集合函数
第讲集合与函数
f ( x) 的定义域为
D f (, 0) (0, ) ,
g ( x) 的定义域为
Dg (0, ) ,
D f Dg
f ( x) 与 g ( x) 不相同。
例7 解
函数 f ( x) | x | 与 g ( x) x 2 是否相同？
f ( x) 与 g ( x) 的定义域均为实数域 R ,
。 2 。 1 。 3 2 1 。 x O 1 2 3 4 。 1 。 2 。 3
想想取整函数的图形是什么样子？
y [ x]
例5
已知 f ( x 1)
x 2， 0 x 1 ， 求 f ( x) 的表达式。 2 x， 1 x 2，
解
令 t x 1，得 f (t )
确定的法则 f 有唯一确定的 y B 与之对应，则称 f
为从 A 到 B 的一个引映射，记为 f ：A B，或记为 f ：x y，x A，习惯上也记为 y f ( x)，x A。
其中， y 称为 x 在映射 f 下的像， x 称为 y 在映射 f 下
的一个原像 , A 称为映射 f 的定义域 , 记为 D( f ); A中
在不需要区别上面两种情况时，一般将统称为函 数在区间 I 上单调增加, 记为 f ( x) I 。
设函数 f ( x) 在区间 I 上有定义， x1，x2 I ,
若 x2 x2 f ( x2 ) f ( x1 )，则称函数 f ( x) 在区 间 I 上是单调减少的。 若 x2 x2 f ( x2 ) f ( x1 )，则称函数 f ( x) 在区 间 I 上是严格单调减少的。
实质上，函数 y f ( x) 就是映射 f : A R
集合函数经典编辑题型精华版
集合一、基础知识（理解去记）定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ∉。
例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用∅来表示。
集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。
例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ⊆，例如Z N ⊆。
规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。
如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。
便于理解：B A ⊆包含两个意思：①A 与B 相等 、②A 是B 的真子集 定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且I 定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或Y定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ∉∈=⊆且则称为A 在I 中的补集。
定义6 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合},,b a R x b x <∈≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
补充知识点 对集合中元素三大性质的理解 （1）确定性集合中的元素，必须是确定的．对于集合A 和元素a ，要么a A ∈，要么a A ∉，二者必居其一．比如：“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的．而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合． （2）互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素．如：由a ，2a 组成一个集合，则a 的取值不能是0或1．（3）无序性集合中的元素的次序无先后之分．如：由123，，组成一个集合，也可以写成132，，组成一个集合，它们都表示同一个集合．帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题（1）注意a 与{}a 的区别．a 是集合{}a 的一个元素，而{}a 是含有一个元素a 的集合，二者的关系是{}a a ∈．（2）注意∅与{}0的区别．∅是不含任何元素的集合，而{}0是含有元素0的集合．（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用｛实数集｝或{}R 来表示实数集R 这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思．用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义．例如：集合{()x y y =，中的元素是()x y ，，这个集合表示二元方程y =的解集，或者理解为曲线y =集合{x y =中的元素是x ，这个集合表示函数y =x 的取值范围；集合{y y =中的元素是y ，这个集合表示函数y =y 的取值范围；集合{y =中的元素只有一个（方程y =，它是用列举法表示的单元素集合．（4）常见题型方法：当集合中有n 个元素时，有2n 个子集，有2n -1个真子集，有2n -2个非空真子集。
集合函数的基础知识及其应用
集合函数的基础知识及其应用随着时代的发展，数据分析越来越成为企业决策的基础。
在数据分析中，集合函数是非常重要的一部分，它可以帮助我们对数据进行存储、统计、处理等操作。
本文将介绍集合函数的基础知识及其应用。
一、什么是集合函数集合函数，是指在一个数据集上运行的函数，返回单个值作为结果的函数。
它是对数据进行统计和汇总的函数，可以对数据进行聚合操作。
常见的集合函数有 COUNT、SUM、AVG、MIN、MAX 等。
二、COUNT 函数COUNT 函数返回被统计的数据集中的行数。
该函数常用于计算表格中的记录数。
例如，我们有一个表格，里面包含了多个员工的信息。
如果我们想知道表格中的员工数量，可以使用 COUNT 函数来统计。
例如命令如下：SELECT COUNT(*) FROM employees;其中 * 表示所有的列。
三、SUM 函数SUM 函数用于计算统计数据集中某一列的总和。
该函数常用于计算表格中某个字段的总和。
例如，我们有一个表格，里面存储了多个商品的销售情况。
如果我们想知道某个商品的销售总额，可以使用 SUM 函数来统计。
例如命令如下：SELECT SUM(sales) FROM products WHEREproduct_name='coffee';其中，sales 是数据集中需要统计的列，product_name 是商品名称，'coffee' 是需要统计销售总额的商品名称。
四、AVG 函数AVG 函数用于计算统计数据集中某一列的平均值。
该函数常用于计算表格中某个字段的平均值。
例如，我们有一个表格，里面存储了多个商品的销售情况。
