氢原子的薛定谔方程解
量子力学补充3-薛定谔方程解氢原子
的基态电子为例： l 以n=1， 0, ml 0r
即：4
4 2 2 a1 100 (r ) 3 r e a1 r
d100 (r ) 令： 0 dr
2r a1
2r 2r 0 a1
a1
[2re 3
2
2 a1
2 r ( nl )e ] 0 a1100 (r )
a1 2
45a 6
1
20 (r )
r / a1
8
10
r Y
1 2 1 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin
1 2 2m e2 2 (E ) 0 2 2 2 r sin 40 r
1 2 1 (r ) 2 (sin ) 2 r r r r sin 1 2 2m e2 2 (E ) 0 2 2 2 40 r 其解： r sin
的,并非人为假设. 2)处于能量为En的原子,角动量有几种可能的值 l 0.1.2(n 1) 量子力学中通常用 小写字母s.p.d.f.g.表示这些状态.
S
角量子数(
p
d
f
g 4
h 5
l)
0 0
1
2
3
角动量(L)
2
6 12 20 30
3)角动量的空间取向是量子化的 角动量在空间取向不是任意的,以外磁场为Z轴 方向,则角动量在Z轴上的分量: 磁量子数
……………….
r ( 2 )e 3 a1 32a1 r
1
下面介绍由这些波函数得出的一些重要结论:
1）能量是量子化的
注意: n称为主量子 数,氢原子的能量是 不连续的,这些不连 续的能量状态称为 能级.
氢原子中电子的势能函数 定态薛定谔方程
说明角动量只能取由l决定的一系列分立值，
即角动量也是量子化的。
处于能级 的E原n 子,其角动量共有n种可能值，
即 l 0，1,，用2，s, p，,nd,…1表示角动量状态。
6
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氢原子内电子的状态
l=0 l=1 l=2 l=3 l=4 l=5 (s) (p) (d) (f) (g) (h) n =1 1s n =2 2s 2p n =3 3s 3p 3d n =4 4s 4p 4d 4f
根据
En
13.6 eV n2
得
E2
13.6eV 3.40eV 22
角动量的大小为 L l(l1) 2
当l=1时，ml的可能值是-1, 0, +1，
π 4
arccos ml π2
l(l1) 3π 4
11
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三、氢原子中电子的概率分布
要知道电子在氢原子中的分布，必须要知道定 态波函数：
ml 称为磁量子数。对于一定的角量子数 l，ml
可以取 2(l 1)个值。
8
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B(z)
2
角动量的空间量子化 o
2
L 6
l2
9
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10
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例题13-18 设氢原子处于2p态，求氢原子的能量、角动 量大小 及角动量的空间取向。
解 ： 2p态表示 n=2, l=1。
§13-9 量子力学中的氢原子问题
一、氢原子的薛定谔方程
氢原子中电子的势能函数 U e2
定态薛定谔方程
4π0r
2 2m(E e2 ) 0
第九节氢原子的量子力学处理
2、角动量量子化与角量子数：
L l (l 1), l 0,1,2, n 1.
l叫角（动量）量子数，取值范围受到n的限制。
3、空间量子化与磁量子数：
Lz ml , ml l ,l 1,, l 1, l.
《大学物理》
教师：
胡炳全
三、斯特恩-盖拉赫实验，电子自旋
自旋磁量子数: s 1 / 2.
《大学物理》
教师：
胡炳全
第九节 氢原子的量子力学求解方法： 一、氢原子的薛定谔方程:
( r ) ( r ) ( r ) 2m e 2 [E ] (r ) 0 2 2 2 x y z 4 0 r
2 2 2 2
在极坐标下使用分离变量，即:
(r ) R(r )( )( )
电子自旋概念解释了斯特恩-盖拉赫实验的偶数条谱线的 结果，同时还解释了光谱精细结构等问题。
《大学物理》
教师：
胡炳全
氢原子中，电子的运动状态可以由四个量子数来确定：
主量子数 : n 1,2,3 角量子数 : l 0,1,2,n 1.
磁量子数 : ml 0,1,2, l.
