已知拓扑下的 4 度 Steiner 树算法
图的steiner最小树问题及其求解
图的steiner最小树问题及其求解摘要:斯坦纳树问题是组合优化学科中的一个问题。
属于NP-难问题,即无法在多项式时间内得到最优解。
本文主要讨论了图的steiner最小树问题,并给出了近似算法,该算法是在破圈法的基础上进行了改进,并且引用了agent的思想。
最后对算法进行了分析。
关键词:Steiner最小树NP-难题破圈法中图分类号:TP312文献标识码:A文章编号:1009-3044(2009)25-7312-02Graphical Steiner Minimum Tree Problem and SolusionYANG Ling-yun(College of Computer and Information Engineering, Henan University, Kaifeng 475001,China)Abstract: Steiner tree problem is one of the subject of combinatorial optimization problem. It belongs to NP-hard problems that cann’t find the optimal solution in polynomial time. This article discusses the minimum steiner tree problem in graphs, and gives the approximate algorithm, which is improved on loop damage method, and quoted the agent's thinking. Finally, an analysis of the algorithm.Key words: steiner minimum tree; NP-hard problem; loopdamage method现实生活中经常要求解决这样的问题,即将若干给定点相连并使连线的总长最短。
范糨碲徵率 -回复
范糨碲徵率-回复范糨碲徵率（Van Kampen theorem）是拓扑学中的一项重要定理，用于计算复杂空间的基本群（fundamental group）。
这个定理的证明过程需要从几何直观和代数观点两个角度来阐述。
首先，我们来介绍一些基本概念。
拓扑学研究的是空间的性质，而经常使用的一个概念是拓扑空间。
拓扑空间是指一种能够定义其点的接触关系的集合，例如，一根弹性橡皮筋可以被拉伸、扭曲和压缩，但是不会被撕破或者穿过自己。
拓扑学家将类似于这样的特性抽象为拓扑空间。
基本群是一种用来刻画拓扑空间的代数工具。
它是一个群，可以反映该空间中所有可回路的同伦类。
一个回路是一个路径，首尾相接，而同伦是指可以通过连续变形相互转化的路径。
基本群的计算可以帮助我们了解空间的性质，例如是否为道路连通的（道路连通是指任意两点之间都存在一条路径），或者是否具有孔洞等等。
范糨碲徵率是一个关于基本群的定理，它的意义在于可以利用局部信息来计算整个空间的基本群。
事实上，它提供了一个有效的方法，通过对空间进行分解来计算基本群。
接下来，我们将进行详细的讨论。
首先，让我们先来了解定理的陈述形式。
范糨碲徵率的原始陈述是针对空间的分解形式，即将空间分成若干互不相交的小空间，并通过它们之间的联系来推导整个空间的基本群。
然而，这个陈述形式不太直观且难以应用。
于是，人们根据群论的观点对定理进行了重新的陈述，这种陈述形式更加易于理解和使用。
现在，范糨碲徵率可以简单地描述为：对于给定的两个开覆盖（open cover）A和B，且它们的交集非空，那么基本群的交换子群等于A和B交叉部分的基本群的交换子群相对于这个交集的李尔技（Lie algebra）射影。
现在，我们开始证明这个定理。
首先，引入一些辅助概念。
假设X是一个拓扑空间，A和B是它的两个开覆盖。
定义X的自由积（free product）为A和B的并集并额外加上每个交叉点p的基点。
其中，对于每个交叉点p，选择一个基点，并通过连接把这个基点与空间的其他点联系起来。
图的steiner最小树问题及其求解
图的steiner最小树问题及其求解作者：杨凌云来源：《电脑知识与技术》2009年第25期摘要:斯坦纳树问题是组合优化学科中的一个问题。
属于NP-难问题,即无法在多项式时间内得到最优解。
本文主要讨论了图的steiner最小树问题,并给出了近似算法,该算法是在破圈法的基础上进行了改进,并且引用了agent的思想。
最后对算法进行了分析。
关键词:Steiner最小树 NP-难题破圈法中图分类号:TP312文献标识码:A文章编号:1009-3044(2009)25-7312-02Graphical Steiner Minimum Tree Problem and SolusionYANG Ling-yun(College of Computer and Information Engineering, Henan University, Kaifeng 475001,China)Abstract: Steiner tree problem is one of the subject of combinatorial optimization problem. It belongs to NP-hard problems that cann’t find the optimal solution in polynomial time. This article discusses the minimum steiner tree problem in graphs, and gives the approximate algorithm, which is improved on loop damage method, and quoted the agent's thinking. Finally, an analysis of the algorithm.Key words: steiner minimum tree; NP-hard problem; loop damage method现实生活中经常要求解决这样的问题,即将若干给定点相连并使连线的总长最短。
