人教版-初二-八上3 、勾股定理蚂蚁怎么走最近

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蚂蚁怎么走最近

蚂蚁怎样走最近素材内容：八年级上册第一章《勾股定理》第3课第1课时《蚂蚁怎样走近》P22～P23知识与技能：探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题．教育功能：学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念．前后联系：前----七年级上册第一章《丰富的图形世界》的《展开与折叠》，八年级上册第一章《勾股定理》计算与证明；后----八年级上册第四章《四边形性质的探索》。

素材分析：在教学活动中，首先通过设计具体有趣的问题情境，引起学生的学习数学的兴趣，经历一般规律的探索过程。

在将实际问题抽象成几何图形过程中提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想，体验数学学习的实用性．教学设计：一、创设情境，激发学习情趣．（学生观察、猜想）如图：在一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于12厘米，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 点相对的食物在B 点处的食物，沿圆柱侧面从A 处爬向B 处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？(π取3)二、小组合作，探究规律学生分为４人活动小组，合作探究蚂蚁爬行的最短路线，充分讨论后，汇总各小组的方案，在全班范围内讨论每种方案的路线计算方法，通过具体计算，总结出最短路线。

学生汇总了四种方案：（1）（2）（3）（4）学生很容易算出：情形（1）中A →B 的路线长为(设直径为d)：AC +d ，情形（2）中A →B 的路线长为：AC +2d π C C’ C ’ C ’所以情形(1)的路线比情形（4）要短．学生在情形（3）和（4）的比较中出现困难，但还是有学生提出用剪刀沿母线AA ’剪开圆柱得到矩形，前三种情形A →B 是折线，而情形（4）是线段，故根据两点之间线段最短可判断（4）最短．如图：（1）中A →B 的路线长为：AC ’+d ;（2）中A →B 的路线长为：AC +CB >AB ;（3）中A →B 的路线长为：AM +MB >AB ;（4）中A →B 的路线长为：AB .三、总结规律，归纳算法让学生发现：沿圆柱体母线剪开后展开得到矩形，研究“蚂蚁怎么走最近”就是研究两点连线最短问题，引导学生体会利用数学解决实际问题的方法：建立数学模型，构图，计算．得出结论：利用展开图中两点之间，线段最短解决问题．在这个环节中，可让学生沿母线剪开圆柱体，具体观察．接下来后提问：怎样计算AB ？在Rt △ACB 中，利用勾股定理可得222AC CB AB +=，已知圆柱体高为12cm ，底面半径为3cm ，π取3，则22212(33),15AB AB =+⨯∴=.M B C A。

北师大版数学八年级上册3《蚂蚁怎样走最近》教案3

北师大版数学八年级上册3《蚂蚁怎样走最近》教案3一. 教材分析《蚂蚁怎样走最近》是人教版初中数学八年级上册的一章内容，主要介绍蚂蚁的行走方式以及如何计算蚂蚁走的最近距离。

这一章节是在学生学习了平面几何的基础知识之后进行的，对学生进一步理解几何图形的性质和计算方法有重要的意义。

二. 学情分析学生在学习这一章节之前，已经掌握了平面几何的基础知识，如点、线、面的基本性质和运算方法，对几何图形有一定的理解。

但是，对于蚂蚁的行走方式和计算最近距离的方法可能比较陌生，需要通过实例和操作来理解和掌握。

三. 教学目标1.让学生理解蚂蚁的行走方式，并能够运用到实际问题中。

2.让学生掌握计算蚂蚁走的最近距离的方法。

3.培养学生的空间想象能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.蚂蚁的行走方式的的理解和应用。

2.计算蚂蚁走的最近距离的方法的掌握。

五. 教学方法1.实例教学法：通过具体的例子，让学生理解和掌握蚂蚁的行走方式和计算最近距离的方法。

2.问题驱动法：通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和解决问题的能力。

3.小组合作学习法：让学生分组讨论和解决问题，培养学生的团队合作能力和沟通能力。

六. 教学准备1.PPT课件：制作相关的PPT课件，用于展示实例和讲解知识点。

2.教学素材：准备相关的实例和问题，用于引导学生思考和探索。

3.教学工具：准备白板和板书笔，用于板书和讲解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件展示蚂蚁的行走方式，引导学生关注蚂蚁的行走特点，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）呈现实例，让学生观察和分析蚂蚁行走的路径，引导学生思考如何计算蚂蚁走的最近距离。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论和解决问题，教师巡回指导，引导学生运用蚂蚁的行走方式来计算最近距离。

