2020-2021学年安徽省六安一中高二下第一次段考文数学卷

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2020-2021学年安徽省六安市第一中学高二下学期期末考试语文试题 Word版

六安一中2020~2021学年度第二学期高二年级期末考试语文试卷时间：150分钟分值：150分一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1~3题。

大约20年前，电影《哈利·波特与魔法石》中有个“魔法报纸”令人着迷。

报纸图片中的人物会动，文字内容会自动刷新。

彼时科幻电影中的情节，今天已经变成了现实，微信里的图文、手持阅读器中的内容，我们每天都在看，也不觉得有多神奇。

当下的媒介传播条件和媒介使用状态已经今非昔比，文艺的呈现形态也在不断地更迭。

新媒介应用到社会中，从时间维度上看，既有跳跃式的迭代，如手机替代了有线电话，也有渐进式的递变，如手机屏幕的分辨率越来越高。

从空间维度上看，新媒介在文艺领域中扩散的轨迹，不是一勺糖撒到水中，很快就均匀分布、化于无形，更像是一滴墨汁滴入水中，有个氤氲开来的过程。

我们在任何一个时间点切入，都会遇上新媒介的新玩法。

就秉持的态度而言，乐之者甘之如始，怨之者弃如敝履。

从印刷时代进入电影时代，再进入广电时代，也都曾出现了这样的情况。

其中的关键问题是两个：新媒介文艺适应社会的速度与状态，以及每个人适应新媒介文艺的速度与状态。

新媒介文艺如何适应社会？在实验室中、在图纸上，技术是中立的，但是一旦到不同的群体当中，技术的使用难免没有偏向。

例如，全世界都用社交软件，但是不同文化背景的成员在社交软件上分享的内容各有特色，中国人习惯的各种“网络体”文章、东亚地区青年人中流行的“吃播视频”，有明显的区域和文化特色。

以“快手”为例。

2011年，制作分享GIF动画的免费软件“GIF快手”上线；2013年，“GIF快手”从工具软件转型成为短视频社区：发展到现在，“网红直播”和“直播带货”成为其主要盈利模式。

我们每个人如何适应新媒介？这与前一个问题其实是一枚硬币的两个面。

从整体上说，新媒介在一个社会扩散的速度，取决于海量个体的接受程度。

由于人与人的禀赋、习惯不同，每个个体对新媒介的喜好和取舍也都不一样，但是只要大家都认同“新媒介取代旧媒介，就像未来的新媒介必然取代今天的新媒介”这个观点，就应该培养自己适应和使用新媒介的相应能力。

安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2020-2021学年高二下学期期末联考数学(文)试题

【详解】
根据正方形的对称性可知，阴影部分面积占总面积的四分之一，根据几何概型概率计算公式可知点落在阴影部分内的概率为，故选D.
【点睛】
本小题主要考查几何概型的计算，属于基础题.
5．A
【解析】
分析：直接对函数求导，令导函数大于0，即可求得增区间.
详解：，，增区间为 .
故答案为A.
点睛：本题考查了导数在研究函数的单调性中的应用，需要注意的是函数的单调区间一定是函数的定义域的子集，因此求函数的单调区间一般下，先求定义域；或者直接求导，在定义域内求单调区间.
A． B．
C． D．
9．已知，则不等式的解集为（）
A． B． C． D．
10．若函数存在增区间，则实数的取值范围为（）
A． B．
C． D．
11．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子，骰子朝上的面的点数分别为，，则满足的概率为（）
A． B． C． D．
12．若函数有三个零点，则实数的取值范围为（）
【详解】
依题意可知，．故选B.
【点睛】
本小题主要考查三角函数的定义，考查齐次方程的计算，属于基础题.
3．C
【分析】
求得的值，再除以，由此求得表达式的值.
【详解】
因为，所以．故选C.
【点睛】
本小题主要考查导数的定义，考查平均变化率的计算，属于基础题.
4．D
【分析】
根据正方形的对称性求得阴影部分面积占总面积的比例，由此求得所求概率.
A． B． C． D．
二、填空题
13．某地区共有4所普通高中，这4所普通高中参加2021年高考的考生人数如下表所示：
学校
高中
高中
高中

安徽省六安市第一中学2019-2020学年高二数学下学期第一次在线自测试题期文卷

班
级：
__
___
_____姓名：__
___
___
__考号：________19、六安一中2019~2020学年度第一学期高二年级自测试卷数学答题卡（文科）
P
贴条形码区
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效18、
座位号
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效20、请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效21、请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效请在选做题号前打“√”
□22、□23、
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。