2 l 2
二、量子数与氢原子相关物理量： 1、能量量子化与主量子数： 上述关于R的二阶微分方程有解的条件是：
me 4 1 1 En 2 13 .6 2 (eV ) 2 2(4 0 ) n n
n=1，2，3…叫氢原子的主量子数。它决定氢原子的能量。
《大学物理》
教师：
胡炳全
1、斯特恩-盖拉赫实验Leabharlann 《大学物理》教师：
胡炳全
测量结果：
•是分离谱线；说明空间量子化是确实的。 •但谱线条数是偶数。空间量子化的规律有新原因。 2、电子的自旋： 电子自旋角动量：
235薛定谔方程解氢原子
sin
drdd
4）(概r)率dV密度 与2V电V0子nnlm云lm202drV2nslXmin2rd2rsdZinddrsdindrrdddrY
r (r)dr
称径向几率密度
r (r) r2
2
d
0
0
nlm
2
sin
d
下面列出了一些径向几率密度：
100 (r )
4 a13
r
r 2e 2a1
的,并非人为假设.
2)处于能量为En的原子,角动量有几种可能的值
l 0.1.2 (n 1) 量子力学中通常用
小写字母s.p.d.f.g.表示这些状态.
S pd
f
gh
角量子数( l ) 0 1 2 3 4 5
角动量(L) 0 2 6 12 20 30
3)角动量的空间取向是量子化的
角动量在空间取向不是任意的,以外磁场为Z轴
讨论后者，U（r）与时间无关，故满足 Schrödinger方程：
2
2m 2
(
E
e2 ) 4 0 r
0
2
2 2
2m 2 (E
2
e2 ) 4 0 r
2m (E
0 e2
) 0
x2 y2 z 2 2
4 0 r
Z
Z
Y
r
X
0
Y
X
r x2 y2 z2 x r sin cos
y r sin sin
下面列出了一些径向几率密度：
100 (r ) 200(r)
4
r
r 2e 2a1
a13
1 8a13
(2
r a1
r
)r 2e 2a1
氢原子 薛定谔方程
氢原子薛定谔方程引言薛定谔方程是量子力学的基石之一，描述了微观粒子的行为。
而氢原子是最简单的原子系统，因此研究其薛定谔方程有助于我们理解量子力学的基本原理。
本文将深入探讨氢原子薛定谔方程，从基本概念到具体计算，全面分析该方程的背景、推导和解析。
薛定谔方程简介薛定谔方程是描述量子系统的一维时间无关定态的方程。
对于一个粒子的波函数ψ(x)、能量E和势能V(x)，薛定谔方程可以写作：Ĥψ(x)=Eψ(x)其中，Ĥ是哈密顿算符，定义为Ĥ=−ℏ22md2dx2+V(x)，ℏ是约化普朗克常数，m是粒子的质量，x是粒子的位置。
对于氢原子，势能V(x)由于原子核和电子之间的相互作用而产生。
氢原子的薛定谔方程氢原子是由一个质子和一个电子构成的，因此氢原子的薛定谔方程是描述电子在氢原子中的运动。
使用球坐标系，薛定谔方程可以重写为：[−ℏ22m(1r2ddr(r2ddr)−L̂22mr2)+V(r)]ψ(r,θ,ϕ)=Eψ(r,θ,ϕ)其中，L̂2是角动量算符的平方，定义为L̂2=−ℏ2(1sinθddθ(sinθddθ)+1sin2θd2dϕ2)。
氢原子的径向方程为了简化氢原子的薛定谔方程，我们考虑分离变量，假设波函数可以表示为一个径向部分和一个角向部分的乘积：ψ(r,θ,ϕ)=R(r)Y(θ,ϕ)。
代入薛定谔方程并分离变量，可以得到径向方程和角向方程。
径向方程的推导通过分离变量，我们将薛定谔方程转化为径向方程和角向方程。
径向方程可以通过将薛定谔方程乘以r2并对角度积分得到。
经过一系列数学推导，可以得到氢原子的径向方程为：[−ℏ22md2dr2+ℏ22ml(l+1)r2+V(r)−E]R(r)=0其中，l是角量子数，通过求解该方程可以得到径向波函数R(r)和能量E。
解析解与数值解氢原子的薛定谔方程可以通过解析方法求解，得到精确的解析解。
然而，尽管存在解析解，推导和计算过程非常复杂，通常需要使用数值方法来近似求解。
氢原子的薛定谔方程精确解
氢原子的薛定谔方程精确解
氢原子的薛定谔方程精确求解的原因如下：
1.单体化表示氢原子结构特征，选择电子相对质子运动的相对坐标，通过电子相对于质子的运动来代表结构的性质建立模型进行求解，并采用电子有效质量来修正模型的相关结果。
