第二章 多项式插值

记
x − x1 l0 ( x) = x0 − x1
x − x0 l1 ( x) = x1 − x0
x − x0 x − x1 y0 + y1 x0 − x1 x1 − x0
可以看出
L1 ( x) =
的线性组合得到，其系数分别为 y0，y1 称 l0 ( x), l1 ( x)为节点 x0 , x1 的线性插值基函数
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ξ ∈ (ξ 0 , ξ 1 ) 使得 ϕ ′′(ξ ) = 0
Lagrange插值的截断误差 定理: 设Ln(x)是过点x0 ，x1 ，x2 ，…xn的 n 次插值多 项式， f ( x ) ∈ C n [a, b] ，f(n+1)(x)在[a，b]上存在，其中 [a，b]是包含点x0 ，x1 ，x2 ，…,xn的任一区间，则对 任意给定的x∈[a，b]，总存在一点ξ∈（a，b）（依赖 于x）使
xn yn
求一个n次插值函数 Ln ( x) 满足
Ln ( x) = yi (i = 1, 2,L , n)
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n次插值多项式(3)
构造各个插值节点上的基函数 li ( x) (i = 0,1,L , n) 满足如下条件
xi l0 ( x) l1 ( x) x0 x1 x2
L L L L
xn
1 0
Rn ( x ) = f ( x ) − Ln ( x ) =
f
( n +1 )
(ξ )
( n + 1 )!
ω n +1 ( x )
其中 ωn +1 ( x) = ( x − x0 )( x − x1 )...( x − xn ) ，f(n+1)(ξ) 是f(x) 的n+1阶微商在 ξ 的值。
证明: 记 Rn(x) = f(x) - Ln(x) 显然 Rn(xi ) =0 ,i=0,1,…,n, 故可设Rn(x)=K(x) ωn+1(x) 现在[a,b]上任意固定一点x,引进辅助函数 g(t)=f(t)- Ln(t)-K(x)ωn+1(t), (*) 则g(t)在[a,b]上具有n阶连续导数，在(a,b)内存在n+1阶 导数，在 t= x0, x1,…, xn, x诸点处皆等于零,即g(t)在 [a,b]中有n+2个零点,由Rolle定理知g'(t)在[a,b]中有n+1 个零点,如此反复，最后可推知g(n+1)(t)在[a,b]中有1个 零点, ，即有 g(n+1)( ξ)=0, a< ξ<b. 因为ωn+1(t)是n+1次多项式， ωn+1(n+1)(t)=(n+1)!,又因为 ϕn(t)是次数为n的多项式,因此ϕn (n+1)(t) = 0 。这样，由 (*)式便有 ( n +1) ( n +1) ( n +1) ( n +1)
=∏
j =0 j≠k
n
x − xj
xk − x j
从而得n 阶拉格朗日（Lagrange）插值公式：
⎛ n ⎞ x − xj ⎟ ⎜ Pn ( x ) = ∑ l k ( x ) yk = ∑ ⎜ ∏ ⎟ yk k =0 ⎜ j =0 xk − x j ⎟ k =0 ⎝ j≠k ⎠
n n
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n次插值多项式(7)
5
存在唯一性定理证明(续)
此方程组的系数行列式为
1 x0 D= 1 x1 LL 1 xn
当
x x
2 0
L x L x
n 0
2 1
n 1
=
0≤ j < i ≤ n
∏(x
i
− xj)
x
2 n
L x
n n
范得蒙行列式 ！
xi ≠ x j
i = 1,2, L n;
j = 1,2, L n
时，
D ≠ 0， 因此，Pn(x)由a0, a1,…, an唯一确定。
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插值方法
一、解方程组法： 类似插值唯一性定理证明过程，先设插值多项式函数 为
n Pn ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x，将
n +1 个节点的
函数值代入多项式里，便得到 所要求的插值多项式。
个等式，得到一个关 n +1
于多项式里系数的线性方程组，解此线性方程组，便得到
二、基函数法：一种既能避免解方程组，又能适合于计算机 求解的方法，下面将具体介绍。
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拉格朗日插值公式
拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是， 把 pn(x) 的 构 造 问 题 转 化 为 n+1 个 插 值 基 函 数 li(x)(i=0,1,…,n)的构造。
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线性插值函数
f(x)
j =0 j≠k n
又由
lk ( x k ) = 1
，得：
1 λ= ( xk − x0 )( xk − x1 )L( xk − xk −1 )( xk − xk +1 )L( xk − xn )
