第六章流动问题(交错网格)

合集下载

国科大中科院图论与网络流理论第6章答案

,Vk 是 G I 的一个正常 k -点染色，即 V1 ,V2 ,
V j ,
k i 1
,Vk 是 V (G I ) 的
一个划分，每个 Vi 非空， Vi
Vi V (G I ) 。从而
k i 1
Vi
I V (G ) ，且是
V1 ,V2 ,
因此构成 G 的一个 k 1 正常点染色，故 (G) k 1 ， ,Vk , I 互不相交的独立集。
(G) (G I ) 1，即 (G) 1 (G I ) 。
结合式（1）得 (G I)
(G) 1 。
证明 2： G 是 k 色临界的，则 (G) k ，且 (G I ) k 1 。另一方面，若 (G I ) r k 1，无妨设 G I 的一个 r 正常染色为 V1 ,V2 , 则 V1 ,V2 ,
即 (G I ) (G) 1 ，结合（2）式，得 (G I)
(G) 1 。
ห้องสมุดไป่ตู้
证明 4：因 G 是色临界图，故 (G I ) (G) 1 ，另一方面，假如 (G I ) (G) 2 ，则 G I 是 (G) 2 色可染的，因 G I 是 G 的子图，对 G I 进行 (G) 2 色正常染色后，再用第 (G) 1种色对 I 中的点染色，可得 G 的 (G) 1正常点染色，这与 G 的色数
证法 3：假如 (G) ，则由正则性， G 的每个点都与种颜色的边相关联，从而去掉一种颜色的边后所得之图 G 是个顶点的 k 1 正则图。在 G 中看， 2
d (v )
vG

第六章流动问题(流动问题的同位网格法)

第六章流动问题———流动问题的同位网格法
和节点动量方程所不同的是在界面速度的表达式中所需要的压力差正好是相邻节点的压力差，如果能进一步获得界面假拟速度，则由以上表达式可获得界面上的速度，由相邻节点压力差驱动的界面速度。针对以上方程中的假拟速度和压差前的系数，则采用线性插值的办法由节点值获得，如下：
(8)重复(1)~(7)，直到跌代收敛。
第六章流动问题———流动问题的同位网格法
* * * anp Pnp [wu* ap PP u ] y [ v v w e e s s n n ]x
该方程的形式、系数和源项及其含义和SIMPLE算法中的完全相同。其边界条件同样也是齐次Neumann条件，即：
第六章流动问题———流动问பைடு நூலகம்的同位网格法
仿照节点动量方程，写出界面速度的表达式
y ˆe ue u (p P pE ) ae y ˆw uw u (p W p P ) aw x ˆn vn v (p P p N ) an x ˆs vs v (pS p P ) as
第六章流动问题———流动问题的同位网格法
在同位网格法中，界面上的速度不是采用差值的办法获得的，而是采用动量方程的形式得到的，而且压力差也是通过界面速度的动量方程用邻点压力差表示的给出P点和E点的u速度的动量方程，如下：
aPuP anPunP bP y(pe p w )P aEuE anEunE bE y(pe pw )E
计算得出不合理的压力场。
因此，在同位网格中必须借鉴交错网格的成功经验，将与计算速度相关的相邻点的压力差引入到动量方程的求借过程中。
第六章流动问题———流动问题的同位网格法

交错网格有限元方法在流体力学中的应用

交错网格有限元方法在流体力学中的应用众所周知，流体力学是研究流体运动规律的学科，它关注的是在各种场景下流体受力和运动状态的改变。

作为这个学科的一个重要分支，数值模拟已成为研究流体力学的重要工具。

近年来，交错网格有限元方法在流体力学中的应用越来越广泛，被广泛认为是最有效的解决非结构网格问题的方法之一。

一、交错网格有限元方法的基础交错网格有限元方法是一种广泛应用于流体力学数值模拟的方法。

它是在有限元的基础上发展起来的。

有限元方法是将连续问题转化为离散问题，通过离散化来求解连续问题的数值解。

然而，用有限元方法解决非结构网格问题就会面临网格自适应性和计算效率的问题，这时候就需要使用交错网格有限元方法来解决这些问题。

交错网格有限元方法可以使用几何反求来实现自适应网格。

这种方法使得网格可以在任何地方进行划分，从而提高了计算效率。

交错网格的每个节点集合中有一个基准网格，它用于计算各项式的各个向量分量和各项式的各个导数。

在交错网格方法中，每个自由度都与流体的物理量相对应，例如，速度和压力。

二、交错网格有限元方法的特点在数值方法中，使用交错网格有限元方法具有以下优势：(1)降低存储和计算的成本交错网格的节点可以根据需要放置在单元的角落上，从而实现对网格形状和密度的控制。

与有限元方法相比，交错网格方法能够更好地适应物理真实的问题，并更具计算效率。

(2)高质量的网格生成交错网格方法可将网格自适应算法与有限元方法结合起来，生成具有高质量的网格，这些网格能够规避元素的当前网格尺寸问题，减少误差，更精确地模拟流体解。

(3)相对简单的实现在交错网格方法中，可以使用标准有限元和有限体积方法来计算交错网格的解。

这意味着，仅需少量的代码更改即可将标准有限元代码转换为交错网格的形式，而无需牺牲计算效率或准确性。

三、交错网格有限元法广泛应用于流体结构相互作用、流体波浪相互作用、颗粒流体相互作用、微观流体学、生物流体学、多相流、激波等领域的数值模拟中。

数值传热学第六章答案 (2)

