代数笔记2

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高等代数知识点总结笔记

高等代数知识点总结笔记一、集合论基础1. 集合的定义和表示2. 集合的运算：交集、并集、补集、差集3. 集合的基本性质：幂集、空集、自然数集、整数集等4. 集合的关系：子集、相等集、包含关系5. 集合的基本运算律：结合律、交换律、分配律二、映射和函数1. 映射的定义和表示2. 映射的类型：单射、满射、双射3. 函数的定义和性质4. 函数的运算：复合函数、反函数5. 函数的极限、连续性6. 函数的导数、几何意义三、向量空间1. 向量和向量空间的定义2. 向量的线性运算：加法、数乘、点积、叉积3. 向量空间的性质：线性相关、线性无关、维数、基和坐标4. 线性变换和矩阵运算5. 特征值和特征向量四、矩阵与行列式1. 矩阵的定义和基本性质：零矩阵、单位矩阵、方阵2. 矩阵的运算：加法、数乘、矩阵乘法、转置、逆矩阵3. 行列式的定义和性质：行列式的展开法则、克拉默法则4. 线性方程组的解法：克拉默法则、矩阵消元法、逆矩阵法五、线性方程组1. 线性方程组的定义和分类2. 线性方程组的解法：高斯消元法、矩阵法、逆矩阵法3. 线性方程组的特解和通解：齐次线性方程组、非齐次线性方程组4. 线性方程组的解的性质：解的唯一性、解空间六、特征值和特征向量1. 特征值和特征向量的定义和性质2. 矩阵的对角化和相似矩阵3. 特征值和特征向量的应用：矩阵的对角化、变换矩阵4. 矩阵的谱定理和矩阵的相似对角化5. 实对称矩阵和正定矩阵的性质七、多项式与代数方程1. 多项式的定义和性质：零次多项式、一次多项式、多项式的加减乘除2. 代数方程的解法：一元一次方程、一元二次方程、高次方程3. 代数方程的根与系数的关系：韦达定理、牛顿定理、斯图姆定理4. 代数方程的不可约性和可解性八、群、环、域1. 代数结构的定义和性质2. 群的定义和性质：群的封闭性、结合律、单位元、逆元3. 环的定义和性质：交换环、整环、域4. 域的定义和性质：有限域、无限域、极大理想以上就是高等代数的一些基本知识点总结，希望对大家有所帮助。

(完整版)线性代数笔记

等行变换，则得到的是。
对于第二类的可先转化为第一类的，即由
两边转置得
按上例的方法求出进而求出 X
二.初等变换的性质
定理 2.5.1 设线性方程组的增广矩阵经有限次的初等行变换化为，则以与
为增广矩阵的方程组同解。定理 2.5.2 任何矩阵都可以经有限次初等行变换化成行最简形式，经有限次初等变换（包括行及列）化成等价标准形。且其标准形由原矩阵惟一确定，而与所做的初等变换无
3、矩阵的乘法设 A=（aij）m×n，B=（bjk）n×l，则 A*B=C=（cik）m×l 其中 C=Σaijbjk（j=1，n）注意；两个矩阵相乘必须第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数；矩阵乘法不满足交换律，即 AB 不一定等于 BA；矩阵乘法有零因子，即 A≠0（零矩阵），B≠0（零矩阵），但有可能 A*B=0（零矩阵）矩阵的乘法适合以下法则：（1）结合律：（AB）C=A（BC）（2）分配律（A+B）C=AC+BC
hing at a time and All things in their being are good for somethin
此处 0 表示与 A 同型的零矩阵，即 A=（aij）m×n ，0=0m×n （4）矩阵 A=（aij）m×n，规定-A=（-aij）m×n，（称之为 A 的负矩阵），则有 A+（-A）=（A）+A=0
如果 n 个未知数，n 个方程的线性方程组的系数行列式 D≠0,则方程组
定理 1.4.3 如果 n 个未知数 n 个方程的齐次方程组的系数行列式 D≠0，则该方程组只有零解，没有非零解。推论如果齐次方程组有非零解，则必有系数行列式 D=0。
第二章矩阵
一、矩阵的运算

大学数学高等代数笔记

大学数学高等代数笔记高等代数是大学数学中的一门重要课程，它为我们打开了数学世界中更为抽象和深奥的大门。

在学习这门课程的过程中，做好笔记是至关重要的。

它不仅能够帮助我们在课后复习时快速回忆起课堂上的重点内容，还能让我们在整理思路的过程中加深对知识的理解。

接下来，我将与大家分享我在学习高等代数过程中所做的笔记。

一、行列式行列式是高等代数中的一个基本概念，它具有多种计算方法和重要性质。

1、二阶和三阶行列式的计算对于二阶行列式，其计算公式为：｀｜a b|｀｀｜c d|｀＝ ad bc 。

三阶行列式的计算则相对复杂一些，通过按行（列）展开的方法可以将其转化为二阶行列式的计算。

2、行列式的性质行列式具有很多重要的性质，例如：行列式转置后其值不变；某行（列）元素乘以一个数加到另一行（列）对应元素上，行列式的值不变；交换两行（列），行列式的值变号等。