特殊图类的Steiner k-Wiener指标极值问题的研究
特殊图类的Steiner k-Wiener指标极值问题的研究特殊图类的Steiner k-Wiener指标极值问题的研究摘要：Steiner k-Wiener指标是图论中一种重要的度量指标，用于描述图中两个点之间的最短路径情况。
本文主要对特殊图类的Steiner k-Wiener指标极值问题进行研究，探讨在不同特殊图类下，如何寻找最优的Steiner k-Wiener指标。
引言：Steiner k-Wiener指标是由图论中的Steiner树问题演化而来的一种指标，用于度量图中两个点之间的最短路径的特性。
通过研究特殊图类的Steiner k-Wiener指标极值问题，可以帮助我们深入理解图的结构与性质。
一、Steiner树问题的背景与定义Steiner树问题源于实际生活中的布线问题，旨在找到连接一组给定点的最短路径。
在Steiner树中，可以添加额外的Steiner点，以降低整体路径的长度。
Steiner树问题通常包含两个变体：最小Steiner树问题和最短Steiner树问题。
最小Steiner树问题要求在给定一组点的情况下，找到包含所有点的最小树。
最短Steiner树问题则要求在给定一组点的情况下，找到连接所有点的最短路径。
二、Steiner k-Wiener指标的定义Steiner k-Wiener指标定义为图G中任意k个点之间的最短路径长度之和。
即对于图G中的每对k个点，计算它们之间的最短路径，并将所有最短路径的长度求和。
Steiner k-Wiener 指标在网络布线、生物信息学等领域具有广泛的应用。
三、特殊图类的Steiner k-Wiener指标极值问题特殊图类是指在特定条件下满足特殊性质的图。
在特殊图类中，Steiner k-Wiener指标极值问题变得更具挑战性。
以下是对几种常见特殊图类的Steiner k-Wiener指标极值问题的研究。
1.完全图对于完全图，其Steiner k-Wiener指标的极值往往由包含k个顶点的子图最小生成树决定。
steiner树问题的近似算法
steiner树问题的近似算法
马绍汉;王锐
【期刊名称】《计算机学报》
【年(卷),期】1989(012)007
【摘要】著名的Steiner树问题是,给定图G=(V、E),QV,在边集E上定义权函数f:E→Z^+,要求在图G上找一子树T=(Y,U),使得QY且∑_(c∈U)f(e)达到极小以后,我们称该问题为ST问题,R.M.Karp曾证明ST问题为NP-完全的,本文作者曾提出图上Steiner树问题:在图G=(V,E),QV上,要求一子树T=(Y,
【总页数】3页(P558-560)
【作者】马绍汉;王锐
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】TP311.12
【相关文献】
1.改进的基于拓扑分析的Steiner树近似算法 [J], 高磊;张德运;王晓东;安智平
2.关于满Steiner树问题的一个近似算法 [J], 罗美菊;赵传立;唐恒永
3.多材料Terminal Steiner树拼接问题的近似算法研究 [J], 文永松;朱淑娟;庞一成
4.近乎最佳的Manhattan型Steiner树近似算法 [J], 马军;杨波;马绍汉
5.图的Steiner树问题的改进的快速近似算法 [J], 吕其诚
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斯坦纳树解法-概述说明以及解释
斯坦纳树解法-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分是文章的开篇部分，用于介绍主题和问题背景。
下面是一个示例：概述斯坦纳树（Steiner Tree）是图论中的一个经典问题，旨在找到一个具有最小总权重的联通子图，以连接给定一组节点。
斯坦纳树问题在实际生活中有着广泛的应用，例如通信网络设计、电力系统规划和生物信息学等领域。
本文将详细介绍斯坦纳树的概念、应用领域以及解法的基本原理。
首先，我们将给出斯坦纳树的定义和问题描述，以便读者对该问题有一个清晰的认识。
然后，我们将探讨斯坦纳树在不同领域中的应用，以展示它在实际问题中的重要性。
接下来，我们将介绍一些经典的斯坦纳树解法，包括近似算法和精确算法，并详细讨论它们的基本原理和优缺点。
通过本文的阅读，读者将能够了解斯坦纳树问题的背景和意义，掌握不同领域中的应用案例，并对斯坦纳树解法的基本原理有一定的了解。
此外，我们还将对斯坦纳树解法的优点和局限性进行讨论，并展望未来在这一领域的发展方向。
接下来，在第二节中，我们将开始具体介绍斯坦纳树的概念和应用领域。
1.2 文章结构【文章结构】本文主要分为引言、正文和结论三个部分。
下面将对每个部分进行详细介绍。
1. 引言引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个方面的内容。
在概述部分，将简要介绍斯坦纳树解法的背景和重要性。
2. 正文正文部分是文章的核心部分，主要包括斯坦纳树的概念、应用领域和解法的基本原理三个方面的内容。
2.1 斯坦纳树的概念在本小节中，将详细解释什么是斯坦纳树，斯坦纳树的定义和特点。