数值传热学第六章答案简介本文档将为读者提供《数值传热学》第六章的答案。

第六章主要涉及热对流传热的数值计算方法，包括网格划分、边界条件、离散方法等内容。

通过本文档，读者将了解如何使用数值方法解决热对流传热问题，并学会应用这些方法进行实际计算。

问题回答1. 简述热对流传热的数值计算方法。

热对流传热的数值计算方法主要包括三个步骤：网格划分、边界条件设置和离散方法。

网格划分是指将传热区域划分为若干个离散的小单元，每个单元内部温度变化均匀。

常见的网格划分方法有结构化网格和非结构化网格。

结构化网格适用于简单几何形状，易于处理；非结构化网格则适用于复杂几何形状。

边界条件设置是指给定物体表面的边界条件，如温度或热流密度。

边界条件的设置需要根据实际问题来确定，可以通过实验或经验公式来获取。

离散方法是指将传热控制方程进行离散化，通常使用有限差分法或有限元法。

有限差分法将控制方程离散化为代数方程组，而有限元法则通过近似方法将方程离散化。

2. 什么是结构化网格和非结构化网格？它们在热对流传热计算中有何不同？结构化网格是指由规则排列的矩形或立方体单元组成的网格。

在结构化网格中，每个单元与其相邻单元之间的联系都是固定的，因此易于处理。

结构化网格适用于简单几何形状，如长方体或圆柱体。

非结构化网格是指由不规则形状的三角形、四边形或多边形组成的网格。

在非结构化网格中，每个单元与其相邻单元之间的联系可能是不确定的，需要使用邻接表来表示网格拓扑关系。

非结构化网格适用于复杂几何形状，如复杂流体流动中的腔体或障碍物。

在热对流传热计算中，结构化网格和非结构化网格的主要区别在于网格的配置方式和计算复杂度。

结构化网格由正交单元组成，计算稳定性较高，但对于复杂几何形状的处理能力较差。

非结构化网格可以灵活地适应复杂几何形状，但计算复杂度较高。

3. 如何设置边界条件？边界条件的设置是热对流传热计算中非常重要的一步，它决定了计算结果的准确性和可靠性。

交错网格

N
（3.11）
( 2 )i 1 2, j N ( N ) m1 2 i 1 2, j N ( N ) m1 2 m1 2 m 1 2 t C ( v v ) C ( v v ) n x x n z z i 1 2, j i 1 2, j i n , j i ( n 1), j i 1 2, j ( 2 n 1) 2 i 1 2, j ( 2 n 1) 2 z n 1 x n 1 1 N ( N ) m1 2 1 N ( N ) m1 2 m1 2 m1 m 1 2 xzi , j 1 2 xzi , j 1 2 t i , j 1 2 Cn (vxi , j n vxi , j ( n 1) ) Cn (vzi ( 2 n 1) 2, j 1 2 vzm ) i ( 2 n 1) 2, j 1 2 x n1 z n1
5
1 弹性波动方程的解
地震波数值模拟方法主要有三大类：波动方程法，积分方程法和射线追踪法．波动方程数值解法是建立在以弹性或粘弹性理论和牛顿力学为基础的双曲型偏微分方程一地震波传播方程的理论基础上的．由于地下介质性质不同，其相应的地震波传播方程也不同．如声学介质中的声波波动方程；弹性介质中的弹性波波动方程；粘弹性介质中的粘弹性波波动方程；孔隙弹性介质(双相或多相介质)中的双相或多相介质弹性波方程；各向异性介质中的各向异性弹性波波动方程等积分方程法是建立在以惠更斯原理为基础的波叠加原理基础上的，其数学表达形式为波动方程的格林函数域积分方程式和边界积分方程式．射线追踪法是建立在以射线理论为基础的波动方程高频近似理论基础上的，其数学表达形式为程函方程和传输方程．
将式（3.10）带入式（3.6）替换应力对空间的导师，整理得下式

SIMPLE算法求解方腔内粘性不可压流动

SIMPLE算法求解方腔内粘性不可压流动目录一、问题描述 (2)二、离散格式 (3)交错网格 (3)方程离散 (4)三、SIMPLE算法基本思想 (6)边界条件处理 (8)虚拟网格处理 (9)方程求解 (11)输出变量处理 (12)SIMPLE算法流程图 (15)四、程序中主要变量的意义 (15)五、计算结果与讨论 (17)函数最大值 (17)变量等值线图 (18)主要结论 (22)六、源程序 (22)一、问题描述假设1,0≤≤y x 的方腔内充满粘性不可压缩流体，左、右、下壁固定，上壁以()22116x x u --= 运动，试求400,200,100Re = 时的定常解，方腔如图1所示。

图1 方腔内流动示意图二、离散格式本算例采用求解不可压缩流动的经典算法，即SIMPLE算法，求解方腔内粘性不可压缩流体运动的定常解。

SIMPLE算法的全称为Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations，即求解压力关联方程的半隐式算法。

采用SIMPLE算法时，为了避免中心差分格式将“棋盘”型参量分布误认为是均匀分布，需要用交错网格对计算域进行离散。

交错网格交错网格如图2所示，压力、密度等物理量存储在控制体()j i,的中心，这个控制体称为主控制体。

速度分量()v u,分别存储在主控制体的()ji,2/1+和()2/1,+ji位置处，标记为()j i,位置，再分别以此为中心，划分速度分量u、v的控制体。

采用空间均匀网格，等间距离散整个求解域，如图3所示。

图2 交错网格示意图图3 求解域离散示意图图3中阴影部分代表方腔内的流动区域，阴影区域的边界代表方腔的上、下、左、右壁面，阴影区域外面的网格节点是为边界处理需要而设定的虚拟网格节点，后面介绍边界处理方法时详细论述。

方程离散无量纲化的守恒型不可压缩S N - 方程为()0Re102=∇-∇+∙∇+∂∂=∙∇U P U U t U U其积分形式为()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=∇⋅-+⋅+∂∂=∇⋅-+⋅+∂∂=⋅S S y S VS S x S VSvdS n dS pn vdS U n dV t v udS n dS pn udS U n dV t u dS U n 0Re10Re1图4 主控制体图5 速度u控制体图6 速度v控制体采用有限体积法离散SN-方程，连续性方程在主控制体上离散()()011,1,1,11,=∆-+∆-+-++-+xvvyuu MjiMjiMjiMjiX方向动量方程在速度u控制体上离散，时间采用前差()()()()()()()()01,1,111,1,1,11,,1,=∆-+∆-+∆-+-∆∆∆+++--+yppxGGyFFuutyx Mj iMjij ij ijij iMj iMj iY方向动量方程在速度v控制体上离散，时间采用前差()()()()()()()()01,11,21,2,2,12,,1,=∆-+∆-+∆-+-∆∆∆+++--+xppyGGxFFvvtyx Mj iMj ij ij ijij iMj iMj i其中，数值通量()()yuuvGxuuF∂∂-=∂∂-=Re1,Re1121()()yvuvGxvvF∂∂-=∂∂-=Re1,Re1222通量()()11,GF分别定义在主控制体的中心和角点，如图所示，并按照如下方法离散()()()()()()()()1,1,11,1,1,,111,1,11,1,1,,11Re141Re141++++++++++++++-∆-++=-∆-++=Mj iMjiMj iMjiMj iMjiMj iMjiMj iMjiMj iMjiuuyuuvvGuuxuuuuF通量()()22,GF分别定义在主控制体的中心和角点，如图所示，并按照如下方式离散()()()()()()()()1,1,11,1,1,,121,1,11,1,1,,12Re141Re141++++++++++++++-∆-++=-∆-++=Mj iMjiMj iMjiMj iMjiMj iMjiMj iMjiMj iMjivvxvvuuGvvyvvvvF通量()()11,G F和()()22,G F 的某些项冻结于M 时间层，使离散化之后的方程对11,++M M v u 是线性的。

一种基于全局优化的交错网格有限差分法

一种基于全局优化的交错网格有限差分法印兴耀;刘博;杨凤英【摘要】在地震波场数值模拟中，交错网格有限差分技术得到了广泛的应用，但是在弹性模量变化较大时，通常会因插值而导致模拟误差增大。

