4.3.3余角和补角

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4.3.3 余角和补角

85° 58°
45° 13° 27°37′ (90–x)°
∠α的补角
175° 148° 135° 103° 117°37′ (180–x)°
观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_9_0_°__.
探究新知知识点 2 余角和补角的性质
思考：∠1 与∠2， ∠1 与∠3都互为补角， ∠2 与∠3 的大小有什么关系？
4.3 角
4.3.3 余角和补角
导入新知
如图坝底是由石块堆积而成，要测出∠1的度数，你有什么简单的方法吗？
要解决这问题，我们先来学习余角和补角.
素养目标
2. 了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.
1. 了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题.
AO
B
又因为射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，所以∠COD+∠COE = 1∠AOC+ 1 ∠BOC = 1(∠AOC+∠BOC ) =290°. 2
2
所以∠COD和∠COE互为余角，
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.
巩固练习
如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）∠AOD的余角是_∠__C_O__E_、__∠__B__O_E_，∠COD的余角是 _∠__C__O_E_、__∠__B__O_E___; （2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
1
2
3
= ∠2=180°–∠1
∠3=180°–∠1
结论：同角 (等角) 的补角相等.
类似地，可以得到：同角 (等角) 的余角相等.

4.3.3余角和补角的教案.3.3余角和补角

4.3.3 余角和补角教学目标：1、知识技能：（1）在具体的情景中认识一个角的余角和补角，并会用文字语言、图形语言、符号语言进行描述；（2）掌握余角和补角的性质，并能初步进行简单的推理和计算。

2、过程与方法：进一步提高学生的几何语言表达能力，发展空间观念，学会简单的逻辑推理，并能对问题的结论进行归纳。

3、情感态度与价值观：在具体的情景中，通过观察、交流、推理和归纳，获得必需的数学知识，激发学生的学习兴趣。

学情分析：余角和补角是人教版七年级上册第4章《几何图形初步》第3节“角”中两个比较重要的基本概念，是后续学习图形与几何的预备知识。

通过对探索余角和补角的性质的学习，为今后证明角的相等提供了一种依据和方法。

在这之前学生已经学过角的相关概念、角的比较和度量，对角度之间的和差倍分运算、简单的几何语言有了初步的认识，推理证明过程的书写也有过初步的接触，但由于刚接触几何，对几何概念的理解和几何语言的书写还存在较多问题，对几何知识的运用还有一定的难度，普遍学生感到几何入门较难。

并且我班学生学习基础比较薄弱，识图能力较差，学生之间的基础知识、综合素质差异较大。

因此本节努力从学生最熟悉的情景入手，通过几何图形引入余角和补角的概念，然后通过做一做得到的结论推出余角和补角的性质，采取即时练习和分层练习，争取学生在原有的基础上能运用上述性质来解决问题，从而达到人人都有所收获的教学效果。

同时根据本班学生的特点和实际以及时间安排的关系，把课本例3安排在第二课时的综合练习中解决，重点难点：1、重点：余角和补角的概念和性质。

2、难点：通过简单的推理，归纳出余角、补角的性质，并能用规范的语言描述性质并应用。

21教学过程：一、谈话导入：在前面我们学过了一些角，有些角两者之间有一定的联系，如在一幅三角板中，每一块都有一个角是90°，且另外两角为30°、60°和45°，45°那么它们两者之间有何关系呢？我们来学习4.3.3 余角和补角。