2.氢原子定态薛定谔方程计算结果与光谱实验数据可以完全符合。
在通过氢原子基态轨道共振，利用驻波方法建立数学方程的过程中，选定了氢的基态轨道作为参照用于氢原子激发态轨道的描述，经相关的数学变换最后获得了与氢定态薛定谔方程完全相同的方程。
因此氢原子基态及共振轨道已经成为薛定谔方程描述其它轨道振动的基准，因此其光谱也具有基准性质，原则上讲，氢原子的光谱实验数据与方程计算结果应严格符合。
氢原子方程的解
五、方程（5）的解
在方程（5）中，令 x cos ，则
d d dx sin d
d dx d
dx
d sin d
d
dx
代入（5）中得
d [(1 x2 ) d ] ( m2 ) 0
dx
dx
1 x2
此即连带勒让德方程
由于 在 0 到 之间变化，则 x 在-1 到 1 之间变化，此限制决定了 ( ) 的解的特性。
12/12
Pl[m ] ( x) ( Pl ) m阶导数
m
(x)
p
m l
(x)
(1
x2)
2
p
[ l
m
]
(
x
)
由归一化条件得：
(x) (1)m
(2l 1)(l m)! 2(l m)!
Plm
(cos
)
六、方程（4）的解------球谐函数 方程（4）的解，可由方程（5）、（6）的解相乘得到
Y ( ,) ( )()
1 6
Zr a0
Zr
)re 3a0
R32 (r )
4 81 30
(Z a0
Zr
)7 / 2 re 3a0
7/12
十一、波函数图 （1）、径向波函数，概率密度图
8/12
（2）、角向波函数，概率密度图
9/12
10/12
（3）、总图
11/12
十二、轨道能级图 （1）、氢原子轨道能级图
（2）、多电子原子轨道能级图
归一化系数是：
Nlm
(2l 1)(l m)! 2(l m)!
1 2
归一化的 Y ( , ) 解是缔合勒让德函数：
Ylm ( ,) NlmYlm ( ,) (1)m
3-6量子力学对氢原子的描述jm
(r
2
dR dr
)[
2m
2
(E
e
2
4 0 r
2
)
r
2
]R 0（1）
径向方程
sin
(sin
Y
)
1 sin
2
Y
2
Y
（2） 角向方程
) 1
2
2 ˆ 2 角 动 量 算 符 ： L [
1
sin
(sin
z
l 0 ml o
x
r a0
r
r a0
1s
r / a0
12
3p电子 (n=3,l=1) m=+1
l 1
z
3 p ( m l 1)
电子的空间几率：电子在核外不是按一定轨道运动，量子 力学不能断言电子一定出现在核外某确切位置，而只给出 电子在核外各处出现的概率，其形象描述——“电子云”
r sin
1 r r
2
(r
2
u r
)
1
2
r sin
(sin
u
)
1
2 2
u
2 2
r sin
2m
(E
e
2
4 0 r
)u 0
2
1 r r
2
(r
2
u r
)
1
2
r sin
(sin
u
)
磁 量 子 数 ： m 0, 1, 2, 3..., l
Ylm ( , )= lm ( ) m ( )
氢原子的量子力学
]Θ
=0
（2）
12
用分离变量法解此方程，设解为： = R ( r )Θ (θ )Φ (φ ） ψ （ r,θ ,φ ） 代入方程分别得三个微分方程：
dΦ + m 2 2 lΦ = 0 dt 1 d d Θ l ( l +1) sin [ ( ) + θ sin d θ θ d θ
2 1 d 2dR 2m e r ( ) + 2 2 [E + h r dr dr 4 π ε r
53
=0
量子力学对塞曼效应的解释
dΦ + m 2 （1） 2 lΦ = 0 dt 在求解方程（1）时，Φ (φ ) 必须满足标准 条件，自然得到 m l 只能取0，或正负整数 ml ] 0 2 = Θ sinθ 在求解上述方程时，得到的解要求 m l l
54
2
值。 1 d sin d Θ l ( l +1) [ ( ) + θ sin d θ θ d θ
n =4 4s n =5 5s
4p
5p
4d
5d
4f
5f 5g
31
氢原子内电子的状态 l=0 l=0l=0 l=0 l=0 l=0 (s) (p) (d) (f) (g) (h) n =1 1s n =2 2s n =3 3s 2p 3p 3d