3、行列式的应用行列式可以用于求解线性方程组的解的情况。

当系数行列式不为零时，方程组有唯一解。

二、矩阵矩阵是高等代数中的核心概念之一。

1、矩阵的定义和运算矩阵是由数按照一定的规则排列成的矩形数表。

矩阵的运算包括加法、减法、数乘和乘法。

需要注意的是，矩阵乘法不满足交换律。

2、逆矩阵若矩阵 A 可逆，则存在矩阵 B ，使得 AB ＝ BA ＝ E （单位矩阵），B 称为 A 的逆矩阵。

3、矩阵的秩矩阵的秩是矩阵的一个重要属性，它反映了矩阵的线性相关性。

三、线性方程组线性方程组是高等代数中的常见问题。

1、高斯消元法通过一系列的初等行变换将增广矩阵化为行阶梯形或行最简形，从而求解线性方程组。

2、齐次线性方程组当常数项都为零时的线性方程组称为齐次线性方程组。

其解的情况与系数矩阵的秩有关。

四、向量空间向量空间是一个抽象的概念，但在实际应用中具有重要意义。

1、向量的线性相关性判断一组向量是否线性相关是向量空间中的重要问题。

2、基和维数向量空间中的一组基是一组线性无关的向量，能够表示空间中的任意向量。

高等代数二知识点总结串联

高等代数二知识点总结串联高等代数二是大学数学课程中的一门重要课程，它是一门深入研究代数学理论和应用的课程。

高等代数二主要包括群论、环论、域论、线性代数等内容。

在这篇文章中，我们将对高等代数二的知识点进行总结，帮助大家更好地理解和掌握这门课程。

一、群论1. 群和子群群是一种代数结构，它包括一个集合和一个运算，满足封闭性、结合律、单位元和逆元。

子群是原群的一个子集，它也是一个群，并且包含原群的单位元和逆元。

2. 同态和同构同态是群之间的一个映射，它保持群的结构。

同态定理是群理论的一个重要定理，它告诉我们同态映射的性质。

同构是两个群之间的一个双射同态，它保持群的结构，并且两个群是同构的当且仅当它们的结构完全相同。

3. 群的作用群的作用是群和集合之间的一个映射，它描述了群对集合的运算规律。

作用定理是群理论的一个重要定理，它告诉我们群的作用有很多有趣的性质。

4. 群的分类群的分类定理告诉我们任意有限交换群都可以分解为循环群的直积。

这个定理在群的研究中有着重要的意义。

二、环论1. 环和子环环是一个包含加法和乘法的集合，满足一些性质，如封闭性、结合律、分配律等。

子环是原环的一个子集，它也是一个环，并且包含原环的加法单位元和乘法单位元。

2. 理想和商环理想是环的一个子集，满足一些性质，如对加法封闭、对乘法吸收等。

商环是环相对理想的一个商集，它也是一个环，并且包含了原环对理想的余集。

3. 同态和同构环的同态和同构与群类似，它们描述了环之间的映射和结构保持性质。

4. 域和域的扩张域是一个包含加法和乘法的集合，满足一些性质，如分配律、单位元、有逆元等。

域的扩张是一个域包含在另一个域中的过程，它也包含了域的同态和同构。

三、域论1. 有限域和无限域有限域是包含有限元素的域，它具有一些特殊的性质，如平方域和素域等。

无限域是包含无限元素的域，它也有一些特殊的性质，如分式域和代数闭域等。

2. 代数扩张和超越扩张代数扩张是一个域包含在另一个代数闭域中的过程，它包含一些代数方程。

高等代数笔记与做题思路总结

高等代数笔记与做题思路总结一、行列式相关（5题）1. 计算三阶行列式begin{vmatrix}1 2 3 4 5 6 7 8 9end{vmatrix}解析：- 按第一行展开，begin{vmatrix}1 2 3 4 5 6 7 8 9end{vmatrix}=1×begin{vmatrix}5 6 8 9end{vmatrix}-2×begin{vmatrix}4 6 7 9end{vmatrix}+3×begin{vmatrix}4 5 78end{vmatrix}- 计算二阶行列式begin{vmatrix}ab cdend{vmatrix}=ad - bc- begin{vmatrix}5 6 8 9end{vmatrix}=5×9-6×8 = 45 - 48=- 3- begin{vmatrix}4 6 7 9end{vmatrix}=4×9 - 6×7=36 - 42=-6- begin{vmatrix}4 5 7 8end{vmatrix}=4×8 - 5×7=32 - 35=-3- 所以原行列式=1×(-3)-2×(- 6)+3×(-3)=-3 + 12-9 = 02. 已知n阶行列式D = λ^n+a_1λ^n - 1+·s+a_n-1λ + a_n，求D的第一行元素的代数余子式之和。

解析：- 根据行列式按行展开定理D=a_i1A_i1+a_i2A_i2+·s+a_inA_in（i为行标）- 令λ = 1，构造一个新的行列式D_1，它的第一行元素全为1，其余元素与D 相同。

- 那么D_1按第一行展开D_1=A_11+A_12+·s+A_1n- 又因为D_1也是n阶行列式，且D_1 = 1^n+a_1×1^n - 1+·s+a_n-1×1+a_n- 所以第一行元素的代数余子式之和为1 + a_1+·s+a_n3. 证明：若一个n阶行列式D中零元素的个数多于n^2-n个，则D = 0。

代数公式的知识点总结

代数公式的知识点总结一、整式的加减。

1. 单项式。

- 定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。

例如：3x，-2y，5，a等都是单项式。

- 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。

例如在单项式3x中，系数是3；在单项式-(2)/(3)y中，系数是-(2)/(3)。

- 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

例如单项式x^2y的次数是2 + 1=3。

2. 多项式。

- 定义：几个单项式的和叫做多项式。

例如2x+3y，x^2-2x + 1等都是多项式。

- 项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

例如在多项式x^2-2x+3中，x^2、-2x、3都是它的项，3是常数项。

- 次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。

例如多项式x^3-x^2+2的次数是3。

3. 整式。

- 单项式和多项式统称为整式。

4. 同类项。

- 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

几个常数项也是同类项。

例如3x^2y与-5x^2y是同类项，2与-7是同类项。

- 合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。

合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。

例如3x^2y - 5x^2y=(3 - 5)x^2y=-2x^2y。

二、一元一次方程。

1. 方程。

- 定义：含有未知数的等式叫做方程。

例如2x+3 = 7，x - y=5等都是方程。

2. 一元一次方程。

- 定义：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。

一般形式是ax + b = 0(a≠0)，例如3x+5 = 0就是一元一次方程。

- 解方程的步骤：- 去分母（若方程中有分母时）：根据等式的性质2，在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，将分母去掉。

例如对于方程(x+1)/(2)+(x - 1)/(3)=1，先找出2和3的最小公倍数6，然后方程两边同时乘以6得到3(x + 1)+2(x - 1)=6。

线隆代数学习笔记第二部分

五、转置-置换和向量空间R1、置换矩阵是用来完成行互换的矩阵。

123100100100A LU λλλ--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦对于需要互换行的矩阵，应对矩阵进行置换处理:PA LU =而置换矩阵就是行重新排列了的单位矩阵。