安徽省六安市第一中学2020-2021学年高二下学期第一次在线自测数学(文)试题

安徽省六安市第一中学2020-2021学年高二下学期第一次在线自测数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题 1．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D2．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（） A ．16B ．14C ．13D ．123．已知条件:12p x +>，条件:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的值范围为（） A ．[)1,+∞B ．[)1,-+∞C ．(],1-∞D ．(],3-∞4．设x 、y 、0z >，1a x y =+，1b y z =+，1c z x=+，则a 、b 、c 三数（） A ．都小于2 B ．至少有一个不大于2 C ．都大于2D ．至少有一个不小于25．下列说法:①2χ越小,X 与Y 有关联的可信度越小;②若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r 的值越接近于1;③“若x ∈R ,则111x x <⇒-<<类比推出,“若z C ∈,则111z z <⇒-<<;④命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是使用了“三段论”,推理形式错误.其中说法正确的有( )个 A ．0 B ．1C ．2D ．36．函数2ln x x y x=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．710=，化简的结果是（）A ．2212516x y +=B ．2212521x y +=C ．221254x y +=D ．2212521y x +=8．甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩，老师说，你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩，看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（） A ．乙可以知道两人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩9．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，它是由七块板组成，其简易结构如图所示.某人将七巧板拼成如图中的狐狸形状.若在七巧板中随机取出一个点，则该点来自于图中阴影部分的概率为（）A ．13B ．14C ．16D ．1810．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式11111+++⋅⋅⋅中“⋅⋅⋅”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11x x +=求得x =，类似上述过程，则231111333++++⋅⋅⋅=( ) A ．2B ．32C ．3D ．5311．若,,22x y ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且sin sin 0x x y y ->，则下列不等式一定成立的是( ) A ．x y <B ．x y >C ．x y <D ．x y >12．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（） AB．C．D．二、填空题13．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________. 14．已知样本9、10、11、x 、y 的平均数是10，方差是2，则xy =______.15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点为1F 、2F ，过点1F 的直线l 与双曲线C 的左支交于A 、B 两点，12BF F △的面积是12AF F △面积的三倍，1290F AF ∠=，则双曲线C 的离心率为______．16．设1,0a b b +=>,则19||||a a b+的最小值是_________.三、解答题17．某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校300名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）.将学生日均体育锻炼时间在[40,60)的学生评价为“锻炼达标”. （1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的22⨯列联表；（2）通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.临界值表18．为了纪念“一带一路”倡议提出五周年,某城市举办了一场知识竞赛,为了了解市民对“一带一路”知识的掌握情况,从回收的有效答卷中按青年组和老年组各随机抽取了40份答卷,发现成绩都在[50,100]内,现将成绩按区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90)，[90,100]进行分组,绘制成如下的频率分布直方图．青年组中老年组(1)利用直方图估计青年组的中位数和老年组的平均数；(2)从青年组[80,90),[90,100]的分数段中,按分层抽样的方法随机抽取5份答卷,再从中选出3份答卷对应的市民参加政府组织的座谈会,求选出的3位市民中有2位来自[90,100]分数段的概率．19．某地区不同身高()x cm 的未成年男孩的体重平均值()y kg 如下表：已知ln y 与x 之间存在很强的线性相关性，（1）据此建立y 与x 之间的回归方程；（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高150cm 体重为45kg 的在校男生的体重是否正常？