高中数学圆锥曲线教学研究
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究张尤凤张雅婧
高中数学圆锥曲线教学方法及解题技巧探究张尤凤张雅婧发布时间：2021-09-29T00:41:01.455Z 来源：《现代中小学教育》2021年9月上作者：张尤凤张雅婧[导读] 长期以来，圆锥曲线一直是高考数学中的关键测试点、高频考点。
山西省运城中学张尤凤张雅婧摘要：长期以来，圆锥曲线一直是高考数学中的关键测试点、高频考点。
除了出现在客观问题中外，它还以主观问题的形式出现，占有相对较大的分值比。
学生对圆锥问题的掌握程度直接影响着高考成绩。
圆锥曲线包含许多问题类型，并且解决问题的过程非常繁琐，以至于学生如果不小心就会犯错误.圆锥曲线的问题相对困难，但是解决它们的方法和技术仍然存在，一旦掌握了解决问题的技能，就可以快速解决它们。
本文旨在探讨高中数学中与圆锥曲线相关的教学方法和解决问题的技巧，并帮助学生解决问题。
关键词：高中数学；圆锥曲线；教学方法；解题技巧高考是人生的重要转折点，高中数学在高考中扮演着不可或缺的角色，且在高考成绩中占据较大的分值。
对于高考数学来说，圆锥曲线知识更是每年的必考点，不仅在选择题中有所涉及，更常常成为最后的压轴题。
根据统计结果，圆锥曲线知识的分值将近占到了高考数学总分的20%，这是多么庞大的数据。
由此可见，学生学好圆锥曲线知识十分必要，这将极大地促进他们高考成绩的提高，帮助他们走向光明灿烂的未来。
一、圆锥曲线知识的教学方法（一）创设情境，激发学习兴趣兴趣是最好的老师，是提高教学效果的重要因素，更是学生自主学习的强大内驱力。
在圆锥曲线知识的教学中，教师应该充分发挥“兴趣”的力量，积极创设学生感兴趣的教学情境，引导学生产生学习圆锥曲线知识的欲望和动力，激发他们的学习热情，从而取得良好的教学效果。
比如，笔者在教学“椭圆及其方程”时，就创设了人造地球卫星绕地球运转的问题情境，提问学生：“卫星的运转轨道是什么图形呢？卫星运转轨道的一般方程是不是被科学家已知的，否则他们如何放心地发射人造卫星呢？万一卫星运转发生了偏移该怎么办？”学生们的学习兴致一下子被激发出来，展开了热烈的讨论。
高中数学圆锥曲线解读教案
高中数学圆锥曲线解读教案
教学目标：
1. 了解圆锥曲线的基本概念和性质；
2. 掌握圆锥曲线的方程及其图像的特点；
3. 能够通过方程求解圆锥曲线的各项参数。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
1. 引入圆锥曲线的概念，介绍圆锥曲线在实际生活中的应用。
2. 提出学习目标，激发学生的学习兴趣。
二、讲解（15分钟）
1. 讲解圆、椭圆、双曲线、抛物线等四种圆锥曲线的定义和性质。
2. 介绍圆锥曲线的方程和各项参数的含义。
3. 分别展示各种圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
三、练习（20分钟）
1. 给学生提供几个圆锥曲线的方程，让他们分别绘制出对应的图像。
2. 让学生通过方程求解圆锥曲线的焦点、准线、长轴、短轴等参数。
四、展示（10分钟）
1. 学生展示他们绘制的圆锥曲线图像，并解读图像的特点。
2. 请学生通过求解方程，解读各种参数的意义。
五、总结（5分钟）
1. 总结圆锥曲线的性质和方程求解方法。
2. 强调重点，提醒学生注意常见的错误和解题技巧。
教学反思：
通过这节课的教学，学生能够对圆锥曲线的基本概念和性质有所了解，提高了他们的数学能力和解题技巧。
在未来的教学中，可以适当增加实例分析，激发学生的思维和创造力。
高中数学教案——圆锥曲线方程教材分析
第八章圆锥曲线方程教材分析本章是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。
这一章主要学习椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、简单几何性质以及它们的简单应用全章共分6个小节，教学时间约为18课时，各小节的教学时间分配如下：8．1椭圆及其标准方程 3课时8．2椭圆的简单几何性质 4课时8．3双曲线及其标准方程 2课时8．4双曲线的简单几何性质 3课时8．5抛物线及其标准方程 2课时8．6抛物线的简单几何性质 2课时小结与复习 2课时一、内容与要求(一)本章的教学内容圆锥曲线这一章研究的对象是图形，包括三种曲线：椭圆、双曲线、抛物线，使用的方法是代数方法，它的基础是第七章学过的曲线和方程的概念我们知道，曲线可以看成是符合某种条件的点的轨迹，在解析几何里用坐标法研究曲线的一般程序是：建立适当的坐标系；求出曲线的方程；利用方程讨论曲线的几何性质；说明这些性质在实际中的应用在第七草里学生已经初步学习了这种方法，不过，“圆锥曲线”这一章中，这种研究曲线的方法和过程以及它的优势体现得最突出所以，“圆锥曲线”一直是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用本章研究的椭圆、双曲线、抛物线的方程，主要是它们在直角坐标系中的标准方程，所谓标准方程就是曲线在标准位置时的方程，即曲线的中心或顶点在坐标原点，对称轴在坐标轴上时的方程，通过对这种方程的讨论得到的曲线的性质，可以利用平移图形推广到曲线的其他位置上去，所以，曲线的标准方程及它们在标准位置上的性质是本章的重点(二)教学要求本章的教学要求归纳起来有以下几点：1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和几何性质；2．能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图形，并了解圆锥曲线的初步应用；3．进一步掌握坐标方法；4．结合本章内容的教学，使学生进一步领会运动变化、对立统一的观点解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各坐标方法是要求学生掌握的，但是，作为普通高中的必修课的教学要求不能过高，只能以绝大多数学生所能达到的程度为标准二、本章的主要特点(一)突出重点1．突出重点内容本章所研究的三种圆锥曲线，都是重要的曲线因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种曲线没有平均使用时间和力量，而是把重点放在椭圆上通过求椭圆的标准方程，使学生掌握列这一类轨迹方程的一般规律，化简的常用办法这样，在求双曲线、抛物线方程的时候，学在讨论椭圆的几何性质时，教材以椭圆为例详细地说明了在解析几何中讨论曲线几何性质的一般程序，以及怎样利用方程研究曲线的范围、对称性，怎样确定曲线上的点的位置等，这样，学生在学习双曲线和抛物线时，就可以练习使用这些方法，从而在掌握解析几何基本方法上得到锻炼和提高在讨论曲线的几何性质时，不求全，有选择地介绍主要性质以便学生集中精力掌握圆锥曲线的最基本的性质2．突出坐标方法要重视数学思想方法的教学，结合教学内容，把反映出来的数学思想方法的教学，作为高中数学教学的一项重要任务来完成根据圆锥曲线这部分内容的特点，在这一章里把训练学生掌握坐标法作为这一章数学方法教学的重点例如教材在第8.6节中选择了一个求正三角形边长的例题，解这个题目时，首先要证明正三角形的对称轴就是抛物线的对称轴，这是用方程证明图形性质的问题，并且是比较典型的(二)注意内容的整体性和训练的阶段性高中数学教材是一个整体，各部分知识和技能之间是有机联系着的，特别是教材采用了“混编”的形式，将代数、立体几何、解析几何合成统一的高中数学，这就更需要加强各章之间的联系，互相配合，发挥整体的效益(三)注意调动学生学习的主动性教材是为教学服务的，归根结底是为学生服务的学生是学习的主人，只有他们有主动性，才能达到学会学好的目的目前，高中学生被动学习的现象比较突出，在调动学生学习的主动性方面，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路例如，在讲椭圆的几何性质时，由于这是第一次出现，所以教材增加了一些说明性的文字，首先说明解析几何里讨论曲线性质时，通常要讨论哪些性质，然后说明用方程讨论这些性质时的一般方法，这就使学生知道为什么学习，怎样去学习，学习就会变得主动又如，学生学习中遇到的另一个问题是不会分析问题，遇到问题不知从什么地方入手，只好被动地听讲教材注意提高例题的质量，在一些例题中给出了分析或小结(例题解后的注)，通过对一些典型例题的分析，使学生学会分析解题思路,找出问题的关键，减少解题的盲目性；通过小结，指出解决问题的一般规律，提高学生解决问题的能力，提高学习效率三、教学中应注意的问题(一)注意准确地把握教学要求准确地把握教学要求包括两个方面，第一是把握好大纲的精神，第二是学生的实际 根据大纲的精神，圆锥曲线部分是属于控制教学要求的内容，但目 如何控制教学要求是个难点 高中的教学时间有限，作为全体学生都必须掌握的必修课程，应以最基础的知识和最基本的技能、能力为主，要使学生切实把基础打好不要过分重视技巧性很强的难题从学生的学习规律来说，训练不能一次完成，要循序渐进，打好基础才能有较大的发展余地，急于求成是不可取的；学生的基础、兴趣、志向都是不同的，要根据学生的实际提出恰当的教学要求，这样学生才有学习的积极性，才能使学生达到预定的教学要求(二)注意形数结合的教学解析几何的特点就是形数结合，而形数结合的思想是一种重要的数学思想，是教学大纲中要求学生学习的内容之一，所以在这一章的教学过程中，要时刻注意这种数学思想的教学，并注意以下几点：1．注意训练学生将几何图形的特征，用数或式表达出来，反过来，要使他们能根据点的坐标或曲线的方程，确定点的位置或曲线的性质，使学生能比较顺利地将形的问题转化为数或式的问题，将数或式的问题转化为形的问题。