如果我们想知道某个商品的平均销售额，可以使用 AVG 函数来统计。
例如命令如下：SELECT AVG(sales) FROM products WHEREproduct_name='coffee';其中，sales 是数据集中需要统计的列，product_name 是商品名称，'coffee' 是需要计算平均销售额的商品名称。
集合函数知识点
一、集合1、 集合：某些具有共同属性的对象集在一起就形成一个集合，简称集。
元素：集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
2、集合的表示方法⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩列举法描述法图示法区间法集合的分类⎪⎩⎪⎨⎧空集：无限集：有限集：3、子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任意元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A 。
也说集合A 是集合B 的子集。
即：若“B x A x ∈⇒∈”则B A ⊆。
子集性质：（1）任何一个集合是本身的子集；（2）空集是任何集合的子集；（3） 若B A ⊆，C B ⊆，则A C ⊆。
4、集合相等：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任意元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任意元素都是集合A 的元素，我们就说A =B 。
即：若A ⊆B ，同时B ⊆A ，那么B A =。
5、真子集：对于两个集合A 与B ，如果A ⊆B ，并且A ≠B ，我们就说集合A 是集合B6、易混符号： ①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系 ②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合7、子集的个数：（1）空集的所有子集的个数是 1 个 （2）集合{a}的所有子集的个数是 2个 （3）集合{a,b}的所有子集的个数是4个 （4）集合{a,b,c}的所有子集的个数是8 个猜想： (1){a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？ (2){}n a a a ,,21 的所有子集的个数是多少？结论：含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是 2n，所有真子集的个数是2n-1，非空子集数为 2n-1 ，非空真子集数为 2n-2 。
8、交集定义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的交集。
即：=B A {}x B x x A ∈∈且 。
9、并集定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集。
01第一章：集合与函数概念知识点总结
01第⼀章：集合与函数概念知识点总结第⼀章：集合与函数概念本章知识结构图：本章知识点梳理：1、集合①空集：不含有任何元素的集合，记作Φ（1）集合的分类⑤有限集：含有有限个元素的集合；⽆限集：含有⽆穷多个元素的集合（2）集合元素的特性②有：确定性、互异性、⽆序性。
（3）常⽤数集的专⽤符号⑥：⾃然数集：N ，正整数集：N +或N*，整数集：Z ，有理数集：Q ，实数集：R 。
（4）集合的表⽰⽅法④：①列举法：把集合中的元素⼀⼀列举出来，写在⼤括号内表⽰集合的⽅法；②描述法：把集合中元素的公共属性描述出来，写在⼤括号内表⽰集合的⽅法。
2、⼦集、交集、并集、补集（1）⼦集⑧定义：设集合A 与B ，如果集合A 中的任何⼀个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的⼦集记作B A ?（或A B ）；如果A 是B 的⼦集，并且B 中⾄少有⼀个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真⼦集，记作B A≠（或A B ≠）（2）交集○14定义：由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 、B 的交集，记作B A （如右图），即A x xB A ∈=|{ 且}B x ∈（3）并集○13定义：由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，叫做A 、B 的并集，记作A B ，即A a B A ∈={ 或}B a ∈（4）补集○15定义：设I 是⼀个集合，A 是I 的⼀个⼦集，由I 中所有不属于A的元素组成的集合，叫做I 中⼦集A 的补集（或余集），记作A C I ，即I x x A C I ∈=|{，且}A x ?如右图所⽰。
3、（1）函数的概念○16①设A 、B 是两个⾮空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何⼀个数x ，在集合B 中都有唯⼀确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的⼀个函数，记作:f A B →．②函数的三要素○17:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同⼀函数．（2）区间的概念○19及表⽰法①设,a b 是两个实数，且a b <，满⾜a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满⾜a x b<<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满⾜a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满⾜,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以⼤于或等于b ，⽽后者必须a b <．（3）函数的表⽰⽅法○20表⽰函数的⽅法，常⽤的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是⽤数学表达式表⽰两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表⽰两个变量之间的对应关系．图象法：就是⽤图象表⽰两个变量之间的对应关系．（4）映射的概念○23①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何⼀个元素，在集合B 中都有唯⼀的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定⼀个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象． 