习反思第二课时：6.1平方根（二）【学习目标】1.2不循环小数的特点.2.会估计带根号的数的大小。
6.1平方根(教案)
4.培养学生的数学运算能力：掌握求平方根的方法，提高学生的数学运算速度和准确性，培养良好的数学运算习惯。
5.增强学生的数学探究意识：鼓励学生主动探究平方根的性质和应用，培养他们独立思考和解决问题的能力，激发学生的数学学习兴趣。
1.理论介绍：首先，我们要了解平方根的基本概念。平方根是一个非负数a的算术平方根，即另一个非负数b，使得b的平方等于a。平方根在数学和实际生活中有广泛的应用，如几何图形的计算、物理学中的速度与加速度等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设一个正方形的面积为9平方单位，我们需要求解其边长。通过求解9的平方根，我们得到边长为3单位。这个案例展示了平方根在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
五、教学反思
在上完这节平方根的课程后，我思考了许多关于教学过程中的点点滴滴。首先，我发现同学们在理解平方根的定义时，普遍存在一定的困难。他们在接触负数没有平方根这一概念时，显得有些困惑。我意识到，这里需要通过更直观的方式，比如数轴的展示，来帮助学生建立起对平方根符号的理解。
在讲授过程中，我尝试用简单的例子和实际操作来阐述平方根的求法，同学们对此反应良好。但是，我也注意到，当涉及到估算平方根的精确度时，部分同学还是感到有些力不从心。这让我意识到，在今后的教学中，我需要加强对估算方法的教学，让学生能够更熟练地运用这些技巧。
在学生小组讨论环节，我尽量让自己成为一个引导者和协助者，让学生充分发挥他们的主观能动性。从成果分享来看，同学们对于平方根在实际生活中的应用有了更深入的认识。但同时，我也发现有些同学在表达自己的观点时，显得有些紧张和不自信。我想，在今后的教学中，我应该更多地鼓励学生，培养他们的表达能力和自信心。
七下6.1平方根(2)教案
【设计理念】 1、让学生萌生用 夹值法来确定
2 这一无理数
的想法。 2、培养学生竞争 意识， 鼓励力争上 游。 3、用夹值法去逼 近一个 （无理） 数， 是一个重要的求 近似数的方法， 也 是一种无限逼近 的数学思想， 所以 详细讲解， 让学生 体验它的妙处。 4、以后会经常遇 见 3、 5、 7 学生记住后会加 快解题速度。 【设计理念】 通过例题， 使 学生掌握使用计 算器求算术平方 根的方法， 还可以 和上面所估计的
2 2
【设计理念】 一是用算数平 方根解决实际问 题， 二是有理数和 无理数比较大小， 考查学生解决综 合应用题的能力。
六、回顾反思
1、这节课你感觉你的小伙伴们的表现怎样？ 2、本节课我们学习了哪些内容？ 3、你还有什么问题或想法需要和老师交流?