旋转交错网格可以很好地克服这个缺点，因而适合于各向异性介质正演模拟。

但是对于同样大小的网格单元，旋转交错网格需要的步长比常规交错网格要大，这会使梯度和散度算子的误差增大因而更易产生空间数值频散。

针对这些问题，本文提出了旋转交错网格与紧致有限差分相结合的方法，并基于模拟退火算法进行全局优化，压制数值频散，拓宽波数范围。

数值模拟结果表明，此方法可以有效地压制数值频散，且具有较高的模拟精度。

%Staggered grid finite difference techniques have been widely used in numerical simulation of seismic wave field,but the interpolation might enlarge the simulation errors when the elastic moduli change dramatically.Rotated staggered grid can overcome this drawback thus be more applicable for modeling the anisotropic media.However,for the grid cells with the same size,rotated staggered grid needs larger step than conventional staggered grid does,conse-quently,the gradient operator and divergence operator generate larger errors which are more likely to cause spatial numerical dispersion.Aiming at the above problems,a combination of rotated staggered grid and compact finite difference method is proposed,simultaneously,global optimization is preformed based on simulated annealing algorithm to suppress numerical dispersion and to broaden the range of wavenumber.Numerical simulation results show thatthis method can effectively suppress the numerical dispersion and exhibits high simulation accuracy at the same time.【期刊名称】《地震学报》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】11页(P278-288)【关键词】全局优化;旋转交错网格;紧致有限差分;数值频散;正演模拟【作者】印兴耀;刘博;杨凤英【作者单位】中国山东青岛 266580 中国石油大学华东地球科学与技术学院;中国山东青岛 266580 中国石油大学华东地球科学与技术学院;中国山东青岛 266580 中国石油大学华东地球科学与技术学院【正文语种】中文【中图分类】P315.3+1引言地震波数值模拟是在地震波传播理论的基础上，通过数值计算来模拟地震波在地下介质中的传播（董良国，2003），是研究地震波传播特性与地球介质参数关系的重要手段.交错网格有限差分技术已经广泛应用于各向异性介质（Igel et al，1995；Collino，Tsogka，2001；裴正林，王尚旭，2005；殷文等，2006；何燕，2008）、孔隙介质（Dai et al，1995；Zeng et al，2001；孙林洁，2012）、黏弹性介质（白晓寅，2008；孙成禹等，2010）的波动方程模拟中，但是常规交错网格在模拟非均匀性较强的介质和各向异性介质时需对介质参数进行平均或内插（陈浩等，2006），低阶插值可能会导致精度降低，高阶插值则会导致计算量增大.Gold等（1997）提出了旋转交错网格有限差分算法，Saenger等进一步研究了旋转交错网格的稳定性与频散的关系（Saenger et al，2000；Saenger，Bohlen，2004）.在旋转交错网格中采用沿网格对角线差分的方式，可以避免弹性模量的平均与插值，因而更准确.随后一些研究人员通过旋转交错网格的完全匹配层（perfectly matched layer，简写为PML）边界条件的实现，利用旋转交错网格技术对各向异性介质（李敏，刘洋，2012）和黏弹介质（严红勇，刘洋，2012）等进行了数值模拟.但由于旋转交错网格中差分是沿对角线进行，步长是同等条件下常规交错网格的■2倍（网格是正方形的情况下），若用常规的差分格式会导致离散的梯度算子和散度算子在计算时误差增大，因而容易出现数值频散.而如果使用高阶有限差分则会因需要更多的网格点而增大计算量与内存.紧致有限差分是一种隐式差分格式，在同等网格数的条件下，具有比常规差分格式更高的精度以及更低的数值频散，故成为目前关注的热点.Lele（1992）分析了紧致差分格式的分辨率特性；王书强等（2002）对弹性波方程的紧致差分格式及其与中心差分的误差进行了研究；Du等（2009）基于交错网格紧致有限差分进行了横向各向同性介质的正演模拟；Boersma（2011）利用6阶紧致有限差分求解了Navier-Stokes方程.实现有限差分时，差分系数的确定会影响数值模拟的精度.有限差分系数的求取一般包括泰勒展开和最优化算法两种方法（Liu，2013）.基于泰勒展开得到的差分系数在波数较小时精度高，但随波数增大其精度会降低；基于最优化算法的差分系数求取方法是在给定精度与差分算子长度的情况下尽可能拓宽波数范围（Holberg，1987）.Shan（2009），Kosloff等（2010），Zhou和Zhang（2011）以及Liu（2013）等对基于最小二乘算法的差分算子优化方法进行了深入研究；Zhang 和Yao（2012）则基于模拟退火算法对中心差分算子进行了优化.本文拟结合旋转交错网格与紧致有限差分技术，基于模拟退火全局优化算法对紧致差分算子进行优化，拓宽数值模拟的波数范围，在此基础上进行频散分析，最后通过数值模拟验证该方法的可行性和有效性.1 旋转交错网格紧致有限差分方法1.1 一阶速度－应力方程在弹性波正演模拟中，除了使用二阶方程外，还常常采用一阶速度－应力弹性波方程，其主要优点是无需对弹性常数进行空间差分（Virieux，1984）.这里根据运动平衡方程和本构关系给出二维情况下体力为零时各向异性介质的一阶速度－应力方程：式中：v，σ分别代表速度和应力，1表示x方向，3表示z方向；cij为介质弹性张量矩阵的元素，当极端各向异性介质时，该矩阵有21个独立参数；当二维时，不考虑y分量，故张量矩阵中与y分量有关参数为0，只有5个独立参数（c11，c13＝c31，c15＝c51，c33，c35＝c53，c55）.1.2 紧致有限差分在地震波正演模拟中，采用常规的中心有限差分往往需要较多的网格点才能比较有效地压制数值频散，不利于边界的处理（王书强等，2002）.紧致有限差分是一种隐式差分格式，只需要较少的网格点即可有效地压制数值频散，且同等阶次的精度要比常规中心有限差分格式高，因此本文采用紧致有限差分格式，弥补旋转交错网格因差分步长大导致梯度和散度算子在计算时误差增大因而更容易产生数值频散的不足.常规的2（M－1）点2 M阶紧致有限差分格式（Kim，Lee，1996）为式中，Δx为网格的空间步长，a和bn分别为差分的权系数，可以通过在第i个网格点的泰勒展开，然后对比对应系数来求解即可得到2（M－1）点2 M阶紧致有限差分格式的差分系数（Liu，Sen，2009），例如当M＝5时，可以得到8点10阶的紧致差分格式系数为a＝0.257 894 74，b1＝0.889 871 16，b2＝0.216 121 16，b3＝－0.004 701 2，b4＝0.000 151 55.1.3 旋转交错网格及完全匹配层吸收边界条件在二维旋转交错网格上，密度和速度的各个分量定义在相同位置，弹性模量和应力的各个分量定义在另外的相同位置上，如图1所示.旋转交错网格在计算时分为两步（陈浩等，2006）：首先，计算沿着对角线方向即˜x，˜z方向进行差分，得到相关物理量的对角线方向的空间一阶导数；然后，通过坐标旋转的换算关系，将得到的两个对角线方向的差分进行线性组合从而获得坐标轴方向即x，z方向的一阶空间导数，其换算关系为（Saenger et al，2000）：图1 旋转交错网格及完全匹配层吸收边界示意图x，z为坐标轴方向，x˜，z˜为对角线方向；灰色区域表示沿着x和z方向均进行衰减，白色区域表示只沿着x方向或者z方向进行衰减Fig.1 Schematic diagram of rotated staggeredgridand perfectly matched layer（PML）absorbing boundary xand zare the coordinate directions，andx˜andz˜ are the diagonal directions.Gray areas indicate that waves are absorbed along both xand z directions and white areas indicate that waves are absorbed only along the xor zdirection式中，∂／∂x˜和∂／∂z˜是沿对角线方向的导数；∂／∂x和∂／∂z是沿坐标轴方向的导数.利用波动方程进行数值模拟，一个关键问题就是边界条件.为了解决边界反射问题，引入弹性波方程的PML边界条件.陈浩等（2006）指出，在旋转交错网格中，PML吸收边界条件的处理方式及吸收效果与常规交错网格中几乎是一样的.为此，引入图1所示的PML吸收层.PML边界的基本做法是在研究区域四周引入PML，波在PML中传播时不会产生反射，并且随传播距离按一定规律衰减.当波传播到PML边界时，波场近似为零，也不会产生反射（王守东，2003）.以式（1）中的vx为例来说明旋转交错网格紧致有限差分算法PML的实现方法：式中表示n＋1／2时刻vx 在网格点（i，j）处沿坐标轴x方向的分量，表示n－1／2时刻的x方向分量，di为衰减因子，表示n 时刻σxx在网格点（i，j）处沿坐标轴x方向的导数.根据式（5）可推导出式中沿着所在对角线˜x与斜对角线˜z方向的导数值，根据求出.其中类似地可以推导出其它分量的旋转交错网格紧致有限差分下的PML控制方程. 1.4 紧致有限差分的全局优化根据平面波理论，令式中，β＝kΔx／2，0≤β≤π／2.为了使式（2）左右两边的误差尽可能小，须满足β－β＊≈0的β取值范围应尽可能地大.本文中，采用模拟退火全局最优算法（Kirkpatrick et al，1983）来优化旋转交错网格紧致有限差分算子.为此，建立以下目标函数：Kim和Lee（1996）指出，当θ接近最大值π／2时，会出现很多难以控制的误差，从而导致优化效果不佳，因此本文选择θ＝rπ／2，其中0＜r＜1.表1列出了优化的8点10阶，10点12阶，12点14阶以及14点16阶的紧致有限差分系数.