4、函数的基本性质（1）函数的单调性○25函数为增函数，减函数减去⼀个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）函数的最⼤（⼩）值定义○26①⼀般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满⾜：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最⼤值，记作m ax ()f x M =．②⼀般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满⾜：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最⼩值，记作m a x ()f x m=．（3）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，⼀个偶函数与⼀个奇函数的积（或商）是奇函数． 5、函数的图象的作法（1）利⽤描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．（2）利⽤基本函数图象的变换作图：要准确记忆⼀次函数、⼆次函数、反⽐例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三⾓函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k><=→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=→=伸缩 01,1,()()A A y f x y Af x <<>=→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =→=-轴()()y y f x y f x =→=-轴()()y f x y f x =→=--原点 1()()y xy f x y f x -==→=直线()(||)y y y y f x y f x =→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =→=保留轴上⽅图象将轴下⽅图象翻折上去知识点1：集合与元素知识点2：集合中元素的三个特性知识点3：元素与集合的两种关系知识点4：集合的三种表⽰法知识点5：有限集和⽆限集知识点6：特定集合的表⽰知识点7：Venn 图与数轴法表⽰集合知识点8：⼦集知识点9：集合相等知识点10：真⼦集知识点11：空集知识点12：集合的⼦集的数⽬知识点13：并集知识点14：交集知识点15：补集知识点16：函数的概念知识点17：函数的两个要素知识点18：函数的值域及其求法知识点19：区间的概念知识点20：函数的三种表达⽅法知识点21：函数图象知识点22、分段函数知识点23：映射的定义知识点24：增函数与减函数的定义知识点25：单调性与单调区间知识点26：函数的最⼤（⼩）值知识点27：奇函数与偶函数的概念知识点28：利⽤定义判断函数奇偶性的⼀般步骤知识点29：奇偶函数的图象的性质知识点30：奇偶函数的单调性部分知识点详细解释：知识点1：集合与元素1、元素：⼀般地，我们把研究对象统称为元素（element ），元素常⽤⼩写字母 c b a ,,表⽰。
高中数学必修一集合与函数的概念知识点+练习题含答案解析(非常详细)
第一部分集合与函数的概念知识点整理第一章集合与函数概念一：集合的含义与表示1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。
把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。
2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于。
（2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。
（3）元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合3、集合的表示：{…}（1）用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。
a、列举法：将集合中的元素一一列举出来 {a,b,c……}b、描述法：①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。
{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2}②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。
4、集合的分类：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集：含有无限个元素的集合（3）空集：不含任何元素的集合5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里，则元素属于集合，即：a∈A（2）元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+整数集Z有理数集Q实数集R6、集合间的基本关系（1）.“包含”关系（1）—子集定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。
记作：BA⊆（或B⊇Ａ）注意：BA⊆有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/ B或B⊇/A（2）.“包含”关系（2）—真子集如果集合BA⊆，但存在元素x∈B且x￠A，则集合A是集合B的真子集如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)读作A真含与B（3）．“相等”关系：A=B“元素相同则两集合相等”如果A⊆B 同时 B⊆A 那么A=B（4）. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
集合与函数的概念教案
集合与函数的概念教案教学目标：1. 理解集合的基本概念和运算。
2. 理解函数的定义和性质。
3. 能够运用集合和函数的概念解决实际问题。
教学内容：第一章：集合的基本概念和运算1.1 集合的定义和表示方法1.2 集合的运算（并集、交集、补集）1.3 集合的性质（交换律、结合律、吸收律）第二章：函数的定义和性质2.1 函数的定义和表示方法2.2 函数的域和像2.3 函数的性质（单调性、连续性、奇偶性）第三章：函数的图像3.1 函数图像的基本特征3.2 常见函数图像的绘制和识别3.3 函数图像的应用第四章：函数的计算4.1 函数的求值和解析式4.2 函数的复合和反函数4.3 函数的极限和连续性第五章：集合的应用5.1 集合在数学分析中的应用5.2 集合在概率论中的应用5.3 集合在其他学科中的应用教学方法：1. 采用讲授法，讲解集合和函数的基本概念和性质。