课件4：4.3.3余角和补角

(2)图中互补的角是_∠__A_O_D__与__∠_B_O__D_;_∠__A_O_C__与_∠__B_O_C_.
(3)图中相等的角是__∠__A_O_C__与___∠__B_O_C__.
E 西 C
F
北D 45° 45°
O
B南
H （1）正东，正南，正西，正北
射线OA，OB，OC， OD,
东 A
（2）西北方向:__射__线__O_E__
2 1
4
若∠1 + ∠2 =180 °, ( 已知 ) 则 ∠1和∠2互补 . (互补定义) 若∠1和∠2互补, ( 已知 ) 则∠1 + ∠2 =180 °. (互补定义) 若∠3 + ∠4 =90 °, ( 已知 ) 则 ∠3和∠4互余 . (互余定义) 若∠3和∠4互余, ( 已知 ) 则 ∠3 + ∠4 =90 °.(互余定义)
第四章几何图形初步
4.3.3 余角和补角
探究余角、补角的定义活动一：
A
C
12
0
D
71°
ß 19° ª
如图∠AOD = 90° ∠1+∠2 = 90° ∠α +∠ß= 90°
两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，简称互余。
如果∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互为余角练一练：
问题1：以上定义中的“互为”是什么意思？问题2：若 1 2 3 180 ，那么∠1、∠2、∠3互为补角吗？[来源问题3：互为余角、互为补角的两个角是否一定有公共顶点？
练习：如图，O是直线AB上一点，OC是∠AOB的平分线 ①∠AOD的补角是__∠__D__O_B_____
②∠AOD的余角是___∠__C_O_D_____

教学设计3：4.3.3余角和补角

4.3.3余角和补角学习目标：掌握余角、补角的定义；会球一个角的余角和补角学习重点：余角、补角的定义：方位角的判断与应用难点：余角、补角的定义；方位角的判断与应用学习过程：【活动一】1、在一幅三角板中，每一块三角板都有一个角是90°，而其他两个角的和都______°.2、余角：如果两个角的和等于____°（直角），那么就说这两个角_________（英文：_________________），即其中一个角是另一个角的_______.（注：两个角互为余角可以简称为__________）3、如图，画出∠1的余角.4、（1）如果∠1＝40°，∠2＝50°，那么∠1与∠2_________或∠1是∠2的________. （2）如果∠α＝73°，∠β＝17°，那么∠α与∠β_________或∠α是∠β的________. （3）如果∠2＋∠3＝90°，那么∠2与∠3____________.（4）如果∠1与∠2互为余角，那么∠1＋∠2＝____°或∠1＝___________或∠2＝__________.5、（1）35°角的余角为______°；（3）70°39′角的余角为______；（3）∠1的余角为__________. （4）∠α的余角为37°，则∠α＝____；（5）互余且相等的两个角度数各是___________. 【活动二】（认真阅读教材，独立思考）6、如果∠1与∠2、∠3都互为余角，试判断∠2与∠3的大小关系？并说明理由解：∠2_______∠3（填“＞”、“＜”或“＝”）理由：因为∠1与∠2互为余角，所以∠2＝____________.因为∠1与∠3互为余角，所以∠3＝____________.所以∠2_______∠3.归纳：余角的性质：同角的余角_____.7、如果∠1＝∠2，∠1与∠3、∠2与∠4都互为余角，试判断∠3与∠4的大小关系？并说明理由解：∠3_______∠4（填“＞”、“＜”或“＝”）理由：因为∠1与∠3互为余角，所以∠3＝_________.因为∠2与∠4互为余角，所以∠4＝____________.又因为∠1＝∠2所以∠3_______∠4.归纳：余角的性质：等角的余角_____. 综上所述：___________的余角相等.【活动三】（认真思考，独立完成，2分钟）8、如图，∠AOB ＝90°，∠COD ＝90°，则∠1与∠2________；∠2与∠3_______；∠1与∠3_______.9、如图，∠AOB ＝∠BOC ＝∠DOE ＝90°,在∠1、∠2、∠3、∠4中，相等的角是_____________，互余的角是___________________________.【活动四】（认真阅读教材，仿照互余角的思路，独立完成问题）10、补角：如果两个角的和等于____°（_______），那么就说这两个角_________（英文：_________________），即其中一个角是另一个角的_______.（注：两个角互为补角可以简称为__________）11、补角的性质：_____________的补角相等.12、（1）36°角的补角是______°；（2）163°角的补角是______；（3）72°39′的补角是_______；（4）154°26′角的补角是________；（5）∠α的补角是__________.（6）∠α的补角为59°，则∠α＝_____.（7）已知∠α的补角是它的3倍，则∠α＝_____°【活动五】独立完成13、方位角经常用于航空、航海、测绘中，领航员常用地图和罗盘进行方位角的测定。