4.巩固（10分钟）让学生回答问题，检验学生对蚂蚁行走方式和计算最近距离方法的掌握程度。

5.拓展（10分钟）提出更深层次的问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和解决问题的能力。

《蚂蚁怎么走最近》

《蚂蚁怎么走最近》八年级上册第一章第三节说课稿辽宁省调兵山市第三中学张秀《蚂蚁怎么走最近》八年级上册第一章第三节说课稿一、教材分析本教学内容的主题是勾股定理及其逆定理的应用示例。

编者安排的三个问题，层次分明，目标明确，既能促使学生自主探求和理性思考，能营造出与同伴交流讨论的环境。

其内容与“丰富的图形世界”中“展开与折叠”的知识相互联系，前后呼应；其构思独具匠心，把“两点之间线段最短”与勾股定理巧妙结合，综合应用；其思想方法非常重要，是把三维空间问题转化为二维空间问题来解决。

总之，这是一个怎样分析问题和解决问题的典型范例。

题目：蚂蚁从图1中的点A“走”到点B，可沿点A的内侧曲面走，也可沿它的外侧曲面走。

两个方面都有无数条路径，且各有一条最短路线，分别设为S内和S外。

S内与S外中的最短者，才是所有路径中的最短者。

由于一个长方形绕它的一条对称轴所在直线旋转一周，就形成了圆柱，所以每一个圆柱的轴截面都把它的侧面分割成相同的两部分。

当然过A点的轴截面也不例外。

当点A和点B不在同一母线上，且在轴截面与侧面的不同的交线上，特别是处于图1的标注位置时，S内＝S外都是最短者。

否则，对圆柱侧面被过点A的轴截面分割的内半曲面和外半曲面而言，若A、B两点都落在内半曲面时，则S内最短；若A、B两点都落在外半曲面时，则S外最短。

在平面上，有“两点之间线段最短”的结论。

由于圆柱侧面可以展开为矩形所以，圆柱侧面两点的最短路线问题可以归结为平面问题来解决。

对于特殊情形下的图1，可沿过点A的母线“剪开”，把圆柱侧面展开成图2所示的矩形。

此时，点A与点A′是圆柱侧面展开前的同一点。

由图6，被画出的S内和S外就是圆柱侧面展开图上连接A、B与A′、B的两条线段。

对于一般情形而言，圆柱侧面上的A、B两点位置，可如图3、图4和图5所示，它们的展开图分别是图6、图7和图8，其最短路线就在各展开图中AB与A′B中的最短者。

显然，对于图6至图8中的最短路线都是线段A′B。

八年级数学1.3蚂蚁怎样走最近

初中数学八年级（上）1.3蚂蚁怎样走最近枣庄市实验学校张玮课型：新授课一、教学目标1.进一步掌握勾股定理及直角三角形判别条件.2．在经历二、三维图形的转化过程中，引导学生将空间想像、动手操作和思考相结合．3．能用勾股定理及逆定理解决一些简单的实际问题．4．激发学生强烈的求知欲，使学生享受运用数学思想解决生活问题的成功体验。

重点：应用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题．教学难点：从实际问题中合理抽象出数学模型。

二、教法、学法分析根据课堂学习内容的特点，本节课主要采用“激趣教学、引导启发”教学方法。

自由、民主、和谐的气氛可以使人的智慧得到最充分的发挥，因此在教学中教师所起的作用不再是一味“传授”，而是巧妙地创设问题情境，用丰富的充满激情的语言激励、引导学生发现、探索并解决问题，在学生思维受阻时给予适当指导．在合理选择教法的同时，注重对学生学法的指导．本节课的教学中主要指导学生使用“自主探究、合作学习”两种学法。