同时，所有的置换矩阵都有一个很好的性质，即可逆。

1T T p p p p I -=→=置换矩阵的逆等于其转置。

这也是一类性质优良的矩阵。

转置的公式：()T ij ji A A =对称矩阵：具有转置不变性的矩阵。

转置等于其逆的矩阵数量比较少，但对称矩阵却较多。

得到对称矩阵的方法：TRR很多实际应用中会用到这种方法得到对称矩阵。

向量空间、子空间：向量可以相加，向量可以数乘，这些数称为标量。

这是向量必须的两种运算。

如果讨论向量空间，必须用到加法和数乘这两种运算，还要满足一些具体规则。

“空间”的意思是指表示有很多向量，但并不是任意向量的组合都能称为空间，空间必须满足一定的规则，即必须能进行加法和数乘运算，必须能够进行线性组合。

什么地方会碰到线性组合？2R 中会碰到，所以2R 是线性空间。

2R 说明我们讨论的是实数，向量用实数来表示，所以这里均为二维向量，实向量。

2 2dim real vectors -R all x y plan =-=“ ?，如：30,,,20e π⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦向时空间中，零向量非常重要，因为向量的线性组合会出现零向量，没有零向量会有缺失。

没有零向量不行。

3R 中会碰到，所以3R 是线性空间。

3R 说明我们讨论的是实数，向量用实数来表示，所以这里均为三维向量，实向量。

33dim real vectorsR all x y z plan =-=--“ ?，如：30,,,1000e ππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦n R 也是向量空间n R all column vectors with n components =R 指实数，后面会碰到虚数的情况。

数与代数的整理笔记

数与代数的整理笔记数与代数（人教版）一、数的认识。

1. 整数。

- 正整数：像1、2、3……这样的数是正整数，是自然数的一部分，用来表示物体个数。

- 零：0表示一个物体也没有，它是最小的自然数。

- 负整数：像 - 1、-2、-3……这样的数是负整数。

整数包括正整数、0和负整数。

- 整数的读法和写法：读数时，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续几个0都只读一个零；写数时，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。

- 整数的大小比较：先看位数，位数多的数大；如果位数相同，从最高位比起，相同数位上的数大的那个数就大。

2. 小数。

- 意义：把整数“1”平均分成10份、100份、1000份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。

- 小数的性质：小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。

- 小数点位置移动引起小数大小变化规律：小数点向右移动一位、两位、三位……小数就扩大到原数的10倍、100倍、1000倍……；小数点向左移动一位、两位、三位……小数就缩小到原数的(1)/(10)、(1)/(100)、(1)/(1000)……- 小数的读法和写法：读小数时，整数部分按照整数的读法来读，小数点读作“点”，小数部分顺次读出每一位上的数字；写小数时，先写整数部分，再写小数点，最后写小数部分。

- 小数的大小比较：先比较整数部分，整数部分大的数大；如果整数部分相同，再比较小数部分，从十分位开始依次比较。

3. 分数。

- 意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。

- 分数单位：把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。

- 真分数和假分数：分子比分母小的分数叫真分数，真分数小于1；分子比分母大或分子和分母相等的分数叫假分数，假分数大于或等于1。

- 分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。

代数学基础学习笔记

代数学基础学习笔记第一章代数基本概念习题解答与提示(P54)1. 如果群 G 中,对任意元素 a,b 有(ab)2=a2b2,则 G 为交换群. 证明:对任意 a,b G,由结合律我们可得到 (ab)2=a(ba)b, a2b2=a(ab)b再由已知条件以及消去律得到 ba=ab,由此可见群 G 为交换群.2. 如果群 G 中,每个元素 a 都适合 a2=e, 则 G 为交换群. 证明: [方法 1]对任意 a,b G, ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab 因此 G 为交换群. [方法 2]对任意 a,b G, a2b2=e=(ab)2,由上一题的结论可知 G 为交换群.1代数学基础学习笔记3. 设 G 是一非空的有限集合,其中定义了一个乘法 ab,适合条件: (1) a(bc)=(ab)c; (2) 由 ab=ac 推出 a=c; (3) 由 ac=bc 推出 a=b;证明 G 在该乘法下成一群. 证明:[方法 1]设 G={a1,a2,…,an},k 是 1,2,…,n 中某一个数字,由(2) 可知若 i j(I,j=1,2,…,n),有akai ak aj------------<1> aiak aj ak------------<2> 再由乘法的封闭性可知 G={a1,a2,…,an}={aka1, aka2,…, akan}------------<3> G={a1,a2,…,an}={a1ak, a2ak,…, anak}------------<4> 由<1>和<3>知对任意 at G, 存在 am G,使得akam=at. 由<2>和<4>知对任意 at G, 存在 as G,使得asak=at. 由下一题的结论可知 G 在该乘法下成一群.下面用另一种方法证明,这种方法看起来有些长但思2代数学基础学习笔记路比较清楚。

初中数学学霸笔记

初中数学学霸笔记一、代数部分1.方程与不等式：•一次方程：一元一次方程的标准形式是ax + b = 0。

解法有直接开平方法、配方法、公式法等。

•一次不等式：一元一次不等式的标准形式是ax + b > 0或ax + b < 0。

解法与方程类似，但要注意不等式的性质。

2.函数：•一次函数：y = kx + b，其中k和b是常数。

斜率k决定了函数的增减性，截距b决定了函数与y轴的交点。

•反比例函数：y = k/x (k > 0)。

双曲线的渐近线是y = x 和y = -x。

3.实数：•实数的定义与性质：实数包括有理数和无理数，具有顺序性、稠密性和连续性等性质。

•实数的运算：实数的加、减、乘、除等基本运算性质和运算法则。

二、几何部分1.线段与角：•角的概念与表示：角的度量单位是度(°)、分(′)、秒(″)。

按逆时针方向旋转的角为正角，按顺时针方向旋转的角为负角。

•线段的性质与判定：线段的基本性质有公理一、公理二、公理三等，判定定理有SAS、SSS、ASA等。

2.三角形：•三角形的基本性质：三角形具有稳定性，三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）。

