2013年天津市高考数学试卷(理科)(有答案)(Word版)

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2013年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案

 2013年高考理科数学试题(天津卷)及参考答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么·棱柱的体积公式V =Sh ,其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么·球的体积公式 其中R 表示球的半径.)()()(B P A P A P B ⋃=+)()(()B P A A P P B =34.3V R π=一.选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则(A)(B) [1,2](C) [-2,2](D) [-2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件则目标函数z =y -2x 的最小值为 (A) -7 (B) -4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的, 则其体积缩小到原来的;②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③ (B) ①②(C) ①③(D) ②③(5) 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为, 则p =(A) 1(B)(C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中,则 =(A)(B) (C)(D)(7) 函数的零点个数为 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数. 设关于x 的不等式 的解集为A , 若,A B ⋂=(,2]-∞360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩12182212x y +=22221(0,0)x y a b a b -=>>22(0)px p y =>332,2,3,4AB BC ABC π∠===sin BAC ∠101010531010550.5()2|log |1xf x x =-()(1||)f x x a x =+()()f x a f x +<11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦则实数a 的取值范围是(A)(B) (C)(D)2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项:1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分. 二.填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = . (10)的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为, 圆心为C , 点P 的极坐标为, 则|CP | = .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, , E 为CD 的中点.若AC ·BE =1, 则AB 的长为 . (13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 取得最小值.三.解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)15,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭13,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭15,02130,2⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭52,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭4cos ρθ=4,3π⎛⎫⎪⎝⎭60BAD ︒∠=1||2||a a b +已知函数.(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆的左焦点为F , 离心率为, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若, 求k 的值.(19) (本小题满分14分)已知首项为的等比数列不是递减数列, 其前n 项和为, 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列的通项公式;2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦2622221(0)x y a b a b +=>>33433··8AC DB AD CB +=32{}n a (*)n S n ∈N {}n a(Ⅱ) 设, 求数列的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为, 证明: 当时, 有.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(天津卷)第Ⅰ卷一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.答案:D解析:解不等式|x |≤2,得-2≤x ≤2,所以A ={x |-2≤x ≤2},所以A ∩B ={x |-2≤x ≤1}.故选D. 2.答案:A解析:作约束条件360,20,30x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩所表示的可行区域,如图所示,z =y -2x 可化为y =2x +z ,z 表示直线在y 轴上的截距,截距越大z 越大,作直线l 0:y =2x ,平移l 0过点A (5,3),此时z 最小为-7,故选A.3.答案:B解析:由程序框图,得x =1时,S =1;x =2时,S =9;x =4时,S =9+64=73,结束循环输出S 的值为73,故选B. 4.答案:C*()1n n nT S n S ∈=-N {}n T 2l ()n f x x x =()t f s =()s g t =2>e t 2ln ()15ln 2g t t <<解析:设球半径为R ,缩小后半径为r ,则r =12R ,而V =34π3R ,V ′=33344114πππ33283r R R⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭,所以该球体积缩小到原来的18,故①为真命题;两组数据的平均数相等,它们的方差可能不相等,故②为假命题;圆x 2+y 2=12的圆心到直线x +y +1=0的距离d==,因为该距离等于圆的半径,所以直线与圆相切,故③为真命题.故选C.5.答案:C解析:设A 点坐标为(x 0,y 0),则由题意,得S △AOB =|x 0|·|y 0|.抛物线y 2=2px 的准线为2p x =-,所以02p x =-,代入双曲线的渐近线的方程b y xa =±,得|y 0|=2bpa .由2222,,ca abc ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得b,所以|y 0|p .所以S △AOB2p =,解得p =2或p =-2(舍去). 6. 答案:C解析:在△ABC 中,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos ∠ABC=2923+-=5,即得AC.由正弦定理sin sin AC BCABC BAC =∠∠,即3sin BAC=∠,所以sin ∠BAC.7.答案:B解析:函数f (x )=2x |log 0.5x |-1的零点也就是方程2x |log 0.5x |-1=0的根,即2x|log 0.5x |=1,整理得|log 0.5x |=12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.令g (x )=|log 0.5x |,h (x )=12x⎛⎫ ⎪⎝⎭,作g (x ),h (x )的图象如图所示.因为两个函数图象有两个交点,所以f (x )有两个零点.8. 答案:A解析:f (x )=x (1+a |x |)=22,0,,0.ax x x ax x x ⎧+≥⎨-+<⎩若不等式f (x +a )<f (x )的解集为A ,且11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A ⊆,则在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上,函数y=f(x+a)的图象应在函数y=f(x)的图象的下边.(1)当a=0时,显然不符合条件.(2)当a>0时,画出函数y=f(x)和y=f(x+a)的图象大致如图.由图可知,当a>0时,y=f(x+a)的图象在y=f(x)图象的上边,故a>0不符合条件.(3)当a<0时,画出函数y=f(x)和y=f(x+a)的图象大致如图.由图可知,若f(x+a)<f(x)的解集为A,且11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A ⊆,只需1122f a f⎛⎫⎛⎫-+<-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可,则有2211112222a a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-+<---⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(a<0),整理,得a2-a-1<0a<<.∵a<0,∴a∈⎫⎪⎪⎭.综上,可得a的取值范围是⎫⎪⎪⎭.第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.答案:1+2i解析:由(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=b i,得10,1,aa b-=⎧⎨+=⎩解方程组,得a=1,b=2,则a+b i=1+2i. 10.答案:15解析:二项展开式的通项为3662166C(1)Crrr r r rrT x x--+⎛==-⎝,3602r-=得r=4,所以二项展开式的常数项为T5=(-1)446C=15.11.