转化平面图形、确定最短路线、设计合理测量方案等都是学生在课堂中自主推理得出的，学生经历了知识的发生、发展、形成的全过程，从而变被动接受为主动探究．教学中鼓励学生积极合作，充分交流，发扬团队精神，促使学生学习方式的改变，帮助学生在学习活动中获得最大成功。

三、教学过程四、教学反思1.学生对知识的形成需要一个过程，甚至是几次的反复，本节课知识容量大，如果仅仅将解题过程投放在屏幕上，学生根本来不及思考，所以在教学中板书必不可少，它既能给学生的思维增添时间和空间，又可以规范学生解题的格式。

2.本节课是通过选择具有现实性的素材，从学生熟悉的校园活动引入的，在例题、习题的设计上注意趣味性、一致性，增强学生学习的兴趣，体验解题成功体验的喜悦。

勾股定理数学活动课《蚂蚁怎么走最近》

勾股定理数学活动课：《蚂蚁怎么走最近》南宁市第二十六中学邓伟光一、本课地位作用本节课的内容是勾股定理的应用，既可以让学生加深对勾股定理的理解，又可以让学生体会到勾股定理的应用价值。

同时把立体图形问题转化为平面图形问题进行研究的方法，为高中进一步学习立体几何奠定了一定的基础。

因此，本节内容具有承前启后的重要地位。

其次，把蚂蚁在圆柱侧面上怎么走最近的实际问题，抽象、转化为平面内两点间的最短路径问题，比较充分地体现了数学的转化思想，并有助于发展学生的数学建模能力。

同时，通过立体图形展开与折叠的过程，进一步发展了学生的空间观念．二、学情分析1.学生已学习了勾股定理及直角三角形的判别方法和初一已经学习了“丰富的图形世界”中“展开与折叠”的知识。

2.八年级学生已初步具有对数学问题合作、探究的意识和能力。

三、教学目标1.学会运用勾股定理计算解决长方体、圆柱等常见几何体上的最短路径问题；2.通过对长方体表面、圆柱体侧面的展开与折叠，发展学生的空间观念，体会数学的转化思想；3.在运用勾股定理解决实际问题的过程中，体会勾股定理的应用价值，培养数学建模能力。

四、教学重难点1.重点：运用勾股定理解决长方体、圆柱体等常见几何体上的最短路径问题。

2.难点：如何将立体图形上的最短路径问题转化为平面上两点之间的距离问题，从而实现把空间关系转化为线性计算。

五、教法学法分析本节课采用“探究——发现”的教学模式进行教学，以有趣的情景引出问题，用问题串引导学生自主探究，发现解决问题的方法，并为学生搭建参与和交流的平台。

学生在教师的引导下，通过动手操作，自主探究，交流展示等活动，获得本节课的知识与方法。

六、教具准备多媒体课件、圆柱体、长方体、直尺、剪刀等．七、教学过程（一）情景引入：在生物界中蚂蚁有一种神奇的天性——总能选择最短路线去获取食物，似乎很擅长于数学中的几何学．设计意图：激发学生对课题的好奇心，让学生充满探究的欲望．如图，在一个长40厘米，宽30厘米的长方形的盒子顶部，在点A 处有一只蚂蚁，它想吃到点B 处的食物，该如何爬行最短呢？最短路径是多少？（线段公理、勾股定理）设计意图：让学生体会知识点间的联系与发展，同时也为在立体图形上探究最短路径做好铺垫．（二）合作探究探究1——圆柱体表面最短路径问题如图，有一个圆柱体盒子放在地面上，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．蚂蚁在圆柱的表面爬行，从点A 爬到点B 获取食物的最短路程是多少？（π的值取3）请同学们充分发挥你的想象力，同时也要考虑我们学过的知识来解决。