圆锥曲线教材分析(王秀彩)
教师专业成长途径
参加专业培训
教师应积极参加教育部门组织的数学专业培训，提高教育教学水平。
开展教学研究
教师应积极参与数学教学研究，发表教研论文，分享教学经验，促 进专业成长。
加强交流合作
教师应加强与同行之间的交流合作，共同探讨数学教学中遇到的问 题，相互学习，共同进步。
06 总结与展望
对本次教材分析的总结
圆锥曲线教材分析王秀彩
目 录
• 教材概述 • 圆锥曲线基础知识 • 圆锥曲线的教学方法与策略 • 圆锥曲线在高考中的地位与命题趋势 • 教材使用建议与拓展资源 • 总结与展望
01 教材概述
教材内容与结构
内容丰富
涵盖了圆锥曲线的基本概念、性质、 方程和图形等多个方面，内容全面且 深入。
结构清晰
按照从基础到深入的顺序，逐步引入 圆锥曲线的相关知识，层次分明，易 于学生理解和掌握。
04 圆锥曲线在高考中的地位 与命题趋势
高考考情分析
圆锥曲线是高考数学中的重要考点，主要考察学生对椭圆、双曲线、抛物 线等基本概念、性质和应用的理解和掌握。
高考中对于圆锥曲线的考察方式多样，既有选择题、填空题，也有解答题， 其中解答题往往涉及到多种知识点的综合运用。
圆锥曲线在高考中的难度属于中等偏上，需要学生具备扎实的数学基础和 较强的思维能力。
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拓展资源推荐
优秀教辅资料
推荐《圆锥曲线专题精讲》、《高中数学圆 锥曲线解题技巧》等教辅资料，帮助学生深 化对圆锥曲线的理解。
网络学习资源
推荐中国大学MOOC、网易公开课等在线课程平台 ，学生可自主选择相关课程进行拓展学习。
数学竞赛资源
新课程标准下高中数学圆锥曲线教学分析与研究
新课程标准下高中数学圆锥曲线教学分析与研究摘要：在高中数学教学实践中，圆锥曲线是非常核心的教学内容，更多以压轴题的形式出现。
作为高中数学中的难点内容，在圆锥曲线的教学实践中，教师应该充分全面的依托于新课程标准，全面变革圆锥曲线的教学方式，更好的提升圆锥曲线的教学成效，全方位提升高中数学的整体教学质量以及教学成效。
关键词：新课程标准；高中数学；圆锥曲线；教学分析伴随着新课程标准的落实，圆锥曲线的教学要求不断提升。
但部分教师在圆锥曲线的教学实践中，仍习惯采用传统的教学方法，这在很大程度上影响和制约着圆锥曲线的整体成效，也影响着学生的学习质量。
为此，在高中数学圆锥曲线的教学实践中，教师应该充分全面的依托于新课程标准，积极变革和创新圆锥曲线的教学方式，更好的提升圆锥曲线的教学成效，全方位优化学生的数学素养以及核心能力。
1以新课程标准为依托明确圆锥曲线教学要求作为高中数学中的教学重难点，在圆锥曲线的教学过程中，教师应该充分全面的依托于新课程标准的要求，不断实现圆锥曲线教学的“屡新”。
对比旧的课程标准，新课程标准对圆锥曲线的教学提出了新的要求，也增加了很多新的内容，这在很大程度上增加了教学难点，同时也影响着教师的教学思路。
若教师仍以旧的课程标准为基础来开展圆锥曲线的教学，势必会在很大程度上影响和制约着教学成效，也难以符合新课改以及新的考试大纲的要求。
为此，教师在圆锥曲线的教学实践中，应该充分对比与研究新的课程标准，继而完整全面的把握新的知识点。
比如在新课程标准下，圆锥曲线在以往知识的基础上，增加了一些天文方面的知识，利用天文知识和卫星的运转轨迹引出要讲解的知识点。
同时，在新课程标准下，教师应该充分全面的突出学生的主体性地位，不断优化和提升学生的自主学习能力。
学生才是学习的主体，在新课程标准下，教师应该充分全面的突出学生的主体性地位，引导学生积极主动的投身于数学学习实践中，更好的提升和优化学生的自学意识，引导学生深入开展数学探究工作。
立足教材培养数学核心素养——以“圆锥曲线案例教学设计”为例
转化为简单明了的知识是关键 ．
因此要合理处理教 材,
是统一的 ．
方法二还 可 以 培 养 学 生 敏 锐 的 观 察 力 并 促
设计符合不同阶段学生学 情 的 问 题,在 概 念 教 学 中 培
进学生深度 思 考,将 数 学 抽 象、逻 辑 推 理 等 核 心 素 养
养数学抽象、逻辑推理等核心素养 ．
出了较高的 要 求,学 生 不 仅 要 有 扎 实 的 基 础,还 要 有
分析:很多学生出现以 上 错 误 是 因 为 在 解 题 时 对
条件进行了不等价转化 ．
对于以上问题,可以借助一 个
反例加以说明:已 知 当 x∈ [－１,
０]时,
x)＝x －１;
f(
当 x∈ (
可 以 得 到 x ∈ [－１,
方程的定义得出结论,自然又逻辑严密 ．
课标要求的主要载体,承载 着 使 学 生 全 面 发 展 和 终 身
M 的横坐标与点 P 一致,长轴长为圆 的 直 径,即 ２a＝
４;点 M 的 纵 坐 标 为 点 P 的 一 半,则 短 轴 为 圆 的 半 径,
和社会发展需 要 的 必 备 品 格 和 关 键 能 力 [１]．
的思维发散 筑 垒 平 台,在 问 题 发 现 中 培 养 直 观 想 象、
数学建模等核心素养 ．
b
与直线 OM 的斜率之积为定值 － ２ ．
a
２
x２ y２
性质二:若 A ,
B 是 椭 圆 ２ ＋ ２ ＝１(
a＞b＞０)上
a b
关于原点对称的的两点,
M 是椭 圆 上 异 于 A ,
B 的 点,
b
则直线 AM ,
b
kAB ＝－ ２ ．
高中数学人教a版教材中圆锥曲线内容的比较研究
高中数学人教a版教材中圆锥曲线内容的比较研究
本文旨在研究《新人教版高中数学选修中圆锥曲线课程》内容的比较。
本文将首先介绍圆锥曲线的基本概念，然后介绍两种版本教材内容的比较，最后总结圆锥曲线在新人教版高中数学选修部分的内容特点及其特点。
首先，什么是圆锥曲线?圆锥曲线是一类曲面，它是由椭圆、双
曲线和圆交组成的曲面，它们在一个或几个平面上形成曲率半径不同的曲线，并且在一定范围内具有不变的曲线本质。
圆锥曲线主要应用于测量、绘图以及解决各种运筹学问题等。
其次，新人教版高中数学选修中的两种版本的圆锥曲线内容比较。
首先，《新人教版高中数学选修A版》介绍了曲面的概念，并介绍了
圆锥曲线的概念，包括概念的基本特点，方程的推导，以及解法的方法。
其次，《新人教版高中数学选修B版》不仅介绍了圆锥曲线的概念，还介绍了圆锥曲线具体的解法和求距离的方法，针对圆锥曲线的概念，方程和解法做出了具体的解释。
最后，新人教版高中数学选修部分的两种版本圆锥曲线内容有一定区别和特点，其中A版主要介绍圆锥曲线的概念和方程的求解，B
版则主要介绍圆锥曲线的具体解法和求距离的方法。
此外，两种版本的教材都具有良好的逻辑性，各部分内容连贯，思路清晰，有助于学生深入理解圆锥曲线的概念。
综上所述，新人教版高中数学选修的A版和B版教材圆锥曲线内容具有一定的区别，包括面向不同程度的学生，深入浅出地讲解圆锥
曲线的概念，以及提供具体的解法和求距离的方法等。
这样，学生可以更好地掌握圆锥曲线的知识，从而增强数学思维能力和解决实际问题的能力。
圆锥曲线高中数学讲解教案
圆锥曲线高中数学讲解教案
一、教学目标：
1. 了解圆锥曲线的定义和基本性质；
2. 掌握圆锥曲线的标准方程和性质；
3. 能够根据给定的条件求解圆锥曲线的方程；
4. 能够利用圆锥曲线解决实际问题。
二、教学重点：
1. 圆锥曲线的定义；
2. 圆锥曲线的标准方程；
3. 圆锥曲线的性质。
三、教学难点：
1. 圆锥曲线的方程求解；
2. 圆锥曲线的性质证明。
四、教学过程：
1. 圆锥曲线的定义和基本概念（15分钟）
- 圆锥曲线的定义；
- 圆锥曲线的类别；
- 圆锥曲线的几何性质。
2. 圆锥曲线的标准方程和性质（20分钟）
- 圆的标准方程和性质；
- 椭圆的标准方程和性质；
- 双曲线的标准方程和性质；
- 抛物线的标准方程和性质。