答案:解析:由圆的极坐标方程为ρ=4cos θ,得圆心C的直角坐标为(2,0),点P的直角坐标为(2,),所以|CP|=12.答案:1 2解析:如图所示,在平行四边形ABCD 中,AC =AB +AD ,BE =BC +CE =12-AB +AD .所以AC ·BE =(AB +AD )·12AB AD ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=12-|AB |2+|AD |2+12AB ·AD =12-|AB |2+14|AB |+1=1,解方程得|AB |=12(舍去|AB |=0),所以线段AB 的长为12.13.答案:83解析:∵AE 为圆的切线,∴由切割线定理,得AE 2=EB ·ED . 又AE =6,BD =5,可解得EB =4. ∵∠EAB 为弦切角,且AB =AC , ∴∠EAB =∠ACB =∠ABC . ∴EA ∥BC .又BD ∥AC ,∴四边形EBCA 为平行四边形. ∴BC =AE =6,AC =EB =4. 由BD ∥AC ,得△ACF ∽△DBF ,∴45CF AC BF BD ==. 又CF +BF =BC =6,∴CF =83.14.答案:-2解析:因为a +b =2,所以1=1||22||a b a a b +⋅+=||||22||4||4||a ba ab a a b a a b ++=++≥+14||4||a a a a +=,当a >0时,5+1=4||4a a ,1||52||4a a b +≥; 当a <0时,3+1=4||4a a ,1||32||4a a b +≥,当且仅当b =2|a |时等号成立. 因为b >0,所以原式取最小值时b =-2a .又a +b =2,所以a =-2时,原式取得最小值.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.解:(1)f (x )=sin 2x·ππcossin 44x ⋅+3sin 2x -cos 2x=2sin 2x-2cos 2x=π24x⎛⎫-⎪⎝⎭.所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f(x)在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数,在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.又f(0)=-2,3π8f⎛⎫=⎪⎝⎭,π22f⎛⎫=⎪⎝⎭,故函数f(x)在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为,最小值为-2. 16.解:(1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A,则P(A)=1322252547C C+C C6C7=.所以,取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=1)=3347C1C35=, P(X=2)=3447C4C35=, P(X=3)=3547C2C7=, P(X=4)=3647C4C7=.所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望EX=1×135+2×435+3×27+4×47=175.17.解:(方法一)(1)证明:如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),B(0,0,2),C(1,0,1),B1(0,2,2),C1(1,2,1),E(0,1,0).易得11B C=(1,0,-1),CE=(-1,1,-1),于是11B C·CE=0,所以B1C1⊥CE.(2)1B C=(1,-2,-1).设平面B1CE的法向量m=(x,y,z),则10,0,B CCE⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩mm即20,0.x y zx y z--=⎧⎨-+-=⎩消去x,得y+2z=0,不妨令z=1,可得一个法向量为m=(-3,-2,1).由(1),B1C1⊥CE,又CC1⊥B1C1,可得B1C 1⊥平面CEC 1,故11B C=(1,0,-1)为平面CEC1的一个法向量.于是cos〈m,11B C〉=1111||||14B CB C⋅==⋅mm,从而sin 〈m ,11B C.所以二面角B 1-CE -C 1.(3)AE =(0,1,0),1EC =(1,1,1).设EM =λ1EC =(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有AM =AE +EM =(λ,λ+1,λ).可取AB =(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量. 设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角,则sin θ=|cos 〈AM ,AB 〉|=AM ABAM AB⋅⋅=.=,解得13λ=,所以AM . (方法二)(1)证明:因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1,B 1C 1⊂平面A1B 1C 1D 1, 所以CC1⊥B 1C 1.经计算可得B 1E B 1C 1,EC 1, 从而B 1E 2=22111B C EC +, 所以在△B 1EC 1中,B 1C 1⊥C 1E ,又CC 1,C 1E ⊂平面CC 1E ,CC 1∩C 1E =C 1, 所以B 1C 1⊥平面CC 1E ,又CE ⊂平面CC 1E ,故B 1C 1⊥CE .(2)过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ,连接C 1G .由(1),B 1C 1⊥CE ,故CE ⊥平面B 1C 1G ,得CE ⊥C 1G , 所以∠B 1GC 1为二面角B 1-CE -C 1的平面角.在△CC 1E 中,由CE =C 1E ,CC 1=2,可得C 1G.在Rt △B 1C 1G 中,B 1G , 所以sin ∠B 1GC 1,即二面角B 1-CE -C 1.(3)连接D 1E ,过点M作MH ⊥ED 1于点H ,可得MH ⊥平面ADD 1A 1,连接AH ,AM ,则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角.设AM =x ,从而在Rt △AHM 中,有MHx ,AHx .在Rt △C 1D 1E 中,C 1D 1=1,ED 1,得EH13x =. 在△AEH 中,∠AEH =135°,AE =1,由AH 2=AE 2+EH 2-2AE ·EHcos 135°,得221711189x x x =++,整理得5x 2--6=0,解得x.所以线段AM.18.解:(1)设F (-c,0),由c a=a =.过点F 且与x 轴垂直的直线为x =-c ,代入椭圆方程有2222()1c y a b -+=,解得y ==,解得b =, 又a 2-c 2=b 2,从而ac =1, 所以椭圆的方程为22=132x y +.(2)设点C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),由F (-1,0)得直线CD 的方程为y =k (x +1), 由方程组221,132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,整理得(2+3k 2)x 2+6k 2x +3k 2-6=0.求解可得x 1+x 2=22623k k -+,x 1x 2=223623k k -+.因为A (3-,0),B (3,0),所以AC ·DB +AD ·CB=(x 1y 1-x 2,-y 2)+(x 2y 2x 1,-y 1)=6-2x 1x 2-2y 1y 2=6-2x 1x 2-2k 2(x 1+1)(x 2+1)=6-(2+2k 2)x 1x 2-2k 2(x 1+x 2)-2k 2=22212623k k +++. 由已知得22212623k k +++=8,解得k =. 19.解:(1)设等比数列{a n }的公比为q ,因为S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列,所以S 5+a 5-S 3-a 3=S 4+a 4-S 5-a 5,即4a 5=a 3,于是25314a q a ==. 又{a n }不是递减数列且132a =,所以12q =-. 故等比数列{a n }的通项公式为11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=-⋅ ⎪⎝⎭. (2)由(1)得11,121121,.2n n n n n S n ⎧⎫+⎪⎪⎪⎛⎫=--=⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎪⎪⎩⎭为奇数,为偶数 当n 为奇数时,S n 随n 的增大而减小,所以1<S n ≤S 1=32, 故11113250236n n S S S S <-≤-=-=. 当n 为偶数时,S n 随n 的增大而增大,所以34=S 2≤S n <1, 故221134704312n n S S S S >-≥-=-=-. 综上,对于n ∈N *,总有715126n n S S -≤-≤. 所以数列{T n }最大项的值为56,最小项的值为712-. 20.解:(1)函数f (x )的定义域为(0,+∞).f ′(x )=2x ln x +x =x (2ln x +1),令f ′(x )=0,得x =当x- +所以函数f (x )的单调递减区间是⎛ ⎝,单调递增区间是⎫+∞⎪⎭. (2)证明:当0<x ≤1时,f (x )≤0.设t >0,令h (x )=f (x )-t ,x ∈[1,+∞).由(1)知,h (x )在区间(1,+∞)内单调递增.h (1)=-t <0,h (e t )=e 2t ln e t -t =t (e 2t -1)>0.故存在唯一的s ∈(1,+∞),使得t =f (s )成立.(3)证明:因为s =g (t ),由(2)知,t =f (s ),且s >1,从而2ln ()ln ln ln ln ln ()ln(ln )2ln ln(ln )2ln g t s s s u t f s s s s s u u ====++,其中u=ln s.要使2ln()15ln2g tt<<成立,只需0ln2uu<<.当t>e2时,若s=g(t)≤e,则由f(s)的单调性,有t=f(s)≤f(e)=e2,矛盾.所以s>e,即u>1,从而ln u>0成立.另一方面,令F(u)=ln2uu-,u>1.F′(u)=112u-,令F′(u)=0,得u=2.当1<u<2时,F′(u)>0;当u>2时,F′(u)<0. 故对u>1,F(u)≤F(2)<0.因此ln2uu<成立.综上,当t>e2时,有2ln()15ln2g tt<<.祝福语祝你考试成功!。