蚂蚁怎么走最近的距离

1、能运用勾
股定理及勾股
如下图，台阶A处的蚂蚁要从楼梯平
定理的逆定理，
解决简单的实面爬到B处搬运食物，最近距离是
。
际问题。
20
B
2、能在实际
3
问题中构造直
2
角三角形，在
解决实际问题
的过程中，体
验立体图形展
A
开成平面图形解：易知，底面长为3×3=9，高为
时，对应的点， 2×3=6，宽为20，所以
2、能在实际短的路程是多少？
问题中构造直角三角形，在
B
B
解决实际问题的过程中，体
上
B
验立体图形展开成平面图形时，对应的点，
线的位置关系，A
前右
前
A
从中培养空
A
间观念。
学习目标Bຫໍສະໝຸດ 1、能运用勾股定理及勾股
定理的逆定理，
解决简单的实
际问题。
A
C
2、能在实际
问题中构造直
角三角形，在解决实际问题的过程中，体
线的位置关系，
从中培养空
A B(69)2220 622 55
间观念。、故，最近距离是25。
学习目标
小结交流：
1、能运用勾
股定理及勾股定理的逆定理，
通过本节课的学习，你有
解决简单的实哪些收获呢？请与伙伴交流。
际问题。
2、能在实际问题中构造直
实际问题
立体图形
角三角形，在解决实际问题
勾
展
的过程中，体
解:如图所示在Rt△ABC中,
利用勾股定理可得，
验立体图形展开成平面图形时，对应的点，
AB 2 =AC2+BC2

八年级数学上册《勾股定理-蚂蚁怎样走得近》学案新人教版

蚂蚁怎样走最近【学习重点】探索、发现问题中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决实际问题。

【自学感知】解决下列问题：1、自己做一个圆柱，在圆柱的上下底面上分别标出两点，思考并找出这两点之间的最短路线？画出图形说明。

2、求圆柱下底面圆上一点到上底面圆上一点之间的距离时，需将展开，转化为求平面上两点之间的。

3、如图所示，如果只给你一把带刻度的直尺，你能否检验∠MPN 是不是直角，简述你的作法。

【自学探究与合作交流】【自学1】1、有一个圆柱它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米。

在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，他想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（参看P.22页图1—18） ⑴利用学具，尝试从A 点到B 点沿圆柱侧面画出几条线路，你觉得那条线路最短？由问题⑵及图1—19想一想，此问题是通过怎样的转换得以化简的。

【合作1】立体图形中的两点之间的最短距离（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A 点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗?（3）蚂蚁从A 点出发，想吃到B 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？解：依题意，把圆柱的侧面展成如图所示的长方形，求最短路线问题就变成了根据求三角形边的问题。

【自学2】2、一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm 、8cm 、ABAB12cm ，一只蚂蚁想从盒底的A 点爬到盒顶的B 点，你能12cm8cm8cmBA帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？ ⑴在你的学具上画出几条线路，你认为将长方体侧面展开有几种方式？反思：此问题是将立体的线路问题先为平面的线路问题，再利用所学数学常识解决问题。

【课堂练习】应用勾股定理及直角三角形的判定解决简单的实际问题1、做一做：课本P23. 【今日作业】1、如图，一座城墙高11.7米，墙外有一个宽为9米的护城河，那么一个长为15米的云梯能否到达墙的顶端？【巩固练习】2、如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒最长应有多长？2、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？图1。

蚂蚁怎样走最近？学案

5AAAAA课题：1.3蚁怎么走最近？学案学科：数学课型：新授课授课周次：三周【教学目标】探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题．【课前练习】1、如图,64、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A 所代表的正方形面积是。

2．如图，直角三角形中未知边的长度x = 。

3．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是( )A. 1.5,2,3;B. 7,24,25;C. 6,8,10;D. 9,12,15 4. 圆柱的侧面展开图是___________________形. 5、圆周长公式____________________ 【知识点一】：(一) 、出示投影（课本 P22 图1一18）研究蚂蚁怎么走最近:1、自己做一个圆柱,尝试从点A 到B 点沿圆柱的侧面画出几条路线,猜一猜哪条线路最短.2.将圆柱的侧面从A 处剪开展开成一个长方形,画出图来?3. 解决曲面上两点最短路线问题的方法是化为_________________________. 【练习一】：1、若已知圆柱体高为12cm ，底面半径为3cm ，π取3，求AB 的最短距离。