•三角形的内角和定理：三角形内角和等于180°。

3.四边形：•四边形的性质与判定：平行四边形、矩形、菱形、正方形等都有一系列独特的性质和判定定理。

•多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n - 2) × 180°。

4.圆：•圆的基本性质：圆上三点确定一个圆，过同一点可以作无数个圆。

•圆的切线与弦：了解切线与半径垂直的性质，掌握垂径定理。

5.相似与全等：•相似三角形：相似三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA等，以及对应的性质定理。

•全等三角形：全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA等，以及对应的性质定理。

6.解直角三角形：•锐角三角函数：锐角三角函数包括正弦、余弦、正切等基本概念，了解其在直角三角形中的运用。

自考本科线性代数笔记(第二章矩阵)

第一章矩阵2.1矩阵的概念定义2.1.1由m×n个数a ij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成一个m行n列的数表用大小括号表示称为一个m行n列矩阵。

矩阵的含义是，这m×n个数排成一个矩形阵列。

其中a ij称为矩阵的第i行第j列元素（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），而i称为行标，j称为列标。

第i行与第j列的变叉位置记为（i，j）。

通常用大写字母A，B，C等表示矩阵。

有时为了标明矩阵的行数m和列数n，也可记为A=（a ij）m×n或（a ij）m×n或A m×n当m=n时，称A=（a ij）n×n为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。

n阶方阵是由n2个数排成一个正方形表，它不是一个数（行列式是一个数），它与n阶行列式是两个完全不同的概念。

只有一阶方阵才是一个数。

一个n阶方阵A中从左上角到右下角的这条对角线称为A的主对角线。

n阶方阵的主对角线上的元素a11，a22，…，a nn，称为此方阵的对角元。

在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。

元素全为零的矩阵称为零矩阵。

用O m×n或者O（大写字）表示。

特别，当m=1时，称α=（a1，a2，…，a n）为n维行向量。

它是1×n矩阵。

当n=1时，称为m维列向量。

它是m×1矩阵。

向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。

例如，（a，b，c）是3维行向量，是3维列向量。

几种常用的特殊矩阵：1.n阶对角矩阵形如或简写为（那不是A，念“尖”）的矩阵，称为对角矩阵，对角矩阵必须是方阵。

例如，是一个三阶对角矩阵，也可简写为。

2.数量矩阵当对角矩阵的主对角线上的元素都相同时，称它为数量矩阵。

n阶数量矩阵有如下形式：或。

（标了角标的就是N阶矩阵，没标就不知是多少的）特别，当a=1时，称它为n阶单位矩阵。

n阶单位矩阵记为E n或I n，即或在不会引起混淆时，也可以用E或I表示单位矩阵。

高等代数II

高等代数II高等代数II是一门高等数学课程，主要研究线性代数、群论和域论等高级代数学的理论和应用。

本文主要介绍高等代数II 中的一些重要概念、定理和应用。

一、线性代数线性代数是高等数学的重要分支，主要研究向量空间、线性变换、特征值与特征向量、正交变换等概念与理论。

这些概念和理论在数学、物理、工程等领域中应用广泛。

下面重点介绍线性代数中的一些重要概念和定理。

1. 向量空间向量空间是一个包含向量加法和标量乘法的集合，满足一些基本的性质，例如加法结合律、交换律、存在零向量，标量乘法分配律、结合律等。

常见的向量空间有欧几里得空间、函数空间、矩阵空间等。

向量空间的基本性质使其能被用来描述几何对象和物理现象。

2. 线性变换线性变换是一种保持向量空间中加法和标量乘法的映射，即对任意向量 $v_1,v_2$ 和标量 $a$，满足$T(v_1+v_2)=T(v_1)+T(v_2)$ 和 $T(av)=aT(v)$。

线性变换可以用矩阵来表示，并且矩阵的乘法也是一种线性变换。

线性变换的研究在于寻找其特征值和特征向量，从而可以得到一些重要的性质和应用。

3. 特征值和特征向量在线性代数中，线性变换 $T$ 的特征向量 $v$ 是指在 $T$ 作用下仍保持方向不变的非零向量，即 $T(v)=\lambda v$，其中$\lambda$ 是系数，称为特征值。

一些基本性质表明，每个线性变换都有至少一个特征值和对应的特征向量。

4. 正交变换正交变换是一种保持向量点乘和长度不变的线性变换，即$T(v_1)\cdot T(v_2)=v_1\cdot v_2$ 和 $||T(v)||=||v||$。

常见的正交变换有旋转和镜像变换。

正交变换的特殊性质使其在几何学中应用广泛，例如可以用来计算内积、夹角、曲率等。

二、群论群论是一种研究代数系统的分支学科，主要研究群的结构、子群、同态、同构和群作用等概念和理论。

群是一个集合和映射的组合，满足一些基本的性质，例如结合律、单位元、逆元等。

近世代数学习系列-b2集合论笔记(续).

近世代数预备知识集合论（续）____对“集合”的一些看法集合可以说是最简单的结构。

或者说简直简单得没有结构。

对于一个抽象的集合（意思是说，我们只知道它是一个集合，其他什么也不知道）来说，它的每个元都是完全一样的，元和元的相互之间也没有任何关系——当然，要说的话还是有那么一点关系，我们总是能判断两个元是否相等。