2.2 斯坦纳树的应用领域本小节将介绍斯坦纳树的应用领域，包括网络通信、电力系统、交通规划等方面的应用案例。
2.3 斯坦纳树解法的基本原理在本小节中，将详细介绍斯坦纳树解法的基本原理和算法，包括构建斯坦纳树的思路和具体步骤。
同时，可以提及一些经典的斯坦纳树解法算法和优化方法。
3. 结论结论部分对斯坦纳树解法的优点和局限性进行总结，并对未来的发展方向进行展望。
Steiner最小树问题及其应用
第8卷 第15期 2008年8月1671-1819(2008)15-4238-09科 学 技 术 与 工 程Science T echno logy and Eng i neeringV ol 18 N o 115 A ug . 2008Z 2008 Sci 1T ech 1Engng 1综 述数 学Steiner 最小树问题及其应用张 瑾1,2马 良1*(上海理工大学管理学院1,上海200093;河南大学计算机与信息工程学院2,开封475001)摘 要 Ste i ner 最小树问题是一个历史悠久的经典的组合优化问题,由于应用广泛,多年来一直受到研究者的广泛关注。
介绍了各种S teine r 树问题及其求解算法和实际应用。
关键词 Ste i ner 最小树 精确算法 启发式算法 应用中图法分类号 O 224; 文献标志码 A2008年4月21日收到国家自然科学基金项目(70471065)、上海市重点学科建设项目(T0502)资助第一作者简介:张 瑾(1974)),女,河南开封人,博士生1研究方向:系统工程、智能优化。
*通信作者简介:马 良(1964)),男,上海人,博士,教授,博士生导师1研究方向:智能优化。
现实生活中经常要求解决这样的问题,即将若干给定点相连并使连线的总长最短。
在网络通信领域中,该问题被一般化地提为:如果要在n 个区域间铺设通信网,使得各区域之间能实现信息的共享,那么应如何铺设才能使通信线路的总长最短?一般首先想到的可能就是求连接这n 个点的最小生成树(M i n i m um Spann i n g Tree )M ST )这种做法,但如果不拘泥于这n 个点,而引入除这n 个点之外的另外几个点的话,则有可能使连接各区域的通信线路的总长更短。
这是Steiner 最小树问题(Steiner M i n i m u m Tree Prob le m ,简记为S MTP)的来源。
S teiner 最小树问题是经典的组合优化问题,最早可以追溯到17世纪初。
四bit蝴蝶算法
四bit蝴蝶算法1. 简介四bit蝴蝶算法（4-bit Butterfly Algorithm）是一种用于计算机网络中的路由选择算法。
它基于蝴蝶网络（Butterfly Network）的拓扑结构，通过比较节点之间的距离和权重来确定最佳的路径。
蝴蝶网络是一种常见的互连网络结构，可以用于构建高性能的并行计算机系统。
四bit蝴蝶算法主要用于解决路由选择问题，即在网络中找到从源节点到目标节点的最短路径。
它可以用于各种类型的网络，包括局域网、广域网和互联网等。
2. 蝴蝶网络蝴蝶网络是一种二维互连网络，由一组节点和连接它们的链路组成。
每个节点都有一个唯一的地址，用于标识节点在网络中的位置。
蝴蝶网络的拓扑结构类似于蝴蝶的形状，因此得名。
蝴蝶网络的拓扑结构可以用一个二维矩阵表示，其中每个元素表示一个节点。
节点之间的连接可以通过矩阵中的相邻元素表示。
例如，如果节点A和节点B相邻，则矩阵中的A元素和B元素之间存在连接。
蝴蝶网络的主要特点是具有对称性和对等性。
对称性指的是网络中的节点之间的连接是对称的，即节点A和节点B之间的连接与节点B和节点A之间的连接是相同的。
对等性指的是网络中的所有节点具有相同的功能和性能。
3. 四bit蝴蝶算法原理四bit蝴蝶算法是一种分组交换网络算法，通过比较节点之间的距离和权重来确定最佳的路径。
它可以用于解决路由选择问题，即在网络中找到从源节点到目标节点的最短路径。
四bit蝴蝶算法的原理如下：1.将网络划分为多个阶段，每个阶段包含若干个子阶段。
2.每个子阶段中的节点根据其地址和目标地址之间的距离进行比较。
3.根据比较的结果，每个节点选择相邻节点中距离目标地址更近的节点作为下一跳。
4.重复上述步骤，直到到达目标节点。
四bit蝴蝶算法的关键在于比较节点之间的距离和权重。
距离可以通过计算节点地址之间的差值得到，而权重可以根据网络中链路的带宽、延迟等性能指标进行评估。
4. 算法流程四bit蝴蝶算法的流程如下：1.初始化：将源节点的地址设置为当前节点的地址。
Ad hoc网络时延受限的Steiner树启发式算法
中图 分类号： Ｐ９ Ｔ ３３
Ａｄｈ ｃ网络 时延 受 限 的 Ｓｅｎ ｒ树 启 发 式算 法 ｏ ｔｉｅ
林 琳 ，王安平 ，周 贤伟 ，刘臻臻
（ 北京科技 大学信息工程学院通信 工程系 ，北京 １０ ８） ００３ 摘 要： 针对 Ａ ｏ ｄ ｈ ｃ网络时延受限的 Ｓ ｉ ｒ 问题 ，设计一 个分布 式的快速启发 式箅法 Ｄ Ｓ ，该算法通过对 网络 中节点进行标号 ，并 ｔｎ 树 ｅｅ ＣＴ
Ｈｅ ｒ ｓｉ ｇ ｒｔ ｍ ｆ ｌ ｙ ｃ ｎ ｔ ａ ｎ ｄ Ｓ ｅｎ ｒＴ ｅ ｕ ｉｔｃＡｌ ｏ ｉｈ ｏ ａ ・ ｏ ｓｒ ｉ ｅ ｔ ｉ ｅ ｒ ｅ Ｄｅ
ｉ Ａｄ ｈｏ ｔ ｒ ｎ ｃＮｅ ｗｏ ｋ
ＬＩ Ｌｉ ， ＡＮＧ － ｉ ， Ｎ ｎ Ｗ Ａｎ ｐ ｎｇ ＺＨＯＵ ａ ・ ｉ ＬＩ Ｚｈ ｎ ｚ ｅ Ｘｉ ｎ ｗｅ ， Ｕ ｅ － ｈ ｎ
第 ３ 卷 第 １ 期 ６ Ｏ
Ｖ１ ｏ． ３６ Ｎｏ． ｏ １
计
算
机
工
程
２１ ０ ０年 ５月
Ｍ ａｙ２０ ０ １
Ｃｏｍ ｐｕｔ ｒＥｎｇ ｎｅ ｒ ｎｇ ｅ ｉ ｅｉ
・ 网络 与通 信 ・
文章编号： ０ｏ＿４８ ００ ｏ－０１ ３ 文献 ｌｏ一３２（ １） 一０９—ｏ ２ １ 标识码： Ａ