2013年高考数学理(天津卷)WORD版有答案

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ,其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一.选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [-2,2] (D) [-2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z =y -2x 的最小值为(A) -7 (B) -4(C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题:的18; ③直线x + y + 1 = 0与圆2x 其中真命题的序号是:(A) ①②③(C) ②③ (5) 已知双曲线2222x y a b-=(0)p>的准线分别交于为坐标原点. 若双曲线的离心率为2,△AOB则p =(B) 32 (C) 2(D) 3(6) ,3,4AB BC π=则sin BAC ∠ = (B) (C) (D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A)⎫⎪⎪⎝⎭(B)⎫⎪⎪⎝⎭(C)⎛⋃⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D)⎛-⎝⎭∞2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项:1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二.填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = . (10) 6x⎛ ⎝的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点.若·1AD BE =, 则AB 的长为 . (13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB= AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三.解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2,E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 3, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ的通项公式;(Ⅱ*), 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。

2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)

2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ,其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一.选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [-2,2] (D) [-2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y-2x 的最小值为(A) -7(B) -4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为, 则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = (A) 10 (B) 10 (C) 310 (D) 5 (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +<的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) 15,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 13,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(C) 15,0130,⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭ (D) 5,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪ 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项:1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二.填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x x ⎛- ⎪⎝⎭的二项展开式中的常数项为. (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =, 则AB 的长为.(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为.(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三.解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分) 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 离心率为3, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。

2013年高考理科数学天津卷(含答案解析)

2013年高考理科数学天津卷(含答案解析)

)(A B P A=棱柱的体积公式S表示棱柱的底面面积A B=]2,2C.1D.2x的值为1,()B.73D.585()B.①②D.②③22(0)px py=>的准线分别2,AOB△,则p=()C.2D.33,则sin BAC∠=C.10D.5C.3D.4的不等式()()f x a f x+<的解集为A.若()A.B.C.13(0,+D.(-∞第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知a,b∈R,i是虚数单位.若(i)(1i)ia b++=,则ia b+=.10.6(x的二项展开式中的常数项为.11.已知圆的极坐标方程为4cosρθ=,圆心为C,点P的极坐标为π(4,)3,||CP=.12.在平行四边形ABCD中,1AD=,60BAD︒∠=,E为CD的中点.若1AC BE=,则AB的长为.13.如图,ABC△为圆的内接三角形,BD为圆的弦,且BD AC∥.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E,AD与BC交于点F.若AB AC=,6AE=,5BD=,则线段CF的长为.14.设2a b+=,0b>,则当a=时,1||2||aa b+取得最小值.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分),过点F 且与x 轴垂直的直(Ⅱ)设A 、B 分别为椭圆的左、k 的直线与椭圆交于C ,D 两若8AC DB AD CB +=,求k n 项和为(*)n S n ∈N ,且33S a +,.20.(本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)证明:对任意的0t >,存在唯一的s ,使()t f s =;(Ⅲ)设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =,证明:当2e t >时,有2ln ()15ln 2g t t <<.{AB x =∈R A ,然后根据交集的定义求出AB 即min 3257Z =-⨯=-.π3R ,故体积缩小到原来的18,命题1,3,5,等于圆3,5和3,3,12的圆心到直y =.而AOB 的面积13=322pp ,可得【提示】求出双曲线的渐进方程和抛物线的准线方程,进而求出双曲线的离心率为2可得cos BA BC ABC ∠,于是由正弦AC ABC∠,于是BAC ∠的值. 7.【答案】B【解析】令0.5()2|log |10xf x x =-=,可得0.51|log |2x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.设0.5()|log |g x x =,1()2xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在同一坐标系下分别画出函数()g x ,()h x 的图象,可以发现两个函数图象一定有2个交点,因此函数()f x 有2个零点.【提示】函数的零点转化为两个函数图像的交点个数,作出函数的图象即可判断. 【考点】函数的图象,函数零点的判断 8.【答案】A【解析】11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,()(0)f a f ∴<,(1||)0a a a ∴+<,解得10a -<<,可排除C ,又1122f a f ⎛⎫⎛⎫-+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111112222a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-++-+<-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,115224a a a a ⎛⎫∴-+-+<- ⎪⎝⎭10a -<<,115224a a ⎛⎫∴-+-+>- ⎪⎝⎭21524a ⎛⎫∴--+>- ⎪⎝⎭,21524a ⎛⎫∴-+<⎪⎝⎭,0a <<.排除B ,D ,应选A .【提示】由题目可知11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦,将0x =带入()()f x a f x +<可得()(0)f a f <,解得10a -<<;将12x =-代入()()f x a f x +<0a <<.【考点】解含参的一元二次不等式第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】12i +【解析】由(i)(1i)i a b ++=可得(1)(1)i i a a b -++=,因此10a -=,1a b +=,解得1a =,2【解析】用AB ,AD 表示AC 与BE ,然后进行向量的数量积运算由已知得AC AD AB =+,12BE BC CE AD AB =+=-,∴221122AC BE AD AB AD AB AD AB =-+-2211111||1||||cos60||12222AB AD AB AB AD AB ︒+-=+-=,12AB =.EAB C ∠=∠,所AEBC 是平行四边EB ED ,于是5),所以4EB =(负值舍又因为AFC △∽△456CF CF =-,解得83CF =. 是平行四边形,利用圆的切割线定理求出EB ,通过三角形相||4||b a a b++,由于0b >,||1|a b =,因此当1||2||a a b+的最小值是的最小值是-1||2||a a b +的最小值为34,||4||b a a b++,由于0b >,||1|a b =,由a 的值.三、解答题 15.【答案】(Ⅰ)2ππ2T == (Ⅱ)()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2-【解析】(Ⅰ)ππ()2cossin 3sin 2cos244f x x x x x =+-, π2sin 22cos224x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭,故()f x 的最小正周期2ππ2T ==;(Ⅱ)因为()f x 在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,并且(0)2f =-,3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,π22f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,故()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2-. 【提示】(Ⅰ)利用两角和的正弦公式将πsin 24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开,结合二倍角的正余弦公式化简合并,得()2sin 22cos2f x x x =-,再利用辅助角公式化简得π()24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,最后利用正弦函数的周期公式即可算出()f x 的最小正周期;(Ⅱ)由()f x 在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,可得()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【考点】三角函数的周期性和最值 16.【答案】(Ⅰ)67(Ⅱ)175EX =【解析】(Ⅰ)记“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A ,则13222525476()7C C C C P A C +==,故所求概率为67; (Ⅱ)X 的所有可能取值为1,2,3,4. 33471(1)35C P X C ===,34474(2)35C P X C ===,35472(3)7C P X C ===,36474(4)7C P X C ===,(1,0,1),1(0,2,2)B1(1,2,1)C,.(Ⅰ)易得(1,0,B C=,(1,1,CE=-,故1B C CE=,因此11B C CE⊥;(Ⅱ)(1,2,1)B C=--,设(,,)n x y z=CE的法向量,则1n B Cn CE⎧=⎪⎨=⎪⎩,20y zy z-=+-=可得平面B的一个法向量()3,2,1n=--;,知11(1,0,B C=的一个法向量.1111,14|n B Cn B Cn B C<>==|21,n B C<>=角的正弦值为217;(Ⅲ)(0,1,0)AE=,(1,1,1)EC=,设(,EM ECλλλ==则(,AM AE EMλλ=+=取(0,0,2)AB=ADD Aθ11所成的角,||,|||||3AM ABAM ABAM AB<>==26=,解得13λ=(负值舍去)AB,AA1两两互相垂直,以A为坐标原点建立空间直角坐标系,标出点的坐标后,求出B C和,由11B C CE=得到11B C CE⊥;E和C1的坐标及待求系数表示,求出平面AM与平面11ADD A所成角的长可求.=.2222()1c ya b-+=,.22=132x y+.得直线CD的方程为(1)y k x=+,22223)6360k x k x k++-=,.所以AC DB AD CB+11222211()(3,)(3,)(3,)x y x y x y x y=+--++--1212622x x y y=--21212622(1)(1)x x k x x=--++22212126(22)2()2k x x k x x k=-+-+-22212623kk+=++.由已知得222126823kk++=+,解得k=【提示】,可求出a,b,c的关系,根据椭圆的一般方程,令x c=-代入求出弦长等于3,进而得到椭圆方程;(Ⅱ)设点11(,)C x y,22(,)D x y,直线CD的方程为(1)y k x=+,由221132y k xx y=(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y得2222(23)6360k x k x k+++-=,再由韦达定理进行求解,求得AC DB AD CB+,利用8AC DB AD CB+=,即可求得k的值.【考点】椭圆的定义与简单几何性质,直线与椭圆的位置关系19.【答案】(Ⅰ)13(1)2nn na-=-(Ⅱ){}nT的最大项为56,最小项为712-【解析】(Ⅰ)设{}na的公比为q,因为33S a+,55S a+,44S a+成等差数列.所以55334455S a S a S a S a+--=+--,即534a a=,故25314aqa==.又{}n a不是递减数列,且132a=,故12q=-,故等比数列{na}的通项公式为11313(1)222nnn na--⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭,(Ⅱ)由(Ⅰ)得12()11212()n nn nnSn--⎧+⎪⎛⎫=--=⎨⎪-⎝⎭⎪⎩为奇数为偶数,当n为奇数时,n S随n的增大而减小,故1312nS S<≤=,故111156nnS SS S<-≤-=;当n为偶数时,n S随n的增大而增大,故2314nS S=≤<,故2211712nnS SS S>-≥-=-.0)>,令()0f x '=得x =,由(1)t x -≥,由(Ⅰ)知,()h x 的的单调性可得1u >,从而ln 0u >。