2. 利用图形和实例，直观地展示函数的图像和应用。
3. 引导学生通过思考和练习，深入理解集合和函数的概念。
教学评估：1. 课堂练习：布置相关的练习题，检查学生对集合和函数概念的理解。
2. 课后作业：布置相关的作业题，巩固学生对集合和函数概念的掌握。
3. 期中和期末考试：设置有关集合和函数的问题，评估学生的综合运用能力。
教学资源：1. 教学PPT：制作精美的PPT，展示集合和函数的概念和图像。
2. 教学案例：提供相关的实际案例，帮助学生理解集合和函数的应用。
3. 练习题库：准备丰富的练习题，供学生进行自主学习和练习。
教学建议：1. 在讲解集合的基本概念和运算时，注重与学生的生活实际相结合，让学生体会集合的意义和应用。
2. 在讲解函数的定义和性质时，注重引导学生理解函数的核心概念，如域、像和单调性等。
3. 在讲解函数的图像时，注重引导学生观察和分析函数图像的特征，提高学生对函数图像的理解和识别能力。
4. 在讲解函数的计算时，注重引导学生掌握函数的基本计算方法，如求值、复合和反函数等。
集合与函数的概念教案
集合与函数的概念教案章节一：集合的概念教学目标：1. 理解集合的定义和表示方法。
2. 掌握集合的基本运算，包括并集、交集、补集等。
教学内容：1. 集合的定义：集合是由确定的、互异的元素组成的整体。
2. 集合的表示方法：列举法、描述法。
3. 集合的基本运算：并集、交集、补集。
教学步骤：1. 引入集合的概念，通过实例讲解集合的定义和表示方法。
2. 引导学生通过列举法、描述法表示集合。
3. 讲解集合的基本运算，并通过图示或实例演示运算过程。
4. 布置练习题，让学生巩固集合的概念和基本运算。
章节二：函数的概念教学目标：1. 理解函数的定义和表示方法。
2. 掌握函数的性质，包括单调性、奇偶性、周期性等。
教学内容：1. 函数的定义：函数是两个非空数集之间的一种特殊对应关系。
2. 函数的表示方法：列表法、解析法、图象法。
3. 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性。
教学步骤：1. 引入函数的概念，通过实例讲解函数的定义和表示方法。
2. 引导学生通过列表法、解析法、图象法表示函数。
3. 讲解函数的性质，并通过实例演示性质的应用。
4. 布置练习题，让学生巩固函数的概念和性质。
章节三：集合的基本运算（续）教学目标：1. 掌握集合的混合运算，包括并集、交集、补集的组合。
2. 理解集合运算的优先级规则。
教学内容：1. 集合的混合运算：并集、交集、补集的组合。
2. 集合运算的优先级规则：先算括号内的运算，再算交集、并集、补集。
教学步骤：1. 复习集合的基本运算：并集、交集、补集。
2. 引入集合的混合运算，通过实例讲解运算过程和结果。
3. 讲解集合运算的优先级规则，并通过实例演示运算顺序。
4. 布置练习题，让学生巩固集合的混合运算和优先级规则。
章节四：函数的性质（续）教学目标：1. 掌握函数的单调性、奇偶性、周期性的判断方法。
2. 学会应用函数的性质解决问题。
教学内容：1. 函数的单调性：函数值随着自变量的增大而增大或减小。
2. 函数的奇偶性：函数关于原点对称。
数学公式(集合不等式函数)
数学公式（集合不等式函数）在数学中，公式是用数学符号和符号约定来表示数学关系或规律的一种方式。
数学公式是数学表达的核心，能够帮助我们解决各种数学问题和推导数学定理。
下面将介绍一些常见的数学公式，包括集合、不等式和函数。
一、集合公式：1.集合的基本运算：(1)并集的运算律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∪B=B∪A(2)交集的运算律：A∩(B∩C)=(A∩B)∩CA∩B=B∩A(3)差集的运算律：A\(B\C)=(A\B)∪(A\C)A\(B∪C)=(A\B)∩(A\C)2.集合的等价关系：(1)自反性：对于任意集合A，A≤A(2)对称性：如果A≤B，则B≤A(3)传递性：如果A≤B，B≤C，则A≤C(4)互斥性：如果A≤B且B≤A，则A=B3.集合的基数公式：(1)，A∪B，=，A，+，B，-，A∩B(2)，A\B，=，A，-，A∩B(3)，A\B，=，A，-，A∩B(4)，A，=，A∪B，+，A∩B二、不等式公式：1.不等式的基本性质：(1)加法性：如果a>b，则a+c>b+c(2) 乘法性：如果a > b，且c > 0，则ac > bc(3)除法性：如果a>b，且c>0，则a/c>b/c2.平均值不等式：(1) 算术平均不等式：对于任意非负实数x1, x2, ..., xn，有(x1 + x2 + ... + xn)/n ≥ √(x1x2...xn)(2) 几何平均不等式：对于任意正实数x1, x2, ..., xn，有(x1x2...xn)^(1/n) ≥ (x1 + x2 + ... + xn)/n(3) 加权平均不等式：设p1, p2, ..., pn为n个正实数之和，有(x1p1 + x2p2 + ... + xnpn)/(p1 + p2 + ... + pn) ≥(x1x2...xn)^(1/n)3.柯西-施瓦茨不等式：(1)对于任意实数a1,a2,b1,b2，有(a1b1+a2b2)^2≤(a1^2+a2^2)(b1^2+b2^2)(2) 对于任意实数与向量a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有(a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 ≤ (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)三、函数公式：1.基本初等函数：(1)反函数公式：如果函数y=f(x)与x=g(y)是互逆函数，则有f(g(y))=y和g(f(x))=x(2)奇偶性公式：对于偶函数有f(-x)=f(x)，对于奇函数有f(-x)=-f(x)2.指数和对数函数：(1) 对数换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)(2) 对数幂函数：a^log_a(x) = x，其中a为任意正数3.三角函数：(1)三角函数的和差公式：sin(x ± y) = sin(x)cos(y) ± cos(x)sin(y)cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sin(x)sin(y)(2)三角函数的倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x) tan(2x) = (2tan(x))/(1 - tan^2(x))以上是一些常见的数学公式，集合公式涉及集合的基本运算和基数公式，不等式公式包括不等式的基本性质、平均值不等式和柯西-施瓦茨不等式，函数公式主要涉及基本初等函数、指数和对数函数以及三角函数。
函数与集合
4
2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数. 这两个实数叫做区间的端点.
