高中数学第二章平面向量2.5.2向量在物理中的应用举例训练含解析新人教A版必修4
人教A版高中数学必修4《二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.2 向量在物理中的应用举例》优质课课件_2
例1：在生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行 包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越 小越省力！你能从数学的角度解释这个现象吗？
分析：上述的问题跟如图所示 的是同个问题，抽象为数学模 型如下：
用向量F1，F2，表示两个提力， 它们的合向量为F，物体的重力 用向量G来表示， F1，F2的夹 角为θ，如右图所示，只要分清 F，G和θ三者的关系，就得到 了问题得数学解释！
把物理问题转化为数学模型为： （1）
B
解（1） v =
所以
- v1 2
2
v2
= 96
v1 v
t=
d
0.5
=
v
96
60 ~~ 3.1（min）
A v2 （2）
答：行驶的航程最短时，所用的时间
是3.1min。
答（：2）行t驶=的时vd1间最= 01短.05时，60所=用3的时（间mi是n）3min v1
F
F1
F2
θ
G
解：不妨设 F1 = F2 ，由向量的 平行四
边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，
可以知道： G
F1
=
2cos
θ 2
（*）
F1
通过上面的式子，有：当θ由0º到180º逐渐变大
时，θ 由0º到90º逐渐变大， 变小2，因此 ：
cos
的2θ 值由大逐渐
F1 由小逐渐变大，即F1 ，F2之间 的夹角越大越费力，夹角越小越省力！
探究：
F
F2
F2 θ
G
cos
θ 2
（1）θ为何值时， F1 最小，最小值是多少？
答：在（*）式中，当θ =0º时，cos
高中数学《第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.2向量在物理中...》333PPT课件 一等奖名师
平面向量在物理中的应用
例2.已知船在静水中的速度是v1,水流的速度是v2 ,河的 宽度是 500m.若|v1|=10km/h,|v2|=2km/h,d=500m,则要使船 垂直到达对岸，v1与v2的夹角为多少？航行了多少时间？
精确到0.1min
v1
v
v2
解：如图所示
v2
| vr |
|
r v1
|2
r | v2
标是（ B ）
A.(8,0)
B.(9,1)
C.(-1,9)
D.(3,1)
练习
rr 3、一个物体受到两个相互垂直的力 f1, f2 的作用，两边
大小都为5 3N ，则两个力的合力的大小为（ C ）
A.10 3N B.0N
C.5 6N
D. 5 6 N 2
rr r
4、三个力
rr
F1、F2、F3
同时作用于点O且处于平衡状态，
|2
96(km / h)
t
|
d vr
|
0.5 * 60 3.1(min) 96
答:略
B 水流方向
A
练习：一条河宽为400m，一船从A出发航行垂直到 达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12km/h，则 船到达B处所需时间为__1_._5_m_i_n__
练习
1、一船从某河的一岸驶向对岸，船速为 已知船可垂直到达对岸，则（ B ）
形法则、力的平衡及直角三角形的知
识可知
r
r |G|
| F1 |
2 cos
2
F
θ
F1
F2
∴逐增渐 大当r θ增，由r大0，°而～1c8o0s°2逐的渐值增逐大渐时缩，小2，由因0此°～| F9r10°|逐G渐
高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.1-2.5.2向量在物理中的应用举例优化练习新
2017-2018学年高中数学第二章平面向量 2.5 平面向量应用举例2.5.1-2.5.2 向量在物理中的应用举例优化练习新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.5 平面向量应用举例2.5.1-2.5.2 向量在物理中的应用举例优化练习新人教A 版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第二章平面向量2.5 平面向量应用举例2.5.1-2.5.2 向量在物理中的应用举例优化练习新人教A版必修4的全部内容。
2。
5.1—2。
5。
2 向量在物理中的应用举例［课时作业］[A组基础巩固］1．在△ABC中，已知A(4,1)，B（7，5)，C(－4,7),则BC边的中线AD的长是（) A．2错误!B。
错误!错误!C．3 5 D.72错误!解析：BC的中点为D错误!，错误!＝错误!,所以|错误!|＝错误!错误!.答案:B2．一个人骑自行车的速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度的大小为（)A．v1－v2B．v1＋v2C．|v1｜－｜v2｜D。
错误!解析：根据速度的合成可知．答案:C3．给出下面四个结论:①若线段AC＝AB＋BC，则错误!＝错误!＋错误!;②若错误!＝错误!＋错误!,则线段AC＝AB＋BC；③若向量错误!与错误!共线，则线段AC＝AB＋BC；④若向量AB，→与错误!反向共线,|错误!＋错误!|＝AB＋BC；其中正确的结论有( )A．0个B．1个C．2个D．3个解析：结论①正确，当AC＝AB＋BC时,B点在线段AC上，这时错误!＝错误!＋错误!.结论②不正确,A,B，C三点不共线时，也有向量错误!＝错误!＋错误!，而AC≠AB＋BC。
高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.2向量在物理中的应用举例学案无答案新人教A版必修
2．5.2 向量在物理中的应用举例学习目标 1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决物理问题的能力．知识点一向量的线性运算在物理中的应用思考1 向量与力有什么相同点和不同点？答案向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的．思考2 向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？答案速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成．梳理(1)用向量解决力的问题，通常把向量的起点平移到同一个作用点上．(2)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算．知识点二向量的数量积在物理中的应用思考向量的数量积与功有什么联系？答案物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．梳理物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos 〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零．力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积．知识点三向量方法解决物理问题的步骤用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题；(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．1．功是力F 与位移S 的数量积．( √ )2．力的合成与分解体现了向量的加减法运算．( √ )3．某轮船需横渡长江，船速为v 1，水速为v 2，要使轮船最快到达江的另一岸，则需保持船头方向与江岸垂直．( √ )类型一 向量的线性运算在物理中的应用例1 (1)在重300N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．考点 向量在力学中的应用 题点 求分力解 如图，两根绳子的拉力之和OA →＋OB →＝OC →，且|OC →|＝|OG →|＝300N ，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°.在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠AOC ＝30°，则∠OAC ＝90°， 从而|OA →|＝|OC →|·cos30°＝1503(N)， |AC →|＝|OC →|·sin30°＝150(N)， 所以|OB →|＝|AC →|＝150(N)．答 与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N. (2)一条宽为3km 的河，水流速度为2km/h ，在河两岸有两个码头A ，B ，已知AB ＝3km ，船在水中最大航速为4km/h ，问该船从A 码头到B 码头怎样安排航行速度可使它最快到达彼岸B 码头？用时多少？ 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度解 如图所示，设AC →为水流速度，AD →为航行速度，以AC 和AD 为邻边作▱ACED 且当AE 与AB 重合时能最快到达彼岸，根据题意AC ⊥AE ，在Rt△ADE 和▱ACED 中， |DE →|＝|AC →|＝2，|AD →|＝4，∠AED ＝90°， ∴|AE →|＝|AD →|2－|DE →|2＝2 3.又AB ＝3，∴用时0.5h.∵sin∠EAD ＝12，∠EAD ∈(0°，90°)，∴∠EAD ＝30°.答 船实际航行速度大小为23km/h ，与水流成120°角时能最快到达B 码头，用时0.5h. 反思与感悟 利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则、运算律或性质计算．第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算．跟踪训练1 河水自西向东流动的速度为10km/h ，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为103km/h ，求小船的实际航行速度． 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度解 设a ，b 分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过平面内一点O 作OA →＝a ，OB →＝b ，以OA →，OB →为邻边作矩形OACB ，连接OC →，如图，则OC →＝a ＋b ，并且OC →即为小船的实际航行速度．∴|OC →|＝a ＋b2＝a 2＋b 2＝20(km/h)，tan∠AOC ＝10310＝3，∴∠AOC ＝60°，∴小船的实际航行速度为20km/h ，按北偏东30°的方向航行．