2013年高考真题——理科数学(天津卷)Word版

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ,其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一.选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [-2,2] (D) [-2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y-2x 的最小值为(A) -7(B) -4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞ 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项:1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二.填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x ⎛ ⎝ 的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE = , 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三.解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =. (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。

2013年高考真题——理科数学(天津卷)Word版含答案

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ,其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一.选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [-2,2] (D) [-2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z =y -2x 的最小值为(A) -7 (B) -4(C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞ 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项:1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二.填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x ⎛ ⎝的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点.若·1AD BE = , 则AB 的长为 . (13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB =AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三.解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ,其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一.选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [-2,2] (D) [-2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y-2x 的最小值为(A) -7(B) -4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = (A) 10 (B) 10 (C) 310 (D) 5 (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) 15,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 13,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(C) 15,0130,⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭ (D) 5,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪ 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项:1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二.填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x x ⎛- ⎪⎝⎭ 的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE =u u u r u u u r , 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三.解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为26, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分) 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 离心率为3, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=u u u r u u u r u u u r u u u r , 求k 的值.(19) (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。

2013年高考真题——理科数学(天津卷)Word版含答案

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ,其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一.选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [-2,2] (D) [-2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y-2x 的最小值为(A) -7(B) -4 (C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭ (B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭ (D) ⎛- ⎝⎭∞ 2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项:1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二.填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = . (10) 6x⎛ ⎝ 的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = . (12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE = , 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三.解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.高考资源网( )您身边的高考专家 版权所有@高考资源网 2013高考真题- 11 -。

2013年全国高考数学理科试卷天津卷(word版)

2013年全国高考数学理科试卷天津卷(word版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页。

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ,其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高。

·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一.选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A ) (,2]-∞ (B ) [1,2] (C) [-2,2] (D) [-2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y -2x 的最小值为(A ) -7 (B ) -4(C ) 1 (D ) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B ) 73(C ) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A ) ①②③(B ) ①② (C ) ②③ (D ) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点。

2013年全国高考数学理科试卷天津卷(word版)

2013年全国高考数学理科试卷天津卷(word版)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号。

2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ,其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高。

·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一.选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A)(,2]-∞ (B) [1,2] (C ) [-2,2] (D) [-2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z= y -2x 的最小值为(A ) -7 (B ) -4(C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B ) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等; ③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切。

2013年 数学高考 天津 理(详细答案)

2013年 数学高考 天津 理(详细答案)