１ 檑ｅ 述
Ａ ｏ ｄ ｃ网络 又称ห้องสมุดไป่ตู้为 无 线 自组 织 网络 ，其 灵 活 的 组 网方 式 ｈ 以 及 生 存性 强 的特 点 使 得 它 在 许 多 特 殊 情 况 下 有 着 不 可 替代
献 【】 出 的 Ｃ Ｄ Ｍ（ ｏｔ ｅ ｓｉｅ ｅａ Ｃ ｎｔ ｉｅ ４提 Ｓ Ｃ Ｃｓ Ｓ ｎｉｖ Ｄ ｌ ｔ ｙ ｏ ｓ ａｎｄ ｒ
米勒最大角定理证明
米勒最大角定理证明米勒最大角定理是指若平面图G满足斯特恩链式，则它的最大角不超过π/2。
该定理成立的条件比较苛刻，但它对于构造高效的算法和优化问题解决方案有着重要的指导意义。
米勒最大角定理的证明可以分为两个方面：首先是定理的前置条件斯特恩链式，其次是如何证明最大角不超过π/2。
斯特恩链式是图论中的一种拓扑结构，它指的是一个有 n 个节点的图 G，假设我们要寻找一种节点顺序 a1, a2, ..., an，使得对于任意i ∈ [1, n-2]，节点 ai 和 aj（i<j<=n）之间只要有一条路径p，那么 p 的最后一个节点必须是 aj。
这个序列 a1, a2, ..., an 被称为 G 的斯特恩链。
具有斯特恩链式的图具备诸多特殊的性质，最大角定理是其中之一。
接着我们考虑，如果把 G 的点按斯特恩链排列，那么从起点 a1 出发，一路走到 a(n-1) 的路径是唯一确定的。
考虑任取点 v，从a(n-1) 走到 v，那么路径就唯一确定了。
我们接着假设从 v 出发，路径与之前的路径相交于 a(n-2)，那么一定有一个角 AVB（A 和 B 是分别在两条路径上的点），这个角是最大角。
我们发现这个角是 G 的最大角，如果它超过π/2，那么我们可以通过旋转 a(n-1) 到a(n-2) 这一条边来使得这个最大角变得更小，这与之前的结论矛盾。
综上所述，我们证明了当 G 满足斯特恩链式时，它的最大角不超过π/2。
由此我们可以得出一些有用的结论。
例如，如果我们在一个具有斯特恩链的平面图中求解最短路径，那么我们可以使用 Dijkstra 算法，因为该算法使用最小的角度来更新节点的距离，保证不会走回头路，从而得到正确的结果。
同样地，如果我们在一个平面图中求解 Steiner 树问题，那么我们可以优化 MST 算法，因为在斯特恩链的遍历过程中，总能够找到一个 3-Steiner 点（即一个有三个分支的 Steiner 点），从而能够快速完成子问题的求解，进而优化整个算法的时间复杂度。
斯坦纳树算法
斯坦纳树算法
斯坦纳树算法，也称为“终极斯坦纳树算法”，是一种用于解决带权图中的最小树形图问题的算法。
该算法具有时间复杂度为O（n^3 * 2^n）的特点，因此适用于小型图和中等规模的图，但在大型图上会出现运行时间过长的问题。
斯坦纳树算法的基本思想是将原图中的顶点集合划分成若干个
子集，然后对每个子集构建一棵最小树形图，最后将所有子集的最小树形图合并成一棵最终的最小树形图。
该算法的核心在于如何构建子集的最小树形图，这通常使用DP（动态规划）的方式进行求解。
具体而言，斯坦纳树算法的步骤如下：
1.将所有边的权值取对数，并对原图做一些预处理，以提高算法效率。
2.对于每个子集S，使用DP的方式计算S中所有点到S中某个点的最短距离，记为d(S,v)，其中v是S中任意一个点。
3.对于每个子集S，将S中所有点连成一棵生成树，使得该树的根节点为S中某个点，且所有连边的权值之和等于d(S,v)。
4.通过枚举所有的子集S，计算每个子集的最小树形图，并记录下最小树形图的权值。
5.将所有子集的最小树形图合并成一棵最终的最小树形图。
需要注意的是，斯坦纳树算法只适用于有向图，且存在一些限制条件，如原图必须联通等。
此外，该算法在实际应用中，可能需要结合其他算法一起使用，以解决一些特殊情况下的问题。
基于满Steiner树问题的水下无线传感器网络拓扑愈合算法研究
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基于四边形斯坦纳树的无线传感器网络连通恢复
基于四边形斯坦纳树的无线传感器网络连通恢复陈洪生;石柯【期刊名称】《计算机学报》【年(卷),期】2014(037)002【摘要】在恶劣环境下无线传感器网络的节点和通信链路常常会失效,致使网络被分割为很多分离的分区,因此通过布置尽量少的中继节点实现高健壮性的连通恢复对于维持网络的正常运作必不可少.对于一个被分割的无线传感器网络,找到相应的位置布置最少中继节点恢复连通是一个NP难题,在实际应用中只能采用启发式算法.文中提出了一种新的基于四边形斯坦纳树的算法来恢复网络连通.此算法首先探测出各分区并确定各分区的代表节点及其位置,然后寻找合适的四边形连接分割的网络分区,确定这些四边形的斯坦纳点;对无法用四边形连接的各连接部分用三角形斯坦纳树或最小生成树的方法连接;最后沿着斯坦纳树的边在相应位置布置中继节点,实现网络连通的恢复.大量的仿真实验表明文中提出的方法能够减少所需中继节点的数量,恢复后的拓扑结构中节点的连通度更高,容错性更好.【总页数】13页(P457-469)【作者】陈洪生;石柯【作者单位】华中科技大学计算机科学与技术学院武汉430074;湖北科技学院计算机科学与技术学院湖北咸宁437005;华中科技大学计算机科学与技术学院武汉430074【正文语种】中文【中图分类】TP393【相关文献】1.基于三角形斯坦纳树的分区连通性恢复算法 [J], 秦宁宁;吴德恩;余颖华2.考虑障碍的无线传感器网络连通性恢复策略 [J], 马桂真;于平3.移动无线传感器网络连通性自主恢复算法 [J], 马桂真;于平4.无线传感器网络连通恢复综述 [J], WU Chun-hui;CHEN Hong-sheng5.基于斯坦纳树和泰森多边形的连通恢复算法 [J], 王茂秋;张江;张晶因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