参考数据：()51ln 940iii x y =⋅=∑，51ln 11.5ii y==∑， 3.740.5e ≈附：对于一组数据()11,v μ，()22,v μ，…，(),n n v μ，其回归直线v bx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni i i nii v n vbn μμμμ==-=-∑∑，ˆˆav b μ=-. 20．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF 为等边三角形，求C 的离心率；（2)如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围.21．已知函数()21xax x f x e+-=．（1）求曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程；（2）证明：当1a ≥时，()0f x e +≥．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．23．已知函数()421f x x x =---的最大值为m . （1）求不等式()1f x >的解集；（2）若a 、b 、c 均为正数，且满足a b c m ++=，求证：2223b c aa b c++≥.参考答案1．C 【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 2．D 【分析】男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解. 【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是12．故选D ．【点睛】本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题． 3．A 【分析】由题意，可先解出p ⌝：31x -≤≤与q ⌝：x a ≤，再由p ⌝是q ⌝的充分不必要条件列出不等式即可得出a 的取值范围. 【详解】由条件:12p x +>，解得1x >或3x <-，故p ⌝：31x -≤≤，由条件:q x a >得q ⌝：x a ≤，∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件， ∴1a ≥，故选：A . 【点睛】本题以不等式为背景考查充分条件必要条件的判断，考查了推理判断能力，准确理解充分条件与必要条件是解题的关键. 4．D 【分析】利用基本不等式计算出6a b c ++≥，于此可得出结论. 【详解】由基本不等式得111111a b c x y z x y z y z x x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭6≥+=，当且仅当1x y z ===时，等号成立，因此，若a 、b 、c 三数都小于2，则6a b c ++<与6a b c ++≥矛盾，即a 、b 、c 三数至少有一个不小于2，故选D. 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查反证法的基本概念，解题的关键就是利用基本不等式求最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5．C 【分析】因为2χ越大,X 与Y 有关联的可信度越大，可判断①；两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r 的绝对值越接近于1，可判断②；虚数不能比较大小可判断③；大前提“有些有理数是无限循环小数”不是全称命题，故可判断④. 【详解】①中因为2χ越大,X 与Y 有关联的可信度越大，所以2χ越小,X 与Y 有关联的可信度越小,正确；②中因为若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r 的绝对值越接近于1，故错误；③中因为虚数不能比较大小，可知111z z <⇒-<<错误；④中因为大前提的形式：“有些有理数是无限循环小数”，不是全称命题，故推理形式错误判断正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了独立性检验，线性回归，类比推理，三段论推理，属于中档题. 6．D 【分析】根据函数为偶函数排除B ,当0x >时,利用导数得()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e+∞上递增,根据单调性分析,A C 不正确,故只能选D . 【详解】令2ln ||()||x x f x x =,则2()ln ||()()||x x f x f x x ---==-, 所以函数()f x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,故B 不正确,当0x >时,2ln ()ln x xf x x x x==,()1ln f x x '=+,由()0f x '>,得1x e >,由()0f x '<,得10x e<<, 所以()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e+∞上递增, 结合图像分析,,A C 不正确. 故选:D 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题. 7．B 【分析】10=,可知动点(,)P x y 到定点(2,0)-和(2,0) 距离和是定值10,根据椭圆的定义可知其轨迹是椭圆,即可求出椭圆的,,a b c ,进而得到答案. 【详解】根据两点间的距离公式可得:表示点(,)P x y 与点1(2,0)F 的距离,(,)P x y 与点2(2,0)F -的距离.所以原等式化简为1210PF PF += 因为12210F F =<所以由椭圆的定义可得:点(,)P x y 的轨迹是椭圆:5,2a c == 根据椭圆中:222a b c =+,得:221b =所以椭圆的方程为: 2212521x y +=.故选:B. 【点睛】本题考查了由椭圆的几何意义来求椭圆方程,能理解椭圆定义是解本题关键. 8．D 【分析】由甲看乙、丙的成绩后仍不知道自己的成绩，说明乙、丙一人优秀一人良好，再乙看丙的成绩，丁看甲的成绩后，乙、丁可以知道自己的成绩. 