a, b R ,且 a b.
{ x a x b}
称为开区间, 记作 ( a , b )
o
a
b
x
{ x a x b}
称为闭区间, 记作 [ a , b ]
a
o
b
x
5
符号 表示“对每(任）一个”。
{ x a x b} { x a x b}
称为半开区间, 记作 [ a , b ) 称为半开区间, 记作 ( a , b ] 有限区间
( , b ) { x x b }
[ a , ) { x a x }
无限区间
o a o
x x
b
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
. 则称函数 f ( x ) 在 D 上有inx, 有界 y=cosx在（-∞,+∞)上均为有界函数,
18
x D
y=x,
y=x2在(-∞,+∞)上无界.
例： 证明函数 y
x 1 x
2
在 ( , )上 是 有 界 的 .
19
3l 2
l 2
l 2
3l 2
在(无穷)多个正周期中若存在一个最小数，此最小数称为最小正周期。
24
例 ： 若 f ( x ) 对 其 定 义 域 上 的 一 切 x， 恒 有 f ( x ) f ( 2 a x ), 则 称 f ( x ) 关 于 x a 对 称 . 证 明 ： 若 f ( x )关 于 x a 及 x b 对 称 ( a b ) , 则 它是周期函数.
集合与函数概念知识点总结
第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列举法与描述法和自然语言法。
注意啊：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a ∈A ，相反，a不属于集合A 记作aÏA列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{xÎR| x-3>2}或{x| x-3>2}4、集合的分类：1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B 的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B①任何一个集合是它本身的子集。
高中数学 第1章 集合与函数概念 1.1.2 集合间的基本关系课件 a必修1a高一必修1数学课件
4．集合间关系的性质 (1)任何一个集合都是它本身的子集，即 A⊆A. (2)对于集合 A，B，C， ①若 A⊆B，且 B⊆C，则 A⊆C； ②若 A B，B C，则 A C. (3)若 A⊆B，A≠B，则 A B.
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[基础自测] 1．思考辨析 (1)空集中只有元素 0，而无其余元素．( ) (2)任何一个集合都有子集．( ) (3)若 A＝B，则 A⊆B 或 B⊆A.( ) (4)空集是任何集合的真子集．( )
2．若集合 A＝{x|1<x<b}，试结合 b 的取值，指出 A 集合中的元素．
提示：当 b≤1 时，A＝∅；当 b>1 时，A 中的元素是由满足不等式 1<x<b 的实 数组成的．
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例 3 已知集合 A＝|x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若 B A，求实数 m 的取值范围. 思路探究： B＝{x|m＋1≤x≤2m－1} ―分―B结＝―合∅―数和―轴B―≠→∅
∴∴2m2m2mmm＋＋－ －－1111≤ ≤ 1>≥>－－mm5＋＋，22，，11，，
即即mmmmmm≥>≤≥ ≤ >22－ 3，3－，，，33，， ∴∴mm不不存存在在．．
即即不不存存在在实实数数
m m
使使
AA⊆ ⊆BB..