表1 优化的10—16阶紧致有限差分系数Table 1 Optimized coefficients of 10—16-order compact finite-difference阶次 r a b1 b2 b3 b4／10－2 b5／10－5 b6／10－3 b7／10－5 10 0.85 0.384 0.728 0.369 －0.015 0.152 12 0.87 0.390 0.720 0.376 －0.016 0.171 －6.49 14 0.89 0.434 0.658 0.434 －0.022 0.361 －74 0.138 16 0.85 0.452 0.633 0.458 －0.0252 0.452 －114 0.322 －7.792 频散分析由式（12）可以看出，β接近于β＊的程度表征了优化的紧致有限差分算子的精度，故定义使α≈1的β取值范围越大，数值频散越小.图2给出了常规的基于泰勒展开得到的差分算子与本文提出的全局优化算子的精度对比.可以看出，对于常规的基于泰勒展开得到的紧致有限差分算子，随着空间阶次的增大，使α≈1的波数范围变得越宽，即数值模拟的精度随阶次的增大而增大.显然，本文得到的全局优化的紧致有限差分算子在相同最大误差下使α≈1的波数范围比常规紧致有限差分算子还要大.从图2中还可以看出，优化的8点10阶紧致有限差分算子的频散比常规14点16阶紧致有限差分算子小，即优化的10阶精度要高于常规的16阶精度，从而可以使用较少的网格点来达到较高的精度，节省计算内存.图2 10阶常规有限差分，10—16阶常规紧致有限差分及对应的优化紧致有限差分的频散对比（k代表波数，Δx表示空间网格间距）Fig.2 Dispersion comparison by 10-order conventional finite-difference，10—16-order conventional compact finite-difference and the corresponding optimized compact finitedifference.k denotes the wavenumber，andΔxis spatial grid spacing由图2中的10阶常规有限差分、10阶常规紧致有限差分与10阶优化紧致有限差分的频散曲线可以看出，10阶常规紧致有限差分格式的波数范围较10阶常规有限差分要宽，而经过优化的10阶紧致有限差分格式的波数范围则更进一步拓宽.设最大允许误差为εmax＝｜α－1｜0≤β≤βmax，取εmax＝0.2%，分别计算得到10阶常规有限差分、10阶常规紧致有限差分及10阶优化紧致有限差分的最大波数范围βmax分别为0.847 5，1.037 5，1.458 0，即10阶常规紧致有限差分的波数范围比常规差分格式拓宽了1.22倍，而经过全局优化后，波数范围提升至1.72倍.考虑到正演模拟中最常采用Δx＝Δz的情况，则对于旋转交错网格，Δr比常规交错网格差分步长Δx及Δz增大了2倍，因而可以采用优化系数的紧致有限差分来弥补这一不足，从而有效地压制数值频散.需要指出的是，优化系数的紧致有限差分格式也可以很方便地应用于PML边界条件，而不需要特殊的处理.3 模型试算3.1 模型1为了验证全局优化的旋转交错网格紧致有限差分的精度比常规旋转交错网格有限差分方法有所提升，首先采用一个简单的各向同性模型进行测试（模型大小为3 000m×3 000m，在测试中并未添加任何边界条件），震源采用主频30Hz的雷克子波，z方向集中力源激发，网格大小为Δx＝Δz＝10m，时间采样为Δt＝1ms.纵横波速度分别为4 000m／s和2 600m／s，模型密度为2 300kg／m3.图3给出了3种有限差分条件下400ms时刻x分量波场快照，均采用旋转交错网格系统.图3a采用常规10阶常规有限差分格式；图3b采用8点10阶，10点12阶，12点14阶，14点16阶常规紧致有限差分格式；图3c采用优化的8点10阶紧致有限差分格式.可以看出，10阶常规有限差分与10阶紧致有限差分对比，后者频散要小；而对于图3b中的紧致有限差分格式，随着空间阶次的增大，其精度越高，频散越小；对比图3b与图3c可以看出，优化的8点10阶紧致有限差分的数值频散甚至比常规14点16阶紧致有限差分还要小，这与图2所示是一致的.图4给出了从图3中提取的z＝500m处（即50个网格点处）的波形曲线，以此来对比以上3种差分格式的数值频散.可以看出，10阶常规有限差分算法在波形外出现了数值抖动，说明数值频散比较高，模拟精度相对较低，而10阶紧致有限差分和优化的10阶紧致差分精度较高，从虚线框中可以进一步看出优化的10阶紧致有限差分算法的精度更高一些.图3 10阶常规有限差分（a），10—16阶常规紧致有限差分（b）与优化的10阶紧致有限差分（c）得到的波场快照Fig.3 Snapshots of wave field by using 10-order conventional finite-difference（a），10－16-order conventional compact finite-difference（b）and optimized 10-order compact finite-difference（c）3.2 模型2图4 10阶常规有限差分，10阶常规紧致有限差分及10阶优化紧致有限差分波形对比图Fig.4 Comparison of waveforms by using 10-order conventional finite-difference（FD）（dark line），10-order conventional compact FD （blue line）and optimized 10-order compact FD （red line）模型2的几何构造如图5所示，其中凹陷构造上部及下部均为各向同性介质，最下层为横向各向同性（VTI）介质.模型纵向和横向长为3 000m，具体参数见表2.采用优化的旋转交错网格紧致有限差分方法进行正演模拟，网格大小为Δx＝Δz＝10m，时间采样为Δt＝1ms.震源采用30Hz雷克子波，在模型的（1 150m，1 500m）处以纵波源形式激发.模拟过程中，采用PML边界条件（PML层部分同样采用优化的旋转交错网格紧致有限差分算法），厚度层为30个网格点.为体现吸收效果包含了PML层，图6给出了600ms时刻x及z分量的波场快照.可以看出，震源激发的纵波传播至分界面时，发生了反射与透射，可以见到PP波、PS波等，并可在凹陷处看到断面波，波场复杂，但波前面清晰，数值频散小.从图7所示的单炮记录中也可以看出优化的旋转交错网格紧致有限差分算法具有较高的模拟精度，各类波均可得到清晰体现，并且能够证明所加PML边界条件的吸收效果很好，无明显人为边界反射产生.图5 凹陷模型示意图Fig.5 Schematic diagram of the depression model图6 600ms时刻优化的旋转交错网格紧致有限差分正演x分量（左）和z分量（右）的波场快照（虚线框外围代表PML层）Fig.6 Wavefield snapshots of x-（left）and z-component（right）at 600ms using optimized rotated staggered-grid compact finite-difference method（PML layers are outside the dashed box）表2 凹陷模型参数Table 2 Parameters of the depression model序号介质类型 c11／GPa c13／GPa c33／GPa c55／GPa 密度／（kg·m－3）31.77 42.68 31.77 13.75 2200第二层各向同性 42.33 47.04 42.34 18.82 2400第三层横向各向同性第一层各向同性87.88 21.22 67.60 22.56 2500图7 凹陷模型优化的旋转交错网格紧致有限差分正演x分量（左）和z分量（右）单炮记录Fig.7 Records of x-（left）and z-component（right）of the depression model using optimized rotated staggered-grid compact finite-difference method4 讨论与结论旋转交错网格在地震波正演模拟中由于其可以避免在模拟中因弹性模量插值或平均而产生的误差和其对边界条件处理的便捷性而被广泛应用.但由于其差分方向是沿网格的对角线方向，因此相对于常规的交错网格而言，其差分步长较大，梯度算子、散度算子在计算时更容易产生误差，这意味着旋转交错网格更容易产生数值频散，从而影响模拟的精度.若采用小网格，虽然可以压制数值频散，却又大大增加了运算量及内存.因此本文采用旋转交错网格与紧致有限差分技术相结合的方法来提高模拟精度，并在此基础上，基于模拟退火算法对紧致有限差分进行全局优化，进一步提高计算精度，压制数值频散.数值频散分析结果表明，优化的旋转交错网格紧致有限差分算法相对于普通旋转交错网格有限差分算法具有更宽的波数范围，这意味着优化的旋转交错网格有限差分算法可以在采用更大的空间采样间隔或者更高的震源主频时依然有较高的精度和较低的数值频散；且经过全局优化的10阶紧致有限差分算子比常规的16阶紧致有限差分算子具有更高的精度，即可以采用较少的网格点来达到较高的模拟精度，因此可以节省计算内存.数值模拟实验进一步证实了本文提出的优化的旋转交错网格紧致有限差分算法的正确性与可行性.凹陷模型中，各类波均具有比较清晰的响应，揭示了波场的传播规律.同时波场快照与单炮记录中无明显的人为边界反射产生，也证明了模拟采用的PML吸收边界条件的有效性.但是本文提出的方法亦存在不足之处.在求解紧致差分格式时需要解三角矩阵线性方程，较常规显式有限差分格式增加额外的计算负担，且不利于在GPU等平台直接并行，例如图3a和图3c中的400ms时长的计算时间分别为46.5s和85.6s，后者计算耗时约为前者的1.8倍.在科学计算中，效率与计算精度常常不可兼得，随着计算机科学计算能力的提高，可以采用GPU加速的LU分解算法或者使用LAPACK等优化程序包来克服求解大型矩阵的计算效率问题.在实际应用中需权衡利弊，选择适合的算法.衷心感谢审稿专家提出的宝贵意见和建议.参考文献白晓寅.2008.基于地震波衰减理论的地层吸收参数提取方法研究［D］.东营：中国石油大学（华东）地球科学与技术学院：24-54.Bai X Y.2008.The Study on Method of Layer Absorbing Parameters Extraction Based on the Theory of Seismic Wave Attenuation［D］.Dongying：School of Geosciences，China University of Petroleum：24-54（in Chinese）.陈浩，王秀明，赵海波.2006.旋转交错网格有限差分及其完全匹配层吸收边界条件［J］.科学通报，51（17）：1985-1994.Chen H，Wang X M，Zhao H B.2006.Rotated staggered grid finite-difference and the PML boundary［J］.Chinese Science Bulletin，51（17）：1985-1994（in Chinese）.董良国.2003.地震波数值模拟与反演中几个关键问题研究［D］.上海：同济大学海洋与地球科学学院：1-2.Dong L G.2003.Several Key Problems in Seismic Wave Numerical Simulation and Inversion［D］.Shanghai：School of Ocean and Earth Science，Tongji University：1-2（in Chinese）.何燕.2008.正交各向异性弹性波高阶有限差分正演模拟研究［D］.