n =4 4s n =5 5s n =6 6s
4p
5p
4d
h μ ν
0
β
B
1 E +μ β B l 0 E l E 1 μβ B
0 0 0
l
E0
f
ν
(μ β =
0
ν
0
eB 4π m
氢原子薛定谔方程求解
氢原子薛定谔方程一、薛定谔方程1.定态薛定谔方程波函数所满足的微分方程：记哈密顿算符分离变量即，代入式得两边同时除以，令则有将时间和空间部分合并，薛定谔方程的解可以表示成：上式称为薛定谔方程的本征解，为哈密顿算符的本征函数，为能量本征值。
2.氢原子的定态薛定谔方程氢原子有质量较大的质子，通过正负电荷的相互吸引作用，束缚着一个质量很小带负电−e的电子绕其运动。
由库仑定律,势能为（SI单位），所以势函数为将式子代入定态薛定谔方程得到其中Z为核电荷数，r为电子与质子之间的距离，m为电子质量（忽略原子核的动能），式也称为库仑力场下定态薛定谔方程。
时，为氢原子的薛定谔方程。
二、球坐标下分离变数在球坐标下有拉普拉斯算符：则氢原子薛定谔方程为分离变数乘遍各项，并做适当移项左边是r的函数，右边是θ和φ的函数，我们通常有下面设法分解为两个方程角向分布的方程径向分布的方程进一步分离变数代入球函数方程得乘遍各项并适当移项得左边是的函数，右边是的函数，令此等式等于一常数分解为两个常微分方程：综上氢原子薛定谔方程可以分解为下面三个方程角向分布方程径向分布方程其中。
式与“自然的周期条件”构成本征值问题，解得这里可以采用更为简介等价的解的形式对进行归一化处理得到为磁量子数将代入到式并进行一定处理得连带勒让德方程令，将自变量变为得到此方程和自然边界条件有限构成本征值问题，本征值为，本征函数为，由梁老师的数学物理方法[2]可以得出本征解为综合角向解求得的归一化系数为归一化的解是缔合勒让德函数，也成为球谐函数。
氢原子薛定谔方程
氢原子薛定谔方程氢原子薛定谔方程是研究氢原子的基本理论模型，可以用于解析和预测氢原子的行为。
在氢原子中，只存在一个质子和一个电子，因此，它是理论物理学研究的首要模型之一。
氢原子薛定谔方程是基于量子力学原理推导而来的，它描述了氢原子在电磁场中的一系列行为，包括电子的能量、波函数及其演化规律等。
其数学表达式如下：$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2 \psi}{\partial r^2}-\frac{1}{r}\frac{\partial^2 (r\psi)}{\partialr^2}+\frac{\ell(\ell+1)\hbar^2}{2mr^2}\psi+V(r)\psi=E\psi$该式是解析薛定谔方程的基本形式。
其中，$\psi$是波函数，$m$是电子的质量，$\hbar$是普朗克常数，$r$是离子核与电子之间的距离，$\ell$是角动量量子数，$V(r)$是电子在离子核中的势能，$E$是氢原子的能量。
氢原子薛定谔方程的求解并非易事，这主要是因为它是一个偏微分方程。
在解析方面，有许多数学工具可以帮助我们进行计算，如分离变量法、拉普拉斯变换、傅里叶变换等等。
但对于比较复杂的氢原子体系，解析解可能并不是最好的选择。
通常，科学家和工程师使用不同数值技术，如有限元方法、有限差分方法等，来求解氢原子薛定谔方程。
在量子力学的研究中，最常用的氢原子薛定谔方程所表示的氢原子中，没有其他电子和离子核之间的相互作用。
如果涉及多个原子的分子时，我们就需要使用其他方程来解析它们的行为。
因此，氢原子薛定谔方程是在物理学研究中至关重要的方程之一。
总之，在理论物理学研究的发展中，氢原子薛定谔方程发挥了无比重要的作用。
它为科学家们提供了一个完整的模型来预测、解析氢原子在电磁场中的运动和行为，为人类探索宇宙和理解自然规律提供了更深刻的理论基础。
氢原子的薛定谔方程
氢原子的薛定谔方程
薛定谔方程是一个著名的电子结构理论，可以用来描述一个原子的电子状态。
它是一个带有四个变量的复合实现方程，被称为薛定谔方程。
它由20世纪伟大的物理学家Ernst Schrdinger发明，他是量子力学的创始人。
当谈到氢原子时，薛定谔方程还可以用来解释它的电子状态。
氢原子只有一个电子，因此为了解释它的电子状态，只需要一个薛定谔方程。