类型二 向量的数量积在物理中的应用例2 质量m ＝2.0kg 的木块，在平行于斜面向上的拉力F ＝10N 的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s |＝2.0m 的距离．(g ＝9.8N/kg) (1)分别求物体所受各力对物体所做的功；(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？ 考点 向量在力学中的应用 题点 求做功解 (1)木块受三个力的作用，重力G ，拉力F 和支持力F N ，如图所示，拉力F 与位移s 方向相同，所以拉力对木块所做的功为W F ＝F ·s ＝|F ||s |cos0°＝20(J)；支持力F N 与位移方向垂直，不做功， 所以W N ＝F N ·s ＝0； 重力G 对物体所做的功为W G ＝G ·s ＝|G ||s |cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W ＝W F ＋W N ＋W G ＝0.4(J)． 反思与感悟 物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积．跟踪训练2 已知力F 的大小|F |＝10，在F 的作用下产生的位移s 的大小|s |＝14，F 与s 的夹角为60°，则F 做的功为( ) A ．7B ．10C ．14D ．70 考点 向量在力学中的应用 题点 求做功 答案 D解析 F 做的功为F·s ＝|F ||s |cos60°＝10×14×12＝70.1．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成90°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( ) A ．6B ．2C ．25D ．27 考点 向量在力学中的应用 题点 求合力 答案 C解析由题意知F3＝－(F1＋F2)，所以|F3|2＝(F1＋F2)2＝F21＋F22＋2F1·F2＝4＋16＝20，∴|F3|＝2 5.2．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( )A．v1－v2B．v2－v1C．v1＋v2D．|v1|－|v2|考点向量在运动学中的应用题点求速度答案 C解析由题易知，选项C正确．3.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10N，则每根绳子的拉力大小为______N.考点向量在力学中的应用题点求分力答案10解析设重力为G，每根绳的拉力分别为F1，F2，则由题意得F1，F2与－G都成60°角，且|F1|＝|F2|.∴|F1|＝|F2|＝|G|＝10N，∴每根绳子的拉力都为10N.4．一条河宽为800m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________min.考点向量在运动学中的应用题点求时间答案 3解析∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2，|v1|＝20 km/h，|v2|＝12 km/h，∴|v 实际|＝|v 1|2－|v 2|2＝202－122＝16(km/h)． ∴所需时间t ＝0.816＝0.05(h)＝3(min)．∴该船到达B 处所需的时间为3min.5．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为3km/h ，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h ，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以23km/h 的速度横渡，求船本身的速度大小及方向． 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度解 如图，设水的速度为v 1，风的速度为v 2，v 1＋v 2＝a .可求得a 的方向是北偏东30°，a 的大小是3km/h.设船的实际航行速度为v ，方向由南向北，大小为23km/h.船本身的速度为v 3，则a ＋v 3＝v ，即v 3＝v －a ，由数形结合知，v 3的方向是北偏西60°，大小是3km/h.用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．一、选择题1．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为90°时，合力大小为20N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( ) A ．40N B ．102N C ．202ND ．103N考点 向量在力学中的应用 题点 求合力 答案 B解析 |F 1|＝|F 2|＝|F |cos45°＝102， 当θ＝120°，由平行四边形法则知 |F 合|＝|F 1|＝|F 2|＝102N.2．已知三个力F 1＝(－2，－1)，F 2＝(－3,2)，F 3＝(7，－3)同时作用于某物上一点，为使该物体保持平衡，再加上一个力F 4，则F 4等于( ) A ．(－2，－2) B ．(2，－2) C ．(－1,2)D ．(－2,2)考点 向量在力学中的应用 题点 求合力 答案 D解析 由物理知识，知物体平衡，则所受合力为0，所以F 1＋F 2＋F 3＋F 4＝0，故F 4＝－(F 1＋F 2＋F 3)＝(－2,2)，故选D.3．已知作用在点A 的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)且A (1,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标为( ) A ．(9,1) B ．(1,9) C ．(9,0)D ．(0,9)考点 向量在力学中的应用 题点 求合力 答案 A解析 F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设合力F 的终点为P (x ，y )，则OP →＝OA →＋F ＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．4．质点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P 的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( ) A ．(－2,4) B ．(－30,25) C ．(10，－5)D ．(5，－10) 考点 向量在运动学中的应用 题点 求位移 答案 C解析 设点(－10,10)为点A,5秒后P 点的坐标为A 1(x ，y )，则AA 1→＝(x ＋10，y －10)， 由题意可知，AA 1→＝5ν，即(x ＋10，y －10)＝(20，－15)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10＝20，y －10＝－15，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝－5.5．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10N ，合力与F 1的夹角为60°，那么F 1的大小为( ) A ．53N B ．5N C ．10ND ．52N考点 向量在力学中的应用 题点 求分力 答案 B解析 如图，有|F 1|＝|F |cos60°＝10×12＝5(N)．6．河水的流速为5m/s ，若一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为( ) A ．13m/s B ．12 m/s C ．17m/sD ．15 m/s考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度 答案 A解析 设小船在静水中的速度为v 1， 河水的流速为v 2，v 1与v 2的合速度为v ，∵为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即小船在静水中的速度v 1斜向上游方向，河水速度v 2平行于河岸，合速度v 指向对岸， ∴静水速度|v 1|＝|v |2＋|v 2|2＝122＋52＝13(m/s)．7．当两人提起重量为G 的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F |，若|F |＝|G |，则θ的值为( )A ．30°B．60°C．90°D．120° 考点 向量在力学中的应用 题点 求分力 答案 D解析 作OA →＝F 1，OB →＝F 2，OC →＝－G (图略)， 则OC →＝OA →＋OB →，当|F 1|＝|F 2|＝|G |时，△OAC 为正三角形， 所以∠AOC ＝60°，从而∠AOB ＝120°. 二、填空题8．飞机以300km/h 的速度斜向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度大小是______ km/h. 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度 答案 150 3 解析 如图所示，|v 1|＝|v |cos30°＝300×32＝1503(km/h)． 9．一物体在力F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)的共同作用下从点A (1,1)移动到点B (0,5)．在这个过程中三个力的合力所做的功为________．考点 向量在运动学中的应用 题点 求做功 答案 －40解析 ∵F 1＝(3，－4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)， ∴合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8，－8)． 又∵AB →＝(0－1,5－1)＝(－1,4)， ∴F ·AB →＝8×(－1)＋(－8)×4＝－40， 即三个力的合力做的功等于－40.10．一个重20N 的物体从倾斜角为θ，斜面长1m 的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功是10J ，则θ＝________. 考点 向量在运动学中的应用 题点 求方向 答案 30°解析 ∵W G ＝G·s ＝|G||s |·cos(90°－θ) ＝20×1×cos(90°－θ)＝10J ，∴cos(90°－θ)＝12，∴θ＝30°.11．河水的流速为2m/s ，一艘小船以10 m/s 的速度沿垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为________m/s. 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度 答案 226解析 设河水的流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，船的实际速度为v ，则v ＝v 1＋v 2，|v 1|＝2m/s ，|v |＝10 m/s.