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(天津卷)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分. 参考公式: ·如果事件A ,B 互斥,那么P (A ∪B )=P (A )+P (B ). ·如果事件A ,B 相互独立,那么P (AB )=P (A )P (B ). ·棱柱的体积公式V =Sh .其中S 表示棱柱的底面面积,h 表示棱柱的高.·球的体积公式V =34π3R .其中R 表示球的半径. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013天津,理1)已知集合A ={x ∈R ||x |≤2},B ={x ∈R |x ≤1},则A ∩B =( ). A .(-∞,2] B .[1,2] C .[-2,2] D .[-2,1] 答案:D 解析:解不等式|x |≤2,得-2≤x ≤2,所以A ={x |-2≤x ≤2},所以A ∩B ={x |-2≤x ≤1}.故选D.2.(2013天津,理2)设变量x ,y 满足约束条件360,20,30,x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩则目标函数z =y -2x 的最小值为( ).A .-7B .-4C .1D .2 答案:A解析:作约束条件360,20,30x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-≤⎩所表示的可行区域,如图所示,z =y -2x 可化为y =2x+z ,z 表示直线在y 轴上的截距,截距越大z 越大,作直线l 0:y =2x ,平移l 0过点A (5,3),此时z 最小为-7,故选A.3.(2013天津,理3)阅读下边的程序框图,运行相应的程序.若输入x的值为1,则输出S的值为().A.64 B.73C.512 D.585答案:B解析:由程序框图,得x=1时,S=1;x=2时,S=9;x=4时,S=9+64=73,结束循环输出S的值为73,故选B.4.(2013天津,理4)已知下列三个命题:①若一个球的半径缩小到原来的12,则其体积缩小到原来的18;②若两组数据的平均数相等,则它们的标准差也相等;③直线x+y+1=0与圆x2+y2=12相切,其中真命题的序号是().A.①②③B.①②C.①③D.②③答案:C解析:设球半径为R,缩小后半径为r,则r=12R,而V=34π3R,V′=33344114πππ33283r R R ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭,所以该球体积缩小到原来的18,故①为真命题;两组数据的平均数相等,它们的方差可能不相等,故②为假命题;圆x 2+y 2=12的圆心到直线x +y +1=0的距离d2=,因为该距离等于圆的半径,所以直线与圆相切,故③为真命题.故选C.5.(2013天津,理5)已知双曲线2222=1x y a b-(a >0,b >0)的两条渐近线与抛物线y 2=2px (p>0)的准线分别交于A ,B 两点,O 为坐标原点.若双曲线的离心率为2,△AOB则p =( ).A .1B .32C .2D .3 答案:C解析:设A 点坐标为(x 0,y 0),则由题意,得S △AOB =|x 0|·|y 0|抛物线y 2=2px 的准线为2p x =-,所以02p x =-,代入双曲线的渐近线的方程b y x a =±,得|y 0|=2bp a.由2222,,ca abc ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得b,所以|y 0|=p .所以S △AOB2p =,解得p =2或p =-2(舍去).6.(2013天津,理6)在△ABC 中,∠ABC =π4,ABBC =3,则sin ∠BAC =( ). A.10 B.5C.10D.5答案:C解析:在△ABC 中,由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos ∠ABC=29232+-⨯=5,即得AC由正弦定理sin sin AC BCABC BAC=∠∠,即3sin BAC =∠,所以sin ∠BAC=10. 7.(2013天津,理7)函数f (x )=2x |log 0.5x |-1的零点个数为( ). A .1 B .2 C .3 D .4 答案:B解析:函数f (x )=2x |log 0.5x |-1的零点也就是方程2x |log 0.5x |-1=0的根,即2x |log 0.5x |=1,整理得|log 0.5x |=12x⎛⎫ ⎪⎝⎭.令g (x )=|log 0.5x |,h (x )=12x⎛⎫⎪⎝⎭,作g (x ),h (x )的图象如图所示.因为两个函数图象有两个交点,所以f (x )有两个零点.8.(2013天津,理8)已知函数f (x )=x (1+a |x |).设关于x 的不等式f (x +a )<f (x )的解集为A .若⎣⎡⎦⎤-12,12⊆A ,则实数a 的取值范围是( ).A .12⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭ B .12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C .⎫⎛⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭D .⎛-∞ ⎝⎭答案:A解析:f (x )=x (1+a |x |)=22,0,,0.ax x x ax x x ⎧+≥⎨-+<⎩ 若不等式f (x +a )<f (x )的解集为A ,且11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A ⊆,则在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上,函数y =f (x +a )的图象应在函数y =f (x )的图象的下边.(1)当a =0时,显然不符合条件.(2)当a >0时,画出函数y =f (x )和y =f (x +a )的图象大致如图.由图可知,当a >0时,y =f (x +a )的图象在y =f (x )图象的上边,故a >0不符合条件. (3)当a <0时,画出函数y =f (x )和y =f (x +a )的图象大致如图.由图可知,若f (x +a )<f (x )的解集为A ,且11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦A ⊆, 只需1122f a f ⎛⎫⎛⎫-+<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可, 则有2211112222a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-+<--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(a <0),整理,得a 2-a -1<0a <<.∵a <0,∴a ∈12⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭.综上,可得a 的取值范围是12⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭. 第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 2.本卷共12小题,共110分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.(2013天津,理9)已知a ,b ∈R ,i 是虚数单位.若(a +i)·(1+i)=b i ,则a +b i =__________. 答案:1+2i解析:由(a +i)(1+i)=a -1+(a +1)i =b i ,得10,1,a ab -=⎧⎨+=⎩解方程组,得a =1,b =2,则a+b i =1+2i.10.(2013天津,理10)6x⎛- ⎝的二项展开式中的常数项为__________.答案:15解析:二项展开式的通项为3662166C (1)C rr r r r r r T x x --+⎛==- ⎝,3602r -=得r =4,所以二项展开式的常数项为T 5=(-1)446C =15.11.(2013天津,理11)已知圆的极坐标方程为ρ=4cos θ,圆心为C ,点P 的极坐标为π4,3⎛⎫ ⎪⎝⎭,则|CP |=__________.答案:解析:由圆的极坐标方程为ρ=4cos θ,得圆心C 的直角坐标为(2,0),点P 的直角坐标为(2,,所以|CP |=12.(2013天津,理12)在平行四边形ABCD 中,AD =1,∠BAD =60°,E 为CD 的中点.若AC ·BE =1,则AB 的长为__________.答案:12解析:如图所示,在平行四边形ABCD 中,AC =AB +AD ,BE =BC +CE =12-AB+AD.所以AC ·BE =(AB +AD )·12AB AD ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=12-|AB |2+|AD |2+12AB ·AD =12-|AB |2+14|AB |+1=1,解方程得|AB |=12(舍去|AB |=0),所以线段AB 的长为12. 13.(2013天津,理13)如图,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且BD ∥AC .过点A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E ,AD 与BC 交于点F .若AB =AC ,AE =6,BD =5,则线段CF 的长为__________.答案:83解析:∵AE 为圆的切线,∴由切割线定理,得AE 2=EB ·ED . 又AE =6,BD =5,可解得EB =4. ∵∠EAB 为弦切角,且AB =AC , ∴∠EAB =∠ACB =∠ABC . ∴EA ∥BC .又BD ∥AC ,∴四边形EBCA 为平行四边形. ∴BC =AE =6,AC =EB =4.由BD ∥AC ,得△ACF ∽△DBF , ∴45CF AC BF BD ==. 又CF +BF =BC =6,∴CF =83. 14.(2013天津,理14)设a +b =2,b >0,则当a =__________时,1||2||a a b+取得最小值.答案:-2解析:因为a +b =2,所以1=1||22||a b a a b +⋅+=||||22||4||4||a ba ab a a b a a b++=++≥+14||4||a a a a +=,当a>0时,5+1=4||4aa,1||52||4aa b+≥;当a<0时,3+1=4||4aa,1||32||4aa b+≥,当且仅当b=2|a|时等号成立.因为b>0,所以原式取最小值时b=-2a.又a+b=2,所以a=-2时,原式取得最小值.