2、有一个圆柱形茶杯的高为9厘米,底面周长为24厘米（π取3）,茶杯下底的 A 点有一蚂蚁,它要吃到上底面与点A 相对的B 点处的食物,它需要爬行的最短路程是多少?A【知识点二】：李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD 边和BC 边是否分别垂直于底边AB ，但他随身只带了卷尺，你能替他想办法完成任务吗？（1）判定一个三角形是R t △的方法：①________________②___________________ （2）、李叔叔量得AD 长是30厘米，AB 长是40厘米，BD 长是50厘米， AD 边垂直于AB 边吗？为什么？（3）、小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD 边是否垂直于AB 边吗？BC 边与AB 边呢？【练习二】：1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，某日早晨8：00甲先出发，他以6km/h 的速度向正东行走，1小时后乙出发，他以5km/h 的速度向正北行走．上午10：00，甲、乙两人相距多远？解：6．如图，矩形的面积是多少？解：7．一个高为1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为 0.5米，问这根铁棒有多长？解：＊8、长为10厘米的正方体的一个顶点A 处有一只蚂蚁，现要向顶点B 处爬行，问蚂蚁从A 爬到B 的最短路程是多少？解：AB8。

1.3勾股定理的应用-《蚂蚁怎样走最近》教案

1.3勾股定理的应用-《蚂蚁怎样走最近》教案
一、教学内容
《蚂蚁怎样走最近》为七年级数学1.3勾股定理的应用部分。教学内容主要包括以下三个方面：
1.勾股定理的理解：回顾勾股定理的概念及证明方法，使学生深刻理解直角三角形两条直角边与斜边之间的关系。
2.勾股定理在实际问题中的应用：以蚂蚁走最近路线为例，让学生学会将实际问题转化为数学模型，运用勾股定理求解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解勾股定理的基本概念。勾股定理描述的是直角三角形两条直角边与斜边之间的数量关系。它是数学中非常重要的定理，广泛应用于建筑、工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例——《蚂蚁怎样走最近》。这个案例展示了勾股定理在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决最短路径问题。
在今后的教学中，我会继续改进教学方法，例如：
1.加强与生活的联系，让学生在学习中感受到数学的实用价值；
2.创设更多的问题情境，培养学生的批判性思维和问题解决能力；
3.注重学生的个体差异，因材施教，提高他们的自信心和自主学习能力；
4.加强课堂互动，鼓励学生提问，营造良好的学习氛围。
-如何在复杂情境中识别直角三角形，并确定哪两边是直角边，哪一边是斜边。
-解决问题的灵活性：难点在于培养学生的灵活思维，能够根据问题情境选择合适的解决方法，具体包括：
-面对不同的实际问题，能够灵活选择和应用勾股定理；
-在解决问题的过程中，能够考虑到多种可能性，并选择最优解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
-勾股定理的定义及其表达式的记忆与理解；
-直角三角形三条边的关系，特别是斜边与两条直角边的关系；
-通过具体实例，如《蚂蚁怎样走最近》，让学生掌握如何将实际问题转化为直角三角形模型，并应用勾股定理求解。

蚂蚁怎样走最近 (题型全面)

B
B
A
◆在长30cm、宽50 cm、高40 cm的木箱中，如果在箱内的A处有一只昆虫，它要在箱壁上爬行到B处，至少要爬多远？
.B
C
40
.A
50 30
D
.B
40
.A
C
30 50
B
40
A C
D
30
D
50
80 40 8000 图①
2 2
C
40
50
.B
B
50
. A
C
30
D
2
C
40
30 90 9000 A 30
B
A
以小组为单位, 研究蚂蚁爬行的最短路线
A
B
A’
d
B
A’
B
A
A
蚂蚁A→B的路线
O
B B
A
A
怎样计算AB？
A’ r O B A’ B
h
侧面展开图
A
A
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
AB 2 AA2 A' B 2
其中AA’是圆柱体的高,A’B是底面圆周长的一半(π r)
若已知圆柱体高为12cm，底面半径为3cm，π取3，则:
2
D
图②
C
40
30
.B
B
30
.A
D
C 50
C
40
D 50 70 7400
2 2
50
A
图③
小结：
把几何体适当展开成平面图形，再利用“两点之间线段最短”，或点到直线“垂线段最短”等性质来解决问题。
解：AC = 6 – 1 = 5 ， BC = 24 × 1 = 12， 2