人教版数学七年级上册4.3.3余角和补角

4.3.3 余角和补角
情境引入
❖说一说
你知道一副三角尺中每一块三角尺中各角的度数吗？
A D
B C
45°，45°，90°
E F
30°，60°，90°
1.互为余角的定义：
一般地，如果两个角的和等于90 °(直角)，就说这两个角互为余角，简称两个角互余.
∠1 =90°—∠2 几何语言表示为：如果∠1+∠2= 90°，那么∠1与∠2互余.
，
(2)请写出图中相等的锐角，
∠C= 42°，则∠A = ，理由是
.
一般地，如果两个角的和等于90 °(直角)，就说这两个角互为余角，简称两个角互余.
理由.请用一句话概括这一规律. 已知一个角的补角是这个角的余角的4倍，
如图，点A、O、B在同一条直线上，∠AOD=∠COE=90°.
∠3 = 180°—∠4
第1组互余：
∠COD 和∠COE互为余角，
同理，第2组互余： ∠COD 和∠BOE互余，第3组互余：∠AOD 和∠COE互余，
第4组互余：∠AOD 和∠BOE也互余. ∠AOD 和∠BOD互补，∠BOE 和∠AOE互补. ∠COD 和∠BOD互补，∠COE 和∠AOE互补.
训练提升
1.如图，点A、O、B在同一条直线上，
同时，在它北偏东40°、南偏西10°、西北方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.
方向角为
.
方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北
(南)偏东(西)××度.
通过这节课的学习，你有什么收获？
方向角为
.
(1) 射线 OA 表示的
∠AOD=∠COE=90°.

人教版初中数学七年级上册第四章4.3.3余角和补角

O
60°
上发现了客轮B.仿照表示灯塔方位的方法，
A
画出表示客轮B方向的射线.并说出你是怎样画出的.
②同时在它南偏西10°、西北（北偏西45°）方向上又分别发现了货轮C和海岛D.请再画出表示货轮C和海岛D方向的射线.
如图，A地和B地都是海上观测站，从A地发现它的北偏东 60°方向有一艘船，同时，从B地发现这艘船在它的北偏东30°方向，你能从图中确定这艘船的位置吗？
练习：看谁答得快:
∠α
∠α 的余角
∠α 的补角
30° 54° 90°
62°23′
ⅹ
60 °
150 °
36 °
126 °
00
另比余外角：大同，（等并9）且0 °角大的90补°角
27 ° 37 ′
117 ° 37 ′
90 x
同一个角的余角和补角什么关系？
1、动手画一画:
1）已知∠α(如图)，请利用三角板画的∠α的余角
样的角称为方位角.
方位角的表示习惯上以正北、正南方向为基准来描述物体的方向．即用“北偏东多少度”“北偏西多少度” 或者“南偏东多少度”“南偏西多少度”来表示方向．
北西北
西 O
西南南
东北东东南
北
30°
西
东
O 60°
南
北例4：如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A
在它南偏东60°方向上. ①在它北偏东40°方向
性质3：等角的补角相等
如图,∠1与∠2互余， ∠3与∠4互余，并且∠1= ∠3，
2
1
3
4
请问：∠ 2与∠4相等吗?为什么？你还能得出什么结论？
答：相等。
∵∠1与∠2互余，可得∠2=90°- ∠1 ；又∠3与∠4互余，可得∠4=90°- ∠3；且∠1= ∠3，所以90°- ∠1=90°- ∠3 ； ∴∠2= ∠4