3. 圆锥曲线的方程求解（30分钟）
- 根据给定的条件求解圆锥曲线的方程；
- 利用圆锥曲线求解实际问题。
4. 圆锥曲线的性质证明（15分钟）
- 圆锥曲线的对称性证明；
- 圆锥曲线的焦点、准线和直径关系证明。
五、教学总结：
通过本节课的学习，我们对圆锥曲线的定义、标准方程和性质有了更深入的了解，掌握了圆锥曲线的求解方法和应用能力。
希望同学们能够认真复习，做好练习，提高对圆锥曲线的理解和应用能力。
下节课将继续深入学习圆锥曲线的相关内容，敬请期待。
高中数学圆锥曲线教案
高中数学圆锥曲线教案
一、教学目标
1.了解圆锥曲线的定义和基本性质。
2.能够掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
3.能够解决与圆锥曲线相关的问题。
二、教学重点和难点
重点：掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
难点：理解圆锥曲线的定义及性质。
三、教学内容
1.圆锥曲线的定义和基本性质。
2.圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
3.圆锥曲线的相关问题解决方法。
四、教学过程
1.导入新知识：通过引入一个问题或实际应用场景引起学生的兴趣。
2.讲解圆锥曲线的定义和基本性质，包括椭圆、双曲线和抛物线。
3.介绍圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
4.通过实例分析，让学生熟悉解决与圆锥曲线相关的问题的方法。
5.组织学生进行练习和讨论，巩固所学知识。
6.总结本节课内容，提出问题进行思考，激发学生的学习兴趣。
五、课堂作业
1.完成练习题。
2.思考如何将圆锥曲线应用到实际生活中。
六、教学反思
本节课主要对圆锥曲线的定义和基本性质进行了讲解，并通过实例让学生掌握了圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
同时也引导学生思考如何将所学知识应用到实际生活中。
在教学过程中需要注意引导学生正确理解圆锥曲线的概念，帮助他们建立深刻的认识。
浅析圆锥曲线在高中数学中地位及重点
浅析圆锥曲线在高中数学中地位及重点
高中数学课程中，圆锥曲线占据着独特的地位，非常重要。
它既是圆论中的重
要概念，也是几何学中无可置疑的重点。
圆锥曲线是数学研究中传统的研究对象，也是多角形的一种，使用广泛并应用于科学研究的诸多方面。
它的功能及其所涉及的问题是数学家和物理学家多年来深刻思考及研究的话题。
高中数学中，圆锥曲线的基本结构包括原点、坐标轴、锥轴、锥曲线和旋转轴等，这是绘制圆锥曲线的关键步骤，也是学习圆锥曲线的重要环节。
圆锥曲线的讨论也涉及到面积的计算、曲线的分析、积分、求值及解析等多个方面，它处于一种精细的结构和复杂的性质，一定程度上表示了高中数学的精髓。
圆锥曲线在运筹学和求解多项式方程的过程中也发挥了重要作用。
在企业决策
或工程领域，如分配财政预算、解决冲突等，圆锥曲线可以作为一种巧妙的学习方法来构建最优解，这种优化方法把仿真技术和数学抽象有机结合起来，圆锥曲线优化理论对数值方面和实验领域都有重要的启发作用。
圆锥曲线在高中数学教育中有着多种深度的应用，它既是几何学中一种重要的
研究对象，也有助于实现探究式学习，又兼具科学研究及企业管理等方面的重要性，透过它可获得经济效益及技术创新，对提升学生的学习乐趣及加深其对数学的理解有重要的作用。
高中数学人教a版教材中圆锥曲线内容的比较研究
高中数学人教a版教材中圆锥曲线内容的比较研究近年来，圆锥曲线的研究受到了越来越多的关注，有不少学者对它进行了深入的研究。
圆锥曲线是数学中一种重要的曲线，它具有特殊的几何形状，同时也由有重要的数学意义。
本文主要以高中数学人教a版教材中圆锥曲线内容的比较研究为研究对象，探讨不同版本的教材中圆锥曲线的相关内容及其对比。
首先，本文分析了不同版本的教材中圆锥曲线的定义、性质和求解法。
定义方面，人教a版教材将圆锥曲线定义为以圆锥的双曲线的投影，而新课改后的教材则将圆锥曲线定义为曲面上三维曲线的投影，比起之前的定义更加精确。
性质方面，人教a版教材只将它的性质列举出来，并没有进行进一步的解析与详细说明，而新课后的教材则对这些性质进行了详细解释，使读者能够更好地理解这些性质。
至于求解法，人教a版教材在此处只是简单地介绍了直线经过圆锥曲线上两点的方法，而新课后的教材则更进一步的提出了曲线的选点法，以及圆锥曲线上取点的精确求解法，使得学生能够熟练掌握求解圆锥曲线的方法。
其次，本文还分析了不同的教材中圆锥曲线的应用。
在新课后的教材中，圆锥曲线的应用范围较前有了显著的扩大，它不仅可以用于求解三维几何问题，而且可以用于确定立体图形的投影，以及解决微积分中复杂的函数分析问题。
这些新增的应用方面为学生掌握圆锥曲线的应用提供了更多的思路。
最后，根据本文的分析结果，可以发现新课改后的教材中圆锥曲线的内容要比人教a版教材更加全面丰富。
它不仅在理论部分添加了更多更精确的定义和性质，同时也进行了更细致的描述，提供了更丰富的求解方法；而在实际应用方面，它也将圆锥曲线的应用范围扩大到了几何、微积分等多个方面，使得学生能够更好地掌握圆锥曲线的内容。
综上所述，不同版本的教材中圆锥曲线的内容有了显著的改变，新的教材让其内容更加全面丰富，为学生掌握圆锥曲线提供了更多的理论与实际知识。
因此，圆锥曲线的学习应加强理论概念的掌握，把握相关性质及求解方法，同时灵活运用到实际中去，拓展应用范围，获得更多的知识收获。
《圆锥曲线的方程》教材分析与教学建议新教材人教A版
人教A版选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》教材分析与教学建议2021年9月24日一、本章教材在整册教材及高中数学教学中的地位与作用《圆锥曲线的方程》是在学习《直线和圆的方程》的基础上，进一步运用坐标法研究几何问题，通过行星运行轨道，抛物运动轨迹等，让学生了解圆锥曲线的背景与应用，在平面直角坐标系中，建立它们的标准方程认识椭圆、双曲线、抛物线的几何特征，运用平面解析几何的方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟平面解析几何中蕴含的数学思想，培养学生直观想象、数学运算、数学建模、逻辑推理和数学抽象素养。
二、本章教材与原教材相应内容的主要区别和联系1. 新教材《曲线与方程》不再作为独立单元呈现在旧教材的课本中： 2-1课本35页例题2求解线段垂直平分线后，给出了求解原曲线方程的步骤：（第36页）新教材选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》对应旧教材中《圆锥曲线与方程》，旧教材选修2-1中把《曲线与方程》作为一个独立的单元来处理，选修教材1-1和新教材都是是将这部分内容渗透到圆锥曲线的学习过程中，并在章末小结中（课本143页）给出了曲线的方程与方程的曲线的定义；通过例题和习题把求曲线方程的常用方法一一作了介绍,除了建立三种圆锥曲线的标准方程；由定义或待定系数法确定圆锥曲线的方程外，在例题、习题中都设置了21个求轨迹方程的问题：椭圆有8个：课本108页例2,例3；109页练习4；113页例6；115页习题3。
1中6，8,9,10。
双曲线中共设置了7个求轨迹方程的题：121页的探究；5页例5；126页的练习1；127页习题3。
2中5,10,11,14。
抛物线中共设置了4个：137页例6；138页练习第5题；习题3.3中的第9、11题。
再加上145页的复习参考题中的第9,11题。
2.课本例题、习题有所调整椭圆的例题(7个)，练习题(共11个)（原来分两个练习，现在是三个练习），习题(14个)，总体个数没变，具体题目内容和顺数有所调整；新教材中的例7是与旧教材中的例7相关的一个变式，而旧教材中的例7放到了新教材课后习题13题的位置上；课后习题第2题删除了一个与例1同类型的一个小题，保留了原来的两个小题，删除了旧教材的习题第3题（给出方程画椭圆）；新教材习题14题是原来的A组中的第8题。
让数学美走进高中数学课堂的实践与思考——以《圆锥曲线》的教学为例
人的光芒使数学概念的学习过程变得生动有趣．
２ 在数学美的追求中加深对数学方法的理解
数学家阿达玛曾指出，“科学美感，这种特殊的
《数学之友》 ２０１９年第 １６期
美感，是我们必须信任的向导，因为，惟有美感能预
《数学之友》 ２０１９年第 １６期
让数学美走进高中数学课堂的实践与思考
———以《圆锥曲线》的教学为例
邓 勤
（常州市第三中学，２１３００３）