东营：中国石油大学（华东）地球科学与技术学院：45-80.He Y.2008.High-Order Finite-Difference Forward Modeling of Elastic-Wavein Orthorhombic Anisotropic Media［D］.Dongying：School of Geosciences，China University of Petroleum：45-80（in Chinese）.李敏，刘洋.2012.高阶旋转交错网格有限差分方法模拟TTI介质中横波分裂［J］.物探与化探，36（6）：934-940.Li M，Liu Y.2012.Modeling of the S-wave splitting in TTI media using high-order rotated staggered grid scheme［J］.Geophysical and Geochemical Exploration，36（6）：934-940（in Chinese）.裴正林，王尚旭.2005.任意倾斜各向异性介质中弹性波波场交错网格高阶有限差分法模拟［J］.地震学报，27（4）：441-451.Pei Z L，Wang S X.2005.A staggered-grid high-order finite-difference modeling for elastic wave field in arbitrary tilt anisotropic media［J］.Acta Seismologica Sinica，27（4）：441-451（in Chinese）.孙成禹，肖云飞，印兴耀，彭洪超.2010.黏弹介质波动方程有限差分解的稳定性研究［J］.地震学报，32（2）：147-156.Sun C Y，Xiao Y F，Yin X Y，Peng H C.2010.Study on the stability of finite difference solution of visco-elastic wave equations［J］.Acta Seismologica Sinica，32（2）：147-156（in Chinese）.孙林洁.2012.非均匀孔隙介质有限差分正演模拟方法研究［D］.青岛：中国石油大学（华东）地球科学与技术学院：64-108.Sun L J.2012.Finite-Difference Modeling Research in Heterogeneous Porous Media［D］.Qingdao：School of Geosciences，China University of Petroleum：64-108（in Chinese）.王守东.2003.声波方程完全匹配层吸收边界［J］.石油地球物理勘探，38（1）：31-34.Wang S D.2003.Absorbing boundary condition for acoustic wave equation by perfectly matched layer［J］.Oil Geophysi-cal Prospecting，38（1）：31-34（in Chinese）.王书强，杨顶辉，杨宽德.2002.弹性波方程的紧致差分方法［J］.清华大学学报：自然科学版，42（8）：1128-1131.Wang S Q，Yang D H，Yang K pact finite difference scheme for elastic equations［J］.Journal of Tsinghua University：Science and Technology，42（8）：1128-1131（in Chinese）.严红勇，刘洋.2012.黏弹TTI介质中旋转交错网格高阶有限差分数值模拟［J］.地球物理学报，55（4）：1354-1365.Yan H Y，Liu Y.2012.Rotated staggered grid high-order finite-difference numerical modeling for wave propagation in viscoelastic TTI media ［J］.Chinese Journal of Geophysics，55（4）：1354-1365（in Chinese）. 殷文，印兴耀，吴国忱，梁锴.2006.高精度频率域弹性波方程有限差分方法及波场模拟［J］.地球物理学报，49（2）：561-568.Yin W，Yin X Y，Wu G C，Liang K.2006.The method of finite difference of high precision elastic wave equations in the frequency domain and wave field simulation［J］.Chinese Journal of Geophysics，49（2）：561-568（in Chinese）.Boersma B J.2011.A 6th order staggered compact finite difference method for the incompressible Navier-Stokes and scalar transport equations［J］.J Comput Phys，230（12）：4940-4954.Collino F，Tsogka C.2001.Application of the perfectly matched absorbing layer model to the linear elastodynamic problem in anisotropicheterogeneous media［J］.Geophysics，66（1）：294-307.Dai N，Vafidis A，Kanasewich E R.1995.Wave propagation in heterogeneous，porous media：A velocity-stress，finitedifference method ［J］.Geophysics，60（2）：327-340.Du Q Z，Li B，Hou B.2009.Numerical modeling of seismic wavefields in transversely isotropic media with a compact staggered-grid finite difference scheme［J］.Appl Geophys，6（1）：42-49.Gold N，Shapiro S A，Burr E.1997.Modelling of high contrasts in elastic media using a modified finite difference scheme［C］∥SEG Technical Program Expanded Abstracts.Dallas，Texas：SEG：1850-1853.Holberg putational aspects of the choice of operator and sampling interval for numerical differentiation in large-scale simulation of wave phenomena［J］.Geophys Prospect，35（6）：629-655.Igel H，Mora P，Riollet B.1995.Anisotropic wave propagation through finite-difference grids［J］.Geophysics，60（4）：1203-1216.Kim J W，Lee D J.1996.Optimized compact finite difference schemes with maximum resolution［J］.AIAA J，34（5）：887-893.Kirkpatrick S，Gelatt C D Jr，Vecchi M P.1983.Optimization by simulated annealing［J］.Science，220（4598）：671-680.Kosloff D，Pestana R C，Tal-Ezer H.2010.Acoustic and elastic numerical wave simulations by recursive spatial derivative operators［J］.Geophysics，75（6）：T167-T174.Lele S pact finite difference schemes with spectral-like resolution［J］.J Comput Phys，103（1）：16-42.Liu Y，Sen M K.2009.An implicit staggered-grid finite-difference method for seismic modelling［J］.Geophys J Int，179（1）：459-474.Liu Y.2013.Globally optimal finite-difference schemes based on least squares［J］.Geophysics，78（4）：T113-T132.Saenger E H，Bohlen T.2004.Finite-difference modeling of viscoelastic and anisotropic wave propagation using the rotated staggered grid［J］.Geophysics，69（2）：583-591.Saenger E H，Gold N，Shapiro S A.2000.Modeling the propagation of elastic waves using a modified finite-difference grid［J］.Wave Motion，31（1）：77-92.Shan G.2009.Optimized implicit finite-difference and Fourier finite-difference migration for VTI media［J］.Geophysics，74（6）：WCA189-WCA197.Virieux J.1984.SH-wave propagation in heterogeneous media：Velocity-stress finite-difference method［J］.Geophysics，49（11）：1933-1957. Zeng Y Q，He J Q，Liu Q H.2001.The application of the perfectly matched layer in numerical modeling of wave propagation in poroelastic media ［J］.Geophysics，66（4）：1258-1266.Zhang J H，Yao Z X.2012.Optimized finite-difference operator for broadband seismic wave modeling［J］.Geophysics，78（1）：A13-A18. Zhou H B，Zhang G Q.2011.Prefactored optimized compact finite-difference schemes for second spatial derivatives［J］.Geophysics，76（5）：WB87-WB95.。

