专题一 突破高考客观题常考问题 -数学(文科)-全国卷地区专用

第1讲
集合与常用逻辑用语、复数
命 题 考 向 探 究
变式题 (1)设命题 p：函数 y＝sin 2x 的最小正周期为 π π 2 ，命题 q：函数 y＝cos x 的图像关于直线 x＝ 2 对称．则 下列的判断正确的是( ) A．p 为真 B． q 为假 C．p∧q 为假 D．p∨q 为真 (2)已知 f(x)＝x3－3x，并设命题 p：∀c∈R，f[f(x)]＝c 至少有 3 个实根，命题 q：当 c∈(－2，2)时，方程 f[f(x)] ＝c 有 9 个实根，命题 r：当 c＝2 时，方程 f[f(x)]＝c 有 5 个实根．则下列命题为真命题的是( ) A． p∨ r B． p∧ r C．仅有 r D．p∧q
命 题 考 向 探 究
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第1讲
集合与常用逻辑用语、复数
►
考向三
复数的概念与运算
考向：复数的概念、复数的运算、复数的几何意义． 考例：2009 年 T2、2010 年 T3、2011 年 T2、2012 年 T2、2013 年卷ⅡT2、2013 年卷ⅠT2，近五年新课标
命 题 考 向 探 究
全国卷共考查了 6 次． 例 3 (1)[2013· 陕西卷] 设 z 是复数， 则下列命题中的 假命题是( ) A．若 z2≥0，则 z 是实数 B．若 z2<0，则 z 是虚数 C．若 z 是虚数，则 z2≥0 D．若 z 是纯虚数，则 z2<0 (2)[2013· 新课标全国卷Ⅰ] 若复数 z 满足(3－4i)z＝ |4＋3i|，则 z 的虚部为( ) 4 4 A．－4 B．－5 C．4 D.5 返回目录
全国卷地区专 用
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专题一
突破高考客观题常考问题
——主干知识 ——
⇒ 集合元素 的确定 关键词：互异性， 含参数的集合，如 ①.
[答案] 4
[解析] 当 a＝0 时，A＝∅；当 a≠0 时，Δ＝a2－4a＝0，则 a＝4.
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第1讲
核 心 知 识 聚 焦
集合与常用逻辑用语、复数
—— 体验高考 ——
2．[2012· 安徽卷改编] 设集合 A ＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合 B 为函 数 y＝lg(x＋1)的定义域，则 A∩B ＝________．
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第1讲
集合与常用逻辑用语、复数
命 题 考 向 探 究
► 考向二 高考中常用逻辑用语的常见问题 考向：充分条件和必要条件的判断、命题与否定． 考例：2009 年 T4、2011 年 T10、2012 年 T3、2013 年卷 ⅠT5，近五年新课标全国卷共考查了 4 次． 1 ， 例 2 (1)设集合 P＝x∈R x ≥1 Q＝{x∈R|ln(1－x)≤0}， 则“x∈P”是“x∈Q”的( ) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
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集合与常用逻辑用语、复数
[答案] (1)C
(2)A
命 题 考 向 探 究
[解析] (1)N＝{x∈Z|1<x<4}＝{2， 3}， 故 M∩N＝{2， 3}． (2)∵U＝{1，2，3，4}，∁U(A∪B)＝{4}， ∴A∪B＝{1，2，3}． 又∵B＝{1，2}，∴{3}⊆A⊆{1，2，3}， ∴∁UB＝{3，4}，A∩∁UB＝{3}．
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集合与常用逻辑用语、复数
[答案] (1)C
(2)D
命 题 考 向 探 究
[解析] (1)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则 z2＝a2－b2＋2abi.若 ab＝0， 2 z ≥0， 则 2 即 b＝0， 故 z 是实数， A 为真． 若 z2<0， 2 a －b ≥0， ab＝0， a＝0， 则 2 即 故 B 为真．若 z 是虚数，则 b≠0， 2 a －b <0， b≠0， z2＝a2－b2＋2abi，无法与 0 比较大小，故 C 是假命题．若 z a＝0， 2 是纯虚数，则 z ＝－b2<0，故 D 为真． b≠0， |4＋3i| 5（3＋4i） 3 4 5 4 (2)z＝ ＝ ＝ ＝5＋5i，故 z 的虚部是5. 25 3－4i 3－4i
[答案] 充分不必要条件
——主干知识 ——
⇒ 充分、 必要 条件 关键词： 充要条件、 集合关系与充要条 件，如③.