美，是数学发现和探索之源．古希腊数学家普罗 克鲁斯说：“哪里有数，哪里就有美．”法国数学家庞 加莱则认 为：“数 学 的 灵 感、数 和 形 的 和 谐 感、几 何 学的雅致感，这是一切真正的数学家都知道的真实 的审美感．”而因为数学美的简约、雅致和含蓄的特 点，中学生受到知识基础和审美能力的限制，并不都 具有理想的审美能力去领会数学的美感．将数学审 美引入高中数学课堂教学，让数学美唤醒学生对数 学的美好情感，从而在美的指引下提高数学学习的 兴趣，促进对数学知识的理解和鉴赏，成为中学数学 教学的重要任务之一．本文将以《圆锥曲线》的教学 为例，展现数学美在数学课堂教学中的作用与价值．
统一性是数学美的重要特征之一．《圆锥曲线》 一章中，通常将三种圆锥曲线椭圆、双曲线和抛物线 相互独立、各为整体，在充分研究椭圆的基础上，再 运用类比的方法学习双曲线和抛物线．这样虽突出 了类比的数学方法，但在一定意义上却削弱了几种 圆锥曲线之间应有的本质关系和相互联系．
苏教版《圆 锥 曲 线 与 方 程 》的 课 程 实 施 采 用 了 总———分———总的教学线索，突出了圆锥曲线的整 体感知与教学．展现阿波罗尼奥斯用一个圆锥改变 截面的位置产生三种曲线的过程，使学生从整体上 认识三种曲线的内在联系，让学生充分感受到不同 曲线所体现出来的数学的统一性．通过多媒体展示， 学生欣赏到数学的独特美感，体会到曲线之间的内 在联系，对即 将 学 习 的 “形 式 化 ”有 了 感 性 的 基 础， 激发了进一步研究圆锥曲线的兴趣．
浅析新课程下高中数学中圆锥曲线教学
３ 从 教 学 要 求 变 化 中把 握 圆锥 曲线 的 教 学 从教学要求 变化 中把握 圆锥 线的教学 可以得到 以下 几个 方 面。 ３１ 对 概 念 的要 求 ．
旧教材《 教学大纲》 没有 明确地对圆锥 曲线定 义的学习程度 提 出要求 ， 而要求学生掌 握标准方程 和几何 性质 。不言而 喻 ， 标 准方程是 由椭 圆 、 双曲线 、 抛物线 的定义推导 出来的 ， 习定义的 学 目的在于推导标 准方程 。旧教 材《 教学 大纲》 对标 准方程的学习 提 出了明确 的要求 ， 要求 学生掌握 。可 见 ， 旧教材这 一要求没有 考 虑 学生 对 知 识 的具 体 构 建 过 程 ， 视 了 学生 学 的过 程 。而 新 教 忽
用 。但 是 ， 教材 内容来看 ， 从 新教 材 比旧教材增加 了一 些关于圆 锥 曲线实际应用的例题 。新课程标准》 出使学生 了解 圆锥 曲线 《 提 的一些实际应用 ， 感受 圆锥 曲线在刻 画现实世界和解决问题 中的 作用 ， 更加强调圆锥曲线与现实社会 的联 系。 ３３ 对 画 图 的 要 求 ． 旧教材《 教学大纲 》 要求学生会根据所给条件画圆锥曲线 ， 课 堂练 习中还安排 了尺规作图 的习题 。新教材《 教学大纲》 求学 要 生能够利 用工具画 圆锥 曲线 的图形 ， 而课本 中只有描点画 图形 ， 这里 “ 工具 ” 的是 什么？ 指 不得 而知 。 新课程标 准》 《 中对于画圆锥
１ 引言
பைடு நூலகம்
圆 锥 曲线 的 有 关 内容 是 中学 平 面 几 何 的重 要 基 础 知 识 。 从 高 中课 本圆锥曲线的内容看 ， 主要是 系统 讨论 曲线 和方程 、 、 圆 椭 圆 、 曲线 、 双 抛物 线 的 定义 及其 标 准 方程 ， 过 方 程 讨 论 圆锥 曲线 通 的 几何 性 质 、 法 。这 些 内容 是 中学 平 面 解 析 几 何 最 重 要 的 基础 画 知识 ， 也是平面解析几何的核心 。学好 圆锥 曲线这部分 内容对 于 掌 握 解 析 几 何 的 基 础 知 识 具 有 重 要 作 用 。 此 外 ， 好 这 部 分 内 学 容， 对于学生今后学习《 空间解 析几何》 数学分析》 和《 等高等 数学 打 下 了 良好 的基 础” 另 一 方 面 ， 讨 论 圆 锥 曲线 的 有 关 问 题 的 。 在 过 程 中需 要 运 用 直 线 方 程 的有 关 知识 ， 要 综 合 运 用 过 去 学 过 的 需
高中数学中的圆锥曲线参数方程的推导与应用
高中数学中的圆锥曲线参数方程的推导与应用圆锥曲线是数学中的重要概念，在高中数学中也是一个重要的学习内容。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线。
在本文中，我们将探讨圆锥曲线的参数方程的推导与应用。
一、椭圆的参数方程椭圆是圆锥曲线中的一种，它具有两个焦点和两个顶点。
椭圆的参数方程可以通过参数方程的定义来推导。
我们假设椭圆的焦点为F1和F2，两个焦点之间的距离为2c。
椭圆的顶点为A 和B，两个顶点之间的距离为2a。
我们可以定义一个参数t，表示椭圆上的任意一点P的位置。
根据参数方程的定义，我们可以得到椭圆上的任意一点P的坐标(x, y)：x = a*cos(t) + cy = b*sin(t)其中，b表示椭圆的短轴的长度。
通过这个参数方程，我们可以根据参数t的取值来得到椭圆上的各个点的坐标。
椭圆的参数方程在实际应用中有广泛的用途。
例如，在计算机图形学中，可以使用椭圆的参数方程来绘制椭圆的曲线。
此外，在物理学和工程学中，椭圆的参数方程也可以用于描述一些物理现象和工程问题。
二、双曲线的参数方程双曲线是圆锥曲线中的另一种类型，它具有两个焦点和两个顶点。
与椭圆不同的是，双曲线的焦点和顶点之间的距离是相等的。
双曲线的参数方程可以通过参数方程的定义来推导。
我们仍然假设双曲线的焦点为F1和F2，两个焦点之间的距离为2c。
双曲线的顶点为A和B，两个顶点之间的距离为2a。
同样地，我们可以定义一个参数t，表示双曲线上的任意一点P的位置。
根据参数方程的定义，我们可以得到双曲线上的任意一点P的坐标(x, y)：x = a*cosh(t)y = b*sinh(t)其中，cosh(t)表示双曲函数的余弦超b函数，sinh(t)表示双曲函数的正弦超b函数。
通过这个参数方程，我们可以根据参数t的取值来得到双曲线上的各个点的坐标。
双曲线的参数方程在物理学和工程学中有广泛的应用。
例如，在电磁学中，双曲线的参数方程可以用于描述电磁波的传播。
此外，在天文学中，双曲线的参数方程也可以用于描述天体的运动轨迹。
高中数学圆锥曲线的教学难点与解决策略
高中数学圆锥曲线的教学难点与解决策略圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。
它不仅在数学学科中具有重要地位，也在实际生活和其他科学领域有着广泛的应用。
然而，对于学生和教师来说，圆锥曲线的教学和学习都存在着一定的难度。
一、教学难点1、概念抽象圆锥曲线的概念较为抽象，学生难以直观地理解和把握。
例如，椭圆的定义是“平面内到两个定点的距离之和等于常数（大于两定点间的距离）的点的轨迹”，双曲线的定义是“平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于常数（小于两定点间的距离）的点的轨迹”。
这些定义涉及到距离的运算和比较，对于学生的空间想象能力和逻辑思维能力要求较高。
2、图形复杂圆锥曲线的图形较为复杂，其形状和性质随着参数的变化而变化。
学生在绘制图形和分析图形时容易出现错误，难以准确把握图形的特点和规律。
3、计算量大在求解圆锥曲线的相关问题时，往往需要进行大量的计算，如联立方程、求解方程组、化简表达式等。
这些计算过程繁琐，容易出错，对学生的计算能力和耐心是一个很大的考验。
4、综合应用难度高圆锥曲线常常与其他数学知识，如函数、不等式、向量等综合考查。
学生需要具备较强的知识整合能力和综合运用能力，才能解决这些综合性的问题。
二、解决策略1、加强直观教学利用多媒体技术，如动画、视频等，直观地展示圆锥曲线的形成过程和图形特点，帮助学生理解抽象的概念。
例如，通过动画演示动点到两个定点的距离之和或之差的变化过程，让学生直观地看到椭圆和双曲线的形成。
2、注重图形分析在教学中，引导学生仔细观察圆锥曲线的图形，分析图形的对称性、顶点、焦点、准线等重要元素的位置和性质。
通过大量的图形练习，培养学生的图形感知能力和分析能力。
3、优化计算方法教给学生一些简化计算的方法和技巧，如设而不求、整体代换等。
同时，加强学生的计算训练，提高计算的准确性和速度。
4、强化知识整合在教学中，有意识地引导学生将圆锥曲线与其他数学知识进行联系和整合，通过综合性的例题和练习，让学生体会知识之间的相互关系，提高综合运用能力。
数学圆锥曲线高中教案
数学圆锥曲线高中教案教学内容：圆锥曲线的基本概念和性质教学目标：掌握圆锥曲线的定义、方程和性质，能够画出圆锥曲线的图形，并解决相关问题。
教学重点与难点：圆锥曲线的定义和方程、椭圆、双曲线和抛物线的性质。
教学准备：教材、黑板、彩色粉笔、几何工具箱、PPT演示等。
教学过程：一、引入与复习（5分钟）1. 复习前几节课的知识，回顾直线及其方程的相关内容。