流场的计算

流体仿真与应用第十讲流场的计算◆分析前面反映流场运动规律的控制方程，将会发现如下问题①运动方程中的对流项包含非线性量②每个速度分量既出现在运动方程中，又出现在连续方程中，方程错综复杂地耦合在一起。

更为复杂的是压力项的处理，它现在运动方程中，但却没有可用以直接求解压力的方程。

对于第一个问题，解决的办法是迭代法。

迭代法是处理非线性问题经常采用的方法，它是从一个估计的速度场开始，通过迭代逐步逼近速度的收敛值。

对于第二个问题，如果压力已知，求解速度不会特别困难，只需用第5章介绍的方法，导出运动方程所对应的速度分量的离散方程，求解速度。

压力也是待求的未知量，在求解速度场之前，压力场是未知的◆解决因压力所带来的流场求解难题的方法▼非原始变量法和原始变量法。

●非原始变量法是从控制方程中消去压力的方法。

非原始变量法存在明显的问题，如有些壁面上的边界条件很难给定，计算量及存储空间很大，因而，其应用不普遍。

●原始变量法是直接以原始变量u，v，w，p作为因变量进行流场求解，该类方法也称基本变量法。

目前，广泛使用的是这类方法中的SIMPLE算法，以及在SIMPLE算法基础上改进的SIMPLER算法、SIMPLEC算法和PSIO算法等。

运动方程对这样一个波形压力场的“感受”竟然与均匀的压力场的“感受”一样，因为相间压力值处处相等，显然，这222WE P W E P w e e w p p p p p p p p dx dx dp −=+−+=−=∫◆交错网格交错网格是将标量型变量（如压强、温度、浓度）的网格与矢量型变量—速度的网格系统错开。

◆交错网格标量型变量的控制容积称为主控制容积，相应的网格节点称为主节点。

◆运动方程的离散●对u，v，w方向上的运动方程积分所用的控制容积不是主控制容积，而是各自的控制容积。

◆压力与速度的修正对于离散的运动的方程，只有压力场已知，或是按照某种方法估计出来才能求解。

除非采用正确的压力场；否则，所得的速度场将不会满足连续性方程。

SIMPLE算法及应用

ＴｈｅｅｆｆｅｃｔｏｆｓｈａｌｌｏｗｗａｔｅｒｄｅｐｔｈｏｎａｂｉｇＦＰＳＯ（ＦｌｏａｔｉｎｇＰｒｏｄｕｃｔｉｏｎ，ＳｔｏｒａｇｅａｎｄＯｆｆｉｏａｄｉｎｇＳｙｓｔｅｍ）ｉｓｎｕｍｅｒｉｃａｌｌｙｓｉｍｕｌａｔｅｄｉｎｃａｓｅｔｈｒｅｅ．Ｉｔｈａｓｂｅｅｎｓｈｏｗｎｔｈａｔｔｈｅｖｉｓｃｏｕｓｐｌａｙｓａｖｅｒｙ＇ｓｍａｌｌｒｏｌｅａｎｄｓｏｉｔｃａｒｌｂｅｎｅｇｌｅｃｔｅｄｉｎｔｈｉｓｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．ＴｈｅｖａｒｙｉｎｇｌａｗｏｆｐｒｅｓｓｕｒｅｐｒｏｄｕｃｅｄｂｙｓｈａｌｌｏｗｗａｔｅｒｔｏＦＰＳＯｉｓｇｉｖｅｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ＳＩＭＰＬＥａｌｇｏｒｉｔｈｍ；ｔｕｒｂｕｌｅｎｃｅｍｏｄｅｌｉｎｇ；ｇｒａｖｉｔｙｃｕｒｒｅｎｔ；ｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ；ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌｆｌｕｉｄｍｅｃｈａｎｉｃｓ
上海交通大学博十后出站报告
第一章ＳＩＭＰＬＥ算法概述
对于不可压缩流动，由于其控制方程对空间各坐标都是椭圆型的，给数值求解带来较大困难。Ｐａｔａｎｋａｒ与ＳｐａｌｄｉｎｇＴ－１９７２年提出的ＳＩＭＰＬＥ（Ｓｅｍｉ．ＩｍｐｌｉｃｉｔＭｅｔｈｏｄｆｏｒＰｒｅｓｓｕｒｅＬｉｎｋｅｄＥｑｕａｔｉｏｎ）算法是一种能够有效地求解不可压缩流动的数值方法，自其问世以来在世界各国计算流体力学及计算传热学界得到，、泛的认可和应用，这一算法及其后的各种改进方案已成为计算不可压缩流场的主要方法，并成功推广到可乐缩流场的计算中，成为一种可以计算具有任何流速流动的数值方法。
岸例四通过数值模拟辅助人｝：造流系统设计，对造流系统蹬计给出了一些有益的建议。
关键词ｓｌＭＰＬＥ算法：湍流模式；异重流：数值模拟：计算流体力学

第六章流动问题(SIMPLE算法的发展和改进)-8

危及收敛
动量方程不满足连续方程满足动量方程满足连续方程满足
SIMPLE算法，无松弛
第六章流动问题———SIMPLE算法的发展和改进
动量方程满足连续方程不满足动量方程不满足连续方程不满足动量方程不满足连续方程不满足
延缓收敛
动量方程不满足连续方程不满足
动量方程满足连续方程满足
0
第六章流动问题———SIMPLE算法的发展和改进
0 r 0r 0 0r 0r ed e A e (p 0 p ) d A ( p p P E w w w W P ) 0 r 0r 0 0r 0r nd n A n (p 0 p ) d A ( p p P N s s s S P ) 0r 0r 0 0r 0r td0 A ( p p ) d A ( p p t t P T b b b B P ) 0 0 0 0 0 ( e u e Ae wu0 w A w n v n A n s v s A s t w t A t b w t A t )
SIMPLE算法，有松弛
用不协调的初始速度场和压力场所启动的迭代过程也要付出收敛进程被延缓的代价假定速度场
第六章流动问题———SIMPLE算法的发展和改进
计算动量差分方程的系数和源项假定压力场
求解动量差分方程，获得新的速度场
这样互不关联的随意假定的初始速度场和初始压力场协调性的好坏会给我们后面的收敛进程产生很大的影响
第六章流动问题———SIMPLE算法的发展和改进
2 压力方程
aeue aenuen be (p P pE )Ae
a wu w a wn u wn bn (p W p P )A w