4.3.3 余角和补角

4.3.3 余角和补角要点感知1如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为；如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为．预习练习1－1已知∠1＝30°，则∠1的余角度数是，∠1的补角度数是．预习练习2－1已知∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，则∠1与∠3的关系是．已知∠1与∠3互补，∠2与∠3互补，则∠1与∠2的关系是．知识点1 余角和补角的定义1．(济南中考)如图，点O在直线AB上，若∠1＝40°，则∠2的度数是( )A．50° B．60°C．140°D．150°2．(黄冈中考)如果α与β互为余角，则( )A．α＋β＝180° B．α－β＝180°C．α－β＝90° D．α＋β＝90°3．若两个角互补，则( )A．这两个角都是锐角B．这两个角都是钝角C．这两个角一个是锐角，一个是钝角D．以上答案都不对4．已知：如图，∠AOB＝∠COD＝90°，则∠1与∠2的关系是(B)A．互余B．互补C．相等D．无法确定5．(湘西中考)已知∠A＝60°，则它的补角的度数是度．6．已知∠AOB＝40°，OC是∠AOB的平分线，则∠AOC的余角等于 .7．若∠1＝∠2，且∠1与∠2互余，则∠1＝∠2＝ .8．一个角的补角是它的3倍，这个角是多少？知识点2 余角、补角的性质9．下列说法中不正确的是( )A．钝角没有余角，但一定有补角B．一个锐角的补角比它的余角大90°C．一个锐角的余角比这个锐角大D．若两个角相等且互为补角，则这两个角都是90°10．已知∠α＝59°20′，若∠α与∠β互余，且∠β与∠γ互余，则∠γ的度数为．11．已知∠1和∠2互补，∠2和∠3互补，∠1＝65°，则∠3＝．12．若∠α＝∠β，且∠α＋∠1＝180°，∠β＋∠2＝180°，则∠1与∠2的关系为．13．如图，A 、O 、D 三点在同一条直线上，∠AOB ＝∠COD ，问其中有哪几对角互为补角？知识点3 方位角14．如图，下列说法中错误的是( )A ．OA 方向是北偏东30°B ．OB 方向是北偏西15°C ．OC 方向是南偏西25°D ．OD 方向是东南方向15．一轮船A 观测灯塔B 在其北偏西50°，灯塔C 在其南偏西40°，试问此时∠BAC ＝( )A ．80°B ．90°C ．40°D ．不能确定16．如图，根据点A 、B 、C 、D 、E 在图中的位置填空．(1)射线OA 表示；(2)射线OB 表示；(3)射线OC 表示；(4)射线OD 表示；(5)射线OE 表示．17．下列关于余角、补角的说法，正确的是( )A ．若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1、∠2、∠3互余B ．若∠α＋∠β＋∠γ＝180°，则∠α、∠β、∠γ互补C ．若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互补D ．若∠α＋∠β＝90°，则∠α与∠β互余18．电视塔在学校的北偏东32°，则学校在电视塔的(B)A ．北偏东32°B ．南偏西32°C ．南偏东32°D ．北偏西32°19．∠1与∠2互为余角，那么∠1的补角是( )A ．180°＋∠1B ．90°＋∠1C ．90°＋∠2D ．90°－∠220．(广安中考)若∠α的补角为76°28′，则∠α＝．21．一个角的余角比这个角的补角的13还小10°，求这个角的度数．22．如图，指出OA 是表示什么方向的一条射线？仿照这条射线画出表示下列方向的射线：(1)南偏东60°；(2)北偏西70°；(3)西南方向(即南偏西45°)．23．设∠α、∠β度数分别为(2n－1)°和(68－n)°，且∠α、∠β都是∠γ的补角．解答下列问题：(1)试求n的值；(2)∠α与∠β能否互余，为什么？24．如图，AOB是一条直线，∠AOD＝∠BOD＝∠EOC＝90°，∠BOC∶∠AOE＝3∶1.(1)求∠COD的度数．(2)图中有哪几对角互为余角？(3)图中有哪几对角互为补角？挑战自我25．如图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处．(1)①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由；②∠AOC和∠BOD在数量上有何关系？说明理由．(2)若将等腰的三角尺绕点O旋转到如图乙的位置．①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由；②∠AOC和∠BOD的以上关系还成立吗？说明理由．参考答案要点感知1 余角；补角预习练习1－1 60°，150°要点感知2 相等，相等预习练习2－1 ∠1＝∠3,∠1＝∠21．C 2．D 3．D 4．B 5．120 6．70° 7．45°8．设这个角为x °，则180－x ＝3x.解得x ＝45.答：这个角为45°.9．C 10．59°20′ 11．65° 12．相等13．∠COD 与∠AOC ，∠AOB 与∠BOD ，∠COD 与∠BOD ，∠AOC 与∠AOB.14．A 15．B16.(1)东北方向；(2)北偏西30°；(3)南偏西60°；(4)正南方向；(5)南偏东50°17．D 18．B 19．C 20．103°32′21．设这个角的度数为x ，则90－x ＝13(180－x)－10.解得x ＝60. 答：这个角的度数为60°.22．解：OA 表示北偏东40°.(1)(2)(3)画图略．23．(1)根据题意，得2n －1＝68－n.解得n ＝23.(2)若∠α与∠β互余，则2n －1＋68－n ＝90.解得n ＝23.所以∠α与∠β能互余．24．(1)根据题意：∠BOC ＋∠AOE ＝90°，因为∠BOC ∶∠AOE ＝3∶1，所以∠BOC ＝34×90°＝67.5°.所以∠COD ＝90°－67.5°＝22.5°. (2)∠COB 与∠COD ，∠COB 与∠AOE ，∠DOE 与∠COD ，∠DOE 与∠AOE.(3)∠COB 与∠COA ，∠DOE 与∠COA ，∠AOE 与∠EOB ，∠COD 与∠EOB ，∠AOD 与∠BOD ，∠EOC 与∠AOD ，∠EOC 与∠BOD.挑战自我25．(1)①∠AOD ＝∠BOC.理由略；②∠AOC 和∠BOD 互补．理由略．(2)①∠AOD ＝∠BOC.理由略；②∠AOC 和∠BOD 互补．理由略．。