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(2013天津,理15)(本小题满分13分)已知函数f(x)=π24x⎛⎫+⎪⎝⎭+6sin x cos x-2cos2x+1,x∈R.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.解:(1)f(x)=x·ππcos sin44x⋅+3sin 2x-cos 2x=2sin 2x-2cos 2x=π24x⎛⎫-⎪⎝⎭.所以,f(x)的最小正周期T=2π2=π.(2)因为f(x)在区间3π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数,在区间3ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数.又f(0)=-2,3π8f⎛⎫=⎪⎝⎭,π22f⎛⎫=⎪⎝⎭,故函数f(x)在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为 2.16.(2013天津,理16)(本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率;(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和数学期望.解:(1)设“取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片”为事件A,则P(A)=1322252547C C+C C6C7=.所以,取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=1)=3347C1C35=,P(X=2)=3447C4C35=,P(X=3)=3547C2C7=,P(X=4)=3647C4C7=.所以随机变量X随机变量X 的数学期望EX =1×35+2×35+3×7+4×47=175.17.(2013天津,理17)(本小题满分13分)如图,四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,侧棱A1A⊥底面ABCD ,AB ∥DC ,AB ⊥AD ,AD =CD =1,AA 1=AB =2,E 为棱AA 1的中点.(1)证明B 1C 1⊥CE ;(2)求二面角B 1-CE -C 1的正弦值;(3)设点M 在线段C 1E 上,且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为6,求线段AM 的长.解:(方法一) (1)证明:如图,以点A 为原点建立空间直角坐标系,依题意得A (0,0,0),B (0,0,2),C (1,0,1),B 1(0,2,2),C 1(1,2,1),E (0,1,0).易得11B C =(1,0,-1),CE =(-1,1,-1),于是11B C ·CE=0, 所以B 1C 1⊥CE .(2)1B C=(1,-2,-1).设平面B 1CE 的法向量m =(x ,y ,z ),则10,0,B C CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 即20,0.x y z x y z --=⎧⎨-+-=⎩消去x ,得y +2z =0,不妨令z =1,可得一个法向量为m =(-3,-2,1). 由(1),B 1C 1⊥CE ,又CC 1⊥B 1C 1,可得B 1C 1⊥平面CEC 1,故11B C=(1,0,-1)为平面CEC 1的一个法向量.于是cos 〈m ,11B C〉=11117||||B C B C ⋅==-⋅m m ,从而sin 〈m ,11B C〉=7.所以二面角B 1-CE -C 1的正弦值为7.(3)AE=(0,1,0),1EC =(1,1,1).设EM =λ1EC =(λ,λ,λ),0≤λ≤1,有AM =AE +EM=(λ,λ+1,λ).可取AB=(0,0,2)为平面ADD 1A 1的一个法向量.设θ为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角,则sin θ=|cos 〈AM ,AB〉|=AM AB AM AB⋅⋅==.6=,解得13λ=, 所以AM.(方法二)(1)证明:因为侧棱CC 1⊥底面A 1B 1C 1D 1,B 1C 1⊂平面A 1B 1C 1D 1, 所以CC 1⊥B 1C 1.经计算可得B 1EB 1C 1EC 1从而B 1E 2=22111B C EC +,所以在△B 1EC 1中,B 1C 1⊥C 1E ,又CC 1,C 1E ⊂平面CC 1E ,CC 1∩C 1E =C 1, 所以B 1C 1⊥平面CC 1E ,又CE ⊂平面CC 1E ,故B 1C 1⊥CE .(2)过B 1作B 1G ⊥CE 于点G ,连接C 1G .由(1),B 1C 1⊥CE ,故CE ⊥平面B 1C 1G ,得CE ⊥C 1G , 所以∠B 1GC 1为二面角B 1-CE -C 1的平面角.在△CC 1E 中,由CE =C 1ECC 1=2,可得C 1G. 在Rt △B 1C 1G 中,B 1G=3, 所以sin ∠B 1GC 1=7, 即二面角B 1-CE -C 1的正弦值为7. (3)连接D 1E ,过点M 作MH ⊥ED 1于点H ,可得MH ⊥平面ADD 1A 1,连接AH ,AM ,则∠MAH 为直线AM 与平面ADD 1A 1所成的角.设AM =x ,从而在Rt △AHM 中,有MH=6x ,AH=6x . 在Rt △C 1D 1E 中,C 1D 1=1,ED 1,得EH13x =.在△AEH 中,∠AEH =135°,AE =1, 由AH 2=AE 2+EH 2-2AE ·EH cos 135°,得2217111893x x x =++, 整理得5x 2--6=0,解得x所以线段AM.18.(2013天津,理18)(本小题满分13分)设椭圆2222=1x y a b+(a >b >0)的左焦点为F ,离,过点F 且与x(1)求椭圆的方程;(2)设A ,B 分别为椭圆的左、右顶点,过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ,D 两点.若AC ·DB +AD ·CB=8,求k 的值. 解:(1)设F (-c,0),由3c a =,知a =.过点F 且与x 轴垂直的直线为x =-c ,代入椭圆方程有2222()1c y a b -+=,解得y =±=,解得b =,又a 2-c 2=b 2,从而a c =1,所以椭圆的方程为22=132x y +. (2)设点C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),由F (-1,0)得直线CD 的方程为y =k (x +1),由方程组221,132y k x x y =(+)⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ,整理得(2+3k 2)x 2+6k 2x +3k 2-6=0.求解可得x 1+x 2=226k -,x 1x 2=223623k k -+.因为A (0),B 0),所以AC ·+AD ·CB=(x 1,y 1x 2,-y2)+(x 2y 2x 1,-y 1)=6-2x 1x 2-2y 1y 2=6-2x 1x 2-2k 2(x 1+1)(x 2+1) =6-(2+2k 2)x 1x 2-2k 2(x 1+x 2)-2k 2=22212623k k +++.由已知得22212623k k+++=8,解得k =19.(2013天津,理19)(本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{a n }不是..递减数列,其前n 项和为S n (n ∈N *),且S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设T n =1n nS S -(n ∈N *),求数列{T n }的最大项的值与最小项的值. 解:(1)设等比数列{a n }的公比为q ,因为S 3+a 3,S 5+a 5,S 4+a 4成等差数列, 所以S 5+a 5-S 3-a 3=S 4+a 4-S 5-a 5,即4a 5=a 3,于是25314a q a ==. 又{a n }不是递减数列且132a =,所以12q =-.故等比数列{a n }的通项公式为11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=-⋅ ⎪⎝⎭. (2)由(1)得11,121121,.2nn n n n S n ⎧⎫+⎪⎪⎪⎛⎫=--=⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎪⎪⎩⎭为奇数,为偶数当n 为奇数时,S n 随n 的增大而减小,所以1<S n ≤S 1=32, 故11113250236n n S S S S <-≤-=-=. 当n 为偶数时,S n 随n 的增大而增大,所以34=S 2≤S n <1, 故221134704312n n S S S S >-≥-=-=-. 综上,对于n ∈N *,总有715126n n S S -≤-≤. 所以数列{T n }最大项的值为56,最小项的值为712-.20.(2013天津,理20)(本小题满分14分)已知函数f (x )=x 2ln x .(1)求函数f (x )的单调区间;(2)证明:对任意的t >0,存在唯一的s ,使t =f (s );(3)设(2)中所确定的s 关于t 的函数为s =g (t ),证明:当t >e 2时,有2ln ()15ln 2g t t <<. 解:(1)函数f (x )的定义域为(0,+∞). f ′(x )=2x ln x +x =x (2ln x +1),令f ′(x )=0,得x =当x所以函数f (x )的单调递减区间是⎛ ⎝,单调递增区间是⎫+∞⎪⎭.(2)证明:当0<x ≤1时,f (x )≤0.设t >0,令h (x )=f (x )-t ,x ∈[1,+∞). 由(1)知,h (x )在区间(1,+∞)内单调递增. h (1)=-t <0,h (e t )=e 2t ln e t -t =t (e 2t -1)>0. 故存在唯一的s ∈(1,+∞),使得t =f (s )成立.(3)证明:因为s =g (t ),由(2)知,t =f (s ),且s >1,从而2ln ()ln ln ln ln ln ()ln(ln )2ln ln(ln )2ln g t s s s ut f s s s s s u u====++, 其中u =ln s . 要使2ln ()15ln 2g t t <<成立,只需0ln 2u u <<. 当t >e 2时,若s =g (t )≤e ,则由f (s )的单调性,有t =f (s )≤f (e)=e 2,矛盾. 所以s >e ,即u >1,从而ln u >0成立. 另一方面,令F (u )=ln 2u u -,u >1.F ′(u )=112u -,令F ′(u )=0,得u =2. 当1<u <2时,F ′(u )>0;当u >2时,F ′(u )<0.故对u >1,F (u )≤F (2)<0. 因此ln 2uu <成立. 综上,当t >e 2时,有2ln ()15ln 2g t t <<.。