计算流体力学基础

For personal use only in study and research; not for commercial use一、计算流体力学的基本介绍一、什么是计算流体力学(CFD)?计算流体力学(Computational Fluid Dynamics)是流体力学的一个新兴的分支，是一个采用数值方法利用计算机来求解流体流动的控制偏微分方程组，并通过得到的流场和其它物理场来研究流体流动现象以及相关的物理或化学过程的学科。

事实上，研究流动现象就是研究流动参数如速度、压力、温度等的空间分布和时间变化，而流动现象是由一些基本的守恒方程（质量、动量、能量等）控制的，因此，通过求解这些流动控制方程，我们就可以得到流动参数在流场中的分布以及随时间的变化，这听起来似乎十分简单。

但遗憾的是，常见的流动控制方程如纳维一斯托克斯(Navier-Stokes)方程或欧拉(Euler)方程都是复杂的非线性的偏微分方程组，以解析方法求解在大多数情况下是不可能的。

实际上，对于绝大多数有实际意义的流动，其控制方程的求解通常都只能采用数值方法的求解。

因此，采用CFD方法在计算机上模拟流体流动现象本质上是流动控制方程（多数情况下是纳维一斯托克斯方程或欧拉方程）的数值求解，而CFD软件本质上就是一些求解流动控制方程的计算机程序。

二、计算流体力学的控制方程计算流体力学的控剖方程就是流体流动的质量、动量和能量守恒方程。

守恒方程的常见的推导方法是基于流体微元的质量、动量和能量衡算。

通过质量衡算可以得到连续性方程，通过动量守恒可以得到动量方程，通过能量衡算可以得到能量方程。

式(1)一(3)是未经任何简化的流动守恒微分方程，即纳维一斯托克斯方程( N-S方程)。

N-S方程可以表示成许多不同形式，上面的N-S方程是所谓的守恒形式，之所以称为守恒形式，是因为这种形式的N-S方程求解的变量p、pu、pv、pw、pE是守恒型的，是质量、动量和能量的守恒变量。

流场格网划分及空间混合网格特殊边界无秩序变形计算

流场格网划分及空间混合网格特殊边界无秩序变形计算流体力学是研究流动物体和流体之间相互作用的科学。

在各个领域的工程和科学研究中，流场格网划分及空间混合网格特殊边界无秩序变形计算是一项重要的技术，它有助于我们更好地理解和预测流体的行为和性质。

在流体力学中，流场格网的划分是构建数值流体力学模型的基础。

通过将流体领域划分为有限个小区域，并在每个小区域上建立数学方程，可以近似描述流体的运动。

而流场格网的划分不仅仅是将流体领域划分成小区域，还需要考虑一系列因素，如流体力学的方程、计算资源的限制、数值格式的选择等。

在格网划分的过程中，我们需要根据实际情况选择适当的网格类型，如结构化网格、非结构化网格或混合网格等。

结构化网格是由规则的单元组成，易于处理，但对复杂几何体的建模存在困难；非结构化网格能够更好地适应复杂几何体，但对计算和存储资源要求较高。

混合网格则能够兼顾结构化网格和非结构化网格的优点，既能够有效建模复杂几何体，又能够满足计算资源的限制。

在流场格网划分的基础上，空间混合网格是一种重要的技术手段，它可以在不同网格类型之间无缝地切换。

通过空间混合网格，我们可以在不同的计算区域使用不同的网格类型，使得计算过程更灵活高效。

而在特殊边界情况下，如流体流动过程中出现滑移壁面、脉动入口/出口等，常规网格划分难以准确模拟流动的行为。

这时，特殊边界无秩序变形计算技术能够帮助我们更好地处理这些特殊边界条件。

特殊边界无秩序变形计算是基于无序变形方法的一种应用，它通过对特殊边界的网格结构进行动态调整，以准确描述流动的行为。

相对于传统的网格划分方法，特殊边界无秩序变形计算技术能够更准确地捕捉到边界附近的流动特性，提高模拟的精度。

特殊边界无秩序变形计算技术的核心是通过合理的插值和网格节点的变化来适应特殊边界的需要。

比如对于滑移壁面，可以通过在边界附近增加网格节点来更好地描述流体的滑移行为；对于脉动入口/出口，可以通过动态调整网格节点的位置来模拟脉动的流动。

论中的网络流问题

论中的网络流问题网络流问题（Network Flow Problems）引言：网络流问题是运筹学中的一个重要领域，它研究的是在网络中物体、信息或资源的流动问题。

网络流问题具有广泛的应用，涵盖了交通运输规划、电力系统调度、通信网络优化等领域。

本文将对网络流问题展开讨论，介绍相关概念、问题形式以及解决方法，旨在帮助读者深入了解和解决这一问题。

一、概念介绍：1.1 网络流：在网络流问题中，网络被建模为一个有向图，图中的每条边代表一条连接，而节点代表资源的来源或流向。

网络中的流动以单位时间内物体、信息或资源通过边的数量来表示，称为流。

网络流可以是有限的或无限的，取决于网络中的流动条件和约束。

1.2 容量：图中的每条边都有一个容量限制，表示在单位时间内通过该边的最大流量。

容量可以是固定的，也可以是随时间变化的。

1.3 源点和汇点：在网络流问题中，源点表示物体、信息或资源的起始位置，而汇点表示目标位置或终点。

流只能从源点流向汇点。

1.4 流量约束：流量约束指的是不同节点之间流动的限制条件。

例如，在某个节点上，流入该节点的流量必须等于流出该节点的流量，以保持流量的守恒。

二、常见的网络流问题形式：2.1 最大流问题：最大流问题是网络流问题中最基本且最常见的形式之一。

该问题的目标是寻找网络中从源点到汇点的最大流量。

解决最大流问题的算法有很多，其中最著名的是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。

2.2 最小割问题：最小割问题是网络流问题的对偶问题，它与最大流问题密切相关。

最小割问题的目标是将网络划分为两个部分，使得源点和汇点分属于不同的部分，并且两个部分之间的割边权重之和最小。

最小割问题的解与最大流问题的解存在着紧密的联系。

2.3 多源多汇最大流问题：多源多汇最大流问题是最大流问题的扩展形式，其中网络中存在多个源点和多个汇点。

在解决这一问题时，需要考虑多个源点和多个汇点之间的流量分配和约束。

第六章流动问题(交错网格)

x j
(
ui x j
)

Sui
y x
z
Ww
N
n Pe s S
E eE
第六章流动问题———交错网格
aeue aenuen be (pP pE )Ae
aen DenA( Pen ) Fen ,0
Den

en Aen en
Fen (u / v / w)en Aen
第六章流动问题———交错网格
(4) 由于在生成网格时，v网格y方向的节点数比标量网格少1，为统一起见，在计算域的南边界上在多加一条v 网格线，从而，南边界上的v节点双重配置v速度。这样，j编号为1和2的 v速度为同一速度。
(5) 因此，标量的内节点：
(i,j,k), i=2,3,…, NI-1; j=2,3,…,Nj-1; k=2,3,…,NK-1
v速度的内节点：
(i,j,k), i=2,…, NI-1; j=3,…,Nj-1; k=2,3,…,NK-1
v速度的边界节点：
(i,j,k) i=1或j=1或j=２或k=1或I=NI或j=NJ或k=NK
第六章流动问题———交错网格
w速度的内节点：
(i,j,k), i=3,…, NI-1; j=2,3,…,Nj-1; k=3,…,NK-1
第六章流动问题———交错网格
6.4.5 交错网格的特点 1 多网格系统 2 带来大量的插值运算 3 多控制容积
w速度的边界节点：
(i,j,k) i=1或j=1或k=1或k=２或I=NI或j=NJ或k=NK
6.4.3 交错网格的控制容积
标量内节点的控制容积标量紧邻边界内节点的控制容积 u速度内节点的控制容积 u速度紧邻边界内节点的控制容积 v速度内节点的控制容积 v速度紧邻边界内节点的控制容积 w速度内节点的控制容积 w速度紧邻边界内节点的控制容积