从这个角度来看，我们关于一个抽象的集合所能知道的唯一信息，就是它的元的“个数”。

这是集合这种“结构”的最重要的“不变量”，也是唯一的不变量。

当然我还根本没有说过所谓“个数”是什么。

OK ，那现在我就这样来定义：所谓个数，就是指集合的不变量。

讲这话并不是找打。

我们已经定义了集合的“同构”，也就是一一对应（参看前文《映射》）。

所谓“不变量”，当然是指“在同构映射下不变的东西”，于是我们就得到下面的定义：定义。

如果两个集合 A 和 B 是同构的（也就是说它们之间存在一一对应），我们就说它们同等。

写做 A ~ B 。

这显然是一个等价关系（参看前文《关系》）。

我们把关于这个等价关系的任意等价类称为个数，或者为了区别于我们的直观，换一个词称做浓度。

对于任意一个集合 A ，它的浓度当然定义为与 A 同等的所有集合做成的等价类。

从我们的直观上来说，“部分”的个数要比“全体”的个数来的“小”。

这句话中已经暗示了一个重要的定理。

首先，所谓“部分”当然可以指“子集”。

而鉴于现在我们考虑的同等关系，下面的定义应该是恰当的：定义。

如果存在一个从集合 A 到集合 B 的单射f : A → B （这时 A 和 f ( A 同等），我们就说 A 比 B 小。

写做A ≤ B 。

而所谓的“小”，当然不只是说说就算了。

我们谈论大小的时候在暗默中就假定了一些事，关于这个请参看前文《关系》。

这些“暗默中假定的事”确实成立，这就是下面的定理。

定理。

≤ 是一个偏序关系。

证明。

显然对任意集合 A 都有A ≤ A 。

而如果A ≤ B ，B ≤ C ，只要考虑映射的合成我们就有A ≤ C 。

《数学思维2：代数与几何》笔记

《数学思维2：代数与几何》阅读札记目录一、代数篇 (2)1.1 整数的性质 (2)1.2 有理数与无理数 (3)1.3 代数表达式与运算 (5)1.4 方程与不等式 (5)1.5 函数的概念与性质 (6)二、几何篇 (7)2.1 平面图形 (8)2.2 立体图形 (9)2.3 圆与弧 (11)2.4 角度与多边形 (12)2.5 地图与地理坐标 (13)三、代数与几何的联系 (13)3.1 代数在几何中的应用 (14)3.2 几何在代数中的应用 (15)3.3 代数与几何的交叉问题 (17)四、数学思维方法 (18)4.1 类比推理 (19)4.2 归纳推理 (20)4.3 模型法 (22)4.4 构造法 (23)五、总结与展望 (24)5.1 本书总结 (25)5.2 数学思维的重要性 (26)5.3 未来发展趋势 (27)一、代数篇由于您没有提供具体的《数学思维2：代数与几何》阅读札记文档，我无法直接给出“代数篇”的具体内容。

我可以为您提供一个关于代数篇可能的概述和结构，以帮助您理解这个部分可能包含的内容。

方程和不等式：解一元一次方程、二元一次方程组，以及不等式的应用。

函数：定义、性质、图象，以及一次函数、二次函数、反比例函数等的解析式和图像。

1.1 整数的性质整数是数学中最基本的数，它们具有许多独特的性质。

在《数学思维2:代数与几何》我们将学习一些关于整数的基本性质，这些性质对于理解代数和几何问题非常重要。

整数包括正整数、负整数和零。

正整数是大于零的整数，负整数是小于零的整数，而零既不是正整数也不是负整数、0都是整数的例子。

整数具有加法和乘法运算，加法是将两个整数相加以得到它们的和，例如3+ 58。

乘法是将一个整数与另一个整数相乘以得到它们的积，例如46 24。

乘法不满足交换律，即a a(除非b为零)。

整数具有除法运算，除法是将一个整数除以另一个整数以得到它们的商，例如124 3。

需要注意的是，当被除数不能被除数整除时，结果通常是一个带有小数部分的分数。

线性代数知识点总结第二章

线性代数知识点总结第二章矩阵及其运算第一节矩阵定义由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==排成的m 行n 列的数表111212122212nn m m mna a a a a a a a a 称为m 行n 列矩阵。

简称m n ⨯矩阵，记作111212122211n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，简记为()()m n ijij m nA A a a ⨯⨯===，,m n A ⨯这个数称为的元素简称为元。

说明元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。

扩展几种特殊的矩阵：方阵：行数与列数都等于n 的矩阵A 。

记作：A n 。

行(列)矩阵：只有一行(列)的矩阵。

也称行(列)向量。

同型矩阵：两矩阵的行数相等，列数也相等。

相等矩阵：AB 同型,且对应元素相等。

记作：A ＝B 零矩阵：元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）对角阵：不在主对角线上的元素都是零。

单位阵：主对角线上元素都是1，其它元素都是0，记作：E n (不引起混淆时，也可表示为E )（课本P29—P31）注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。

第二节矩阵的运算矩阵的加法设有两个m n ⨯矩阵()()ij ij A a B b ==和，那么矩阵A 与B 的和记作A B +，规定为111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b A B a b a b a b +++⎛⎫⎪+++⎪+= ⎪⎪+++⎝⎭说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。

（课本P33）矩阵加法的运算规律()1A B B A +=+；()()()2A B C A B C ++=++()()1112121222113,()n n ij ij m nm n m m mn a a a a a a A a A a a a a ⨯⨯---⎛⎫⎪--- ⎪=-=-= ⎪⎪---⎝⎭设矩阵记，A -称为矩阵A 的负矩阵()()()40,A A A B A B +-=-=+-。