所以|v 2|＝|v －v 1|＝v 2－2v ·v 1＋v 21 ＝100－0＋4＝104＝226(m/s)． 三、解答题12．在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行，求船实际航行的速度的大小． 考点 向量在运动学中的应用 题点 求速度解 如图，用v 0表示水流速度，v 1表示与水流垂直的方向的速度．则v 0＋v 1表示船实际航行的速度， ∵|v 0|＝4，|v 1|＝8， ∴|v 0＋v 1|＝42＋82＝4 5.故船实际航行的速度为45千米/时．13．已知两恒力F 1＝(3,4)，F 2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A (20,15)移动到点B (7,0)． (1)求力F 1，F 2分别对质点所做的功； (2)求力F 1，F 2的合力F 对质点所做的功． 考点 向量在力学中的应用 题点 求做功解 (1)AB →＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，11 W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3.∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99和－3.(2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102.∴合力F 对质点所做的功为－102.四、探究与拓展14.如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________．(写出所有正确的序号)①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．考点 向量在力学中的应用题点 求分力答案 ①③解析 设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，F 与水平方向夹角为θ(0<θ<π2)．则|F |cos θ＝|f |，∴|F |＝|f |cos θ. ∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大．∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小．。
高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.2 平面向量在物理中的应用举例课后集训
2.5.2 向量在物理中的应用举例课后集训基础达标1.已知一物体在共点力F 1=（2，2），F 2=（3，1）的作用下产生位移s =(23,21)，则共点力对物体所做的功为（ ）A.4B.3C.7D.2 解析：首先求出合力：F =F 1+F 2=（2，2）+（3，1）=（5，3）. ∴共点力F 对物体所做的功为 F ·s =5×21+3×23=7. 答案：C2.在下列命题中为真命题的有（ ）①在物理学中，作用力与反作用力是一对共线向量 ②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 ④平面上的数轴都是向量 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析：①作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量，故是一对共线向量，所以①正确；②温度是数量，只有大小没有方向，所以②不正确；③显然共线，所以③正确；④平面上的数轴虽然具有方向但没有确定的长度，所以数轴不是向量，所以命题④不正确.所以应选B. 答案：B3.已知作用在A （1，1）点的三个力F 1=（3，4），F 2=（2，-5），F 3=（3，1），则合力F =F 1+F 2+F 3的终点坐标为（ ）A.（9，1）B.（1，9）C.（9，0）D.（0，9）解析：F =（8，0），设终点坐标为（x,y ），则⎩⎨⎧=-=-,01,81y x ∴⎩⎨⎧==.19y x答案：A4.某人以时速为a km/h 向东行走，此时正刮着时速为a km/h 的南风，则此人感到的风向及风速为（ ）A.东北，2km/hB.东南，a km/hC.西南，2a km/hD.东南，2a km/h 解析：由速度的合成可得. 答案：C5.一架飞机向北飞行300 km ，然后改变方向向西飞行300 km ，则飞机两次位移的和为____________.解析：如下图，由于每次飞行的位移是向量，所以可以用向量加法的三角形法则考虑.由向量加法三角形法则知合位移的大小|s |=2|s 1|=2300(km),方向是北偏西45°.答案：大小：2300 km 方向：北偏西45°6.已知两个力F 1、F 2的夹角为90°，它们的合力为12 N ，合力与F 2的夹角为60°，那么力F 1的大小为____________. 解析：|F 1|=|F |·cos30° =12×3623= (N). 答案：36N综合运用7.当两人提起重量为|G |的书包时，夹角为θ，用力为|F |，则三者的关系式为（ ） A.|F |=θcos 2||G B.|F |=θsin 2||G C.F =2cos2||θGD.|F |=2cos2||θG解析：由向量的平行四边形法则及力的分解可得.答案：C8.一个质量为m 的物体，受到三个水平作用力，静止在光滑的水平面上，将其中一个水平向南的力F 减少了43，其他两个力保持不变，那么该物质在时间t 的位移是（ ） A.0 B.m t F 8||2，向南C.m t F 8||2，向北D.mt F 8||32，向北解析：设另两力为F 1、F 2，则F 1+F 2+F =0， ∴F 1+F 2=-F ，若F 减少43，则合力变为F 1+F 2+41F =-43F ，加速度|a |=43|F |m,方向向北. 位移|s |=21|a |t 2=m t F 8||32,方向向北.答案：D9.平面上有两个向量e 1=(1,0),e 2=(0,1)，今有动点P 从P 0（-1，2）开始沿着与向量e 1+e 2相同的方向做匀速直线运动，速度为|e 1+e 2|;另一动点Q 从点Q 0（-2，-1）出发，沿与向量3e 1+2e 2相同的方向做匀速直线运动，速度为|3e 1+2e 2|,设P ，Q 在时刻t=0秒时分别在P 0、Q 0处，则当PQ ⊥00Q P 时,t=___________秒（ ）A.1.5B.2C.3D.4 解析：∵P 0(-1,2),Q 0(-2,-1)，∴00Q P =(-1,-3). 又∵e 1+e 2=(1,1),∴|e 1+e 2|=2.∵3e 1+2e 2=(3,2), ∴|3e 1+2e 2|=13.∴当t 时刻时，点P 的位置为（-1+t,2+t ）,点Q 位置为（-2+3t,-1+2t ）. ∴=(-1+2t,-3+t),∵00Q P ⊥.∴(-1)×(-1+2t)+(-3)×(-3+t)=0， ∴t=2. 答案：B 拓展探究10.一条河的两岸平行，河的宽度d=500 m ，一艘船从A 处出发到河对岸，已知船的速度|v 1|=10 km/h, 水流速度|v 2|=2 km/h,要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合速度的比值必须最小，分三种情况讨论：（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时； （2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时.计算以上三种情况，是否当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短.解析：(1)如图1，当船逆流行驶，与水流成钝角时，要使行程最短，合速度要垂直于对岸，此时|v|=2221||||v v -=9.8 km/h,t=3.11 min. (2)如图2，当船顺流行驶，与水流成锐角时，t=αsin ||5.01v ,|v 1|sin α＜|v 1|.(3)如图3，当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时,t=||5.01v =3(min)， 即当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时，所用时间最短. 备选习题11.河水的流速为2 m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为____________.解析：由速度的合成及向量的平行四边形法则，得静水速度大小为26221022=+m/s. 答案：262m/s12.一艘船以3 km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，同时河水的流速为3 km/h ，求船实际航行速度的大小和方向.思路分析：如右图，设表示船向垂直于对岸方向行驶的速度.表示水流速度，以AD 、AB 为邻边作ABCD,则AC 就是船的实际航行速度.解：在Rt△ABC 中，||=3 km/h,| BC |=3 km/h,∴|AC |=.233322=+=tan∠CAB=33=1，∴∠CAB=45°. 即船实际航行的速度的大小为23km/h.方向总与河岸的夹角为45°.13.一架飞机从A 地向西北飞行200 km 到达B 地后，又从B 地向东飞行2100km 到达C 地，再从C 地向南偏东60°飞行250km 到达D 地，求飞机从D 地飞回A 地的位移.解：如右图，根据题意，可作出四边形ABCD ，依题得，△ABC 是等腰Rt△，斜边AB=200，AC=2100.在Rt△CAD 中，∠DCA=60°,CD=250,DA=650,||=650,∠DAC=30°,即∠ADE=30°.14.如右图，重力为G 的均匀小球放在倾角为α的斜面上，球被与斜面夹角为θ的木板挡住，球面、木板均光滑，若使球对木板压力最小，则木板与斜面间的夹角θ应为多大？解：小球受力如右上图所示，重力为G ，斜面弹力N 2（垂直于斜面），木板弹力N 1（垂直于木板），其中N 1和N 2合力大小恒为G ，方向向上，N 2方向始终不变，随着木板的转动，N 1的大小在不断变化.|N 1|=θαsin sin ||G ,当sin θ取最大值1时，|N 1|min =|G|sin α，此时θ=2π.15.如右图，有两条相交成60°的公路xx′,yy′，其交点为O ，甲、乙两辆汽车分别在xx′,yy′上行驶，起初甲离O 点30 km ，乙离O 点为10 km ，后来两车均用60 km/h 的速度，甲沿xx′方向，乙沿yy′方向行驶. (1)起初两车的距离是多少？（2）t 小时后两车的距离是多少？解：（1）连结A 、B ，设甲、乙两车最初的位置为A 、B ，则 ||2=|OA |2+|OB |2-2|OA ||OB |cos60°=700.故||=710（km ）.(2)连结P 、Q ，设甲、乙两车t 小时后的位置分别为P 、Q ，则||=60t ，=60t. 当0≤t≤21时，|PQ |2=（30-60t ）2+（10+60t ）2-2（30-60t ）（10+60t ）cos60°; 当t ＞21时，|PQ |2=（60t-30）2+(10+60t)2-2(60t-30)(10+60t)cos120°. 上面两式可统一为：|PQ |2=10 800t 2-3 600t+700, 即|PQ |=107361082+-t t .。