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[规律方法] 1．利用集合的关系求参数问题
(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含
参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需
特别注意端点问题．
高中数学集合与函数概念知识点总结
高中数学集合与函数概念知识点总结第一章集合与函数概念1.1.1集合的含义与表示一、集合的含义我们先看一些实例：①1~20以内的所有质数（素数）；有限集②到直线 l 的距离等于定长 d 的所有的点；③全体自然数；无限集④方程 x2+3x+2=0 的所有实数根；⑤某中学2019年9月入学的所有高一新生.分别归纳概括出它们具有什么共同特征?一般地，我们把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.通常用大写的拉丁字母 A，B，C，…表示集合，小写的拉丁字母 a，b，c ，…表示集合中的元素.注意：几种特殊的数集问题：如何理解“把一些元素组成的总体叫做集合”，这些集合里的元素必须具备什么特性？二、集合中元素的特性先思考以下两个问题：① 高一级身高较高的同学，能否构成集合? 否② 高一级身高160cm以上的同学，能否构成集合? 能③ 2, 4, 2 这三个数能否组成一个集合？否1.确定性：集合中的元素必须是确定的。
即确定了一个集合，任何一个元素是不是这个集合的元素也就确定了。
(具有某种属性)如：高一级身高160cm以上的同学组成的集合.2.互异性：集合中的元素是互异的。
即集合元素是没有重复现象的。
(互不相同)如：2, 4, 2 这三个数不能组成一个集合，但2,4可组成集合.3.无序性：集合中的元素是不讲顺序的。
即元素完全相同的两个集合，不论元素顺序如何，都表示同一个集合。
(不考虑顺序)如：集合A：大西洋，太平洋，印度洋组成的集合集合B：印度洋，大西洋，太平洋组成的集合集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等.三、元素与集合的关系高一级所有的同学组成的集合记为A， a是高一(7)班的同学，b是高二(7)班的同学，那么a与A，b与A之间各自有什么关系？四、集合的表示(1)自然语言表示法1~20以内的质数组成的集合(2)列举法例如，地球上四大洋组成的集合：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}例1、用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程 x2=x 的所有实数根组成的集合；(3)由1~20以内既能被2整除，又能被3整除的所有自然数组成的集合.解:(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A，则A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}(2)设方程 x2=x 的所有实数根组成的集合为B，则B={0,1}(3)设所求集合为C，则C={6,12,18}集合的分类：有限集，无限集：你能用列举法表示不等式 x －7< 3 的解集吗？无限集(3).描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。
人教版高一数学必修一第一章 集合与函数概念知识点+经典例题+巩固练习
高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。
注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集A⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。
A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果A⊆B, B⊆C ,那么A⊆C④如果A⊆B 同时B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。
有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A交B’），即A B=｛x|x∈A，且x∈B｝．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B（读作‘A并B’），即A B ={x|x∈A，或x∈B})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作ACS，即C S A=},|{AxSx x∉∈且韦恩图示A B图1A B图2SA性 质A A=A A Φ=Φ A B=B A A B ⊆A A B ⊆BA A=A A Φ=A A B=B A A B ⊇Ａ A B ⊇B(C u A) (C u B)= C u (A B) (C u A) (C u B)= C u (A B) A (C u A)=U A (C u A)= Φ．例题：1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合{a ，b ，c }的真子集共有 个3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0}，则M 与N 的关系是 .4.设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ⊆B ，则a 的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。
数学集合函数知识点总结
数学集合函数知识点总结概念在数学中，集合是指具有某种特定性质的事物的整体。
它由若干个元素组成，这些元素可以是数字、字母、图形或其他符号。
集合是数学研究中的基本概念，它在数学中占据着重要的地位。
集合函数是指将一个或多个集合映射到另一个集合的函数。
在集合函数中，输入是一个或多个集合，输出是另一个集合。
常见的集合函数有并集、交集、补集、差集、幂集、笛卡尔积等。
性质集合函数具有许多重要的性质，这些性质对于研究集合函数的性质和应用具有重要意义。
下面我们将介绍一些常见的集合函数性质：1. 交换律：对于任意两个集合A和B，A∪B = B∪A，A∩B = B∩A。