高等代数II知识考点整理

高等代数II知识考点整理●线性映射●线性映射●定义V,U是\mathbb{K}上的线性空间，\varphi : V\rightarrow U●\varphi(\alpha +\beta )=\varphi(\alpha)+\varphi(\beta)●\varphi(k\alpha )=k\varphi(\alpha)●双射\varphi : V\rightarrow U,单射且满射●单射\varphi(\alpha)=\varphi(\beta)\Rightarrow \alpha=\beta●满射/映上的映射任意\beta \in U，存在\alpha \in V,使得\varphi(\alpha)=\beta●逆映射●双射存在逆映射●同构●定义●两个空间存在线性双射，则为同构●映射到自身的双射为自同构●命题●gf=1_A,fg=1_B，则f是双射且g是f的逆射f:A\rightarrow B,g:B\rightarrow A●线性映射\varphi : V\rightarrow U●\varphi(0)=0●\varphi(k\alpha +l\beta )=k\varphi(\alpha)+l\varphi(\beta)线性映射等价命题●若\varphi同构，逆映射也是同构●线性映射运算●运算●加法●(\varphi+\psi)(\alpha)=\varphi(\alpha)+\psi(\alpha)●数乘●(k\varphi)(\alpha)=k\varphi(\alpha)●线性映射空间●定义●\mathcal{L}(V,U)：V到U的线性映射全体●共轭空间●V\rightarrow \mathbb{K}的线性函数空间●有限维时称为对偶空间●命题●线性映射空间是线性空间●共轭空间是线性空间●代数●定义●是线性空间●乘法封闭并满足●乘法结合律●存在单位元●分配律●数乘相容●命题●\mathcal{L}(V)是\mathbb{K}上的代数●线性映射复合一般不满足交换●线性映射与矩阵●相似●定义n阶方阵A,B●存在n阶非异阵P，B=P^{-1}AP●则A \approx B●命题●相似是一种等价关系●表示矩阵E=(e_1,e_2,\cdots,e_n)是V的基，F=(f_1,f_2,\cdots,f_n)是U的基●\varphi:V\rightarrow U●\varphi(E)=FA●A为表示矩阵●定理●线性映射\varphi=\psi\Leftrightarrow\psi(e_i)=\varphi(e_i),i=1,2,\cdots,nV\rightarrow U,\{e_i\}为V的一组基●\{B_i\}\subset U,有且仅有一个线性映射,满足\varphi(e_i)=\beta_i,i=1,2,\cdots,n●\mathcal{L}(V,U)到M_{m\times n}(\mathbb{K})存在一个线性同构T●存在交换图●保持乘法：T(\varphi\psi)=T(\varphi)T(\psi)●T的性质●T(I_V)=I_n●\varphi为自同构\Leftrightarrow T(\varphi)可逆●T(\varphi^{-1})=T(\varphi)^{-1}●表示矩阵和过渡矩阵\varphi \in \mathcal{L}(V)，基\{e_i\}到\{f_i\}过渡矩阵为P●B=P^{-1}APA是\varphi在\{e_i\}的表示矩阵，B是在\{f_i\}的表示矩阵●像与核●定义线性映射\varphi:V\rightarrow U●像Im\varphi=\varphi(V)\subset U●映射的秩像的秩●dim\varphi=dim Im\varphi●核Ker\varphi=\{v\in V|\varphi(v)=0\}\subset V●零度核的秩●限制子空间V'\subset V,U'\subset U●\varphi':V'\rightarrow U'映射法则与\varphi相同●命题●像与核都是子空间●线性映射为满射\Leftrightarrowdim\varphi=dimU●线性映射为单射\Leftrightarrow零度为0●线性映射为单射，则限制映射也是单射●dim\varphi=rank(A),dim Ker\varphi=n-rank(A)A为表示矩阵，dimV=n，dimU=m●线性映射维数公式：dim Ker\varphi+dim Im\varphi=dimV●线性映射可逆\Leftrightarrow为单射或是满射●不变子空间●定义●子空间U经变换后的空间仍在U内\varphi(U)\subseteq U●可把映射限制在U上，记为\varphi|_U●命题●像与核是不变子空间●将r维不变子空间的基扩充为n维空间的基，表示矩阵形状如下●\left[\begin{matrix} A_{(r)} & B\\ O& D_{(n-r)} \end{matrix}\right]●逆命题成立表示矩阵形状为分块上三角阵，则左上角的矩阵的基生成不变子空间●子空间的直和表示矩阵为分块对角阵V=V_1\oplus V_2●多项式●次数deg●定理●deg(f(x)g(x))=deg f(x)+deg g(x)●无零因子f(x)\neq 0,g(x)\neq 0\Rightarrow f(x)g(x)\neq 0●消去律f(x)\neq 0,f(x)g(x)=f(x)h(x)\Rightarrow g(x)=h(x)●常数倍不改变次数deg(cf(x))=degf(x),c\in \mathbb{K}/\{0\}●多项式的和的次数小于其中最大的次数deg(f(x)+g(x))\leqmax\{deg f(x),deg g(x)\}●整除●命题●f(x)|g(x)\Rightarrow cf(x)|g(x)●f(x)|f(x)●f(x)|g(x),g(x)|h(x)\Rightarrow f(x)|h(x)●f(x)|g(x),f(x)|h(x)\Rightarrow f(x)|g(x)u(x)+h(x)v(x)●f(x)|g(x),g(x)|f(x)\Rightarrow f(x)=cg(x)●定理●f(x)=g(x)q(x)+r(x)确定f(x),g(x)，得到唯一分解deg r(x)<deg g(x)●g(x)|f(x)\Leftrightarrow g(x)除f(x)后余式为0●最大公因式●定义●d(x)=(f(x),g(x))●d(x)|f(x),d(x)|g(x)●任一公因式h(x)|d(x)●最小公倍式●定义●m(x)=[f(x),g(x)]●f(x)|m(x),g(x)|m(x)●任一公倍式m(x)|l(x)●定理●辗转相除法d(x)=(f(x),g(x))，存在u(x),v(x)，使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x)●gck.运算可交换((f(x),g(x)),h(x))=(f(x),(g(x),h(x)))=(f(x),g(x),h(x))●同乘t(x),公因子也乘t(x)(f(x),g(x))=d(x)\Rightarrow (t(x)f(x),t(x)g(x))=t(x)d(x)●多项式乘积分解为最小公倍式与最大公因式f(x)g(x)=(f(x),g(x))[f(x),g(x)]●互素定理●f(x),g(x)互素\Leftrightarrow存在u(x),v(x),使得f(x)u(x)+g(x)v(x)=1●除以公因子后两式互素(f(x),g(x))=d(x),f(x)=f_1(x)d(x),g(x)=g_1(x)d(x)\Rightarrow(f_1(x),g_1(x))=1●与g(x)互质的多项式乘积也与g(x)互质(f_1(x),g(x))=(f_2(x)|g(x))=1\Rightarrow (f_1(x)f_2(x),g(x))=1●互素因子乘积也是因子f_1(x)|g(x),f_2(x)|g(x),(f_1(x),f_2(x))=1\Rightarrow f_1(x)f_2(x)|g(x)●(f(x),g(x))=1,f(x)|g(x)h(x)\Rightarrow f(x)|h(x)●中国剩余定理●设 \left\{f_{i}(x) \mid i=1, \cdots, n\right\} 是两两互素的多项式, a_{1}(x),\cdots, a_{n}(x) 是 n 个多项式, 则存在多项式 g(x), q_{i}(x)(i=1, \cdots,n) , 使得 g(x)=f_{i}(x) q_{i}(x)+a_{i}(x) 对一切 i 成立.●因式分解●可约多项式●定义●可分解为次数更小的两个多项式的乘积●定理●不可约多项式一定是其他多项式的因子或者互素●不可约多项式具有素性p(x)|f(x)g(x)\Rightarrow p(x)|f(x)或p(x)|g(x)●不可约多项式可整除某多项式乘积，必可整除其中一个因子●f(x)一定能分解为数域上有限个不开约多项式之积，且分解因子在相伴意义上唯一●f(x)=c p_{1}(x)^{e_{1}}p_{2}(x)^{e_{2}}\cdot\cdot\cdot p_{m}(x)^{e_{m}}p_i(x)为首一不可约多项式●f(x)没有重因式\Leftrightarrow (f(x),f'(x))=1●f(x)/d(x)没有重因式且不可约因式与f(x)相同（不计重数）d(x)=(f(x),f'(x))●多项式函数●定理●一定存在分解f(x)=(x-b)g(x)+f(b)b\in \mathbb{K},f(x),g(x)\in\mathbb{K}[x]●不可约多项式次数大于1则没有根●n次多项式最多只有n个根●不超过n次的多项式f(x)和g(x)，若有n+1个点相等，则f(x)=g(x)●复系数多项式●代数基本定理●复数域上次数大于零的多项式至少有一个复数根●推论●复数域上一元n次多项式一定有n个复根（包括重根）●复数域上不可约多项式都是一次多项式●复数域上多项式一定可分解为一次因式乘积●Vieta定理●数域上若有n个根x_i,i=1,2,\cdots,n●\sum_{i=1}^{n} x_{i}=-\frac{a_{1}}{a_{0}}●\sum_{1 \leq i<j \leq n}^{n} x_{i} x_{j}=\frac{a_{2}}{a_{0}}●\sum_{1 \leq i<j<k \leq n}^{n} x_{i} x_{j} x_{k}=-\frac{a_{3}}{a_{0}}●\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots●x_{1} x_{2} \cdots x_{n}=(-1)^{n} \frac{a_{n}}{a_{0}}●实系数多项式●定理●虚部不为0的复根成对出现●推论●实数域上的不可约多项式为一次或二次多项式●实数域上的多项式可分解为有限个一次或不可约二次因式乘积●有理系数多项式●定理●整系数多项式根为\frac{q}{p}的必要条件为q\mid a_0,p\mid a_np,q互素●整系数多项式在有理数域上可约，则可分解为两个次数较低的的整数多项式之积●Eisenstein 判别法●整系数多项式f(x)=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_{1} x+a_{0}● a_{n} \neq 0, n \geq 1, p 是一个素数.