2013年高考真题——理科数学(天津卷)Word版含答案

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ,其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B =·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一.选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [-2,2] (D) [-2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z =y -2x 的最小值为(A) -7 (B) -4(C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1 (B) 32(C) 2 (D) 3 (6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D) (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎭(B) ⎫⎪⎪⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎪⎭ (D) ⎛- ⎝∞2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项:1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二.填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = . (10) 6x⎛ ⎝ 的二项展开式中的常数项为 .(11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 则|CP | = .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE = , 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC ,AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b +取得最小值.三.解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。

2013年天津高考数学理试题(含答案)

2013年天津高考数学理试题(含答案)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ,其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B = ·球的体积公式34.3V R π=其中R 表示球的半径.一.选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [-2,2] (D) [-2,1] (2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y-2x 的最小值为 (A) -7 (B) -4(C) 1(D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是: (A) ①②③ (B) ①② (C) ②③(D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A ,B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB则p =(A) 1(B)32(C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,3,4AB BC ABC π∠==则sin BAC ∠ =(A)(B)(C)(D)(7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) ⎫⎪⎪⎝⎭(B) ⎫⎪⎪⎝⎭(C) ⎛⋃ ⎝⎫⎪⎝⎭⎪⎭(D) ⎛- ⎝⎭∞2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项:1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二.填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x ⎛⎝的二项展开式中的常数项为 .(11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫⎪⎝⎭, 则|CP | = .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AD BE = , 则AB 的长为 . (13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三.解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)已知函数2()26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=++- ⎪+⎝⎭∈R .(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同).(Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , , 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截.(Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB += , 求k 的值.(19) (本小题满分14分) 已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分) 已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.。

【VIP专享】2013年高考天津数学理科试题及答案(全word版)

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②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;
③直线 x + y + 1 = 0 与圆 x2 y2 1 相切. 2
其中真命题的序号是:
(A) ①②③
5.已知双曲线
x2 a2
y2 b2
(B) ①②
1(a
0, b
2
0)
O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 2, △AOB 的面积为 3 , 则 p =
10.
x
x
1 6
11.已知圆的极坐标方程为
的二项展开式中的常数项为
4cos
3
,
,
中, AD = 1, BAD 60 , E 为 CD 的中点. 若 AD·BE 1, 则 AB 的长为
y2
8
2 px( p
(D) [-2,1]
(D) 585 (D) ②③
(D) 3
0) 的准线分别交于
A,
B 两点,
(A) 10 10
7. 函数 f (x) 2x | log0.5 x | 1 的零点个数为
(A) 1
8.已知函数 f (x) x(1 a | x |) .
a 的取值范围是
(A)
1 2
5
, 0
(B) 10 5
(B) 2
(B)
二.填空题: 本大题共 6 小题, 每小题 5 分, 共 30 分.
(C) 3 10 10
(C) 3
设关于 x 的不等式 f (x a) f (x)
1 2
9.已知 a, b∈R, i 是虚数单位. 若(a + i)(1 + i) = bi, 则 a + bi =
2013 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 理科数学

(推荐)2013年天津市高考数学试卷(理科)及答案(Word版)