这表明并集和交集函数满足交换律。
2. 结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∪B)∪C = A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
这表明并集和交集函数满足结合律。
3. 分配律：对于任意三个集合A、B和C，A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) =(A∩B)∪(A∩C)。
这表明并集和交集函数满足分配律。
4. 吸收律：对于任意两个集合A和B，A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A。
这表明并集和交集函数满足吸收律。
5. 补集性质：对于集合A的补集A'，A∪A' = U，A∩A' = ∅，其中U表示全集，∅表示空集。
6. 幂集性质：对于集合A的幂集P(A)，P(A)包含A的所有子集，包括空集和A本身。
7. 笛卡尔积性质：对于集合A和B的笛卡尔积A×B，A×B包含所有形如(a,b)的有序对，其中a∈A，b∈B。
这些性质对于理解集合函数的运算规律和应用具有重要意义，它们为我们在数学分析、拓扑学、概率论和统计学等领域中的研究提供了重要的基础。
常见类型在数学中，有许多重要的集合函数，下面我们将介绍一些常见的集合函数，并解释它们在不同数学领域中的应用：1. 并集函数：对于集合A和B的并集A∪B，A∪B包含所有属于A或属于B的元素。
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图1
图2
第一章·第十一节
①分别将 A，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式． ②已知该企业已筹集到 18 万元资金， 并将全部投入 A， B 两种 产品的生产． (ⅰ)若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ (ⅱ)问：如果你是厂长，怎样分配这 18 万元投资，才能使该企 业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？
第一章 集合与函数
第一章·第十一节
第十一节 函数模型及其应用
第一章·第十一节
考纲导学 1.了解指数函数、 对数函数以及幂函数的增长特征， 知道直线上升、 指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在 社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
第一章·第十一节
2．构建函数模型的基本步骤 不同的函数模型能够刻画现实世界不同的变化规律， 函数模型 可以处理生产、生活、科技中很多实际问题． 解决应用问题的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选 择模型． (2)建模：将文字语言、图形(或数表)等转化为数学语言，利用 数学知识，建立相应的数学模型；
第一章·第十一节
17 所以当 t＝4 时，ymax＝ 2 ＝8.5，此时 x＝16,18－x＝2. 所以当 A，B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时，可使该企 业获得最大利润，约为 8.5 万元．
答案：(1)16
(2)见解析
第一章·第十一节
【师说点拨】应用所给函数模型解决实际问题的关注点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．
③图(3)的建议是：提高票价，并保持
④图(3)的建议是：提高票价，并降低成本． )
其中所有正确说法的序号是( A．①③ C．②③ B．①④ D．②④
第一章·第十一节
解析：对于图(2)，当 x＝0 时，函数值比图(1)中的大，表示成 本降低，两直线平行，表明票价不变，故②正确；对于图(3)，当 x ＝0 时，函数值不变表示成本不变，当 x＞0 时，函数值增大表明票 价提高，故③正确．
第一章·第十一节
解析：利润 300 万元，纳税 300· p%万元． 年广告费超出年销售收入 2%的部分为 200－1 000×2%＝180(万元)， 纳税 180· p%万元． 共纳税 300· p%＋180· p%＝120(万元)， 1 ∴p%＝ ＝25%. 4
答案：C
第一章·第十一节
4．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为 b,2013 年 产生的垃圾量为 a t，由此预测，该区下一年的垃圾量为 __________t,2018 年的垃圾量为__________t.
第一章·第十一节
解析：(1)依题意有a· e ln2 所以b＝ ，所以y＝ 8
－b×8
1 ＝2a，
若容器中的沙子只有开始时的八分之一， 则有 1 ＝8a，解得t＝24，
所以再经过的时间为24－8＝16(min)．
第一章·第十一节
(2)①设 A，B 两种产品分别投资 x 万元，x 万元，x≥0，所获 利润分别为 f(x)万元、g(x)万元． 由题意可设 f(x)＝k1x，g(x)＝k2 x. 根据图象可解得 f(x)＝0.25x(x≥0)． g(x)＝2 x(x≥0)．
第一章·第十一节
①
②
③
④
A．1 个 C ．3 个
B．2 个 D．4 个
第一章·第十一节
(2)如图，半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 l1，l2 之间，l∥l1，l 与半圆相交于 F，G 两点，与三角形 ABC 两边 相交于 E，D 两点．设弧 FG 的长为 x(0＜x＜π)，y＝EB＋BC＋CD， 若 l 从 l1 平行移动到 l2，则函数 y＝f(x)的图象大致是( )
第一章·第十一节
②(ⅰ)由①得 f(9)＝2.25，g(9)＝2 9＝6. 所以总利润 y＝8.25 万元． (ⅱ)设 B 产品投入 x 万元，A 产品投入(18－x)万元，该企业可 获总利润为 y 万元． 1 则 y＝4(18－x)＋2 x，0≤x≤18. 令 x＝t，t∈[0,3 2]． 1 1 17 2 2 则 y＝ (－t ＋8t＋18)＝－ (t－4) ＋ . 4 4 2
第一章·第十一节