初中数学 4.3.3 余角和补角

余角和补角一、教学目标1．理解互为余角、互为补角的定义．2．掌握有关补角和余角的性质．3．应用以上知识点解决有关计算和简单推理问题．4．通过有关余角、补角性质的推导，初步培养学生逻辑思维和推理能力．5．通过互余、互补角性质的推导，说明事物之间具有普遍的联系性．二、重点难点（一）重点互为余角、互为补角的角的概念及有关余角、补角的性质．（二）难点有关余角和有关补角性质的推导．三、教学步骤教学过程创设情境，引入课题师：上节课，我们学习了度量，认识了平角和直角，下面请看投影显示图形，见图1及图2：教师演示：在以上两个图形的基础上，利用电脑（或投影），分别过两个角的顶点作活动射线，任意改变射线位置，让学生观察，如下图1及图2：提出问题：射线把平角，直角分别分成了几个角？它们的度数关系如何？（学生容易答出：分成两个角，，．）教师演示：把射线固定一个位置不动，然后把两个图形中的角保持大小不变，拉开，如图1及图2（或拉开更远些，多变换几种位置）．提出问题：与的和还是吗？与的和还是吗？根据学生回答，教师肯定结论：不论、、、的位置关系如何变化，只要大小不变，与的和永远是平角，与的和永远是直角．像这样具有特殊关系的角，我们分别叫它们互为补角和互为余角．这就是我们要学习的角的度量一节中又一新知识．探究新知1．互为余角、互为补角的定义提出问题：你能根据前面老师的演示和说明，叙述一下具有什么关系的两个角叫互为余角和互为补角吗？［板书］互为余角：如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫互为余角．其中一个角叫做另一个角的余角．互为补角：如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角．2．提出问题，理解定义．（投影显示）（1）以上定义中的“互为”是什么意思？（2）若，那么互为补角吗？（3）互为余角、互为补角的两个角是否一定有公共顶点？反馈练习：投影显示教学例1,2(见课件)2．有关互余、互补角的性质师：通过以上练习，我们对互余、互补角的概念有了较深刻的理解，下面我们提出一个新问题，看你们能否解决．投影出示：教师边引导学生叙述边板书出较规范的格式：［板书］∵与互补，∴即．∵与互补，∴即．∵，∴．［板书］同角或等角的补角相等．∵，，∴．提出问题：与互余，与互余，若，那么等于吗？为什么？你由此问题又能得出什么结论？［板书］同角或等角的余角相等．∵，，∴．师：有关余角和补角的性质很有用，以后遇到有同角（或等角）的补角就可以根据这个性质，知道它们都相等．四、布置作业课本P139：第6题（书）P140：第10题（作业本）。

4.3.3余角与补角(教案)