高中数学第二章平面向量2.5.2向量在物理中的应用举例练习含解析新人教A版必修408192122
高中数学第二章平面向量2.5.2向量在物理中的应用举例练习含解析新人教A 版必修4081921221．已知两个力F 1，F 2的夹角为90°，它们的合力大小为10 N ，合力与F 1的夹角为60°，那么|F 1|等于( )A ．5 3 NB ．5 NC ．10 ND ．5 2 N 答案 B解析 如图，由题意，得四边形OABC 是矩形， ∵∠AOB ＝60°，∴|F 1|＝|F 合|cos60°＝10×12＝5(N)．故选B ．2．若物体在共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s ＝(2lg 5，1)，则共点力对物体所做的功W 为( )A ．lg 2B ．lg 5C ．1D ．2 答案 D解析 W ＝(F 1＋F 2)·s ＝(lg 2＋lg 5，2lg 2)·(2lg 5，1)＝(1， 2lg 2)·(2lg 5，1)＝2lg 5＋2lg 2＝2，故选D ．3．如图，用两条绳提一个物体，每条绳用力5 N ，两绳夹角为60°，则物体所受的重力为( )A ．5 NB ．5 3 NC ．5 2 ND ．10 N答案 B解析 物体所受的重力＝|F 1|cos30°＋|F 2|cos30°＝5×32＋5×32＝53(N)． 4．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时，设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．答案 ①③解析 设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，F 与水平方向的夹角为θ0<θ<π2．则|F |cos θ＝|f |，∴|F |＝|f |cos θ．∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大． ∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小．5．如下图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶距离恰好为5米，求A 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解如图，由已知条件可知AG 与铅直方向成45°角，BG 与铅直方向成60°角．设A 处所受力为F a ，B 处所受力为F b ，物体的重力为G ，∠EGC ＝60°，∠EGD ＝45°， 则有|F a |cos45°＋|F b |cos60°＝G ＝100，① 且|F a |sin45°＝|F b |sin60°，② 由①②解得|F a |＝1502－506， ∴A 处所受力的大小为(1502－506) N ．处，船速为v 1，水速为v 2，则船行到B 处时，行驶速度的大小为( ) A ．v 21－v 22 B ．|v 1|2－|v 2|2C ．v 21＋v 22 D ．|v 1|2－|v 2|2答案 D解析 如图，由平行四边形法则和解直角三角形的知识，可得|v |2＝|v 1|2－|v 2|2．7．一条两岸平行的河流，水速为1 m/s ，小船的速度为2 m/s ，为使所走路程最短，小船应朝________的方向行驶．答案 与水速成120°角解析 如图，为使小船所走路程最短，v 水＋v 船应与岸垂直． 又|v 水|＝|AB →|＝1，|v 船|＝|AC →|＝2，∠ADC ＝90°， ∴∠CAD ＝30°．所以小船应朝与水速成120°角的方向行驶．8．在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行，求船实际航行的速度的大小．解 如图用v 0表示水流速度，v 1表示与水流垂直方向的速度． 则v 0＋v 1表示船实际航行的速度，∵|v 0|＝4，|v 1|＝8， ∴解直角三角形|v 0＋v 1|＝42＋82＝45． 故船实际航行的速度为45千米/时．一、选择题1．一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光从头上直照下来，鹰在地面上的影子的速度是40 m/s ，则鹰的飞行速率为( )A ．803 m/sB ．4033 m/sC ．8033 m/sD ．403 m/s答案 C解析 设鹰的飞行速度为v 1，鹰在地面上的影子的速度为v 2，则|v 2|＝40 m/s ，因为鹰的运动方向是与水平方向成30°角向下，故|v 1|＝|v 2|32＝8033 (m/s)．故选C ．2．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 ND ．10 3 N 答案 B解析 |F 1|＝|F 2|＝|F 合|cos45°＝102，当θ＝120°时，由平行四边形法则知：|F 合|＝|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ，故选B ．3．点P 在平面上做匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 0的坐标为(－10，10)，则5秒后点P 的坐标为( )A ．(－2，4)B ．(－30，25)C ．(10，－5)D ．(5，－10) 答案 C解析 由题意知，P 0P →＝5v ＝(20，－15)，设点P 的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋10＝20，y －10＝－15，解得点P 的坐标为(10，－5)．故选C ．4．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v ＝(1，2)从点A (4，6)处移动到点B (7，12)处，其所用时间长短为( )A ．2B ．3C ．4D ．8 答案 B解析 ∵|v |＝12＋22＝5， |AB →|＝7－42＋12－62＝45，∴时间t ＝455＝3．5．已知作用在点A 的三个力f 1＝(3，4)，f 2＝(2，－5)，f 3＝(3，1)，且A (1，1)，则合力f ＝f 1＋f 2＋f 3的终点坐标为( )A ．(9，1)B ．(1，9)C ．(9，0)D ．(0，9) 答案 A解析 f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)，设合力f 的终点为P (x ，y )，O 为坐标原点，则OP →＝OA →＋f ＝(1，1)＋(8，0)＝(9，1)，故选A ．二、填空题6．如图，两根固定的光滑硬杆OA ，OB 成θ角，在杆上各套一小环P ，Q ，P ，Q 用轻线相连，现用恒力F 沿OB →方向拉环Q ，则当两环稳定时，轻线上的拉力的大小为________．答案|F |sin θ解析 设Q 受轻线的拉力为T ，以Q 为研究对象，由于受力平衡，故轻线与杆垂直，即轻线与OB 的夹角为π2－θ，T cos π2－θ＝F ，故|T |＝|F |sin θ．7．已知一条两岸平行的河流河水的流速为 2 m/s ，一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为________ m/s ．答案 226解析 设河水的流速为v 1，小船在静水中的速度为v 2，船的实际速度为v ，则|v 1|＝2，|v |＝10，v ⊥v 1，∴v 2＝v －v 1，v ·v 1＝0，∴|v 2|＝v 2－2v ·v 1＋v 21＝226(m/s)．8．如图所示，在倾斜角为37°(sin37°＝0．6)，高为2 m 的斜面上，质量为5 kg 的物体m 沿斜面下滑至底部，物体m 受到的摩擦力是它对斜面压力的0．5倍，则斜面对物体m 的支持力所做的功为________J ，重力所做的功为________J(g ＝9．8 m/s 2)．答案 0 98解析 物体m 的位移大小为|s |＝2sin37°＝103(m)，则支持力对物体m 所做的功为W 1＝F·s ＝|F||s|·cos90°＝0(J)；重力对物体m 所做的功为W 2＝G·s ＝|G||s|cos53°＝5×9．8×103×0．6＝98(J)．三、解答题9．一个物体受到同一平面内三个力F 1，F 2，F 3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m ．已知|F 1|＝2 N ，方向为北偏东30°，|F 2|＝4 N ，方向为北偏东60°，|F 3|＝6 N ，方向为北偏西30°，求这三个力的合力F 所做的功．解 以三个力的作用点为原点，正东方向为x 轴正半轴，正北方向为y 轴正半轴建立平面直角坐标系，如图所示．由已知可得F 1＝(1，3)，F 2＝(23，2)，F 3＝(－3，33)．所以F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(23－2，43＋2)． 又位移s ＝(42，42)，所以F·s ＝(23－2)×42＋(43＋2)×42＝24 6 (J)． 故这三个力的合力F 所做的功是24 6 J ．10．某人在一条河中游泳，河水的流速为3 km/h ，此人在静水中游泳的速度为4 km/h ． (1)如果他径直游向河对岸，他实际是沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度大小为多少？解 (1)如图，设水流速度为OA →，此人游泳的速度为OB →，以OA →，OB →为邻边作矩形OACB ，则此人实际的速度为OC →＝OA →＋OB →．由|OA →|＝3，|OB →|＝4，及勾股定理，得|OC →|＝5，且在Rt △OAC 中，∠AOC ≈53°8′．故此人实际是沿与水流方向的夹角为53°8′的方向前进的，速度大小为5 km/h ．(2)如图，设水流速度为OA →，实际游泳的速度为OC →，实际前进的速度为OB →， 则OA →＋OC →＝OB →，∴四边形OABC 为平行四边形． 据题意，OB →⊥OA →，|OA →|＝3，|OC →|＝4， 则在Rt △AOB 中，|OB →|＝42－32＝7． cos ∠BAO ＝34，∴∠BAO ≈41°25′．故此人应沿与河岸的夹角为41°25′且逆着水流的方向前进，实际前进的速度大小为7 km/h ．。
高中数学 第二章 平面向量 2.5.2 向量在物理中的应用举例课时训练(含解析)新人教A版必修4(2
高中数学第二章平面向量2.5.2 向量在物理中的应用举例课时训练（含解析）新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章平面向量2.5.2 向量在物理中的应用举例课时训练（含解析）新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第二章平面向量2.5.2 向量在物理中的应用举例课时训练（含解析）新人教A版必修4的全部内容。