基于Steiner树的模糊最短路径问题的研究
Ｒ１） ４９４ ５３ ＋ｏ）≈ ２．９ （Ｌ Ｉ 。 （２＝ （ ．９） （５ ９４ ５３ＲＥ ［） ， ２ ２ ． ２ ２ ｏ
如果（ＬＩ，１ Ｌ２） 立（ ９４２９４ Ｅ １２ ＜Ｅ Ｉ１ 成 即ｆ２．５ ３＜一） 为真） ，置 换 ；使ｄ２ ＝９４２ ９ ３ ［ｌ ２ ．５ ，从 优先级 队列 中删 ４ 除顶 点 １ ｒ［ｌ 。指 定 ｖｓ ｌｌ ，ｐｅ２ ＝１ ｉｔ ＝Ｔｒｅ ｉｌ ｕ 。选择 下一个 顶 点Ｑ＝ｐｉｒ ．ｑ ｅ ｅ２ ３４ ５。选择 ＝２ ｒ ｉ ｕｕ ， ， ，） ｏ￣ ，从
属 函数 为 ：
０ Ｏ ｘ≤ ａ ≤ ｌ
≤ ｘ ≤ （２ ／
（） ＝
一
＝ ａ
２≤ ≤ ３
２ 一 ３
０ Leabharlann Ⅱｌ 啦 啦 Ｏ ≥ ａ３
图１ 模糊数 隶属函数
收稿 日期： ０２ ２１ ２ １－ —２ ０
作者简介： 赵 娜（ ８一女， １ ０ ， 山西晋城人， 讲师， ９ ） 硕士， 主要从事地理信息系统方面的研究．
数分配给每个边缘 ，使用 了一种新 的排序 方法求解模糊最短路径 。通过 实例分析 合理地得 出问题的最优 解 ， 证 验
了这种 方法 的有效性。 关键词：模糊排序 ；单一最短路径；Ｓｅｎ ｒ ｔｉｅ￣
ＤＯｈ１ ．９ ９ｉ ｓｎ．６ ４５ ４ ．０１ ．１０ ９ ０３ ６ ／． ｓ １ ７ － ０ ３２ ２０ ．１ ｉ
界长度 ，使模糊数据Ｅ ［ 表示相应的从 ， Ｌｖ ］ 到ｌ 的最短路径长度 。初始值设Ｅ ［＝００ Ｏ，所有其他Ｅ ｌ 值 Ｌｓ （， ，） ｌ Ｌｖ ］
设 置为（ｏ ｏ，ｏ。基 于逐 渐 改进 的从 其他 顶点 的最 短路径 算法 。考 虑 到边 ， 的权重 为ｗｕ ，假 设 ｏ， ｏ ｏ） 到 （，
Steiner问题
关于Steiner点（问题）1 Steiner问题概述Steiner问题是一个既古老又新兴的研究领域，它包括四个重要方面：欧几里德的、直线的、图的和进化的Steiner问题。
由于它有很大的实用价值，因此。
日益受到世界各国学术界和科技界的重视。
直线的Steiner问题可应用在VLSI的布线、建筑领域的公用事业等诸方面；进化的Steiner问题在生物分类学方面获得很好应用；图的Steiner问题的应用更加广泛。
欧几里德平面的Steiner问题是最早研究的领域，也是发展最快的一个分支。
平面上的Steiner问题就是寻求一个给定的平面点集A的最短网络问题，该网络允许添加不在A中的其它结点。
附加的点称为Steiner点，简称S－点；注中的点称为正则点，简称a－点，具有上述特征的网络称为Steiner最小树(简称SMT)。
如果一个互连网络T满足下列三个条件：1)T是一颗树；2)T的任何两个边至少相交成120°角；3)不存在1度或2度的S－点，则称T为一个Steiner树(简称ST)。
显然，一个最短互连网络必是ST。
条件2)说明T的任何点的度至多为3；条件2)和3)合起来说明每个S －点的度恰好为3；条件l)和3)合起来说明存在至多n－2个S－点。
如果一个ST包含了。
n－2个S－点，则称该ST是满的(简称FST)。
容易证明每个a一点在FST中具有1度。
一个ST的图结构P称为一个拓扑。
一个满拓扑(FP)是某个FST的拓扑。
借助凸性讨论，容易证明一个拓扑P至多能有一个ST；当ST存在时，它是P的最短互连网络。
在18世纪未。
Fermat首次提出Steiner问题，当时已知道对于平面上三点的解决方案。
直到20世纪40年代，Courant和Robbins才给出了关于这个问题的两个事实]1[：l)在SMT中增加的附加点数目最多不会超过n－2个，即可解决平面上n个点的Steiner问题；2)任何S－点恰与三条边关联。
浅析算法——斯坦纳树
浅析算法——斯坦纳树
斯坦纳树
⽤途
给⼀个图，求最⼩⽣成树？
这个很简单，prim/kruskal 搞⼀搞。
如果只要求联通某⼏个点，⽽不强制要求其他点的联通？
这个prim/kruskal 就不好做了。
那怎么求这个呢？
当然是要⽤到斯坦纳树啊。
计算⽅法
假设表⽰最后⼀个联通的是，当前要求点的联通性为（状态压缩），那么有两种状态转移：1. ，其中是的⼦集。
2. ，其中之间有边相连。
第⼀个⽅程是很好维护的，关键是第⼆个⽅程。
观察到，第⼆个⽅程与spfa 的⽅程很相似。
那么我们就可以⽤spfa 维护第⼆个⽅程啦！
例题
斯坦纳森林
⽤途
给⼀个图，求最⼩⽣成树？
这个很简单，prim/kruskal 搞⼀搞。
如果只要求联通某⼏个点，⽽不强制要求其他点的联通？
这个很简单，斯坦纳树可以解决这个问题。
如果只要求某⼏个集合中的点互相联通，⽽分属两个不同集合的点没有要求，可以共⽤边？这个就需要⽤斯坦纳森林了。
计算⽅法
把所有的集合放在⼀起，做⼀遍斯坦纳树，然后对所有集合做⼀遍⼦集合并dp 。
例题f i ,sta i sta =+f i ,sta f i ,s f i ,sta −s s sta =+va f i ,sta f u ,sta l u ,i u ,i =+va d v d u l u ,v。
一种以电性能优化为目标的Steiner树算法
一种以电性能优化为目标的Steiner树算法
洪先龙
【期刊名称】《计算机学报》
【年(卷),期】1995(018)004
【摘要】本文提出了一种以电性能优化为目标的Steiner树算法,它把从线网的源点到漏点的时间延迟最小作为求解Steiner树的目标.文中首先给出一种多端线网连线延迟模型,然后导出它的上界,它是线网连线总长和从源点到漏点路径长度的函数.用这个上界作为求解Steiner树的优化目标.算法采用了非线性优化技术和动态规划方法.实验例子表明,算法是十分有效的.