五、教学反思
在今天的教学过程中，我发现学生们对于余角与补角的概念掌握得还算不错，但在具体应用上还存在一些问题。尤其是当涉及到不规则图形时，他们往往不知道如何找出互为余角或补角的角对。这说明我们在教学过程中，需要更多地结合实际图形进行讲解，让学生有更直观的感受。
在讲授新课的时候，我尽量用简单的语言和生动的例子来解释余角与补角的定义和性质，这样有助于学生更好地理解。同时，通过分组讨论和实验操作，让学生在实践中掌握这些概念，提高了他们的动手能力和团队协作能力。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“余角与补角在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-重点理并掌握余角与补角的概念，能够准确判断两个角是否为余角或补角。
-重点掌握余角与补角的性质，如互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180°。
-重点运用余角与补角的性质解决实际问题，如找出图形中的余角或补角，计算角度等。
-重点通过实例和练习，让学生体会余角与补角在几何证明和计算中的应用。
-难点在于培养学生的空间观念和几何直观，使其能够将余角与补角的概念应用于不同的几何情境中。
举例：在一个不规则的五边形中，指导学生识别并计算互为补角的角对，解释如何利用补角性质解决角度计算问题，帮助学生突破难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“4.3.3余角与补角”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过两个角的和为90°或180°的情况？”比如，一块三角形的直角板，其中一个角是90°，那么其他两个角就是余角。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索余角与补角的奥秘。

4.3.3 余角和补角

解：(2)∵OC 平分∠AOE，而∠AOE 是平角， ∴∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°. 又∵∠DOB 是直角，∴∠1＋∠BOC＝90°， ∴∠1＝∠AOB. (3)∵∠COE＝∠AOC＝90°， ∴∠1＋∠DOE＝90°. 又∵∠1＋∠BOC＝90°， ∴∠DOE＝∠BOC＝65°.
7．如图 4－3－22，已知 OB 的方向是南偏东 60°，OA，OC 分别平分∠NOB 和∠NOE.
(1)请直接写出 OA 的方向，OC 的方向； (2)求∠AOC 的度数．
图 4－3－22
解：(1)OA 的方向是北偏东 60°，OC 的方向是北偏东 45°； (2)∵OB 的方向是南偏东 60°， ∴∠BOE＝90°－60°＝30°， ∴∠NOB＝30°＋90°＝120°. ∵OA 平分∠NOB，∴∠NOA＝12∠NOB＝60°. ∵OC 平分∠NOE， ∴∠NOC＝12∠NOE＝45°， ∴∠AOC＝∠NOA－∠NOC＝60°－45°＝15°.
第四章几何图形初步
4.3.3 余角和补角
学习指南知识管理归类探究当堂测评分层作业
学习指南
★教学目标★ 1．掌握余角、补角的概念及其性质． 2．会利用互余、互补关系求出角的度数．
★情景问题引入★
(课件演示)计算： (1)44°＋46°＝ 90° ；
(2)30°20′34″＋59°39′26″＝ (3)10°＋25°＋55°＝ 90°；
类型之三方位角已知点 A 在点 O 的北偏西 20°方向上，点 B 在点 O 的南偏西 70°方向
上，OC 平分∠AOB，则点 C 在点 O 的什么方向上？
解：根据题意画出图形(如答图)，
则∠AOE＝20°，∠BOF＝70°. ∠AOB＝180°－∠AOE－∠BOF＝180°－20°－70°＝90°. 又∵OC 平分∠AOB， ∴∠AOC＝12∠AOB＝12×90°＝45°， ∴∠COE＝45°＋20°＝65°， ∴点 C 在点 O 的北偏西 65°的方向上．