2.5.2 向量在物理中的应用举例课时目标经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他的一些实际问题的过程，体会向量是一种处理物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．1．力向量力向量与前面学过的自由向量有区别．（1）相同点：力和向量都既要考虑________又要考虑________．(2）不同点：向量与________无关，力和________有关，大小和方向相同的两个力，如果________不同，那么它们是不相等的．2．向量方法在物理中的应用(1）力、速度、加速度、位移都是________．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________运算,运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量mν是______________．（4)功即是力F与所产生位移s的________．一、选择题1．用力F推动一物体水平运动s m，设F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为( ) A．｜F|·s B．F cos θ·sC．F sin θ·s D．|F|cos θ·s2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为（）A．40 N B．10 2 N C．20错误!N D．10错误! N3．共点力F1＝(lg 2,lg 2），F2＝（lg 5,lg 2)作用在物体M上,产生位移s＝(2lg 5,1),则共点力对物体做的功W为（）A．lg 2 B．lg 5 C．1 D．24．一质点受到平面上的三个力F1，F2,F3(单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知F1,F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4,则F3的大小为（)A．6 B．2 C．2错误! D．2错误!5．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3）(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为｜ν|个单位）．设开始时点P的坐标为（－10,10)，则5秒后点P的坐标为（）A．（－2，4) B．（－30,25）C．（10，－5） D．（5,－10）6．已知作用在点A的三个力f1＝(3，4）,f2＝(2，－5），f3＝（3,1)且A（1，1）,则合力f＝f＋f2＋f3的终点坐标为（)1A．（9题号123456答案二、填空题7．若错误!＝（2,2）,错误!＝（－2,3)分别表示F1，F2，则|F1＋F2｜为________．8．一个重20 N的物体从倾斜角30°,斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．9．在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________．10. 如图所示,小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小;④船的浮力保持不变．三、解答题11。
高中数学第二章平面向量2.5.2向量在物理中的应用举例教案新人教A版
2.5.2 向量在物理中的应用举例1.知识与技能通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明确向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量概念和向量运算的认识.2.过程与方法(1)经历用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题的过程.(2)体会向量是一种处理物理问题的工具,提高运算能力和解决实际问题的能力.(3)掌握用向量方法解决实际问题的基本方法.3.情感、态度与价值观通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力,体会数学的应用价值、科学价值.重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;难点:实际问题转化为向量问题.物理问题的向量处理方法(1)力学问题的向量处理方法①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象.例如:在重300 N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°(如图所示),求重物平衡时,两根绳子拉力的大小.分析:注意到两根绳子的夹角为90°,因此可把问题转化为解直角三角形.解:作▱OACB,使∠AOC=30°,∠BOC=60°.在△OAC中,∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,||=||cos 30°=150(N),||=||·sin 30°=150(N),||=||=150(N).答:与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N,与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.②向量是既有大小又有方向的量,它们可以有共同的作用点,也可以没有共同的作用点,但是力却是既有大小,又有方向且作用于同一作用点的.用向量知识解决力的问题,往往是把向量平移到同一作用点上.例如:如图所示,用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具,如图,已知灯具的重量10 N,则每根绳子的拉力大小是.解析:因绳子等长,所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等,且等于60°,故每根绳子的拉力都是10 N.答案:10 N(2)速度、位移问题的向量处理方法①解决速度、位移问题常用的合成、分解其实就是向量的加减法,运动的叠加亦用到向量的合成.例如:一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.解:如图所示,表示水流速度,表示船向垂直于对岸行驶的速度,表示船实际速度,∠AOC=30°,||=5 km/h.∵四边形OACB为矩形,||==5(km/h)≈8.66(km/h).||==10(km/h).∴水流速度为8.66 km/h,船实际速度为10 km/h.②速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减法运算,而运动的叠加也用到向量的合成.a.向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决向量问题,最后再获得物理结果.b.用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数量乘法,有时也可借助坐标来求解.(3)向量与功、动量物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积,它的实质是向量的数量积.①力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角θ,即W=|F||s|cos θ.功是一个实数,它可正,也可负.②在解决问题时要注意数形结合.。
高中数学《第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.2向量在物理中...》9PPT课件 一等奖名师
思考2：如果船沿与上游河岸成60°方向 行驶，那么船的实际速度v的大小是多少？
v1
v
60°
ห้องสมุดไป่ตู้
v1 10km/ h v2 2km/ h
v2
v v1 v2
v1
v2
2
84km/ h
思考3：船应沿什么方向行驶，才能使航
程最短？ v1 10km/ h
B
v2 2km/ h
与上游河岸的夹角为
v1 v
78.73°.
C
A v2
思考4：如果河的宽度d＝500m，那么船
行驶到对岸至少要几分钟？
所以 t d 0.5 60 3.1(min). | v | 96
小结
利用向量解决物理问题的基本步骤： ①问题转化，即把物理问题转化为数学问题； ②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型； ③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等； ④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.
G
F1
F1
2 c os
2
θ∈[0°，180°)
θ F2
G
上述关系表明，若重力G一定，则拉力的大小是关于 夹角θ的函数.并且拉力大小和夹角大小成正比例关系.
探究（二）：向量在运动学中的应用 思考1：如图，一条河的两岸平行，一艘 船从A处出发到河对岸，已知船在静水中 的速度|v1|＝10㎞/h，水流速度|v2|＝ 2㎞/h，如果船垂直向对岸驶去，那么船 的实际速度v的大小是多少？
是多少？
F1+F2+G=0
A
120° B
O
C
|F1|=|F2|=10N
10N
思考2：两个人共提一个旅行包，或在单 杠上做引体向上运动，根据生活经验， 两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小 有什么关系？
高中数学第二章平面向量2.5.2向量在物理中的应用举例课后习题新人教A版必修4(含解析)