薛定谔方程可以如下表达：
iψ/t = ^2/2m·^2ψ + Vψ
其中，ψ表示波函数；i是虚数单位；表示普朗克常数，ψ/t表示时间导数；m是电子的质量；^2表示laplace算符；V表示电子的势能。
薛定谔方程简写为：
Hψ = εψ
其中，H表示哈密顿量，ε表示电子的能量。
对氢原子的薛定谔方程可以写为：
[^2/2m·^2+ V(r)E]ψ(r) = 0
其中，V(r)表示电子势能，E表示电子能量，r表示电子的位置半径。
解决氢原子的薛定谔方程需要一些技巧——定义一个适应性正交基函数组，利用拉普拉斯算符变换到正交空间，然后使用矩阵方法解决。
有时，哈密顿量可以被简化为一个对角矩阵，这一点取决于电
子势能的类型。
任何时候，电子能量的计算都是从在某个特定的位置的电子的能量开始的。
氢原子可以通过薛定谔方程来解释，并且可以计算出它的电子能量，解释的结果可以用来解释它的原子结构。
薛定谔方程对氢原子的电子状态起着至关重要的作用。
第二章原子构与性质§21氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其
第二章 原子结构与性质§2.1.氢原子和类氢原子的薛定谔方程及其解 2.1.1.单电子原子的薛定谔方程H 原子和He +、Li 2+ 等类氢离子是单原子，它们的核电荷数为Z ，若把原子的质量中心放在坐标原点上，绕核运动的电子离核的距离为r ，电子的电荷为-e ，其静电作用势能为：r Ze V 024πε-=将势能代入薛定谔方程：得 0)(22282=ψ++ψ∇rZe h mE π或ψ=ψ-∇-E rZe mh ][22228π为了解题方便，将x 、y 、z 变量换成极坐标变量r 、θ、φ。
其关系：φθcos sin r x = φθsin sin r y =φcos r z =2222z y x r++=21)/(cos 222z y x Z ++=θx y tg /=φ})(sin )({2222sin 1sin 1212φθθθθθ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂++=∇r rr r 代入薛定谔方程：)()(sin )(2222222228sin 11sin 1121=ψ++++∂∂∂ψ∂∂∂∂∂∂∂rZe h mr r r rr E r πφθθθθθ2.1.2.分离变量§法：上述的方程是含三个度量的偏微分方程，要解这个方程可用度数分离法将其化为三个分别只含一个度量的常微分方程求解。
含：)()()(),,(φθθΦΘ=Φψr R r 代入方程：并乘以ΘΦR r θ22sin 移项可得：)(sin )(sin )(228sin 2sin 122222V E r r hu d d d ddr dR drdR d d ----=ΘΘΦΦθθπθθθθφ左边不含r 、θ，右边不含φ，欲左右两边相等必等于同一个常数（-m 2 ）Φ-=Φ222m d d φ, 而右边可为：（除以sin θ）)(sin )()(sin1sin 8212222θθθθπθd d d d m hur dr dR drdR V E r ΘΘ-=-+ 则有：K d d d d m =-ΘΘ)(sin sin1sin 22θθθθθK E r rZe hur dr dR drdR =++)()(2222821π2.1.3.方程解的结果 2.1.3.1.Φ（φ）方程的解0222=Φ+Φm d d φ这是一个常系数二阶齐次线性方程，有两个复函数的独立解。
薛定谔方程 求解氢原子
薛定谔方程求解氢原子
氢原子的薛定谔方程为：（−h¯22m∇2+V）ψ=Eψ（−h28π2m∇2−Ze24πε0r）ψ=Eψ。
薛定谔方程（Schrödinger equation），又称薛定谔波动方程（Schrodinger wave equation），是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定。
它是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。
在量子力学中，粒子以概率的方式出现，具有不确定性，宏观尺度下失效可忽略不计。