课件1：4.3.3余角和补角

4、60°的余角的补角是_1__5_0_°______
例2
已知一个角的补角是这个角的余角的4倍,求这个角的度数.
解: 设这个角为 x 度,则这个角的余角是 (90 – x) 度,补角是 ( 180 – x ) 度. 由题意,得 180 – x = 4 ( 90 – x ), 解方程,得 x=60 (度) 所以这个角的度数为60 °
射线OC的方向就是南偏
西
O
●
东
西10°，即货轮C所在的
方射向线的方向就是北偏西45°，即海岛D所在的方向.
C 60°
●A
●10南°
通过本节课的学习，要求学生： 1.认识一个角的余角与补角，掌握余角和补角的性质． 2.了解方位角，能确定具体物体的方位．
本节内容结束
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如图所示，货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方
向上,同时,在它北偏东40°、南偏西10°、西北(即北偏西45°)
方向上又分别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的
方法，画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线北 .
●B
射线OB的方向就是北偏东40°， ● D 45°40°
即客轮B所在的方向.
()
×× ( )
× (4)两个角互补，那么这两个角中，必定一个是锐角，另一个是钝角。（）
√ (5)一个角的余角一定比这个角的补角小。 ( )
× (6)若 AOB与 BOC互补，则A、O、C同在一直线上。 ( )
× ⑺若∠1+∠2+∠3=180°，那么∠1、∠2、∠3互为补角（）
看谁思考的快！！ 1．锐角的余角一定是锐角吗？
填空题：
1、若 1与 2互补，则 1＋ 2＝_1__8_0°

原创2：4.3.3余角和补角

【解析】(1)先以O为顶点，表示正北方向的射线为角的一边，画45° 的角，使它的一边OB′落在东与北之间，在射线OB′上取OB等于2.5 cm，同理以B点为顶点，画出BC=3 cm，则OB，BC是蚂蚁所爬行的路线. 如图所示：
(2)由题意知，点O在点B的西南方向，所以∠DBO=45°，因为∠CBE=60°，所以∠CBD=30°，所以∠OBC=∠CBD+∠DBO =30°+45°=75°.
【想一想错在哪？】如图，O是直线AB 上一点，OC为任意一条射线，OD平分 ∠BOC，OE平分∠AOC. (1)指出图中∠AOD与∠BOE的补角. (2)试说明∠COD与∠COE具有怎样的数量关系.
提示：(1)本题找补角不全，互补的两个角与位置没有关系，不能只考虑图形中和是平角的两个角互补，还应该考虑和是180° 的两个角也互补.(2)补角的性质是等角的补角相等，应用的条件是要考虑已知的两个角是不是相等.
【总结提升】正确理解互余、互补 1.共同点：互余、互补都是反映两个角的数量关系，与角的位置无关，单独的一个角既不能互余也不能互补. 2.不同点：互余的两角之和等于90°，其中任何一角都小于90°；互补的两角之和等于180°，其中的两角不可能都小于90°，也不可能都大于90°.
知识点 2 方位角【例2】在图中，有A,B,C三个城市，地图被损坏了一部分，使 C的具体位置看不清楚了，但知道C在A地的北偏东30°，在B 地的南偏东45°，请你帮助确定C的位置.
知识点 1 余角和补角【例1】如图，A，O，B三点在一条直线上， ∠AOC=∠DOE=90°, (1)图中互余的角有哪些？ (2)相等的角有哪些(小于90°的角)？
【思路点拨】(1)找出图中所有90°的角→找出两角之和等于90°的角→答案 (2)利用余角的性质找相等的角

4.3.3 余角和补角

4.3.3 余角和补角1.了解两个角互余或互补的意义.2.掌握同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等.3.理解方位角的概念，会用角描述方向，解决实际问题.自学指导看书学习第138、139页的内容，知道什么是补角和余角，以及它们的性质.知识探究1.一般地，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角.即其中每一个角都是另一个角的余角.几何语言表示为：如果∠1+∠2=90°，那么∠1与∠2互为余角.2.一般地，如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角.即其中一个是另一个角的补角.几何语言表示为：如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角.3.性质：等角的余角相等，等角的补角相等.自学反馈1.判断题：(1)90度的角叫余角，180度的角叫补角.(×)(2)若∠1+∠2+∠3=90°则∠1，∠2，∠3互为余角.(×)(3)如果一个角有补角，那么这个角一定是钝角.(×)(4)互补的两个角不可能相等.(×)(5)钝角没有余角，但一定有补角.(√)(6)互余的两个角一定都是锐角，两个锐角一定互余.(×)(7)如果∠A=25°，∠B=75°，那么∠A与∠B互为余角.(×)(8)如果∠A=x°，∠B=(90-x)°，那么∠A与∠B互余.(√)2.已知一个角的补角是这个角的余角的3倍，求这个角的度数.解：45°.活动1：小组讨论1.如图，点A、O、B在同一直线上，OD平分∠AOB，∠COE=90°.回答下列问题：(1)写出图中所有的直角∠AOD，∠BOD，∠EOC；(2)写出图中与∠AOE相等的角∠3；(3)写出图中∠AOE所有的余角∠2，∠4；(4)写出图中∠COD的补角∠EOB；(5)写出图中∠DOE的补角∠AOC.2.如图，点O在直线AB上，OD平分∠COA，OE平分∠COB.①∠COB+∠AOC=180°，∠EOD=90°.②图中互余角有4对，互补角有5对.活动2：活学活用1.请认真观察下图，回答下列问题：(1)图中有几对互余的角？(2)图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么? 解：（1）6；（2）∠C＝∠B，∠COD＝∠BOE=∠A.2.用方位角描述下列方向.1.余角、补角的概念：(1)和为90°的两个角互为余角；(2)和为180°的两个角互为补角.2.余角、补角的性质：(1)等角的余角相等；(2)等角的补角相等.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。