2.5.2 向量在物理中的应用举例1.用F推动一物体G,使其沿水平方向运动s,F与垂直方向的夹角为θ,则F对物体G所做的功为()A.F·s cos θB.F·s sin θC.|F||s|cos θD.|F||s|sin θ解析:如图所示,由做功公式可得:W=|F||s|sin θ,故选D.答案:D2.一艘船以5 km/h的速度行驶,同时河水的流速为2 km/h,则船的实际航行速度范围是()A.(3,7)B.(3,7]C.[3,7]D.(2,7)解析:实际航行的速度为静水中的速度与河水流速的合速度,所以|v静|-|v水|≤|v|≤|v静|+|v水|,即5-2≤|v|≤2+5,3≤|v|≤7.答案:C3.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1,F2成60°角,且F1,F2的大小分别为2和4,则F3的大小为()A.6B.2C.2D.2解析:|F3|====2(牛顿).答案:D4.一只鹰正以与水平方向成30°角的方向向下飞行,直扑猎物,太阳光从头上直照下来,鹰在地面上的影子的速度是40 m/s,则鹰的飞行速率为()A. m/sB. m/sC. m/sD. m/s解析:如图,||=|v1|=40,且∠CAB=30°,则||=|v2|=(m/s).答案:C5θ角的等长的绳子悬挂一个灯箱,如图,已知灯箱重10 N,当每根绳子的拉力为10 N时,θ等于()A.60°B.90°C.150°D.120°解析:由向量加法的平行四边形法则及绳子等长,得平行四边形为菱形,如图,由||=||=||=10,得∠F1OF=∠F2OF=60°,则∠F1OF2=120°.∴θ=120°.答案:D6.一个物体在大小为10 N的力F的作用下产生的位移s的大小为50 m,且力F所做的功W=250J,则F与s的夹角等于.解析:设F与s的夹角为θ,由W=F·s,得250=10×50×cos θ,∴cos θ=.又θ∈[0,π],∴θ=.答案:7.已知一物体在共点力F1=(2,2),F2=(3,1)的作用下产生位移s=,则共点力对物体所做的功为.解析:F1+F2=(5,3),共点力对物体所做的功为F·s=5××3=7.答案:78.如图,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 N;若在图示坐标系中用坐标表示合力,则合力的坐标为.解析:因为F1=(2,3),F2=(3,1),所以合力F=F1+F2=(2,3)+(3,1)=(5,4),所以合力的大小为(N).答案:(5,4)9.已知一物体在共点力F1=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)的作用下产生位移s=(2lg 5,1),则共点力对该物体做的功W为.解析:(F1+F2)·s=(lg 2+lg 5,2lg 2)·(2lg 5,1)=(1,2lg 2)·(2lg 5,1)=2lg 5+2lg 2=2.答案:210.一条渔船距对岸4 km,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际行程为8 km,则河水的流速是 km/h.解析:如图,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,则v=v1+v2为船的实际航行速度.由图知,|OA|=4,|OB|=8,则∠AOB=60°.又|v2|=2,∴|v1|=|v2|·tan 60°=2.即河水的流速是2 km/h.答案:211e1=(1,0),e2=(0,1),今有动点P从P0(-1,2)开始,沿着与向量e1+e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|e1+e2|;另一动点Q从Q0(-2,-1)开始,沿着与向量3e1+2e2相同的方向做匀速直线运动,速度为|3e1+2e2|.设P,Q在t=0 s时分别在P0,Q0处,当时所需的时间t为多少秒?解:e1+e2=(1,1),|e1+e2|=,其单位向量为;3e1+2e2=(3,2),|3e1+2e2|=,其单位向量为.依题意知,||=t,||=t,∴=|=(t,t),=|=(3t,2t),由P0(-1,2),Q0(-2,-1),得P(t-1,t+2),Q(3t-2,2t-1),∴=(-1,-3),=(2t-1,t-3),∵,∴=0,即2t-1+3t-9=0,解得t=2.即当时所需的时间为2 s.。
高中数学 第二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.2 向量在物理中的应用举例成长训练 新人教A版必修4
2.5.2 向量在物理中的应用举例主动成长夯基达标1.河水的流速为2 m/s,一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s 的速度驶向对岸,则小船的静水速度大小为 ( )A.10 m/sB.262m/sC.64m/sD.12 m/s 解析：由题意|v 水|=2 m/s,|v 船|=10 m/s,作出示意图如图,∴|v |=s m /26210421022==+.答案：B2.已知两个力F 1、F 2的夹角为90°,它的合力大小为10 N,合力与F 1的夹角为60°,那么F 1的大小为( )A.53 NB.5 NC.10 ND.52 N 解析：由题意作出示意图,有|F 1|=|F |cos60°=10×21=5. 答案：B3.某人到商店购买了4种商品,这4种商品的单价用一个向量表示为a =(5,10,21,6)(单位元),对应的这4种商品的件数用一个向量表示为b =(3,3,2,1),则此人总共应付钱____________元.解析：所付钱数即a 、b 的数量积为a ·b =(5,10,21,6)·(3,3,2,1)=15+30+42+6=93(元). 答案：934.做匀速圆周运动的物体的速度为|v 0|,当转过2π时,速度的改变量为_____________. 解析：作出示意图如右:|Δv |=|v 1-v 0|=2|v 0|. 答案：2|v 0|5.人骑自行车的速度为a ,风速为v 2,则逆风行驶的速度为________________.解析：设无风时自行车的速度为v 0,则a =v 0+v 2,故v 0=a -v 2,于是逆风时的速度为v 0-v 2=a -2v 2. 答案：a -2v 26.平面上有两个向量e 1=(1,0),e 2=(0,1),今有动点P,从P 0(-1,2)开始沿着与向量e 1+e 2相同的方向作匀速直线运动,速度大小为|e 1+e 2|,另一动点Q,从点Q 0(-2,-1)出发,沿着与向量3e 1+2e 2相同的方向作匀速直线运动,速度大小为|3e 1+2e 2|,设P 、Q 在t=0秒时分别在P 0、Q 0处,则当⊥00Q P 时,t=____________秒. 解析：∵P 0(-1,2),Q 0(-2,-1), ∴00Q P =(-1,-3). 又∵e 1+e 2=(1,1), ∴|e 1+e 2|=2. ∵3e 1+2e 2=(3,2), ∴|3e 1+2e 2|=13.∴当t 时刻时,点P 的位置为(-1+t,2+t),点Q 的位置为(-2+3t,-1+2t). ∴=(-1+2t,-3+t). ∵00Q P ⊥PQ ,∴(-1)×(-1+2t)+(-3)×(-3+t)=0. ∴t=2. 答案：27.已知一个与水平方向夹角为30°的力F ,F 的大小为50 N,拉着一个重80 N 的木块在摩擦系数μ=0.02的水平面上运动了20米,求F 与摩擦力f 做功分别为多少?解：设木块位移为s,则F 力所做的功为F ·s =50×20×cos30°=3500(J),F 在沿直线方向的分解力大小为50×sin30°=25,故f 的大小为(80-25)×0.02=1.1.所以f 所做的功是f ·s =1.1×20×cos180°=-22(J).8.平面内三个力F 1、F 2、F 3作用于同一点且处于平衡状态,已知|F 1|=1 N,|F 2|=226+N,F 1、F 2的夹角为45°,求F 3的大小及与F 1的夹角. 解：如图,设F 1、F 2的合力为F ,则|F |=|F 3|,∵∠F 1OF 2=45°, ∴∠OF 1F=135°.在△OF 1F 中,由余弦定理得︒∙∙-+=135cos ||||2||||||2122212OF OF OF OF=1+(226+)2-2×1×226+×(-22) =4+32=(3+1)2.∴|OF |=3+1,即|F 3|=1+3.又由正弦定理得sin∠F 1||11OF 21, ∴∠F 1OF=30°,从而F 1与F 3的夹角为150°.∴F 3的大小为(1+3)N,F 3与F 1的夹角为150°.9.已知两恒力F 1(3,4)、F 2(6,-5)作用于同一质点,使之由A(20,15)移动到点B(7,0), 试求:(1)F 1、F 2分别对质点所做的功; (2)F 1、F 2的合力F 对质点所做的功. 解析：=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),(1)W 1=F 1·=(3,4)·(-13,-15)=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦), W 2=F 2·=(6,-5)·(-13,-15)=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦). (2)W=f ·=(F 1+F 2)·=［(3,4)+(6,-5)］·(-13,-15)=(9,-1)·(-13,-15)=9×(-13)+(-1)×(-15) =-117+15=-102(焦).10.一年轻的父亲欲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起,结果造成小孩胳膊受伤,试用向量知识加以解释.解析：针对小孩的两条胳膊画出受力图形,然后进行受力分析,并用向量表示. 建立数学模型:通过胳膊受力分析,建立向量模型:|F 1|=2cos2||θG ,θ∈［0,π］来确定何种情形时,小孩的胳膊容易受损.解:设孩子自重为G,两胳膊受力分别为F 1、F 2,且F 1=F 2,两胳膊间夹角为θ,胳膊受力分析如图(不计其他因素产生的作用力),不难建立向量模型:|F 1|=2cos2||θG ,θ∈［0,π］,当θ=0时,|F 1|=2||G ;当θ=32π时,|F 1|=|G|;又2θ∈(0, 2π)时,|F 1|单调递增,故θ∈(0, 32π)时,|F 1|∈(2||G ,|G|),θ∈(32,π)时,|F 1|＞|G|,此时欲悬空拎着幼儿的胳膊,极易造成小孩胳膊受伤.走近高考11.(2004广西高考,7)用三根轻绳将质量为m 的物块悬挂在空中,如图2-5-10所示.已知绳ac 和bc 与竖直方向的夹角分别为30°和60°,则绳ac 和绳bc 中的拉力分别为( )图2-5-10A.23mg,21mg B.21mg,33mg C.43mg,21mg D.21mg,43mg 解析：设ac 拉力为F 1,bc 拉力为F 2,则有 水平方向:F 1sin30°=F 2sin60°;竖直方向:F 1sin30°+F 2cos60°=mg,由上两式可得F 1=23mg,F 2=21mg, 故A 正确. 答案：A。
高中数学《第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.2向量在物理中...》346PPT课件 一等奖名师
船从A出发航行到河的正对岸B处。航行的速度
ur
uur
v1 10km / h，水流的速度 v2 2km / h，
问行驶航程最短时，所用的时间是多少？
B
r ur uur
分析：如图，已知v
ur
uur
v1
v2，
V
v1 10km / h, v2 2km / h，
r uur
v v2，求t.
解：由已知条件得 v v2 0
| vr | | v1 |2 | v2 |2 96(km / h),
所以 t d 0.5 60 3.1(min). | v | 96
探究二向量在力学中的应用
例2 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越 大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学 的角度解释这种现象吗?