●若 p \mid a_{i}(i=0,1, \cdots, n-1) , 但 p \nmid a_{n} 且 p^{2}\nmid a_{0},●则 f(x) 在有理数域上不可约.●本原多项式●定义●各系数最大公约数为1●Gauss 引理●本原多项式之积仍是本原多项式●多元多项式●字典排列法元下标；元次数●定理●乘积首项为因子首项乘积●无零因子●消去律●非零多项式不恒为零●多元多项式相等等价于作为函数相等●对称多项式●定义●互换任意两个元位置多项式不变●初等对称多项式●\begin{aligned}&\sigma{}_{1}={{x}}_{1}+{{x}}_{2}+\cdots{{x}}_{n}=\sum_{i=1}^{n}{x}_{i},\\&\sigma_{2} =x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+\cdots+x_{n-1}x_{n}=\sum_{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}, \\& \cdots \: \cdots\\&\sigma_{n}=x_1x_2\cdots x_n. \\&\end{aligned}●定理●对称多项式基本定理对称多项式被以初等对称多项式为元的多元多项式唯一表示●Newton公式●引理●\begin{aligned}f\left(x\right)& =\quad(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)\\&=\quad x^n-\sigma_1x^{n-1}+\sigma_2x^{n-2}+\cdots+(-1)^n\sigma_n,\end{aligned}●记 s_k=x_1^k+x_2^k+\cdots+x_n^k(k\geq1);s_0=n●则 x^{k+1}f'(x)=(s_0x^k+s_1x^{k-1}+\cdots+s_k)f(x)+g(x)degg(x)<n●s_k-s_{k-1}\sigma_1+s_{k-2}\sigma_2-\cdots+(-1)^{k-1}s_1\sigma_{k-1}+(-1)^kk\sigma_k=0k\le n-1●s_k-s_{k-1}\sigma_1+s_{k-2}\sigma_2-\dots+(-1)^ns_{k-n}\sigma_n=0k\ge n●结式与判别式●公因式不为1(有公共根)的充要条件d(x)=(f(x),g(x))\neq 1\Leftrightarrow 存在f(x)u(x)=g(x)v(x)且满足deg u(x)<degg(x),deg v(x)<deg f(x)●结式/ Sylvester 行列式●定义●\begin{array}{l}f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n}\\g(x)=b_{0}x^{m}+b_{1} x^{m-1}+\cdots+b_{m} \end{array}●R(f, g)=\left|\begin{array}{ccccccccc}a_{0} & a_{1} & a_{2} & \cdots &\cdots & a_{n} & 0 & \cdots & 0 \\0 & a_{0} & a_{1} & \cdots & \cdots &a_{n-1} & a_{n} & \cdots & 0 \\0 & 0 & a_{0} & \cdots & \cdots & a_{n-2}& a_{n-1} & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots& \vdots & \vdots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & 0 & a_{0} & \cdots & \cdots &\cdots & a_{n} \\b_{0} & b_{1} & b_{2} & \cdots & \cdots & \cdots & b_{m}& \cdots & 0 \\0 & b_{0} & b_{1} & \cdots & \cdots & \cdots & b_{m-1} &b_{m} & \cdots \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots &\vdots & \vdots & \vdots \\0 & \cdots & 0 & b_{0} & b_{1} & \cdots & \cdots& \cdots & b_{m}\end{array}\right|●R(f,g)为f(x),g(x)的结式或称 Sylvester 行列式●定理●复数域上有公根\Leftrightarrow R(f,g)=0●f(x),g(x)互素\Leftrightarrow R(f,g)=0●R(f(x),g(x)(x-\lambda))=(-1)^nf(\lambda)R(f,g),R(f(x),x-\lambda)=(-1)^nf(\lambda)●R(f,g)=a_0^m b_0^n\prod\limits_{i=1}^m\prod\limits_{i=1}^n(x_i-y_j).结式的根表示，f(x)的根为x_1,x_2,\cdots,x_n,g(x)的根为y_1,y_2,\cdots,y_m●判别式●定义●判别式：\Delta(f)=(-1)^{\frac{1}{2}n(n-1)}a_0^{-1}R(f,f')f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n\quad●定理●\Delta(f)=a_0^{2n-2}\prod\limits_{1\le i<j\le n}(x_i-x_j)^2判别式的根表示●重根\Leftrightarrow \Delta(f)=0●特征值与特征向量●定义●映射●\varphi(x)=\lambda x●\lambda是线性变换\varphi的一个特征值●x是\varphi关于特征值\lambda的特征向量●矩阵●A\alpha=\lambda\alpha\Leftrightarrow (\lambda I_n-A)\alpha =0●\lambda是表示矩阵A的一个特征值●x的坐标\alpha是A关于特征值\lambda的特征向量●特征子空间V_\lambda为对应特征值的特征向量形成的不变子空间●特征多项式|\lambda I_n-A|●定理●相似矩阵有相同特征多项式●tr|A|=\lambda_1+\lambda_2+\cdots +\lambda_n●|A|=\lambda_1\lambda_2\cdots \lambda_n●任一复方阵相似于一上三角阵●f为多项式,f(A)的特征值为f(\lambda_1),f(\lambda_2),\cdots,f(\lambda_n)●g为多项式,g(A)=O\Rightarrow任一特征值满足g(\lambda)=0●A^{-1}的特征值为\lambda_1^{-1},\lambda^{-1}_2,\cdots,\lambda^{-1}_n●对角化●定理●n阶A相似于对角阵\Leftrightarrow A有n个线性无关的特征向量●n维线性空间V上的线性变换\varphi●\varphi存在对角阵的表示矩阵(可对角化)\Leftrightarrow \varphi有n个线性无关的特征向量●\varphi的k个不同特征值对应的特征子空间为直和V_1+ V_2+\cdots+ V_k=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_k●\varphi有n个不同的特征值(特征多项式没有重根)\Rightarrow可对角化●\varphi可对角化\Leftrightarrow V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots\oplus V_k●度数与重数●一个特征值的度数小于等于重数●可对角化\Leftrightarrow 有完全的特征向量系任一特征值度数等于重数●极小多项式●定义●适合矩阵A的最小次数的非零首一多项式●定理●极小多项式可整除适合A的多项式●极小多项式唯一●相似矩阵极小多项式相同●分块对角阵的极小多项式等于各块极小多项式的最小公倍式●(x-\lambda)可整除极小多项式●极小多项式和特征多项式有相同的根(不计重数)●Cayley-Hamilton 定理●f是n阶矩阵A的特征多项式●f(A)=O●特征值估计●戈式圆盘第一定理●R_i=\sum\limits_{i\neq j}|a_{ij}|复平面上，第i行去对角元的模的和●|z-a_{ii}|\leqslant R_i表示复平面上一个圆盘，每个圆盘内有一个特征值。