【详解】甲、乙、丙、丁四位同学中有2位优秀，2位良好，因为甲看乙、丙的成绩后仍不知道自己的成绩，可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选：D ．【点睛】本题主要考查了合情推理，属于中档题. 9．B 【分析】首先设正方行边长为2，分别求出阴影面积和正方形面积，由几何概型即可得到答案.设正方行边长为2，由题知：阴影面积为两个斜边为1的等腰直角三角形和一个边长为2的正方形构成.221=2(()1222S ⨯⨯+=阴影.由几何概型知：21124P ==. 故选：B 【点睛】本题主要考查几何概型，求出阴影面积为解题的关键，属于简单题. 10．B 【分析】由232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，类比已知中的求法，可构造方程求得结果. 【详解】232311111131333333⎛⎫⎛⎫⨯+++⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴可设23111333x =+++⋅⋅⋅，则31x x =+，解得：12x =23111131133322++++⋅⋅⋅=+=∴故选：B 【点睛】本题考查类比推理的应用问题，关键是能够明确已知中的代换关系，将所求式子整理变形为可以整体换元的方式. 11．D 【分析】设函数()sin f x x x =，函数为偶函数，求导得到函数的单调区间，变换得到()()f x f y >，得到答案.设函数()sin f x x x =，函数为偶函数，则()'sin cos 0f x x x x =+≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立. 即函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,02π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减. sin sin 0x x y y ->，即()()f x f y >，根据单调性知x y >.故选：D . 【点睛】本题考查了利用函数单调性解不等式，构造函数()sin f x x x =是解题的关键. 12．C 【分析】联立方程解得M (3，，根据MN ⊥l 得|MN |＝|MF |＝4，得到△MNF 是边长为4的等边三角形，计算距离得到答案. 【详解】依题意得F (1,0)，则直线FM 的方程是y (x －1)．由214y y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩得x ＝13或x ＝3.由M 在x 轴的上方得M (3，，由MN ⊥l 得|MN |＝|MF |＝3＋1＝4又∠NMF 等于直线FM 的倾斜角，即∠NMF ＝60°，因此△MNF 是边长为4的等边三角形点M 到直线NF 的距离为4=故选：C . 【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力. 13．－1 【分析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出．【详解】()()212122i i i z i i i +-+===--，∴z 的虚部为1-，故答案为1-. 【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 14．96 【分析】利用平均数公式和方差公式能求出x y +和22xy +的值，然后利用完全平方公式能计算出xy 的值.【详解】由平均数公式得91011105x y++++=，即20x y +=，()()()()()2222291010101110101025x y -+-+-+-+-=，即()()2210108x y -+-=，即()22202008x y x y +-++=，可得()22208200208x y x y +=++-=，()22222022082x y x y xy xy =+=++=+，解得96xy =.故答案为：96. 【点睛】本题考查利用平均数和方差公式求参数值，考方程思想的应用，属于基础题.15．2【分析】由12BF F △的面积是12AF F △面积的三倍，1290F AF ∠=︒，可得114AF AB=，可设1AF m =，13BF m =，运用双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，化简可得m =a ，再由勾股定理和离心率公式，可得所求值．【详解】由12BF F △的面积是12AF F △面积的三倍，1290F AF ∠=，可得114AF AB=，设1AF m =，13BF m =，则22AF m a =+，232BFm a =+，由22222AB AF BF +=，解得m a =，则1AF a =，23AF a =，再由2221212AF AF F F +=得22104a c =．所以双曲线C 的离心率e ==故答案为：2. 【点睛】本题考查双曲线的性质应用，求解离心率问题，通过题目找出a 、b 、c 三者之间的等量关系即可，此类问题通常结合焦点三角形的性质，常常利用的关系有直角三角形三边关系、三角形相似、向量关系、斜率关系等，计算量大，属于中等难度题. 16．5 【分析】由10b a =->得1a <，注意0a ≠，分类01a <<和0a <分别求最小值，然后比较．【详解】由题意10b a =->得1a <，又0a ≠，当01a <<时，911919(1)199a a b a b a b a b a b -+=+=+=+-19()()9a b a b=++-9117b a a b =++≥=，当且仅当9b a a b =，即13,44a b ==时等号成立．当0a <时，19||||a a b +21919819911a a a a a a a a+=--=--+=+---，记281()9a f a a a+=+-，22(21)(41)()()a a f a a a +-'=--，∵0a <，∴，当102a -<<时，()0f a '>，()f a 递增，当12a <-时，()0f a '>，，()f a 递减，12a =-时，()f a 取得唯一的极小值也是最小值1()()52f a f ≥-=，综上，19||||a a b+的最小值是5. 