作业
课本习题2.5 A组3、4
解:不妨设|F1|=|F2|,由向量的平行四边形法则、 力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道
cos
1 2
|G
|
|G|
2 | F1 | 2 cos
2
通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大
时,
2
由0°到90°逐渐变大,cos
2
的值由大逐渐变小,因此|F1|
由小逐渐变大,即F1,F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省
解答: 1.B 点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求.
2. 41 点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出.
课堂小结
1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤. ①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题; ②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型; ③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值; ④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现 象. 2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型. ①力、速度、加速度、位移都是向量; ②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向. 知能训练
高中数学《第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.2向量在物理中...》318PPT课件 一等奖名师
T两点.你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
DF C
E
T
R
A
B
例2．如图，在□ABCD中，点E、F分别是 AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC交于点R、
T两点.你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
DF C
E
T
R
A
B
[练 1] 在等腰直角三角形 ABC 中，角 C
为直角，AC=BC,D 是 BC 的中点，E 是
v1
v
A v2
v1
v
60° v2
思考2：如果船沿与上游河岸成60°方向 行驶，那么船的实际速度v的大小是多少？
v1
v
60° v2
|v|2＝| v1＋v2|2＝（v1＋v2）2＝84.
思考3：船应沿什么方向行驶，才能使航
程最短？
B
v1 v
C
A v2
思考4：如果河的宽度d＝500m，那么船 行驶到对岸至少要几分钟？
AB 上一点，且 AE=2EB，求证：AD⊥CE
BE
D
CC
A
D
平面向量在物理中的应用
思考1：如图河的两岸平行，一艘船从A处出发到 河对岸，已知船在静水中的速度|v1|＝10㎞/h，水 流速度|v2|＝ 2㎞/h，如果船垂直向对岸驶去，那 么船的实际速度v的大小是多少？
|v|= 104 ㎞/h.
A
思考2：如果船沿与上游河岸成60°方向 行驶，那么船的实际速度v的大小是多少？
2．5 平面向量应用举例
因为有了运算，向量的力量无限.如果 不能进行运算，向量只是示意向量方向的 路标.
平面向量在几何中的应用
例1.若四边形ABCD为平行四边形，用向量方法证明
高中数学第二章平面向量2.5.2向量在物理中的应用举例训练含解析新人教A版必修
学习资料第二章平面向量2．5平面向量应用举例2．5.1平面几何中的向量方法2．5。
2向量在物理中的应用举例［A组学业达标]1．在四边形ABCD中，若错误!＋错误!＝0，错误!·错误!＝0，则四边形为() A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形解析:∵错误!∥错误!，｜错误!｜＝|错误!｜，且错误!⊥错误!，∴四边形ABCD为菱形．答案：D2．人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为（）A．v1－v2B．v1＋v2C．｜v1|－|v2｜D。
错误!解析：由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1＋v2。
注意速度是有方向和大小的，是一个向量．答案：B3．若物体在共点力F1＝（lg 2，lg 2)，F2＝（lg 5，lg 2)的作用下产生位移s＝(2lg 5，1),则共点力对物体所做的功W为（)A．lg 2 B．lg 5C．1 D．2解析：W＝(F1＋F2)·s＝（lg 2＋lg 5，2lg 2)·(2lg 5,1)＝(1，2lg 2)·（2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2，故选D。
答案:D4．已知A，B,C是坐标平面上的三点，其坐标分别为A（1，2)，B（4，1)，C（0，－1),则△ABC 的形状为（）A．直角（非等腰)三角形B．等腰(非等边）三角形C．等腰直角三角形D．以上均不正确解析：∵错误!＝(3，－1)，错误!＝（－1，－3)，错误!·错误!＝3×（－1）＋（－1)×（－3)＝0，且|错误!|＝|错误!|＝错误!，∴△ABC为等腰直角三角形．答案：C5．在△ABC中，若错误!·（2错误!－错误!）＝0，则△ABC一定是（）A．直角三角形B．等腰直角三角形C．正三角形D．等腰三角形解析：错误!·(2错误!－错误!)＝错误!·(错误!＋错误!－错误!)＝错误!·(错误!＋错误!＋错误!）＝错误!·(错误!＋错误!）＝－错误!·（错误!＋错误!)＝0.由向量加法的平行四边形法则，知以CA，CB为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，所以△ABC一定是等腰三角形．答案：D6．一个重20 N的物体从倾斜角为30°,斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．解析：∵物体沿斜面下滑的分力大小｜F|＝错误!×20 N＝10 N，∴W＝｜F|·｜s|＝10 J。
人教A版高中数学必修4《第二章平面向量2.5平面向量应用举例2.5.2向量在物理中的应用举例》28
（平面向量在物理中应用举例一、教材剖析向量观点有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加快度等，几何背景是有向线段，能够说向量观点是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正由于这样，运用向量能够解决一些物理和几何问题，比如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直地点关系的判断等问题。
二、教课目的经过应用举例，让学生学会用向量知识研究物理中的有关问题的“四环节”和生活中的实质问题经过本节的学习，让学生体验向量在解决物理问题中的工具作用，加强学生的踊跃主动的研究意识，培育创新精神。
三、教课要点难点要点：理解并能灵巧运用向量加减法与向量数目积的法例解决物理问题.难点：选择适合的方法，将物理问题转变为向量问题加以解决.四、学情剖析在平面几何中，平行四边形是学生熟习的重要的几何图形，而在物理中，受力剖析则是此中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些关于学生来说，特别熟习的内容来解说向量在几何与物理问题中的应用。
五、教课方法例题教课，要让学生领会思路的形成过程，领会数学思想方法的应用。
教案导学：见后边的教案3.新讲课教课基本环节：预习检查、总结迷惑→情境导入、展现目标→合作研究、精讲点拨→反省总结、当堂检测→发导教案、部署预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量物理中的应用2.教师的教课准备：课前预习教案，课内研究教案，课后延长拓展教案。
七、课时安排：1课时八、教课过程(一)预习检查、总结迷惑检查落实了学生的预习状况并认识了学生的迷惑，使教课拥有了针对性。
(二）情形导入、展现目标教师第一发问：问题：两个人提一个旅游包,夹角越大越费劲.为何？教师：本节主要研究用向量知识解决物理问题；掌握用向量解决物理问题的步骤，已经部署学生们课前预习了这部分内容，检查学生预习状况并让学生把预习过程中的迷惑说出来。
（设计企图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。
2017-2018学年高中数学 第二章 平面向量 2.5.2 向量在物理中的应用举例课件 新人教A版必修4
F对物体所做的功为
焦耳.
解析:由已知位移������������=(-4,3),∴力 F 做的功为
W=F·������������=2×(-4)+3×3=1.
答案:1
探究一
探究二
思维辨析
反思感悟 运用向量解决力的合成与分解时,实质就是向量的线 性运算,因此可借助向量运算的平行四边形法则或三角形法则进行 求解.
探究一
探究二
思维辨析
变式训练1一个物体受到平面上的三个力F1,F2,F3的作用处于平 衡状态,已知F1,F2成60°角,且|F1|=3 N,|F2|=4 N,则
从而|������������|=150 2,∠CAD=30°.
∴|vb|=150 2 km/h,方向为北偏西 60°.
反思感悟 运用向量解决物理中的速度问题时,一般涉及速度的
合成与分解,因此应充分利用三角形法则与平行四边形法则将物理
问题转化为数学中的向量问题,正确地作出图形解决问题.
探究一
探究二
(1)求|F1|,|F2|随θ角的变化而变化的情况; (2)当|F1|≤2|G|时,求θ角的取值范围. 解:(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则,得 -G=F1+F2,|F1|=co|������s|������,|F2|=|G|tan θ, 当 θ 从 0°趋向于 90°时,|F1|,|F2|都逐渐增大. (2)由|F1|=co|���s���|������,|F1|≤2|G|,得 cos θ≥12. 又因为 0°≤θ<90°,所以 0°≤θ≤60°.
cos<F1,F3>=
.
解析:因为物体处于平衡状态,所以 F1+F2+F3=0.