2. 引入圆锥曲线的定义，让学生对圆锥曲线有初步了解。
二、椭圆的定义和性质（15分钟）1. 讲解椭圆的定义和方程。
2. 讲解椭圆的性质，如焦点、长轴、短轴等。
3. 给出练习题，让学生练习画出椭圆的图形。
三、双曲线的定义和性质（15分钟）1. 讲解双曲线的定义和方程。
2. 讲解双曲线的性质，如渐近线、焦点等。
3. 给出练习题，让学生练习画出双曲线的图形。
四、抛物线的定义和性质（15分钟）1. 讲解抛物线的定义和方程。
2. 讲解抛物线的性质，如焦点、准线等。
3. 给出练习题，让学生练习画出抛物线的图形。
五、综合练习与拓展（10分钟）1. 随堂小测验，检验学生对圆锥曲线的掌握程度。
2. 给出拓展性练习题，让学生巩固和加深对圆锥曲线的理解。
六、总结与反思（5分钟）1. 总结本节课的重点知识，强调圆锥曲线的重要性。
2. 让学生思考如何运用所学知识解决实际问题。
教学反馈：对学生的表现给予及时的反馈，并根据学生的实际情况进行必要的个性化指导。
教学延伸：鼓励学生积极参与课堂讨论，提高学生的思维能力和解决问题的能力。
教学方式：结合理论讲解和实例演练，引导学生主动思考和发现问题解决方法。
教学环节设计合理，有助于学生有效地掌握圆锥曲线的相关知识，并提高学生的学习兴趣和主动性。
人教版高中数学《圆锥曲线与方程》单元教材教学分析
2、圆锥曲线的教学
(1)基于圆锥曲线的共同特征较多，以及椭圆作为新的轨迹衔接了圆和后续的双曲线，因此，教学中可以加重对椭圆的教学;
(2)注重让学生更好地掌握圆锥曲线的定义和性质特征的教学设计与方法；
(3)在例题、习题选配上，建议
①突出基础与规范。
②突出数形结合。
③突出圆锥曲线的应用
单元目标
了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例，
重点、难点与关键
圆锥曲线与方法和手段的设计
1、曲线与方程的教学——
(1)曲线是方程的曲线、方程是曲线的方程的概念
(2)求轨迹的一般方法
④适当的方程思想、函数思想、转化思想与方法的训练
3、直线与圆锥曲线的教学
(1)教材要求掌握判断直线与圆锥曲线的位置关系、弦长问题、中点问题。——建议在此补充韦达定理、弦长公式，以便简化运算。
(2)在知识的交汇点处适当补充训练，但是要控制难度。
学生思想教育和行为习惯的培养及学习方法
通过本章学习，应用曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。
1、选修4-4参数方程的内容的添加问题
2、关于圆锥曲线的统一定义的处理
3、圆锥曲线考查什么
人教版高中数学《《圆锥曲线与方程》》单元教材教学分析
学段及学科
高中数学
教材版本
人教版
单元名称
《《圆锥曲线与方程》》
单元教材主题内容与价值作用
本单元在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。
高中数学新课圆锥曲线方程教案
高中数学新课圆锥曲线方程教案一、教学目标1. 理解圆锥曲线的基本概念，掌握圆锥曲线的定义及其性质。
2. 学习圆锥曲线的标准方程及其求法。
3. 能够运用圆锥曲线方程解决实际问题，提高数学应用能力。
二、教学内容1. 圆锥曲线的定义与性质1.1 圆锥曲线的定义1.2 圆锥曲线的性质2. 圆锥曲线的标准方程2.1 椭圆的标准方程2.2 双曲线的标准方程2.3 抛物线的标准方程三、教学重点与难点1. 重点：圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求法。
2. 难点：圆锥曲线标准方程的推导与应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究圆锥曲线的定义与性质。
2. 利用图形演示，让学生直观理解圆锥曲线的特点。
3. 运用类比法，引导学生发现圆锥曲线标准方程的规律。
4. 注重实践操作，让学生在解决问题中巩固圆锥曲线方程的应用。
五、教学准备1. 教学课件：圆锥曲线的相关图片、图形演示等。
2. 教学素材：圆锥曲线的实例问题。
3. 学生用书：《高中数学》圆锥曲线相关章节。
教案篇幅有限，后续章节（六、七、八、九、十）将陆续提供。
请随时查阅。
六、教学过程1. 导入：通过展示生活中的圆锥曲线实例，如旋转的伞、地球卫星轨道等，引导学生关注圆锥曲线在现实世界中的应用。
2. 新课导入：介绍圆锥曲线的定义，引导学生理解圆锥曲线的形成过程。
3. 性质探讨：引导学生发现圆锥曲线的性质，如对称性、渐近线等。
4. 标准方程求法：讲解椭圆、双曲线、抛物线的标准方程求法。
5. 巩固练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
七、课堂互动1. 小组讨论：让学生分组讨论圆锥曲线的性质，分享各自的发现。
2. 提问环节：鼓励学生提问，解答学生关于圆锥曲线方程的疑问。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用圆锥曲线方程解决实际问题。
八、课后作业1. 完成学生用书上的课后练习题。
2. 选取一个实际问题，运用圆锥曲线方程进行解答。
九、教学反思2. 反思教学方法：观察学生对圆锥曲线方程的掌握情况，调整教学方法，提高教学效果。
高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究
高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究 问题与知识提出： 圆锥曲线的第三定义：平面内的动点到两定点1,0A a 2,0A a 的斜率乘积等于常数21e 点的轨迹叫做椭圆或双曲线,其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数211e时，轨迹为双曲线，如果211,0e 时，轨迹为椭圆。
圆锥曲线的第三定义的有关结论：1.椭圆方程中有关22b a-的经典结论(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），,A A 为椭圆的长轴顶点，P 点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有1222PA PA b K K a=-(3). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），,B B 为椭圆的短轴顶点，P 点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有1222PB PB b K K a=-(4). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-2.双曲线方程中有关22b a的经典结论(1)AB 是双曲线22221x y a b -=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=， 即2020ABb x K a y =。
(2)双曲线的方程为22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），,A A 为双曲线的实轴顶点，P 点是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有1222PA PA b K K a= (3)双曲线的方程为22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），,B B 为双曲线的虚轴端点，P 点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有1222PB PB b K K a= (4) 双曲线的方程为22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），过原点的直线交双曲线于,A B 两点，P点是双曲线上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PB b K K a= 典型例题：例1．（2019全国卷2理科数学第21题）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM与BM 的斜率 之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.例2.