勾股定理的应用蚂蚁路径最短问题

勾股定理的应用蚂蚁路径最短问题1. 引言嘿，大家好！今天咱们来聊聊一个有趣又实用的话题，那就是勾股定理和蚂蚁的最短路径问题。

听起来可能有点儿复杂，但其实这就像是咱们日常生活中的那些小烦恼——你在找东西的时候，总是希望能走最短的路，是吧？所以，咱们先来看看勾股定理是个什么玩意儿。

1.1 勾股定理简介首先，勾股定理可不是老古董，它可是几千年来数学界的经典！简单来说，它告诉我们在一个直角三角形里，直角两边的平方和等于斜边的平方。

用公式表达就是：a² + b² = c²，其中a和b是直角边，c是斜边。

你想，假如你是一只蚂蚁，正在两棵树之间穿梭，勾股定理就能帮你找到最省力的路径。

1.2 蚂蚁的烦恼说到蚂蚁，它们可是小小的工作狂。

想象一下，蚂蚁小明今天有任务，它得从一块糖走到它的家。

可是，路上有许多障碍，有时候是个大石头，有时候是小水坑，真是难搞。

小明希望能找到一条最短的路径，既能省时又能省力，这时候，勾股定理就派上用场了。

谁不想走得快点儿呢？2. 应用场景2.1 实际问题中的应用假设咱们有两棵树，它们之间的距离是一个直角三角形的直角边。

小明想直接往家走，但前面有个石头挡住了路。

通过勾股定理，他可以算出如果绕过去，究竟要走多远。

比如，直角边长是3米和4米，按照勾股定理算一算，斜边就是5米。

这说明如果小明选择直接走，节省的可不仅仅是时间，还有力气呢！2.2 找到最优路径想象一下，小明的朋友小红也是一只勤劳的蚂蚁。

她从另一棵树出发，也想回家。

小红可聪明了，直接用勾股定理计算出最短路径，这样她就能比小明早到家，甚至还有时间享受一下美味的糖果。

这时，咱们就能发现，应用勾股定理不仅能帮蚂蚁找到最短路径，还能让它们在生活中游刃有余。

3. 结尾3.1 数学的美数学在生活中其实无处不在，勾股定理就像是那位默默无闻的好帮手，让我们在复杂的环境中找到简单的解决方案。

无论是蚂蚁还是人类，都希望在生活中省时省力。

对“蚂蚁怎样走最近”的教学思考

探索·解题教学主持人：李闯E-mail:lichuangde520@对“蚂蚁怎样走最近”的教学思考文︳张永平“蚂蚁怎样走最近”是北师大版数学教材八年级上册“勾股定理的应用”这一内容的练习题，其目的是培养学生运用勾股定理解决实际问题的能力，学会把简单的空间图形转化为平面图形来解决。

教材提出了下面的问题（如图1所示）。

图1这个问题求的是蚂蚁沿侧面爬行的最短路程，所以只需要考虑蚂蚁沿前侧面和沿后侧面爬行的最短路程，然后进行比较就能得出答案。

沿AC 剪开展成长方形（如图2），由于两点之间线段最短，所以只要分别计算出A B 与A 1B 的长度再进行比较即得最短路程。

因为A D =A 1D =18÷2=9（cm ），BD =12cm，由勾股定理得AB =A 1B =A D 2+BD 2√=92+122√=15（cm）。

故蚂蚁沿侧面爬行的最短路程是15cm。

图2上面的解题思路学生很容易理解，但也容易形成一个错觉：求蚂蚁爬行的最短路程，就是把立体图形展开成平面图形，再由勾股定理求两点之间线段的长度。

这个结论只适合蚂蚁沿侧面爬行的情况，如果把问题中的侧面改成表面，仍然用上面的解法，就很可能得出错误的答案。

比如，把题中圆柱的高改成2cm，侧面改成表面，其他条件不变，求蚂蚁爬行的最短路程。

通过分析我们可以发现，若蚂蚁沿侧面爬行，则A B =A D 2+BD 2√=92+22√=85√≈9.22（cm）；若蚂蚁沿圆柱的点A →点C →点B 的路径爬行，则A C+BC =2+18π≈2+5.73=7.73（cm）。