1、用计算器求下列各式的值
8955 、 260
七、堂堂清 2、 比较
11 2 1 与 的大小 2 2
和
3、
38 是介于
之间的数，它的小数部分是 必做题：书上 44 页练习，47 页 5、6 题。 选做题：书上 48 页 10 题
八、作业布置
板书设计： 6.1 平方根（2） 夹值法估计 2 的范围 例 1、根号键讲解 例 3 讲解
2 、 3 、 5 、 7 趣味解释
2 的大小进行
比较。 【媒体应用】 展示一种计 算器的按键顺序。 【设计理念】 1、帮助学生深度 理解被开方数和 算数平方根之间 的关系。 2、通过一组数进 行的比较， 便于学 生认知。 3、调动学生的积 极性并巩固、 应用
四、探究规律
规律。 鼓励学生增 加其信心。 同学们太棒了，老师有幸和你们配合实在是太开 心了，既然同学们这么棒，我们也不能总玩这些数字 游戏啊！毕竟我们学数学是为了解决实际问题的，对 吧！那接下来我们就来帮帮小丽，解决她生活中遇到 的问题。 小丽想用一块面积为 400 cm 的正方形纸片， 沿 五、例题讲解 着边的方向剪出一块面积为 300 cm 的长方形纸片， 使它的长宽之比为 3:2．她不知能否裁得出来，正在 发愁．小明见了说： “别发愁，一定能用一块面积大 的纸片裁出一块面积小的纸片． ”你同意小明的说法 吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗? 师：引导分析、例题讲解、板书。 【设计理念】 1、锻炼学生能站 在较真实的立场 评价自己的同伴。 2、培养学生归纳 总结的能力。 【媒体应用】 展示归纳总结。 【设计理念】 1、巩固计算器的 使用方法。 2、可使用两种方 法，开阔思路。 3、常见题型、锻 炼思维。 【设计理念】 分层布置作 业， 适应不同层面 的学生
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6．1 平方根（1） 自主学习、课前诊断
一、温故知新
1.计算：32=_____,
2
5
2
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
=_____,
（0.01）2=_____.
2. 在乘方运算中：若x2 =4，x叫做_____, 2叫做_____, 4叫做x的__________.
二、设问导读：
阅读课本P40完成下列问题：
1.问题解决：
问题1：完成课本问题并填表.
问题2：算术平方根的定义：
如果___________________，即______,则这个正数x就叫做a的算术平方根.记为“_____”读作“______”.
即_____
=
a.a叫做______.
例如：22=4，则2就是4算术平方根，记为_____
4=.
特别地规定0的算术平方根是_______，即0=0.
问题3：由算术平方根的定义可知：只有_____和______才有算术平方根，_______数没有算术平方根，即在a中a______0.
2.例题分析
由例题我们可以看出：（1）被开方数越大，对应的_____也越大。
（2）求一个正数的算术平方根与求_________________是互为逆运算的.
三、自学检测：
1.根据算术平方根的定义填空：
（1）因为92
=81，所以81的算术平方根是______，即81=________； （2）因为253⎪⎭⎫ ⎝⎛=25
9，所以259的算术平方根是_______，即259=________； （3）因为（0.05）2=0.0025，所以0.0025的算术平方根是______；即0025.0=________；
（4）0的算术平方根是_________；
（5）1的算术平方根是_____；
(6) -10_______算术平方根.
互动学习、问题解决
一、导入新课
二、交流展示
学用结合、提高能力
1. 填空题：
(1)若一个数的算术平方根是5，则这个数是_________.
(2) 正数_________的平方为
971,25144的算术平方根为_________. (3)32的算术平方根为_______; (－1.44)2的算术平方根为_______. (4) 81的算术平方根为______， (5)算术平方根等于它本身的数是______。
2. 求下列各数的算术平方根：
.10,81.0,17,169,
364-
二、当堂检测
（1）4的算术平方根为（ ）
A.2
B.-2
C.±2
D.16
(2))0.49的算术平方根的相反数是（ ）。
A ．0.7 B.-0.7 C.±0.7 D. 0 (3) 16的算术平方根是（ ）
A. ±4
B.4
C. ±2
D.2 (4).若2+x =2,则x=________;
三、拓展延伸：
1.一个正偶数的算术平方根是m ，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（ ）
A.m +2
B.m +2
C.22+m
D.2+m
2.（1）一个正方形的面积为原来的100倍时，它的边长变为原来的多少倍？
（2）一个正方形的面积变为原来的n 倍时，它的边长变为原来的多少倍？
课堂小结、形成网络
______________________________________________________________________________________________________
参考答案
自学检测、1.略；
巩固训练、
1.解：(1) 5 (2) 12/5 4/3 (3) 3 1.44 (4) 3 （5） 0 ， 1
2.略
当堂检测（1）A （2） A （3）D ⑷. 2
拓展延伸、
1.C 2 （1）10 （2）n。