已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>，且AB ， AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆Ω离心率的取值范围是（ ）A. 12⎛ ⎝⎭B. ⎝⎭C. 14⎛ ⎝⎭D. 11,43⎛⎫⎪⎝⎭例3.设椭圆()012222>>=+b a by a x C ：的左右顶点为A,B.P 是椭圆上不同于A,B 的一点，设直线AP,BP 的斜率分别为m,n ，则当()||ln ||ln 32323n m mnmn b a +++⎪⎭⎫ ⎝⎛-取得最小值时，椭圆C 的离心率为（ ）A.51B.22C.54D.23例4.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左,右焦点分别为1F ，2F ，12F F =，经过点1F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，△2ABF 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）经过椭圆C 上的一点Q 作斜率为1k ，2k （10k ≠，20k ≠）的两条直线分别与椭圆C 相交于异于点Q 的M ，N 两点.若M ，N 关于坐标原点对称，求12k k 的值巩固提升：1．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4， A ， B 是其长轴顶点， M 是椭圆上异于A ， B 的动点，且34MA MB k k ⋅=-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，若动点R 在直线6x =上，直线AR ， BR 分别交椭圆C 于P ， Q 两点.请问：直线PQ 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.2.如图,设点,A B 的坐标分别为()),,直线,AP BP 相交于点P ,且它们的斜率之积为23-． （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为C ,点M N 、是轨迹为C 上不同于,A B 的两点,且满足//,//AP OM BP ON ,求证：MON ∆的面积为定值．3．已知椭圆C：22 221(0)x ya ba b+=>>的短轴长为25，离心率为32，圆E的圆心在椭圆C上，半径为2，直线1y k x=与直线2y k x=为圆E的两条切线．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问：12*k k是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1x yCa b+=(0)a b>>的离心率为12，右准线的方程为4,x=1,F2F分别为椭圆C的左、右焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过(,0)T t()t a>作斜率为k(0)k<的直线l交椭圆C于M，N两点（点M在点N的左侧），且12//F M F N，设直线AM，BN的斜率分别为1,k2k，求12k k⋅的值．5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>()2,1M 在椭圆上，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知A ､B 为椭圆上不同的两点．①设线段AB 的中点为点T ，证明：直线AB ､OT 的斜率之积为定值；②若A ､B 两点满足()0OA OB OM λλ+=≠，当OAB ∆的面积最大时，求λ的值．6．已知椭圆E ：，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．若，点K 在椭圆E 上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围； 证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；若l 过点，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．2229(0)x y m m +=>()13m =1F 2F 12KF KF ⋅()2()3,3mm ⎛⎫ ⎪⎝⎭高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究 问题与知识提出： 圆锥曲线的第三定义：平面内的动点到两定点1,0A a 2,0A a 的斜率乘积等于常数21e 点的轨迹叫做椭圆或双曲线,其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数211e时，轨迹为双曲线，如果211,0e 时，轨迹为椭圆。
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专题讲座高中数学“圆锥曲线”教学研究金宝铮北京师范大学二附中一、对“圆锥曲线”数学知识的深层次理解（一）“圆锥曲线”知识结构圆锥曲线的内容在新课标中安排在选修课程的选修系列1和选修系列2之中.知识结构图：圆锥曲线研究的图形对于学生来讲是比较陌生的图形. 虽然在初中阶段学习函数的时候，同学们听说过抛物线、双曲线的名词，当时的认识只是停留在直观的感受. 从二次函数的图像，经过教师的授课，知道二次函数的图像叫做抛物线；学习反比例函数时，教师告知反比例函数的图像是双曲线，并且是以坐标轴为渐近线的.对于满足什么条件的点的轨迹是抛物线、双曲线学生的认识仍然是一片空白. 只有学习了本单元内容之后，学生才会对圆锥曲线有一个全面、准确的认识.本讲从轨迹方程的角度研究圆锥曲线.首先给出椭圆、双曲线、抛物线的定义，依据定义推导他们的方程，在此基础上，依据他们的方程研究三种曲线的几何性质.虽然椭圆、双曲线、抛物线都属于平面图形，但是运用平面几何的知识和研究方法很难研究的透彻.解析几何学科的特点和优越性从这个研究过程中开始有强烈的显现.在此之前用代数的方法研究直线和圆的教学，从学习方法上来说，为本讲的学习奠定了基础.区别在于，尽管同样是研究几何图形的性质，在研究直线与圆的阶段，平面几何的知识得到充分的应用，利用了平面几何的相关知识，有时可以使得运算过程得到简化.选修系列1和选修2系列对于教学的要求上有所不同.主要体现在两点. 第一点：选修系列1中没有曲线与方程这一节的要求.这样安排教学要求的目的是，对于学习选修系列1的同学从理论的学习要求做了适当的降低.只要求直观的解决问题，直观的认识具体曲线的定义、性质.第二点是选修系列1中没有直线与圆锥曲线的教学内容，对于这一点的要求不同，我们建议教师还是应该予以适当的补充.从目前的考试要求以及高考试题看，在文科数学试卷中，对于这个内容还是有要求的.但是不会要求太高，教师在教学中可以侧重以直线与椭圆的位置关系的开展讨论，其他的曲线讨论可以轻描淡写的处理，体现出选修系列1和选修系列2的区别.（二）如何把握圆锥曲线的定义圆锥曲线的定义有多种形式，教师应该尽量的了解和知道.椭圆的定义学生首先接触的都是到两个定点距离之和等于定长的点的集合（轨迹）.为什么椭圆、双曲线、抛物线称为圆锥曲线？教科书中有详细的说明.建议教师不要忽视其中的原委.有些试题还是在考查该项定义.下面请看几个案例，虽然都是利用圆锥曲线的定义解题，但是各有特点.例1 如图是长度为定值的平面的斜线段，点为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点P的轨迹是A.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行线我们通过这个例题可以让学生进一步认识圆锥曲线的定义. 根据已知条件的面积为定值，是长度为定值的平面的斜线段，那么点到直线的距离为定值，仅仅考虑这一点，点P 应该在一个圆柱的侧面上，这个圆柱是以PA所在的直线为轴，点到直线的距离为底面半径.同时这个点又在平面α上，点P的轨迹是平面α与圆柱侧面的截线，依据圆锥曲线的定义，应该选B.对于概念的认识，不仅仅限于对概念的记忆，甚至个别的老师还让学生齐声背诵定义，这样的结果往往是学生知其然，不知其所以然.教师如果能够选择像上面类似的题目，对于学生深刻理解概念是有积极作用的.下面例题的选取也是这个目的.例2如图，线段=8，点在线段上，且=2，为线段上一动点，点绕点旋转后与点绕点旋转后重合于点.设=，的面积为.则的定义域为________；的最大值为________.据题意，PD＝PB，PD+PC＝BC＝6，又CD=CA=2，依据定义知：点P在以C、D 为焦点的椭圆上，其焦距为2，其长轴长为6，可得出短轴长为，PC＝时，的面积取得最大值，最大值为.