[解析] 设 A＝(1，2)，B＝(－∞， 2)，显然 A⊆B，所以应填充分不必要 条件．
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集合与常用逻辑用语、复数
——主干知识 —— —— 体验高考 —— 4．[2013· 山东卷改编] 给定两个命 ⇒ 命题间的关
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第1讲
集合与常用逻辑用语、复数
方法指导
1.复数中的常用结论
(1)对于实数 a，b，有|a|＝|b|⇔a2＝b2，但对于不全是
命 题 考 向 探 究
实数的两个复数，上述关系不成立； (2)对于任意复数 z，有 z· z＝|z|2＝|z|2； (3)两个复数不能比较大小，如果给出的两个形式上的复数 具有大小关系，则说明它们都是实数．
x －1 1 [解析] (1)不等式 x ≥1，即 x ≤0 且 x≠0，解得 0<x≤1，所以集合 P＝{x|0<x≤1}；不等式 ln(1－x)≤0， 即 0<1－x≤1， 解得 0≤x<1， 所以集合 Q＝{x|0≤x<1}． 由 于集合 P，Q 互不包含，所以“x∈P”是“x∈Q”的既 不充分也不必要条件． (2)命题 p 假，命题 q 真，所以 p∧q 为真命题．
图 1－1－1
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集合与常用逻辑用语、复数
[答案] (1)B
(2)[1，2]
命 题 考 向 探 究
[解析] (1)A＝{x|x<0 或 x>2}，故 A∪B＝R. (2)阴影部分表示的集合为 N∩(∁UM)． M＝{x|x2>4}＝{x|x>2 或 x<－2}，N＝{x||x－2|≤1}＝ {x|1 ≤ x ≤ 3} ， 所 以 ∁UM ＝ {x| － 2≤x≤2} ， 所 以 N∩(∁UM)＝{x|1≤x≤2}＝[1，2]．
小结：充要条件的判断实际上就是从正反两个方面 判断命题的真假，注意利用集合与充要条件的关系判断 充 要 条 件 ； “ 或 ”“ 且 ”“ 非 ” 类 似 于 集 合 中 的 “并”“交”“补”．复合命题的真假判断要先对每个 简单命题(不妨设为 p，q)的正确与否作出判断，借助真 值表确定结论．
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第1讲 第2讲 第3讲
集合与常用逻辑用语、复数 平面向量、算法初步、推理与证明 不等式与线性规划
核 心 知 识 聚 焦 命 题 考 向 探 究 命 题 立 意 追 溯
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集合与常用逻辑用语、 复数
第1讲
核 心 知 识 聚 焦
集合与常用逻辑用语、复数
—— 体验高考 ——
1． [2013· 江西卷改编] 若集合 A ＝ {x|ax2 ＋ ax ＋ 1 ＝ 0} 中 只有一个元素① ，则 a＝________．
：________________．
[答案] ∃x0∈A，2x0∉B
——主干知识 ——
⇒ 命题间的 关系 关键词： 逆否命题、 命题的否定，如 ④⑤.
[解析]
p：∃x0∈A，2x0∉B.
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集合与常用逻辑用语、复数
—— 体验高考 —— 6．[2013· 新课标全国Ⅱ卷改编]
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集合与常用逻辑用语、复数
小结：①复数 a＋bi(a，b∈R)是实数的充要条件是 b＝0，是纯虚数的充要条件是 a＝0，b≠0，是虚数的充
命 题 考 向 探 究
要条件是 b≠0. ②分母实数化是简化复数运算的主要手段，其中(a ＋bi)· (a－bi)＝a2＋b2.对一些常见运算，如(1± i)2＝± 2i、 1＋i 1－i ＝i 、 1－i 1＋i ＝－i 等要记牢．
小结：涉及集合的交、并、补运算，虽然较其他 问题相对简单，但需要针对已知集合中元素的特点逐 一运算．如果元素是整数，可采用列举法表示，进而 确定目标集合的元素，这类问题用韦恩图表示较为简 洁；如果集合中的元素是用不等式描述的，借助数轴 探求集合间的关系更方便．
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集合与常用逻辑用语、复数
②
——主干知识 ——
⇒ 集合间的 运算 关键词： 交集、 并集、补集，如②.
[答案] (－1，2]
[解析] A＝{x|－3≤2x－1≤3} ＝[－1，2]，B＝(－1，＋∞)， 故 A∩B＝(－1，2]．
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核 心 知 识 聚 焦
集合与常用逻辑用语、复数
—— 体验高考 —— 3 ． [2013· 湖 南 卷 改 编 ] ③ “1<x<2”是“x<2” 成 立 的 ______________________________ (填充分不必要条件、必要不充分条 件、充要条件、既不充分也不必要 条件)．
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第1讲
集合与常用逻辑用语、复数
[答案] (1)C
(2)A
命 题 考 向 探 究
[解析] (1)命题 p 和命题 q 均为假命题，正确选项为 C.
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集合与常用逻辑用语、复数
(2)如图所示，当 c>2 或 c<－2 时，f[f(x)]＝c 只有一个 根，p 为假命题；当 c＝2 时，f[f(x)]＝c 有 5 个实根，r 为 真命题；当 c∈(－2，2)时，f[f(x)]＝c 有 9 个实根，q 为真 命题．排除 B，C，D，故选 A.