显然蚂蚁爬行的最短路程是7.73cm。

根据上面的分析，教学“蚂蚁怎样走最近”时我有下面几点思考。

1.充分利用教材例题渗透分类讨论的数学思想，培养学生思维的全面性。

教师先引导学生思考蚂蚁沿侧面爬行的各种路径，掌握教材中解决问题的方法，然后提出蚂蚁沿表面爬行的问题让学生思考并解答，最后总结：要求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路程，只要分别计算出沿圆柱侧面爬行和沿圆柱的点A →点C →点B 爬行的路径长度再比较即可。

勾股定理的应用——蚂蚁怎样走最近

勾股定理的应用——蚂蚁怎样走最近教学目标：知识目标：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）解决简单的实际问题。

教学重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。

教学难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。

教学过程：一、蚂蚁怎样走最近：学生分组，测量、画图、计算、总结规律一、操作猜想：1、如图，蚂蚁在边长为10cm的正方体A处嗅到了放置在正方体的B处位置上的面包，蚂蚁沿着正方体表面怎样的路线行走才能很快地吃到面包？蚂蚁行走的最短路线长是多少？AC2、如图,长方体的高为12cm,底面是边长为8cm的正方形.这只蚂蚁从顶点A出发,沿长方体表面到达顶点C,蚂蚁走的路程最短为多少厘米？3、如图, 长方体的长、宽、高分别为7cm、5cm、10cm. 这只蚂蚁从顶点A出发,沿长方体表面到达顶点C,蚂蚁走的路程最短为多少厘米？AC4、如图在一个底面半径为4cm,高为18cm的圆柱表面，一只在A处的蚂蚁嗅到了放置在的B 处位置上的面包，于是它想从 A 处爬向B处，想一想，蚂蚁怎么走最近？(取3) （1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论）（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗?（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果）我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开(如下图).我们不难发现，刚才几位同学的走法：(1)A→A′→B；(2)A→B′→B；(3)A→D→B；(4)A—→B.哪条路线是最短呢？你画对了吗？第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.二、归纳总结1、正方体2、底面为正方形的长方体3、长宽高不同的长方体4、圆柱体三、练习反馈：1、如图，点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心．一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行，所走的最短路程是______________2、如图，正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从M点沿正方体的表面爬到D1点，蚂蚁爬行的最短距离是______________3、有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为_____________4、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点 C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是___________5、如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为___________6、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_________cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要_____．7、如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（π=3），在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程大约_____cm四、小结：这节课我们利用勾股定理和它的逆定理解决了生活中的几个实际问题。

《蚂蚁怎样走最近》教学实录

《蚂蚁怎样走最近》教学实录设计理念《蚂蚁怎样走最近》是八年级数学上册第一章《勾股定理》的第三节，是在前两节(1.勾股定理 2.能得到直角三角形吗)的基础上，以现实生活中的有趣问题为背景来展开学习的。

主要是用“勾股定理及直角三角形的判别条件”来解决生活中简单的实际问题。

为了实现《标准》所提出的课程目标，使每个学生都能够在数学学习过程中获得最适合自己的发展，为了体现人人都能获得必需的数学的基本理念，本节以生活中的有趣问题为切入点，再经历师生共同解决生活中的实际问题的过程，使学生感受到数学无处不在，数学就在我们身边，数学来源于生活，又反过来解决生活中的实际问题。