当看到一个动点到两个定点距离之和为定长时，学生应该联想到椭圆的定义，学生能否做到这一点，教师的引导和适当的例题是关键.（三）圆锥曲线不同形式的方程在选修系列4教学要求中，选修4-4是坐标系与参数方程.在部分的教学内容中，将增加圆锥曲线的参数方程的形式和极坐标形式.虽然只是一种初步的、带有介绍形式的，建议教师还是抓住机会与选修系列1、选修系列2的内容进行有机的整合.具体建议稍后再详细说明.（四）教学内容的重点、难点圆锥曲线的教学重点是：三种圆锥曲线的方程与性质.在此之前的学习中，我们已经初步感受了解析几何学科的特点，以及如何用代数的方法研究几何图形的性质.本讲与之前的研究所不同的是，之前研究的对象是学生熟知的图形，直线和圆.利用方程研究曲线的性质，从知识上学生没有感到有新的收获，没有获得直线与圆的新的几何性质.然而本章研究的曲线对于学生来说是陌生的.学生对于椭圆、双曲线、抛物线的认识几乎接近空白.什么取值范围、对称轴、对称中心、顶点、离心率、渐近线等，对于学生来说都是全新的.研究之前，学生对于曲线的这些性质处于无知或者是朦胧的状态，学习之后成就感明显的高于直线与圆的学习.圆锥曲线的难点是：圆锥曲线的综合问题.特别是直线与圆锥曲线的位置关系有关的综合题目，学生感觉难度较大. 与圆锥曲线有关的综合题，题目呈现的方式是多样的.不像三角函数、立体几何题目的呈现方式那样单纯，可以从模仿入手. 对于学生来说，对于分析问题、解决问题的能力要求较高.模式化的东西相对少一些.二、“圆锥曲线”的教学策略以及学生学习中常见的错误与问题的分析与解决策略（一）正确认识曲线的方程椭圆、双曲线、抛物线的标准方程由于焦点的位置不同，方程的形式相应的不同.椭圆按照焦点在x轴上和焦点在y轴上，相应的有两个标准方程；双曲线也是按照焦点在x轴上和焦点在y轴上，相应的有两个标准方程；而抛物线则是按照焦点在x轴的正半轴上、焦点在x轴的负半轴上、焦点在y轴的正半轴上、焦点在y轴的负半轴上相应的有四个标准方程.确定曲线的方程，就是根据条件确定方程中的参数的具体数值.根据题目所给的条件，使用数学中常见的待定系数法，通常可以确定参数的数值，换一个角度来说，曲线方程的确定也是方程思想的应用.依据条件，找到参数适合的方程或方程组，从本质上来说，与列方程解应用题是相同的.（二）数学思想的渗透与培养前面已经提到利用方程的思想确定椭圆、双曲线、抛物线的方程. 其他几个重要的数学思想在本讲中也应该积极的渗透.数形结合的数学思想. 同一个问题可以有数、形两种不同的表现形式. 比如直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离.如何描述直线与椭圆相交？从“形”的角度说，直线与椭圆恰有一个公共点；如果从“数”的角度来描述，将直线的方程代入椭圆的方程，得到一个关于x的（或者是关于y的）一元二次方程.这个方程的判别式应该为0.化归思想的应用对于本讲内容来说也是很好的渗透的平台.分类讨论的思想在本讲学习中，也是应该给予足够的重视.分类讨论的思想一定要让学生明确不是为了分类而分类.许多的分类在解题之前是不明确的，在解题的过程中，依据算法、算理的需求，对字母的取值限制进行讨论.化归是数学中对能力要求较强的一种思想方法.所谓化归，就是将复杂的问题、不熟悉的问题转化为简单的、熟悉的问题.对于解析几何的综合性问题，我们建议将解题的过程划分为两个阶段，设计解题方案、实施解题方案的两个过程.例1已知椭圆（）的焦距为，离心率为.（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设过椭圆顶点，斜率为的直线交椭圆于另一点，交轴于点，且成等比数列，求的值.化归的思想教师说起来很简单，但是学生做起来往往找不到实施的办法.需要教师的示范和在具体问题解决中的认识，需要一定时间的培养和训练.例1中解决第（Ⅱ）问可以设计三个解题方案.第一个方案是按照常规思路设法把点B、D、E的坐标用斜率k表示出来，之后用两点间距离把的长度表示出来，再利用他们成等比数列，求出的值.表面一看，这个思路很好，但是在实际的解题过程中可以看到，题目的运算量较大.第二个方案也是按照常规思路设法把点B、D、E的坐标用斜率k表示出来，之后将三条线段投影到x轴上，利用相似三角形的知识可以证明，投影到坐标轴上的三条线段按照相应的对应关系也是成等比数列的.等比数列这个限制条件就变成三个点的横坐标的限制条件.第三个方案也是按照常规思路设法把点B、D、E的坐标用斜率k表示出来，之后将三条线段投影到y轴上，利用相似三角形的知识可以证明，投影到坐标轴上的三条线段按照相应的对应关系也是成等比数列的.等比数列这个限制条件就变成三个点的纵坐标的限制条件.比较上述三个方案，显然第一个方案的运算量最大，后两个方案的运算量显著的下降. 当我们把三条线段投影到坐标轴上，运算量下降了，达到了将复杂的问题转化为简单问题的目的.再细致的比较后两个方案，由于点E的纵坐标为0，第三个方案比第二个方案的运算量还要再小一些，所以选择方案三.详解如下：（Ⅰ）由已知，.解得，所以，椭圆的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）得过点的直线为，由得，所以，所以，依题意，.因为成等比数列，所以，所以，即，当时，，无解，当时，，解得，所以，解得，所以，当成等比数列时，.回顾对这个问题的分析与解答，教师设计了三个解题方案，在实施方案之前，要对设计的三个方案进行比较、分析，从中选出简捷的方案.（三）对于参数方程处理方式的建议参数方程的学习在这一阶段的学习过程中，是一个相对独立的内容.原则上不需要做过多的补充.但是对于椭圆的参数方程，还是建议教师更具学生的实际情况做适当的补充.主要是对椭圆上的点的坐标可以表示为，特别是对于一些最值有关的问题解决还是有益处的.例1 已知矩形ABCD的四个顶点都在椭圆上，且对称轴平行于坐标轴.求矩形ABCD 面积的最大值.解：设点A在第一象限，例2 已知梯形ABCD中，AB∥CD，AD是椭圆的长轴，顶点B、C都在椭圆上.求梯形ABCD面积的最大值.解法仿照例1，此处略去.以上两个例题的特点是很明确的，使用参数方程形式描述椭圆上的点的坐标，其中a、b都是常量，只有θ一个字母是变量，这样面积的公式将是仅有一个自变量的解析式.学生在中学学习的函数仅限于一元函数，对于两个自变量的函数学生往往感到困惑，使用参数方程处理上述问题，回避了出现二元函数的矛盾，建议教学中考虑介绍椭圆的参数方程的应用.（四）直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系比直线与圆的位置关系要复杂.首先打破了学生头脑中固有的认识：直线与曲线有恰一个公共点，直线与曲线相切.当直线与抛物线的对称轴平行的时候，直线与抛物线只有一个公共点，此时直线与抛物线相交而不是相切！同样，当直线与双曲线的渐近线平行的时候，直线与双曲线恰有一个公共点，此时直线与双曲线也是相交而不是相切！直线与圆锥曲线的问题，通常不要真的把直线与圆锥曲线的交点求出来，一般交点的坐标比较难求.联立方程组之后，先转化为一元二次方程，可以借助一元二次方程根与系数的关系，将与根有关的问题转化为两根和、两根积的形式，分别把两根之和、两根之积看做两个整体，再做整体的代换，可以使的整体的运算过程比较简化.例1已知椭圆经过点其离心率为.（Ⅰ）求椭圆的方程；(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P 在椭圆上，为坐标原点. 求到直线距离的最小值.解：（Ⅰ）由已知，，所以，①又点在椭圆上，所以，②由①②解之，得.故椭圆的方程为.(Ⅱ) 当直线有斜率时，设时，则由消去得，，，③设A、B、点的坐标分别为，则：，由于点在椭圆上，所以 .从而，化简得，经检验满足③式.又点到直线的距离为：当且仅当时等号成立当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，从而点为，直线的方程为，所以点到直线的距离为1 .所以点到直线的距离最小值为.这是一个典型的直线与圆锥曲线有关的问题. 对于题目解答的思路粗略的说，可以将直线的方程代入椭圆的方程，消去字母y（也有时消去字母x），得到一个关于x的一元二次方程.在解题的过程中，我们设A、B、点的坐标分别为，但是我们并没有真的去把这四个量求解出来，而是利用一元二次方程的根系关系，用含有参数k、m的代数式将其表示出来.学生在学习的开始阶段，对于上述的解法并不熟悉. 其中一个重要的原因是义务教育阶段的课程标准中，对于一元二次方程的根系关系较之前的教学大纲的要求有所降低，学生对于这个内容的基础知识以及理解程度都不是很高，教师可以适当的加以补充.