第一章·第十一节
1．下列函数中，随 x 的增大而增大，速度最快的是( 1 A．y＝100ex C．y＝x100 B．y＝100lnx D．y＝100· 2x
)
解析：因指数函数型增长快，又 e＞2，则应选 A. 答案：A
第一章·第十一节
2．设甲、乙两地的距离为 a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲 地到乙地用了 20 分钟，在乙地休息 10 分钟后，他又以匀速从乙地 返回到甲地用了 30 分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程 y 和其所用的时间 x 的函数图像为( )
第一章·第十一节
A
B
C
D
第一章·第十一节
解析： (1)将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中， 容 器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系可以从高度随时间的变化率 上反映出来，图①应该是匀速的，故下面的图象不正确，②中的变 化率是越来越慢的，正确；③中的变化规律是逐渐变慢再变快，正 确；④中的变化规律是逐渐变快再变慢，也正确，故只有①是错误 的．
答案：C
第一章·第十一节
考点二 例 2
应用所给函数模型解决实际问题
(1)(2014· 沈阳模拟)一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底下 一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y＝ae
bt
－
(cm3) ，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过
______min，容器中的沙子只有开始时的八分之一． (2)(2014· 宜昌模拟)某企业生产 A、B 两种产品，根据市场调查 与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图 1；B 产品的利 润与投资的算术平方根成正比， 其关系如图 2(注： 利润和投资单位： 万元)．
①______ ④________
②______ ⑤________
③______ 相对平稳
第一章·第十一节
随 x 增大逐渐 随 x 增大逐渐 图象的变化 表现为与⑥ ______平行 表现为与⑦ ______平行
随 n 值变化 而不同
第一章·第十一节
2.函数 y＝ax(a＞1)， y＝logax(a＞1)和 y＝xn(n＞0)的增长速度比 较 (1)指数函数 y＝ax 和幂函数 y＝xn(n＞0)在区间(0，＋∞)上，无 论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定范围内 ax 会小于 xn，但由于 y＝ ax 的增长速度⑧______y＝xn 的增长速度，因此总存在一个 x0，当 x ＞x0 时有⑨______.
第一章·第十一节
解析： 注意到 y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而 不是位移，用定性分析法不难得到答案 D.
答案：D
第一章·第十一节
3．某企业去年销售收入 1 000 万元，年成本为生产成本 500 万元与年广告成本 200 万元两部分．若年利润必须按 p%纳税，且 年广告费超出年销售收入 2%的部分也按 p%纳税， 其他不纳税． 已 知该企业去年共纳税 120 万元．则税率 p%为( A．10% C．25% B．12% D．40% )
1 2 解析：总利润 L(Q)＝40Q－20Q －10Q－2 000 1 ＝－ (Q－300)2＋2 500. 20 故当 Q＝300 时，总利润最大值为 2 500 万元.
答案：2 500 万元
第一章·第十一节
1．三种函数模型的性质 函数 性质 在(0，＋∞) 上的增减性 增长速度 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0)
第一章·第十一节
(3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原 为实际问题的意义．
第一章·第十一节
考点一 例 1
利用图象刻画实际问题
(1)(2015· 三明月考)如图，下面的四个容器高度都相同，将水从 容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止．用下面对应 的图象表示该容器中水面的高度 h 和时间 t 之间的关系，其中不正 确的有( )
结合余弦函数的图象知选项 D 正确．
答案：(1)A
(2)D 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种 方法 (1)构建函数模型法： 当根据题意易构建函数模型时， 先建立函 数模型，再结合模型选图象． (2)验证法： 当根据题意不易建立函数模型时， 则根据实际问题 中两变量的变化快慢等特点， 结合图象的变化趋势， 验证是否吻合， 从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
第一章·第十一节
2 3 (2)△ABC 的高为圆的半径 1，可求边长为 3 ，弧 FG 所对的 x 1－cos 2 2 3 x 圆心角为 x，所以 O 到 FG 的距离为 cos2，则 EB＝ π ＝ 3 sin 3
x 1－cos ，故 2
x 2 3 4 3 4 3 x y＝ 3 1－cos2 ＋ 3 ＝2 3－ 3 cos2，0＜x＜π，
第一章·第十一节
(2)对于对数函数 y＝logax(a ＞1)和幂函数 y＝ xn(n＞0)在区间 (0，＋∞)，尽管在 x 的一定范围内可能会有 logax＞xn，但由于 y＝ logax 的增长速度慢于 y＝xn 的增长速度，因此在(0，＋∞)上总存在 一个实数 x0，使 x＞x0 时，⑩______. (3)y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)与 y＝xn(n＞0)尽管都是增函数， 但由于它们⑪__________不同，而且不在同一个“档次上”，因此 在(0，＋∞)上随 x 的增大，总会存在一个 x0，当 x＞x0 时，有⑫ ______________.