学生在观察、探索、发现、归纳、总结的学习过程中，学会学习、学会与人团结合作、学会与人交流，建立符合个体认识特点的知识结构。

教学目的1.在具体、有趣的问题情境中，进一步理解勾股定理及直角三角形的判别条件，经历解决一些简单实际问题的过程，培养学生的应用意识。

2.学会与他人合作、交流，初步形成评价与反思的意识。

3.认识数学与人类生活的密切联系，体会数学就在我们身边，人人需要学一些有用的数学。

案例描述一、创设情境，引发思考师：前两节我们学习了勾股定理及直角三角形的判别条件，那么它们有什么用途呢？能解决生活中的哪些问题呢？下面大家把准备好的圆柱拿出来，在圆柱的下底面圆周上找到一点A，现在在A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，它如何爬行？生；拿出已做好的圆柱，在下底面圆周上找到一点A及与A点相对的上底面上的B点，然后思考老师提出的问题。

师：由A点到B点可爬行的路线是不是很多？生：是(共同回答)。

师：在这么多的路线中，蚂蚁怎样走最近？(板书课题)大家可以动手画一画，寻找哪条路线最短？(学生在生动、具体、有趣的问题情景中，注意力被牢牢吸引，积极性也被调动起来.接着提出蚂蚁怎样走最近这个问题，使学生带着问题进入新课的学习，激发了学生探究问题的好奇心，从而展开本节课的探究活动。

《蚂蚁怎样走最近》勾股定理PPT课件

B 东
A
在Rt△ABC中
BC 2 AC 2 AB2 52 122 169 132
∴BC=13(千米) 即甲乙两人相距13千米
小试牛刀
练习1 练习2 练习3
2．如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离。
20 3 2 B
A
AB2 152 202 625 252
AD2 AB2 302 402 2500 BD2 2500 AD 2 AB 2 BD 2
∴AD和AB垂直
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD长是30厘米， AB长是40厘米，BD长是50厘米， AD边垂直于AB边吗？为什么？（3）小明随身只有一个长度为 20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？ BC边与AB边呢？
2 2 2
A 12
’
3
O
B
侧面展开图
A’
12
3π
B
A
A
你学会了吗?
李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺，（1）你能替他想办法完成任务吗？（2）李叔叔量得AD长是30厘米， AB长是40厘米，BD长是50厘米， AD边垂直于AB边吗？为什么？
O
B B
A
A
怎样计算AB？
A’
r
O
B
A’
B
h
侧面展开图
A
A
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
AB 2 AA2 A' B 2

勾股定理(三)——蚂蚁怎样走最近？

勾股定理（三）————蚂蚁怎样走最近一、【基础知识精讲】1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

即：c2=a2+b2(c为斜边)。

2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2= c2，那么这个三角形是直角三角形。

注意：勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理。

二、【例题精讲】例1：如图：有一个圆柱，它的高为12厘米，底面半径为3厘米，在圆柱下底面的A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（∏的取值为3）例题2、如图所示，一个正三棱柱，它的高等于8cm，底面边长等于4cm，D1是线段B1C1的中点，一只蚂蚁沿着正三棱柱的侧面由A爬向点D1，则蚂蚁爬行的最短的路程是多少cm？例3：如图有一个三级台阶，每级台阶长、宽、高分别为2米、0.3米0.2米，A 处有一只蚂蚁，它想吃到B 处食物，你能帮蚂蚁设计一条最短的线路吗？并求出最短的线路长。

例4、如图所示，有一个长为12cm ，宽为4cm ，高为3cm 的长方体铁盒，在其内部放一根笔直的铁丝，则铁丝的最大长度是多少？例5：古代数学著作《九章算术》中记载了如下一个问题：有一个水池，水面的边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？例6、电力公司为了用电电费过高的现状，实行电网改造。

莲花村联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如题图中的实线部分。

请帮助计算一下，那种设计最省钱？（参考数据：236.25,732.13,414.12===）例7、在旧城改造中，要拆除一烟囱（如图），在地面上事先画好以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区。

现从离B 点21米远的建筑物CD 顶端C 点测得A 点的仰角（即∠ACE ）为45°，B 点的俯角(即∠BCE)为30°。