学生对于分析问题的综合能力需要一个比较长的螺旋式上升的过程，学生在学习的过程中，注意力往往只关注本单元的学习内容，不善于联想其他的数学知识，为了提高学生综合运用知识的能力，使得学生能够主动地、有意识的联想各个模块知识间的联系，教师在选择题目时候，要有意识的选择一些综合其他模块知识的题目，避免全部都是当前每模块的试题.例2 已知椭圆C的左，右焦点坐标分别为,离心率是.椭圆C的左，右顶点分别记为A,B.点S是椭圆C上位于轴上方的动点，直线AS,BS与直线分别交于M,N两点.（1）求椭圆C的方程；（2）求线段MN长度的最小值；（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上的T满足：T到直线AS的距离等于.试确定点T的个数.例2的第二问是求弦长的最小值，问题解决的思路与例1是一致的.第三问是研究在第二问的条件下，判断符合条件的点T的个数，这个问题的解决要注意用数形结合的思想去分析，构造与AS平行的直线系，在这个直线系中，找到与椭圆相切的两条直线，不难得出问题的答案.进一步引导学生思考，当我们调整数值时，随着这个数值的变化，问题的结论会发生什么变化？（五）关于动点轨迹的研究对于不同基础的学生可以采用不同的研究方式.基础中等的学生，可以从教师示范，学生模仿开始.之后再进行创造.模仿的过程中，教师要揭示解题的思路和关键要点，而不是简单的解题步骤.例1 已知圆O的方程为：，点A（3，0），P是圆O上的动点，M是线段PA的中点.求点M的轨迹方程.分析：首先我们设动点M的坐标为，点P的坐标为，依据题意找到这两个点坐标之间的关系.，进一步得到，因为P是圆O上的点，代入得到：为所求轨迹方程.我们的教学应该避免就题论题的模式.在解决一个问题的同时，应该揭示问题的本质，使得学生掌握一类问题的解题策略.本题的特点是动点M是随着点P的运动而运动，通常把这两个点称为相关点.解题的关键是找到相关点的坐标之间的关系.利用其中一个点在曲线上，将这个点的坐标代入曲线的方程即可得到所求轨迹的方程.如何训练学生从一个问题的解决，提升为对一类问题的深刻认识？当一个题目解决之后，建议作一些变式的工作，一方面使得学生对于解题的思路有深入的理解和认识，同时也有助于学生跳出题海.具体的说，变式可以从相关点的关联性入手，这个题目点M是AP的中点，可以变为三等点，甚至MA与MP的长度比值为λ等等；从另外一个角度，可以变换动点P所在曲线的方程，不难看出，将圆换成椭圆、双曲线、抛物线，其解决问题的思路完全相同，只是在问题的最后一步有所不同. 更进一步说，点P所在的曲线只要能用解析式描述，上述方法就可以运用，不限制一定是圆锥曲线.常用的求轨迹方程的方法有：相关点法、参数法、几何法、定义法……等等，因篇幅所限，这里再举例2，分析一下定义法.定义法的思路是：先设动点的坐标，找到动点满足的几何条件，在依据几何条件，变换为代数条件，之后对这个代数条件做适当的化简工作，得出所求轨迹方程.例2 已知直线上有一个动点,过点作直线垂直于轴,动点在上,且满足(为坐标原点),记点的轨迹为.求曲线的方程.解:设点的坐标为,则点的坐标为.∵, 几何条件∴. 代数条件当时,得,化简得. 代数方程当时, 、、三点共线，不符合题意，故.∴曲线的方程为. 轨迹方程这个方法是求轨迹方程的最基础的方法，让学生在理解的基础上，较好的掌握这个方法.（六）向量与圆锥曲线向量知识的出现，使得解析几何命题的思路又开了一扇门.但是有一些题目表面上与向量有关，实际上与向量无关.例如原来在解析几何中关于垂直的描述，现在表现为两个向量的点积为0.我们可以戏称为假向量.即题目的本质与向量并没有关系.还有一类真的与向量有关，主要反映在一些计算的问题上.例1 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，椭圆上的点到焦点距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若过点的直线与椭圆交于不同的两点，且，求实数的取值范围．解：（Ⅰ）设所求的椭圆方程为：由题意：所求椭圆方程为：．（Ⅱ）若过点的斜率不存在，则．若过点的直线斜率为，即：时，直线的方程为由因为和椭圆交于不同两点所以，所以①设由已知，则②③将③代入②得：整理得：所以代入①式得，解得．所以或．综上可得，实数的取值范围为：．前面提到过学习圆锥曲线的问题，要注意与其他模块的内容相结合.在这里特别强调与向量知识的结合.因为向量的知识内容，与解析几何有一个共同的特点，用数量关系来描述图形的性质.教师在讲解问题的过程中，应特别突出如何运用向量的知识，解决解析几何的综合题.例如本题题目解答的思路主体上与其他的解析几何题目是相同的. 将直线的方程代入圆锥曲线的方程，整理后得到一个关于x的一元二次方程.不同点在于有了向量的相关条件之后，A、B、P三点的坐标之间除了原有的一元二次方程的根系关系之外，还有由向量条件得到的特定的关系“”，只有充分利用好这个条件，才能使本题得到顺利的解决.三、学生学习目标的检测（一）课程标准与高考对“解析几何初步”内容的要求以下摘自普通高中数学课程标准：圆锥曲线与方程（约16课时）（1）圆锥曲线①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质.③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质.④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题.⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想.（2）曲线与方程结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想.课程标准对于圆锥曲线的教学要求具体明确.我们认为重点还是放在以下三个方面：首先是进一步体现解析几何中用代数的方法研究几何图形性质的基本思想；其次应该突出对于圆锥曲线的研究.既有对圆锥曲线基本性质的研究，也有对于圆锥曲线教委复杂问题的研究；第三是渗透和培养常见的数学思想以及方法，使得学生在学习知识的同时，学会分析问题、解决问题的方法，进而达到培养学生能力的目的.（二）典型题目的检测分析检测的题目选择的原则，既要强调注重基础知识和基本方法，同时还要体现能力的要求.例1双曲线的离心率为______；若椭圆与双曲线有相同的焦点，则______.例1就是以离心率、焦点坐标这些基础的知识为检测目标. 在圆锥曲线的学习过程中，学生对于椭圆、双曲线中出现的字母a、b、c容易混淆，特别是这几个字母之间的关系. 针对学生出现的问题，教师可以结合图形强调：在椭圆中a、b、c的关系是：，而在双曲线中a、b、c的关系是：.对于检测题目的选择要重视考查学生综合运用知识的能力. 既要检测学生对圆锥曲线内容的掌握情况，同时要检测学生将以往所学知识与圆锥曲线知识综合运用的能力.例2 已知椭圆的焦点为，，在长轴上任取一点，过作垂直于的直线交椭圆于点，则使得的点的概率为（）A．B．C．D．例2涉及了三个模块的知识. 有椭圆的知识，也是本题的主干；有向量的知识，由向量的点积小于0可以得出∠是个钝角；还有概率的知识.这里涉及的是一个几何概型.从以上分析可以看出，在学习新的知识的同时，要适时的与之前学习的内容进行有机的整合.例3已知椭圆经过点，离心率为，动点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求以OM为直径且被直线截得的弦长为2的圆的方程；（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值.例3 一共分为3个小题.第1个小题是利用曲线与方程的概念确定椭圆的方程.这是一个基本的问题，用到了待定系数法等，难度不大，一般同学都可以顺利解决；第2问就是解决一类圆锥曲线的问题，用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题，确定圆的方程.如果使用弦长公式解决，运算量较大，如果使用平面几何的知识，将直线被圆所截得弦长的问题转化为点到直线的距离问题，体现了思维多样性、灵活性的考查；第3问是进一步研究曲线的性质，证明线段ON的长为定值，并求出这个定值，既可以使用解析几何的的知识解决，也可以运用向量的知识来解决，体现了对综合分析问题、解决问题能力的考查.详解如下：（Ⅰ）由题意得①因为椭圆经过点，所以②又③由①②③解得，.所以椭圆方程为.（Ⅱ）以OM为直径的圆的圆心为,半径，方程为：因为以OM为直径的圆被直线截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离 .所以，解得.所求圆的方程为.。