九年级数学知识点总结：第二章代数

九年级数学知识点总结：第二章代数式下边是小编为了帮助同学们学习数学知识而整理的九年级数学知识点总结：第二章代数式，希望能够帮助到同学们 !★ 要点★ 代数式的相关观点及性质，代数式的运算☆ 内容概要☆一、重要观点分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式。

独自的一个数或字母也是代数式。

整式和分式统称为有理式。

2.整式和分式含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法运算而且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3.单项式与多项式没有加减运算的整式叫做单项式。

(数字与字母的积包含独自的一个数或字母)几个单项式的和，叫做多项式。

说明：① 依据除式中有否字母，将整式和分式差别开 ;依据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。

②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。

区分代数式类型时，是从外形来看。

如，=x, = │等x│。

4.系数与指数差别与联系：①从地点上看 ; ②从表示的意义上看5.同类项及其归并条件：①字母同样 ; ②同样字母的指数同样归并依照：乘法分派律6.根式表示方根的代数式叫做根式。

含有对于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意：①从外形上判断 ; ②差别：、是根式，但不是无理式(是无理数 )。

7.算术 xx⑴正数 a 的正的平方根 ( [a 与平方根的差别 ]);⑵算术 xx 与绝对值①联系：都是非负数， =│ a│②差别：│ a中│， a 为一确实数 ;中， a 为非负数。

8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化化为最简二次根式此后，被开方数同样的二次根式叫做同类二次根式。

知足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式 ; ②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。

把分母中的根号划去叫做分母有理化。

9.指数⑴ (幂，乘方运算 )① a0 时，② a0 时， 0(n 是偶数 )，0(n 是奇数 )⑵零指数： =1(a0)负整指数： =1/ (a0,p 是正整数 )二、运算定律、性质、法例1.分式的加、减、乘、除、乘方、开方法例2.分式的性质⑴基天性质： = (m0)⑵ 符号法例：⑶繁分式：①定义 ; ②化简方法 (两种 )3.整式运算法例 (去括号、添括号法例 )4.幂的运算性质：① ② ③ =; ④ =; ⑤技巧：5.乘法法例：⑴单⑵单⑶ 多多。