薛定谔方程（Schrodinger equation）在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x，t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定。
力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。
这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一。
氢原子的薛定谔方程解
r 2
mvr e 2m
e 2m
L
i
量子力学薛定谔方程求解出的轨道角动量：
L l(l 1) h l(l 1)
2
是量子化的
l
e 2m
L
l(l 1) he
4m
l(l 1)B
量子化的。
B
he
4m
9.27401023 A m2
玻尔磁子
简言之，请大家记住
*非均匀磁场中,环绕电流所受的合外力
F
dB
dr
如果非均匀磁场的方向规定为z方向，
则原子内部的总磁矩就会绕着此方向转动，
而且绕的角度是量子化的，即在z方向投影 是量子化的，那么受到的力的大小
F
z
dB dz
g
jmjB
dB dz
也是量子化的
以上理论预言在实验上的验证！
史特恩-革拉赫实验
z
θ
i
关于刚体转动相关知识的回顾
一个绕着中心公转的质 点m每秒钟转过的角度叫做 角速度
则这个转动的角动量L J0 mR2 mvR,
方向沿着公转平面的法线方向！
原子内部电子轨道角动量运动形成的磁矩
电子(带负电)轨道运动的磁矩（公转形成的磁矩）
z
l
iS
e
v
2r
2S1
2
对z方向的非均匀磁场: F 0 , 原子受到z方向力的作用, 而改变运动路径，所以就会发生偏离现象！
F
z
dB dz
15.6.1氢原子的薛定谔方程 - 氢原子的薛定谔方程
s
1
，即
2
S
3 2
自旋角动量在外磁场方向上只有两个分量:
Sz ms
ms
1 2
ms称为自旋磁量子数
8
1 ms 2
Sz / 2
电子的自旋角动量和自旋磁量子数
z
Sz
S
Sz
1ห้องสมุดไป่ตู้
ms
1 2
2
o
S 3
2
1 2
1 ms 2
9
5 小结 原子中的电子的运动状态可由四个量子 数(n, l ,ml , ms) 来表示.
主量子数 n 决定电子的能量 副量子数 l 决定电子的轨道角动量 磁量子数 ml 决定轨道角动量的方向 自旋量子数ms决定自旋角动量的方向
10
磁量子数
h / 2π 约化普朗克常数
6
例如，l 1时，
L l(l 1) h 2 h 2 2π 2π
磁量子数 ml =0, 1， 相应的
Lz
0,
h 2π
,
h 2π
z
z
LZ
L
ħ
o
L 2
ħ
7
4 电子的自旋和自旋磁量子数
自旋角动量 S s(s 1)
式中自旋量子数
4πε0r
0
分离变量法求解,设
(r, ,) R(r)Θ( )Φ()
2
得
d 2Φ
d 2
ml 2Φ
0
ml 2
sin 2
1
Θ sin
d
d
(sin
dΘ ) l(l
d
薛定谔方程求解氢原子
一、氢原子的薛定谔方程
电子在原子核的库仑场中运动：
U Ze2
4 0r
定态薛定谔方程：
[ 2 2
e2
]
(r )
E
(r )
2 4 0r
氢原子问题是球对称问题，通常采用球坐标系：
x r sin cos y r sin sin z r cos
l 动量，但是大小是非连续取值的！角量子数 来自于薛定谔方程求解
过程条件限制的必然结果！ ~ l 0,1,2,3, , , , , , n 1
L l l 1
名字s.p.d. f .g.h.i. j.k
对于同一个总能级量子数第n个轨道,会有对应的n
个亚轨道，这些亚轨道对应的总能量大致相等，
亚轨道l=0,取名s轨道，对应的角动量L=0，亚轨道l=1,取名p轨道角
动量大小L= 2 ！l=2,取名d轨道，L= 6 ；l=3,取名f 轨道，
L= 12 ！
其实，不同的角动量大小对能级的能量值有细微影响
1926年，海森堡解得氢原子的
能量 En,l为
En,l
13.6 n2
L 转动惯量I 角速度 mr2 mvr
