计算机辅助分析

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(2)运行结果：

please input a,b,e -2 0 0.02 result is:-1.00000

please input a,b,e 1 3 0.02 result is:2.000000


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源程序：








#include <stdio.h> #include <math.h> #include <stdlib.h> #define N 100 double f(double x) {return x*x-x-2;} bm(double a,double b,double e) { int i; double x1; for(i=1;i<N;i++) { x1=(a+b)/2; if(f(a)*f(x1)>0) a=x1; else b=x1;
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输入a,b,ε
y1=f(a),y2=f(b)
k=1
x=(a+b)/2,y=f(x)
y＝0?
N a=x y1=y N y1*y<0?
Y
Y
b=x
k=k+1
N
b-a<ε?
输出k,x,y
STOP 二分法流程图

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二
求 e — e =0
x
的根（牛顿法）
牛顿法的基本思想是设法将非线性方程 f ( x ) 0 转化为某种线性方程来求解。


main() {int i; float x0,xn,y0,h,n; /* x0,y0分别表示 区间的左右端点值*/ printf("\n input x0:"); scanf("%f",&x0); printf("\n input xn:"); scanf("%f",&xn); printf("\n input y0:");/*输入X0处的Y的 值Y0*/ scanf("%f",&y0); printf("\n 输入区间的等份数n:"); scanf("%f",&n); printf("\n x[0]=%6f\ty[0]=%6f\n",x0,y0); euler(x0,xn,y0,n); return(y0); }

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A
L
λL
(1-λ)L f1 f2 a1 a2
(1-λ)L
B
a
b
a
f1 f2 a1 a2
b
当搜索的新 区间长度小 于某一精度 ε，即：
b a a
*
为近似极小点
a2 2


a1

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2.黄金分割法流程图
间上[
即


x k 1 , x k ](k=1,……,
xk x k 1
n
n)上用梯形公式，

b a
f ( x )d x
h 2
f ( x k 1 ) f ( x k )
n
f ( x )d x

k 1
xk x k 1
f ( x )d x
n 1

k 1
h 2
f ( x k 1 ) f ( x k )

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流程图
k1=f(x,y) x=x+h k2=f(x,y+hk1) y=y+h(k1+k2)/2 k=k+1 输出x,y

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五
1.
黄金分割法
基本原理:
它是通过不断搜索区间的长度来寻求一维函数f(a) 的极小点。这种方法的基本原理是：在搜索区间 [a,b]内按如下规格对称地取两点a1，a2：
（2）运行结果：0.459698

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（3）流程图

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四
运用改进欧拉法求解微分方程
y y
'
求微分方程
2x y
的解y(0)=1,h=0.2,[0,1]）
1.欧拉法： （1）源程序
#include <stdio.h> #include <math.h> void main() { int n,k,a=0,b=1; float h=0.2,x=0,y=1; n=(b-a)/h; for (k=1;k<=n;k++)
a 1 a 0 . 382 b a a 2 a 0 . 618 b a
计算它们的函数值f1=f(a1)；f2=f(a2)，比较f1和f2
的大小

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（1）若f1>f2，如图A所示。极小点必在区间 [a1，b]内，消去区间[a，a1]，令a=a1，产 生新区间[a，b] ，到此，区间搜索了一次。 值得注意的是新区间的a1点与原区间的a2点 重合，可令a1=a2,f1=f2,这样可少找一个新点 和节省一次函数值计算。 （2）若f1≤f2，如图B所示。极小点必在区间[a， a2]内，消去区间[a2，b]，令b=a2，产生新 区间[a，b] ，到此，区间搜索了一次。令 a2=a1, f2=f1
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农牧业机械计算机辅助分析
专
业：机械设计及理论
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一
二分法求解f(x)=
x x2
2
的根
首先取区间[a,b]的中点x0=(a+b)/2，计 算出f(x0)，根据f(x0)的符号判定问题的解 是在[a,x0]中还是在[x0,b]中；记剩下的区 间为[a1，b1],用同样的方法找到它的中点x1, 并得到一个新区间[a2，b2]反复进行上述操 作即可得到一系列的点x0,x1,x2,…
i =1 ~
f ( x , y i ) + f ( x , y i +1 )
i i +1
]×
b — a n
2
而 f ( x , y i +1 ) 式中的 y i +1 = y i + hf ( x i , y i )
i +1

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b a
h f ( x )d x f (a ) 2 f ( x k ) f (b ) 2 k 1

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（1）源程序
#include <stdio.h> #include <math.h> double integrate(double f(double x),double a,double b) { double i=1.0/1000000; double sum=0,x; for(x=a;x<=b;) { sum+=(f(x)+f(x+i))*i/2; x+=i; } return sum; } double f(double x) { return sin(x); } int main() { int a=0,b=1; printf("%lf\n",integrate(f, a, b)); return 0; }
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结果为: input x0:0 input xn:1 input y0:1 输入区间的等份数n::5 x[0]=0.000000 y[0]=1.000000 x[1]=0.200000 y[1]=1.186667 x[2]=0.400000 y[2]=1.348312 x[3]=0.600000 y[3]=1.493704 x[4]=0.800000 y[4]=1.627861 x[5]=1.000000
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源程序为：
#include<math.h> #include<stdio.h> float f(float x) { return (exp(1)exp(x)); } float f1(float x) { return (-exp(x)); } void main() float x1=0.5,x; clrscr(); do { x=x1; x1=x-f(x)/f1(x); } while(fabs(x1x)>0.0001); printf("x=%f\n",x1); }


if(fabs(b-a)<e) {printf(“result is:%f\n",x1); return 0; } } } void main() { double a,b,e; printf("please input a,b,e:\n"); canf("%lf%lf%lf",&a,&b,&e); bm(a,b,e); exit(0); }
{
y=y+h*(y-2*x/y); x=x+h;
printf("k=%d,x=%f,y=%f\ n",k,x,y); } }

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（2）运行结果
k=1, x=0.200000, y=1.200000 k=2, x=0.400000, y=1.373333 k=3, x=0.600000, y=1.531495 k=4, x=0.800000, y=1.681058 k=5, x=1.000000, y=1.826949
给定：a,b,ε a=0.382(b-a)→a1，f(a1) →f1 a=0.618 (b-a)→a2，f(a2) →f2 N Y