【总页数】7页(P266-272)
【作者】洪先龙
【作者单位】清华大学计算机科学与技术系,北京,100084
【正文语种】中文
【中图分类】TP3
【相关文献】
1.一种修复网络拓扑的Steiner树移动控制算法 [J], 闫中江;沈中;常义林;张颖;代亮
2.一种改进的Steiner树启发式算法 [J], 余燕平;仇佩亮
3.一种基于改进模拟退火算法的程序性能优化参数搜索算法 [J], 陆平静;李宝;易任娇;张英;王绍刚;庞征斌
4.多目标遗传算法求解认知无线电性能优化问题 [J], 王国强;李金龙;张敏;王煦法
5.一个以时延优化为目标的力指向Steiner树算法 [J], 洪先龙
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斯坦纳最小树
(4)模拟退火法
这是一种通用的随机搜索法，是解决NPH 问题的比较有效的方法。 1）给定点集连同一些虚设点一起构成点集 Z，求Z的最小支撑树，其费用记为C，置 k=0； 2）产生新的点集S 从以下几种方式中随机选择一种： ·加入一个新的虚设点 ·去掉一个存在的虚设点 ·移动一个现有的虚设点到一个随机的允 许位置
结果
用穷举法可得到给定的9个通讯站的最 小Steiner树，共有5个，费用为94。 图13.9给出了这5个最小Steiner树， 其中每个Steiner树都含4个或5个 Steiner点。因此可按图13.9中任何一 个Steiner树来设计给定9个站的费用 最少的局部网络。
图13.9
在下述四类区域中不含Steiner点
D 1 {( x , y ) | x x 00 ( k ), y y k }; D 3 {( x , y ) | x x 10 ( k ), y y k }; D 2 {( x , y ) | x x 01 ( k ), y y k }; D 4 {( x , y ) | x x 11 ( k ), y y k };
用模拟退火法来求图13.4所给出的9个点的 最小Steiner树，在25MHz型386计算机上 运行，大约1.5分中便可得到了最优解。 对应于随机数产生器的不同种子的不同运 行，可给出全部五个不同的最优解。 在上百次运行中，模拟退火法都总是收敛 到五个最优解中的一个。 计算时间方面的优越性表明当该问题的规 模较大，穷举法不可行时，模拟退火法的 价值。
问题
假定要设计一个有9个通 讯站点的局部网络，使 其造价最低。这9个站的 直角坐标为： a(0,15), b(5,20), c(16,24), d(20,20), e(33,25), f(23,11), g(35,7), h(25,0), i(10,3)。 求出联结这9个通讯站的 最小Steiner树。
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第33卷 第6期 1999年6月 西 安 交 通 大 学 学 报JOURNALOFXI′ANJIAOTONGUNIVERSITY Vol.33 №6 Jun.1999已知拓扑下的4度Steiner树算法叶继昌,徐寅峰(西安交通大学,710049,西安)摘要:设N为平面上2n个固定点的集合,M为n-2个可动点的集合,E为连接这些点的边的集合(也称作拓扑).设E为点集V上的满4度Steiner拓扑(满Steiner拓扑也就是满足固定点的度为1,可动点的度为4的树的拓扑),H(E)为包含E在内的所有E的退化拓扑的集合.文中构造了计算拓扑属于H(E)的4度Steiner树算法,并证明了算法的时间复杂性是O(n2).关键词:Steiner树;拓扑;网络中国图书资料分类法分类号:TN711;T733;O157.5Algorithmfor4ΟDegreeSteinerTreeTo pologyYe Jichan g,Xu Yin fen g(Xi′anJiaoton gUniversit y,Xi′an710049,China)Abstract:Let N denoteasetSof2n fixed pointsand M asetof m moving pointsinthe plane.AsetE ofed gesconnectin gthese pointsiscalledato pology.Let E beafull4de greeSteinerto pology(i.e. theto pologyofthetreewhichcontainsfixed pointsofde gree1andmovin g pointsofde gree4)onthe set V suchthatthesetofto pology H(E)includes E andit′sde generatecases.Anal gorithmis pre2 sentedforfindin ga42degreeSteinertreewhoseto pologybelon gsto H(E).Thetimecom plexit yof theal gorithmis O(n2).Ke ywords:steiner tree;topology;networks 设N是2n个固定点的集合,M是n-1个可动点的集合,N和M中的元素分别称为正则点和Steiner点,互联V=N∪M的网络边的集合称为拓扑.如果V上的拓扑满足正则点的度为1,Steiner 点的度为4,则称它为满4度Steiner拓扑(F4DST).