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n次插值多项式(6)
( x − x0 )( x − x1 )L ( x − x k −1 )( x − x k +1 )L ( x − x n ) lk ( x ) = ( x k − x0 )( x k − x1 )L ( x k − x k −1 )( x k − x k +1 )L ( x k − x n )
Pn ( x ) = a0 + a1 x + L + a n x n
使之满足条件
Pn ( x i ) = y i
i = 0, 1, 2,…, n
xi ≠ x j
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要求：无重合节点，即 i ≠ j
一次Lagrange插值多项式(1)
已知函数 y = f ( x )在点 x0 , x1上的值为 y0 , y1 ，要
由直线两点式可知，通过A，B的直线方程为
y1 − y0 y = y0 ( x − x0 ) = p1 ( x ) x1 − x0
它也可变形为
x − x0 x − x1 l0 ( x0 ) = , l1 ( x ) = x 0 − x1 x1 − x 0
显然有：
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一次Lagrange插值多项式(4)
1
多项式插值定义
在众多函数中,多项式最简单、最易计算，已知函数 y = f ( x)在n +1 个互不相同的点处的函数值 y i = f ( x i ), i = 0 ,1 , L , n ，为求 y = f (x ) 的近似式，自然应当选 n 次多项式
Pn ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n
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一次Lagrange插值多项式(5)
线性插值基函数 l0 ( x), l1 ( x) 满足下述条件
xi
l0 ( x) l1 ( x)
x0
1 0
x1
0 1
并且它们都是一次函数。 注意它们的特点对下面的推广很重要
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一次Lagrange插值多项式(6)
l1 • 我们称 l0 ( x )为点 x0 的一次插值基函数，( x ) 为点 x1 的一次插值基函数。它们在对应的插值点上取
0 1
0 0
0 0
L
ln ( x)
L
0
L
0
L
0
L
1
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L
n次插值多项式(4)
求n次多项式
lk ( x ) ， k
= 0, 1,…, n
则
⎧1, l k ( xi ) = ⎨ ⎩0,
n
k=i k≠i
i = 0, 1, 2,…, n
Pn ( xi ) = ∑ yk l k ( xi ) = yi
k =1
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二次Lagrange插值多项式(2)
设被插函数在插值节点 x0 , x1 , x2 处的函数值为
y0 , y1 , y2 以过节点 ( xi , yi ) (i = 0,1, 2) 的二次函数
L2 ( x) 为插值函数。 用基函数的方法获得 L2 ( x)
L2 ( x) = y0l0 ( x) + y1l1 ( x) + y2l2 ( x)
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其中
n次插值函数(1)
• 我们看到，两个插值点可求出一次插值多项 式 式 ，而三个插值点可求出二次插值多项 。当插值点增加到n+1个时，我们可以利用 ，如
Lagrange插值方法写出n次插值多项式 下所示：
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n次插值多项式问题(2)
已知n+1个节点处的函数值
xi yi
x0 y0
x1 y1
L L
2
插值的几何意义
插值多项式的几何意义
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插值唯一性定理
定理：(唯一性) 满足 P ( x i ) = y i , i = 0 , ... , n 的 n 阶插值 多项式是唯一存在的。
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存在唯一性定理证明
设所要构造的插值多项式为：
Pn ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + an x n
由插值条件
Pn ( x i ) = yi
i = 0, 1, L , n
得到如下线性代数方程组： n ⎧1 ⋅ a0 + x0 a1 + L + x0 a n = y0 ⎪ n ⎪1 ⋅ a0 + x1a1 + L + x1 a n = y1 ⎨ ⎪LL ⎪1 ⋅ a + x a + L + x n a = y n 1 n n n ⎩ 0