4.3.3 余角与补角

与∠2相等即可.
图4-3.3-2
解：∠2=∠7，∠2=∠4，∠2=∠3. 理由如下：因为∠2+∠8=180°，∠7+∠8=180°（平角的定义），
所以∠2=∠7（同角的补角相等）.
因为∠1+∠3=180°（平角的定义）， ∠1+∠2=180°（已知），所以∠2=∠3（同角的补角相等）. 因为∠1+∠4=180°（平角的定义）， ∠1+∠2=180°（已知），所以∠2=∠4（同角的补角相等）.
余角和补角的性质
内容余角的性质补角的性质同角（等角）的余角相等同角（等角）的补角相等（1）得到余（补）角的性质的依据是等式的基本性质——等式的传递性；
知识解读
（2）同角的余（补）角相等指的是三个角
之间的关系，等角的余（补）角相等指的是四个角之间的关系
巧记乐背
同、等角的余角相等，同、等角的补角相等；运用的依据都相同，
位角描述法
知识解读
画图标准：一般按“上北下南，左西右东”.表示格式：南（北）偏东（西）××度.特殊情况：
①只用东、西、南、北四个方向中的任意一个方向表示时分别在其前面加“正”，如正东、
知识正西、正南、正北；
解读 ②习惯上北偏东45°用东北表示，北偏西45°用
西北表示，南偏东45°用东南表示，南偏西45°
图形之中找等角.
例2 如图4-3.3-2，直线AB与∠COD的两边OC，OD
分别相交于点E，F，∠1+∠2=180°，找出图中与
∠2相等的角，并说明理由. 分析：图中连同∠1和∠2在内总共有9个角(小于平角的角)，∠2是个锐角，∠1，∠5，∠6，∠8是钝角，这4个角显然不可能与∠2相等，再

4.3.3余角和补角

所以∠2＝∠4.
1、性质检测（1）若∠1与∠2互余，∠2与∠3互余，则_____＝ ______，根据是＿＿＿＿＿＿＿＿
（2）若∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，且∠1= ∠3，则_____＝______，根据是＿＿＿＿＿＿＿＿
(3)若∠1与∠2互补，∠3与∠1互补，则_____＝______，根据是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
1 2 180 (1 180 2)

性质
同角或等角的余角相等
同角或等角的补角相等
注意点
1
互余、互补是两角之间的数量关系，只与他们的度数和有关，与位置无关。互余、互补概念中的角是成对出现的。
角的余角是 90 ，补角是180 ,
2
3
4
同一个锐角的补角比余角大 90。 90 。只有锐角才有余角。
2、图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？
一、余角和补角的概念：（1）如果两个角的和是一个直角，称这两个锐角是互为余角，简称互余. 其中一个角是另一个角的余角.
数量关系为： ∵∠α+ ∠β=90°，
∵ ∠α和 ∠β互余，
∴∠α和 ∠β互余. ∴∠α+ ∠β=90°. （2）如果两个角的和是一个平角，称这两个角为互为补角简称互补. 其中一个角是另一个角的补角.
二、余角与补交的性质
１、同角或等角的余角２、同角或等角的补角。。
预习检测：1、找的余角和补角的余角的补角
80 10 100
45

45
'

135
'

70 39
19 21

109 21