设D为V上所有F4DST及其退化拓扑(即F4DST 中某正则点与某Steiner点重合的拓扑)的集合,记t为点集V上的树,T(t)表示树t的拓扑,l(t)表示树t的长度,如果树t满足任何点处两相邻角之和都不小于π(称为4度Steiner树的角条件)且其拓扑T(t)∈D,则称t为4度Steiner树(简记作4DST),T(t)称为4度Steiner拓扑.如果T(t)是F4DST,则称t为满4度Steiner树.设E为F4DST,用H(E)表示包含E在内的所有E的退化拓扑的集合.本文构造了计算H(E)中的4DST的O(n2)算法.关于平面Steiner最小树问题[1,2],M.R. Garey[3]证明了它是NPΟ难的.Hwan g和Weng[4]讨收稿日期:1998Ο06Ο23.作者简介:叶继昌,男,1963年1月26日生,理学院科学计算与应用软件系,副教授.基金项目:国家自然科学基金重点资助项目(19731001).论了已知拓扑下的Steiner最小树算法,本文将其推广到4DST问题上.1 基本概念和定义构造H(E)中的4DST可以看成是调整E的边,因为这些边的交点确定了Steiner点.为方便起见,将边看成是有向的,当其处在每一可能调整的位置上时称其为射线.射线r的起始点称为基,记为b (r).从水平线沿逆时针方向旋转到r的角记成θ(r).将E中边e对应的所有射线的集合称为发射体.将与正则点相连的边称为终端边.与终端边对应的发射体为从正则点出发沿各个方向的射线的集合,这样的发射体称为星.如果E中的两边与同一个Steiner点相连,则称这两个发射体相邻.如果分别属于两个发射体的两条射线是相向的,则称这两条射线为相对的对子(简称相对对).下面我们来解释Steiner合并、星合并、基合并等概念.设L1、L2、L3分别是边e1、e2、e3所对应的星发射体,边e1、e2、e3与同一Steiner点s相连,则L1、L2、L3是相邻的.设与s相连的第4条边为e4,那么这3个发射体通过合并得到的新发射体L4为边e4所对应的发射体.合并是指从L1、L2、L3中分别取出一条射线.根据4DST的角条件确定与e4对应的一条射线,首先求L1和L2的相对对,设r12∈L1和r21∈L2,在L3中选取与线段b(r12)b(r21)相交的射线r3,由这3条射线确定的L4中的射线r4为与r3平行且同向,r4的基b(r4)为线段b(r12)b(r21)与射线r3的交点,如图1所示.这种方图1 Steiner合并式生成的射线称为Steiner合并.如果3个相邻的发射体中含有星,我们则要考虑所谓的基合并或星合并.设L1是星,若L1和L2,L1和L3的相对对都存在,分别为r12和r21, r13和r31,若r21和r31的夹角小于π,则由在射线r21和r31组成的角形域中,以r21和r31的交点为基在这个角形域内的所有射线构成的集合称为角体,它是L4的子集.将r21和r31称为角体的支撑柄,并称以这种方式生成的射线集为基合并,如图2a所示.图2b为3个星的基合并.若r21和r31的夹角等于π,则将L1、L2和L3合并生成的L4为L1称为伪星,将r21和r31称为伪星的轴.这种合并称为星合并,如图3所示.(a)一个星的基合并 (b)三个星的基合并图2 基合并图3 星合并 如果B是一条射线或是满足下列条件,则称B为射线束:(1)B是由连续的射线构成的集合,且这些射线所张成的角θ(B)≤π.(2)集合b(B)={b(r)|r∈B}称为B的基,它是一直线段或一个点.如果两个射线束接触处既不重迭也没有裂缝且它们的基线构成一直线段,则称它们是相邻的.多射线束M(B1,…,B m)或是一个射线束(m=1)或是多个相邻的射线束(m>1),满足θ(M)=∑mi=1θ(Bi)≤π,如图4所示.(a)一个射线束 (b)多射线束图4 射线束示意图根据4DST的角条件,4DST的所有顶点的度都不超过4.因此,一条能被收缩而不引入5度及5度以上顶点的边的充要条件是被收缩的边是终端边.如果发射体L上有沿各个方向的射线,且其基b(L)={b(r)|r∈L}是一个点,则L要么是星要么是伪星.如果L的基b(L)是三角形,则称L为三角形.如果L由多个多射线束的并组成,则称L为残缺三角形,如图5.(a)星,伪星 (b)三角形19第6期 叶继昌,等:已知拓扑下的4度Steiner树算法(c)有角体的残缺三角形 (d)无角体的残缺三角形图5 各种发射体2 算法本算法由2部分组成:(1)合并阶段.合并阶段的每一步都在某一点(如s)处相邻的发射体L1、L2和L3被合并成一个新的发射体L4(若L4为一个空发射体,则H(E)中的4DST不存在),这个L4与和s相连的第4个边对应.合并阶段开始时,有2n个终端边,对应2n个星.每个合并步都减少2个发射体,在n-1个合并步后,仅剩下2个发射体,此时,合并阶段结束.为方便起见,我们要求剩下的2个发射体都不是星,这是容易做到的.在第n-2个合并步后,我们有4个发射体,这4个发射体中至少有一个不是星,我们可以合并另外3个发射体,从而使得到的2个发射体都不是星.(2)调整阶段:由于E中有3n-2个边,而每个合并步都去掉3个边,所以合并结束时仅剩下一个边e对应剩下的2个发射体.寻找这2个发射体的相对对,若不存在,则H(E)中的4DST不存在;否则,相对对的2个基之间的线段就确定了边e.从e开始,我们连续地回溯追踪,最后3n-2个边被确定,得到一个4DST.定理1 算法输出一个4DST的充要条件是H (E)在V中存在4度Steiner树.证明 对于算法中的3种合并类型,显然合并阶段保留了所有4DST,而并没有引入任何非4DST.合并阶段结束时,对应同一个边e有两个发射体L和L′.由先前的假设剩下的两个发射体都不是星,那么边就不是终端边.因而,如果边e收缩,则4DST不存在.如果发射体L和L′中不存在相对对,那么H(E)中也不存在4DST.