第六章流动问题(求解不可压流场的CELS算法)

第六章流动问题———求解不可压流场的CELS算法
即：
u u u u u * Au u A u A u A u A u (b ) p i EE i 2 E i 1 W i2 WW i 2
其中，
p P (a ) a u u u W i 1 E AP aP c P P (aP )i 1 aP
(a ) ui 1 (a ) ui 2 (a ) v i 1 (b )i 1 0
c E i 1 c W i 1 c N i 1 c
把以上(i-1), (i)和(i+1)三个点的连续方程代入v速度的动量方程
第六章流动问题———求解不可压流场的CELS算法
p p p p p ap p a u a u a u a u b p i EE i 1 E i W i 1 WW i 2
u W u W u P W P P
p WW i 1 P P i 1
p p b b u * c u i 1 (b ) b c P P aP (aP )i 1
第六章流动问题———求解不可压流场的CELS算法
联立同一J角标上所有节点的只含有u速度的离散方程，即可得到该直线上所有节点的u速度值。然后利用节点压力的u速度表达式，可得到该直线上所有节点的压力。同时利用连续方程就可以得到该直线上所有节点的v速度值。从而实现流场的求解，这种求解方法就称之为耦合方程的直线解法 Coupled Equation Line Solver ------CELS
u u u u au u a u a u c (p p ) b P i E i 1 W i 1 i i 1
v v v aP v i aE v i 1 a W v i 1 c v p i b v

计算流体力学基本概念及详细解析

连续方程：
第一章绪论
(v) 0 t v (v v) p 0
t
E [v(E p)] 0
t • 定常：椭圆E型：totalenergyper unit mass
状态方程 p p(,e), 理想气体 p ( 1)e
参考书目
第一章绪论
陶文铨《数值传热学》张廷芳《计算流体力学》傅德薰《计算流体力学》 J. D. Anderson 《Computational Fluid Dynamics - The Basics with Applications》
一批CFD/NHT的商用软件陆续投放市场。PHONICS (1981)、FLUENT(1983)、FIDAP(1983)、FLOW-3D(1991) 、COMPACT等等
第一章绪论
计算流体力学研究的方向
• 高精度、多分辨、高效方法
• 湍流的直接数值模拟，大涡模拟
• 化学反应流、多物理问题
18 Numerical Heat Transfer B-Fund 469 1.033 57 19%
28 Numerical Heat transfer A-Appl 628 0.850 91 29%
第一章绪论
课程内容：
1. 有限差分方法 2. 有限元方法 3. 边界元方法 4. 应用实例讨论
4
J Mech Phys Solids
4783 2.521 122
5
J Fluid Mech
21689 1.912 389
6
Phys Fluids
10220 1.799 174
7
Struct Optimization
709 1.533 463
8

数值传热第六章作业

6-3 试在直角坐标系的交错网格上，写出动量离散方程式（6-5）、（6-6）中的系数nb a （即S N W E a a a a ,,,）,n n e e A a A a ,,,的表达式。

为简便起见，设（1）流体物性为常数；（2）在x, y 方向上网格各自均匀划分。

速度e u 的邻点可参阅图6-5，速度n υ的邻点参见图6-32.对流、扩散项的离散可采用五种三点格式之一。

解：根据课本P145式(5-13)、(5-16)、(5-18)，对流、扩散项采用指数格式计算本题在二维直角坐标系中，对流—扩散方程的通用形式为：()()()φφφφφρυφφρρφS y y x x y u x t +⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂Γ∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Γ∂∂=∂∂+∂∂+∂∂ 对于动量方程，把压力梯度项放到源项中了。

引入在x 及y 方向的对流—扩散总通量密度，上式可改写为：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂Γ-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂Γ-∂∂+∂∂y p x p S y y x u x t φρυφφφρρφφφ 即：()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂+∂∂y p x p S y J x J t yx ρφ （1）其中：yJ xu J y x ∂∂Γ-=∂∂Γ-=φρυφφφρφφ将（1）式对P 控制容积做时间与空间上的积分得：e E P p P c s n w e pp A P P V S S J J J J V t)()()()()()(0-+∆+=-+-+∆∆-φρφρφ将通用变量φ换成速度u ，相应的其控制容积变为：所以上式可改写为：e E P p p c s n w e ee A P P V S S J J J J V t u u )()()()()()(0-+∆+=-+-+∆∆-φρρ （2）式（6-5）为：()e E P nb nbe e A p p b u au a -++=∑对上式用界面总通量表达式为：ee E e e EE e u a u F a J -+=)( （3）e w W w W w u F a u a J )(--= （4）n N e n N n u a u F a J -+=)( （5）e s S s S s u F a u a J )(--= （6）把以上方程代入方程（2）得：e E p e p c e s S s S n N en N w w e w W ee E e e EE ee A P P V u S S u F a u a u a u F a u a u F a u a u F a V tu u )()()()()()(0-+∆+=-+--++--+-++∆∆-ρρ整理得：eE p ec s S n N w W ee E ep s S n N w W e EE A P P u tVV S u a u a u a u a u V S F a F a F a F a tV)(])()()()([0-+∆∆+∆++++=∆--+++-+++∆∆ρρ当对流、扩散项的离散采用指数格式时，则上式中的系数分别为：1)ex p()(-==∆∆e ee e EE P F P A D a 1)e x p ()e x p ()(-==∆∆∆w w w w w W P P F P B D a1)ex p()(-==∆∆n n n n N P F P A D a 1)e x p ()e x p ()(-==∆∆∆s s s s s S P P F P B D a tVa e ∆∆=ρ0V S a F F F F a a a a a p e s n w e S N W EE e ∆-+-+-++++=00e e c u a V S b +∆=y A e ∆=同理对（6－6）()n N P nb nbn n A p p b aa -++=∑υυ，类似地有：1)ex p()(-==∆∆n n n n NN P F P A D a 1)e x p ()e x p ()(-==∆∆∆s s s s s S P P F P B D a 1)ex p()(-==∆∆e e e e E P F P A D a 1)e x p ()e x p ()(-==∆∆∆ww w w w W P P F P B D atVa n ∆∆=ρ0V S a F F F F a a a a a p n s e w n S E W NN n ∆-+-+-++++=000n n c u a V S b +∆=x A n ∆=6-4 对图6-11所示的二维流动情形，已知：10,0,20,50====E N s w p p v u 流动是稳态的，且密度为常数。

第六章流动问题(交错网格)

国科大中科院图论与网络流理论第6章答案

第六章流动问题(流动问题的同位网格法)

交错网格有限元方法在流体力学中的应用

数值传热学 第六章答案 (2)

交错网格

SIMPLE算法求解方腔内粘性不可压流动

一种基于全局优化的交错网格有限差分法

流场的计算

SIMPLE算法及应用

第六章流动问题(SIMPLE算法的发展和改进)-8

计算流体力学基础

流场格网划分及空间混合网格特殊边界无秩序变形计算

论中的网络流问题

第六章流动问题(交错网格)

第六章流动问题(求解不可压流场的CELS算法)

计算流体力学基本概念及详细解析

数值传热第六章作业

数值传热学第六章答案 (2)