因此 F3=-(F1+F2),
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二章 平面向量2．5 平面向量应用举例 2．5.1 平面几何中的向量方法 2．5.2 向量在物理中的应用举例[A 组 学业达标]1．在四边形ABCD 中，若AB →＋CD →＝0，AC →·BD →＝0，则四边形为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．等腰梯形D ．菱形解析：∵AB →∥CD →，|AB →|＝|CD →|，且AC →⊥BD →，∴四边形ABCD 为菱形． 答案：D2．人骑自行车的速度是v 1，风速为v 2，则逆风行驶的速度为( )A ．v 1－v 2B ．v 1＋v 2C ．|v 1|－|v 2|D.⎪⎪⎪⎪v 1v 2解析：由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v 1＋v 2.注意速度是有方向和大小的，是一个向量． 答案：B3．若物体在共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s ＝(2lg 5，1)，则共点力对物体所做的功W 为 ( ) A ．lg 2 B ．lg 5 C ．1D ．2解析：W ＝(F 1＋F 2)·s ＝(lg 2＋lg 5，2lg 2)·(2lg 5，1)＝(1，2lg 2)·(2lg 5，1)＝2lg 5＋2lg 2＝2，故选D. 答案：D4．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1，2)，B (4，1)，C (0，－1)，则△ABC的形状为( )A ．直角(非等腰)三角形B ．等腰(非等边)三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不正确解析：∵AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)，AB →·AC →＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0，且|AB →|＝|AC →|＝10，∴△ABC 为等腰直角三角形． 答案：C5．在△ABC 中，若BA →·(2BC →－BA →)＝0，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．正三角形D ．等腰三角形解析：BA →·(2BC →－BA →)＝BA →·(BC →＋BC →－BA →)＝BA →·(BC →＋BC →＋AB →)＝BA →·(BC →＋AC →)＝－BA →·(CB →＋CA →)＝0.由向量加法的平行四边形法则，知以CA ，CB 为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，所以△ABC 一定是等腰三角形． 答案：D6．一个重20 N 的物体从倾斜角为30°，斜面长1 m 的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．解析：∵物体沿斜面下滑的分力大小|F |＝12×20 N ＝10 N ，∴W ＝|F |·|s |＝10 J.答案：10 J7．在水流速度为4千米/时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________ 千米/时．解析：用v 0表示水流速度，v 1表示与水流垂直的方向的航行速度，则v 0＋v 1表示船实际航行速度．∵|v 0|＝4，|v 1|＝8， ∴|v 0＋v 1|＝42＋82＝4 5.答案：4 58．设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，则△AOB 与△AOC 的面积之比为________．解析：设D 为AC 的中点，如图所示，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →.又OA →＋OC →＝－2OB →，所以OD →＝－OB →，即O 为BD 的中点，即△AOB 与△AOC 的面积之比为1∶2. 答案：1∶29.如图所示，以△ABC 两边AB ，AC 为边向外作正方形ABGF 和ACDE ，M 为BC 的中点．求证：AM ⊥EF .证明：因为M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)．又因为EF →＝AF →－AE →，所以AM →·EF →＝12(AB →＋AC →)·(AF →－AE →)＝12(AB →·AF →＋AC →·AF →－AB →·AE →－AC →·AE →) ＝12(0＋AC →·AF →－AB →·AE →－0) ＝12(AC →·AF →－AB →·AE →) ＝12[|AC →||AF →|cos(90°＋∠BAC )－|AB →||AE →|·cos(90°＋∠BAC )]＝0，所以AM →⊥EF →，即AM ⊥EF . 10．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，设AC ＝m ，BC ＝n .(1)若D 为斜边AB 的中点，求证：CD ＝12AB ；(2)在(1)的条件下，若E 为CD 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ，求AF 的长(用m ，n 表示)．解析：以C 为坐标原点，以边CB ，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0，m )，B (n ，0)．(1)证明：∵D 为斜边AB 的中点， ∴D ⎝⎛⎭⎫n 2，m 2，∴|CD →|＝12n 2＋m 2，|AB →|＝m 2＋n 2，∴|CD →|＝12|AB →|，即CD ＝12AB .(2)∵E 为CD 的中点，∴E ⎝⎛⎭⎫n 4，m 4.设F (x ，0)，则AE →＝⎝⎛⎭⎫n 4，－34m ，AF →＝(x ，－m )． ∵点A ，E ，F 共线，∴存在实数λ，使AF →＝λAE →，即(x ，－m )＝λ⎝⎛⎭⎫n 4，－34m ，∴⎩⎨⎧x ＝n4λ，－m ＝－34mλ.解得x ＝n 3，∴F ⎝⎛⎭⎫n 3，0.∴|AF →|＝13 n 2＋9m 2，即AF ＝13n 2＋9m 2.[B 组 能力提升]11．已知点A (7，1)，B (1，4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则a 等于( )A ．2B ．1 C.45 D.53解析：设C (x ，y )，则(x －7，y －1)＝(2－2x ，8－2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －7＝2－2x ，y －1＝8－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3. ∵点C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ×3，∴a ＝2.答案：A12．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝( ) A ．2 B ．4 C ．5D ．10解析：将△ABC 各边及P A ，PB ，PC 均用向量表示， 则|P A |2＋|PB |2|PC |2＝P A →2＋PB →2PC →2＝（PC →＋CA →）2＋（PC →＋CB →）2PC→2＝2|PC →|2＋2PC →·（CA →＋CB →）＋AB →2|PC →|2＝|AB →|2|PC →|2－6＝42－6＝10.答案：D13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0，1)和点B (－3，4)．若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC →|＝2，则OC →＝________．解析：如图，已知A (0，1)，B (－3，4)，设E (0，5)，D (－3，9)，∴四边形OBDE 为菱形，∴∠AOB 的平分线是菱形OBDE 的对角线OD . 设C (x 1，y 1)，∵|OC →|＝2，|OD →|＝310，∴OC →＝2310OD →.∴OC →＝(x 1，y 1)＝2310×(－3，9)＝⎝⎛⎭⎫－105，3105.答案：⎝⎛⎭⎫－105，3105 14．设点O 是△ABC 的外心，AB ＝13，AC ＝12，则BC →·AO →＝________．解析：设{AB →，AC →}为平面ABC 内的一组基底．如图所示，设M 为BC 的中点，连接OM ，AM ，OA ，则OM ⊥BC .又∵BC →＝AC →－AB →，AO →＝AM →＋MO →＝12(AB →＋AC →)＋MO →，∴BC →·AO →＝BC →·(AM →＋MO →)＝BC →·AM→＝(AC →－AB →)·12(AB →＋AC →)＝12(AC →2－AB →2)＝12×(122－132)＝－252.答案：－25215．已知O 为△ABC 所在平面内一点，且满足|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB →|2.求证：点O 是△ABC 的垂心．证明：设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， 则BC →＝c －b ，CA →＝a －c ，AB →＝b －a . ∵|OA →|2＋|BC →|2＝|OB →|2＋|CA →|2＝|OC →|2＋|AB →|2， ∴a 2＋(c －b )2＝b 2＋(a －c )2＝c 2＋(b －a )2. ∴c ·b ＝a ·c ＝b ·a .故AB →·OC →＝(b －a )·c ＝b ·c －a ·c ＝0， BC →·OA →＝(c －b )·a ＝c ·a －b ·a ＝0.∴AB →⊥OC →，BC →⊥OA →，即AB ⊥OC ，BC ⊥OA . ∴点O 是△ABC 的垂心．16.如图所示，四边形ABCD 是正方形，BE ∥AC ，AC ＝CE ，EC 的延长线交BA 的延长线于点F .求证：AF ＝AE .证明：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为1，则A (－1，1)，B (0，1)．设E (x ，y )，则BE →＝(x ，y －1)，AC →＝(1，－1)． 又∵AC →∥BE →，∴x (－1)－1×(y －1)＝0， ∴x ＋y －1＝0.又∵|CE →|＝|AC →|，∴x 2＋y 2－2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32，y ＝1－32或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－32，y ＝1＋32(舍)．∴E ⎝⎛⎭⎪⎫1＋32，1－32.又设F (x ′，1)，由CF →＝(x ′，1)和CE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32，1－32共线得1－32x ′－1＋32＝0，得x ′＝－2－3， ∴F (－2－3，1)，∴AF →＝(－1－3，0)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32，－1＋32，∴|AE →|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－322＝1＋3＝|AF →|， ∴AF ＝AE .。