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.参考公式:·如果事件A , B 互斥, 那么)()()(B P A P A P B ⋃=+·棱柱的体积公式V =Sh ,其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.·如果事件A , B 相互独立, 那么)()(()B P A A P P B = ·球的体积公式34.3V R π= 其中R 表示球的半径.一.选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂=(A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [-2,2] (D) [-2,1](2) 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z= y -2x 的最小值为(A) -7 (B) -4(C) 1 (D) 2(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S 的值为(A) 64 (B) 73(C) 512 (D) 585(4) 已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的12, 则其体积缩小到原来的18; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;③直线x + y + 1 = 0与圆2212x y +=相切. 其中真命题的序号是:(A) ①②③(B) ①② (C) ②③ (D) ②③(5) 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p =(A) 1 (B) 32 (C) 2 (D) 3(6) 在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠ = (A) 10 (B) 10 (C) 310 (D) 5 (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦, 则实数a 的取值范围是(A) 15,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 13,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭(C) 15,0130,⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭(D) 5,1⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭∞⎪2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理 科 数 学第Ⅱ卷注意事项:1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共12小题, 共110分.二.填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = .(10) 6x x ⎛- ⎪⎝⎭ 的二项展开式中的常数项为 . (11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭, 则|CP | = .(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点.若·1AD BE =, 则AB 的长为 .(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB =AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||2||a a b+取得最小值.三.解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.(15) (本小题满分13分)已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛⎫=-++- ⎪+⎝⎭∈R . (Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.(16) (本小题满分13分)一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.(17) (本小题满分13分)如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD ,AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦值为2, 求线段AM 的长.(18) (本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F , 离心率为3, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为43. (Ⅰ) 求椭圆的方程;(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若··8AC DB AD CB +=, 求k 的值.(19) (本小题满分14分)已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.(20) (本小题满分14分)已知函数2l ()n f x x x =.(Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =. (Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有2ln ()15ln 2g t t <<.(注:文档可能无法思考全面,请浏览后下载,供参考。

2013年高考真题——理科数学(天津卷)Word版含答案

2013年高考真题——理科数学(天津卷)Word版含答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理 科 数 学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.
答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项:
1. 每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选凃其他答案标号.
2. 本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.
参考公式:
·如果事件A , B 互斥, 那么
)()()(B P A P A P B ⋃=+
·棱柱的体积公式V =Sh ,
其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱
柱的高.
·如果事件A , B 相互独立, 那么
)()(()B P A A P P B =
·球的体积公式34.3
V R π= 其中R 表示球的半径.。

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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 共150分. 考试用时120分钟. 第Ⅰ卷1至2页, 第Ⅱ卷3至5页.
答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并在规定位置粘贴考试用条形码. 答卷时, 考生务必将答案凃写在答题卡上, 答在试卷上的无效. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项:
1.每小题选出答案后, 用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选
凃其他答案标号.
2.本卷共8小题, 每小题5分, 共40分.
参考公式:
·如果事件A , B 互斥, 那么 )()()(B P A P A P B ⋃=+ ·棱柱的体积公式V =Sh ,
其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高. ·如果事件A , B 相互独立, 那么 )()(()B P A A P P B =
·球的体积公式34
.3
V R π=
其中R 表示球的半径.
一.选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ⋂= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [-2,2] (D) [-2,1] (2) 设变量x , y 满足约束条件360,
20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪
⎨⎪⎩
则目标函数z = y
-2x 的最小值
为 (A) -7 (B) -4 (C) 1 (D) 2
(3) 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 若输入x 的值为1, 则输出S
的值为
(A) 64 (B) 73 (C) 512 (D) 585 (4) 已知下列三个命题:
①若一个球的半径缩小到原来的
12, 则其体积缩小到原来的18
; ②若两组数据的平均数相等, 则它们的标准差也相等;
③直线x + y + 1 = 0与圆221
2
x y +=相切.
其中真命题的序号是: (A) ①②③ (B) ①② (C) ②③ (D) ②③
(5) 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点, O
为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 的面积为3, 则p =
(A) 1 (B) 3
2
(C) 2 (D) 3
(6) 在△ABC 中, ,2,3,4
AB BC ABC π
∠===则sin BAC ∠ =
(A)
10 (B) 10 (C)
310
(D)
5 (7) 函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 (A) 1 (B) 2
(C) 3 (D) 4
(8) 已知函数()(1||)f x x a x =+. 设关于x 的不等式()()f x a f x +< 的解集为A , 若11,22A ⎡⎤
-⊆⎢⎥⎣⎦
, 则实数a
的取值范围是
(A) 15,0⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 13,0⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
(C) 15,0130,⎛⎫+⋃⎛ ⎪ ⎪⎝⎫- ⎪ ⎝⎭⎪⎭ (D) 5,1⎛⎫
-- ⎪ ⎝⎭
∞⎪
2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
理 科 数 学
第Ⅱ卷
注意事项:
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2. 本卷共12小题, 共110分.
二.填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.
(9) 已知a , b ∈R , i 是虚数单位. 若(a + i )(1 + i ) = bi , 则a + bi = . (10) 6
x x ⎛
- ⎪⎝
⎭ 的二项展开式中的常数项为 .
(11) 已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C , 点P 的极坐标为4,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
, 则|CP | = .
(12) 在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若
·1AD BE =, 则AB 的长为 .
(13) 如图, △ABC 为圆的内接三角形, BD 为圆的弦, 且BD //AC . 过点A 做圆的切线与DB 的延长线交于点E , AD 与BC 交于点F . 若AB = AC , AE = 6, BD = 5, 则线段CF 的长为 .
(14) 设a + b = 2, b >0, 则当a = 时, 1||
2||a a b
+
取得最小值.
三.解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. (15) (本小题满分13分)
已知函数2()2sin 26sin cos 2cos 41,f x x x x x x π⎛
⎫=-++- ⎪+⎝
⎭∈R .
(Ⅰ) 求f (x )的最小正周期;
(Ⅱ) 求f (x )在区间0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
(16) (本小题满分13分)
一个盒子里装有7张卡片, 其中有红色卡片4张, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色卡片3张, 编号分别为2, 3, 4. 从盒子中任取4张卡片 (假设取到任何一张卡片的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4张卡片中, 含有编号为3的卡片的概率.
(Ⅱ) 再取出的4张卡片中, 红色卡片编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列和数学期望.
(17) (本小题满分13分)
如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD , AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.
(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;
(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.
(Ⅲ) 设点M 在线段C 1E 上, 且直线AM 与平面ADD 1A 1所成角的正弦
值为2, 求线段AM 的长.
(18) (本小题满分13分)
设椭圆22221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F , 离心率为3
, 过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长
为43.
(Ⅰ) 求椭圆的方程;
(Ⅱ) 设A , B 分别为椭圆的左右顶点, 过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C , D 两点. 若·
·8AC DB AD CB +=, 求k 的值.
(19) (本小题满分14分)
已知首项为3
2
的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.
(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ) 设*()1
n n n
T S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.
(20) (本小题满分14分) 已知函数2l ()n f x x x =. (Ⅰ) 求函数f (x )的单调区间;
(Ⅱ) 证明: 对任意的t >0, 存在唯一的s , 使()t f s =.
(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =, 证明: 当2>e t 时, 有
2ln ()15ln 2
g t t <<.
- 5 - 2013高考真题。

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