如前所述,一旦找到相对对,接下去的调整将会自动地完成并生成一个4DST.定理1证毕.3 算法的复杂性设B1和B2是两个射线束,如果B1和B2的边界射线构成如图6中的几种形状,则称B1和B2是可构形的,并称图6a、b、c、f为凸形,d、e为凹形.否则称B1和B2是不可构形的.(a)凸形 (b)凸形(c)凸形 (d)凹形(e)凹形 (f)凸形图6 B1和B2的构形图下面的引理1是显然的.引理1 两射线束B1和B2存在相对对的充要条件是B1和B2是可构形的且其构形图是凸形.首先讨论确定相对对的时间复杂性.我们给出如下引理.引理2 确定两多射线束M(B1,…,B p)和M (B′1,…,B′q)的相对对,或说明其相对对不存在所需时间均为O(p+q).证明 设M(B1,…,B p)和M(B′1,…,B′q)如图7所示.如果B1和B′1是可构形的,那么其构形图若是凸形,由引理1知在B1和B′1中存在相对对,连接t(B1)和t(B′1)即得相对对.若是凹形,相对对应在M(B1,…,B p)和M(B′2,…,B′q)中.如果B1和B′1是不可构形的,不妨设B1和B2的公共边界与B′1的两条边界不相交但与M(B′2,…, B′q)相交,如图8,显然相对对只能在M(B1,…, B p)和M(B′2,…,B′q)中.如此下去,至多经过p+ q步就可得到相对对或说明不存在.若相对对存在,则两个射线束的顶的连线就确定了相对对,因而可用常数时间完成.引理2证毕.其次讨论3个相邻发射体L1、L2、L3经合并生图7 M(B1,…,B p)和M(B′1,…,B′q)29西 安 交 通 大 学 学 报 第33卷图8 B1和B′1是不可构形的成L4所需时间及L4中射线束的个数.为了讨论方便,我们将星和伪星看成是由两个射线束组成.设L1、L2和L3分别含有l1、l2和l3个射线束.L1、L2、L3进行的合并无非是基合并、Steiner合并、星合并.无论进行哪种合并都要确定相对对.由引理2,确定相对对需O(l1+l2+l3)时间.由此,我们在已知相对对的前提下讨论这3种合并.由星合并和基合并的过程知它们可在常数时间内完成.先看看射线束、星或伪星的Steiner合并.由于射线束是由基和它的顶所确定,当基为点时,这个射线束是角体,这时它由它的两个支撑柄即可确定,星和伪星由一点也可确定.所以由Steiner合并的定义,这个合并可用常数时间完成;由上述可知L1,L2,L3的Steiner合并至多用O(l1+l2+l3)时间;由于星或伪星都被看成是由两个射线束组成,而星或伪星的Steiner合并至多生成一个射线束,所以若L1,L2, L3中有k(0≤k≤3)个星或伪星,则至多生成l1+ l2+l3-k个射线束.由此得L1、L2、L3合并至多需O(l1+l2+l3)时间.注意到若进行星合并,就不能进行Steiner合并和基合并,我们由3个发射体的合并生成的新发射体的射线束数不超过原来3个发射体的射线束总数.最后,我们讨论算法的复杂性.算法开始时我们有2n个星,因而共有4n个射线束.我们已经说明了每个合并步并不增加射线束总数.因此,发射体L 至多包含4n个射线束.故每个合并步至多需O(n)时间.由于有n-1个合并步,因此合并阶段共需时间O(n2).在调整阶段开始,我们需要寻找相对对,由上述讨论知需O(n)时间.在接下去的调整过程中,已知一条射线r,要找出生成射线r的3条射线r1、r2、r3,这个过程至多经过n-1步.下面说明每一步仅需常数时间:若射线r的基b(r)落在正则点上,那么射线r所在的射线束B要么是角体,要么是伪星,不可能是星(因为此时这条边的调整已经结束),角体的两个支撑柄或伪星的两个轴就是生成r的3条射线中的2条,第3条相对对应的边退化为零.若射线r的基b(r)不落在正则点上,那它就是Steiner 点,射线束B的基线b(B)对应两个正则点x和y,而[x,b(r)]和[y,b(r)]是生成r的2条射线.不妨设第3条射线对应的射线束为B3,则[t(B3),b (r)]为生成r的第3条射线.每个射线束的顶及射线束的基线对应的两个正则点可在构造B时储存起来.由此得出调整阶段所需时间为O(n).综上所述,有如下定理:定理2 算法的时间复杂性为O(n2).4 结束语本文给出的计算已知拓扑下4度Steiner树的算法在油田集输站选址[5,6]等许多问题中有很好的应用价值.k度Steiner树的算法设计值得进一步深入研究,它有着十分重要的理论意义和非常广泛的应用前景.参考文献:[1] GilbertEN,PollakHO.Steinerminimaltrees.SIAMJApplMath,1968,16(1):1～29.[2] TrietschD,Hwan gFK.Anim provedal gorithmforSteinertrees.SIAMJA pplMath,1990,50(2):244～263.[3] GareyMR,GrahamRL.Thecom plexit yofcom putin gSteinerminimaltrees.SIAMJA pplMath,1977,37(4):835～859.[4] HwangFK,Wen gJ.F.Theshortestnetworkunderagivento pology.JAl g,1992,13:468～488.[5] 陈德泉.原油集输系统规划优选研究.优选与管理科学.1987,3(3):1～8.[6] 徐寅峰,刘自成.关于最大权kΟ子集分析问题.高校应用数学学报,1994,9(4):453～457.(编辑 狄怀春赵大良)39第6期 叶继昌,等:已知拓扑下的4度Steiner树算法。