但是电子绕原子核运动形成角动量的方向并不是跟宏观一样，
方向只能取特定值！（方向量子化）而且这些特定值跟l有关,可能 存在的方向为2l+1个！
比如，n=1，亚能级只有一个，对应的
轨道量子数l=0,取名s亚能级，对应的角 动量L=0！所以不存在方向问题！对应 的能量值为[-13.6-ΔE(1,0) ]eV
L l l 1
2大学物理量子力学的氢原子理论四个量子数 (1)
综上
电子状态：由 n, l, ml , m四s 个量子数决定。
轨道能量：由 n, l两个量子数决定。
(1) 主量子数 n ： n =1,2,3,… 决定电子能量的
大小
(2) 角量子数 l : l =0,1,2,…, n-1。决定电子轨道
角动量的大小。
(3) 磁量子数 m：l ml 0 ,1,2, ,l
2
2
采用分离变量法求解，令
(r,,) R(r) （）（）
（1）径向波函数方程
1 r2
d dr
(
r2
dR dr
)
2me 2
E
e2
4
0r
l(
l 1)
r2
R
0
（2）轨道角动量波函数方程
1
sin
d
d
(sin
d d
1 2
,
1 2
状态数为14, n大于等于4.
例：试问氢原子处于 n=2 能级有多少个不同的 状态？并列出各个状态的量子数。
解：n=2 时的状态数为 2n2 个8。 l 可能取
值为 0，1两个值。
当 l 0 时， ml 0,
1 ms 2
or
1 ms 2
当 l 1 时，可能有
第六节
量子力学的 氢原子理论
一、氢原子的定态薛定谔方程
势能分布
U (r) e2
4 0 r
属定态问题，符合定态薛定谔方程
h2
2me
2
U (r)
E
球坐标中的拉普拉斯算符：
2
1 r2
氢原子薛定谔方程的解
l 1 为缔合勒盖尔多项式。 L2 n l
同时规定了 l 的取值范围，即对于某一确定n ,l 可能取n个值：l=0,1,2,…n-1
氢原子的波函数： nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
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氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理学基础
讨论n、l、ml 参数的物理意义
氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理学基础
在球坐标系下： x r sin cos ,
z
y r sin sin , z r cos ,
在球坐标系下的薛定谔方程：
y
x
此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程 求解，即设 R(r )( )( ) 代入上式得：
方程（1）得到的波函数 ()表明：电子绕核转动的 角动量空间取向是量子化的，设：外磁场方向为Z轴 方向，Lz表示L在外场方向投影大小，则：
这里的 ml即为前面讲的m，称为磁量子数。对应一个 l， ml有2l+1个值，即角动量的空间取向有2l+1种可能。
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氢原子薛定谔方程的解
第十一章 量子物理学基础
一般s、p、d、f、g……等字母表示 l=0,1,2, ……，显然，对于s 态的电子来说，其动量矩L=0.
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氢原子薛定谔方程的解 （3）角动量的空间取向量子化
第十一章 量子物理学基础
索末菲在1915-1916年提出：氢原子中的电子绕核作圆 周轨道运动，轨道平面在空间的取向不是任意的，而 只能取有限的特定方位，这既是轨道空间量子化假设
氢原子中的电子绕核作圆周轨道运动轨道平面在空间的取向不是任意的而只能取有限的特定方位这既是轨道空间量子化假设第十一章量子物理学基础氢原子薛定谔方程的解哈尔滨工程大学理学院如图即为n4l0123电子的角动量空间取向量子化的情形
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