故答案为：5．【点睛】本题考查求最值，考查用基本不等式求最值，考查用导数求函数的最值．对于含绝对值的代数式，常用方法是分类讨论，按a 的正负分类，其中01a <<时用基本不等式求最小值，0a <时用导数求最小值．只是最后要比较取其中最小的一个为答案． 17．（1）见解析（2）能，计算见解析【分析】（1）根据题中所给的数据，即可列出列联表；（2）将（1）中列出列联表数据，代入公式计算得出2K ，与临界值比较即可得出结论. 【详解】（1）（2）22300(904050120)200 4.082 3.8411401602109049k ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“锻炼达标”与性别有关. 【点睛】本题考查独立性检验的运用，属于基础题． 18．(1)中位数为80，平均数为73.5(2)310 【分析】(1)根据中位数使得左右两边的面积相等,可以确定中位数,再根据在频率分布直方图计算平均数的方法计算即可求出平均数；(2) 求邮青年组[80,90),[90,100]的分数段中答卷的份数,再求出抽取比例,最后确定两段中分别抽取的答卷份数, 记[80,90)中的3位市民为a ,b ,c ,[90,100]中的2位市民为x ,y ,列出可能出现的情况,最后求出选出的3位市民中有2位来自[90,100]分数段的概率．【详解】解：(1)由青年组的频率分布直方图可知,前3个小矩形的面积和为0.5,后2个小矩形的面积和为0.5,所以中位数为80．中老年组成绩的平均数为(55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.025+95×0.005)×10=73.5．(2)青年组[80,90),[90,100]的分数段中答卷分别为12份,8份, 抽取比例为512+8=14,所以两段中分别抽取的答卷分别为3份,2份．记[80,90)中的3位市民为a ,b ,c ,[90,100]中的2位市民为x ,y , 则从中选出3位市民，共有不同选法种数10种： (a,b,c ),(a,b,x ),(a,b,y ),(a,c,x ),(a,c,y ),(a,x,y ),(b,c,x ),(b,c,y ),(b,x,y ),(c,x,y )．其中,有2位来自[90,100]的有3种：(a,x,y ),(b,x,y ),(c,x,y )．所以所求概率P =310．【点睛】本题考查了在频率分布直方图确定中位数和平均数的方法,考查了分层抽样的方法,考查了古典概型概率的求法.19．(1) 0.020.7x y e +=. (2) 正常的. 【分析】（1）先求得x 及521ii x=∑,即可求得52215i i xx =-∑.代入线性回归方程中即可求得ˆb.再由ˆˆav b μ=-即可求得ˆa ,进而得回归方程. （2）根据回归方程及参考数据,即可求得该男生的体重,进而判断该体重是否位于平均值的1.2倍与0.8倍之间.【详解】（1）由已知可得80x =,()522221100671033000i i x ==⨯+++=∑∴5221533000320001000ii xx =-=-=∑又()51ln 940i ii x y =⋅=∑,11.52.35v == ∴9405 2.380ˆ0.021000b-⨯⨯==ˆ 2.30.02800.7a=-⨯= 所以ln 0.020.7y x =+ ∴回归方程为：0.020.7x y e+=（2）当150x =时, 3.7ˆ40.5ye =≈,而40.5 1.248.645⨯=>,40.50.832.445⨯=<,∴这一在校男生的体重是正常的. 【点睛】本题考查了非线性回归方程在实际问题中的应用,计算量较为复杂,需要耐心计算,属于中档题.20．(1) 1e =；（2）4b =，a 的取值范围为)+∞. 【分析】（1）先连结1PF ，由2POF 为等边三角形，得到1290F PF ∠=，2PF c =，1PF =；再由椭圆定义，即可求出结果；（2）先由题意得到，满足条件的点(,)P x y 存在，当且仅当12162y c ⋅=，1y yx c x c⋅=-+-，22221x y a b +=，根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果. 【详解】（1）连结1PF ，由2POF 为等边三角形可知：在12F PF △中，1290F PF ∠=，2PF c =，1PF =，于是122a PF PF c =+=，故椭圆C 的离心率为1c e a ===；（2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在，当且仅当12162y c ⋅=，1y y x c x c⋅=-+-，22221x y a b+=，即16c y = ①222x y c += ②22221x y a b+= ③ 由②③以及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =；由②③得22222()a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232a b c b =+≥=，故a ≥；当4b =，a ≥P .故4b =，a 的取值范围为)+∞. 【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题. 21．（1）切线方程是210x y --=（2）证明见解析【分析】（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程．（2）当a 1≥时，()12f x e 1x x e x x e +-+≥++-（）,令12gx 1x e x x +=++-，只需证明gx 0≥即可．【详解】（1）()()2212xax a x f x e-++'-=，()02f '=．因此曲线()y f x =在点()0,1-处的切线方程是210x y --=．（2）当1a ≥时，()()211x xf x e x x ee+-+≥+-+．令()211x g x x x e+=+-+，则()121x g x x e+=++'，()120x g x e+''=+>当1x <-时，()()10g x g '-'<=，()g x 单调递减；当1x >-时，()()10g x g '-'>=，()g x 单调递增；所以()g x ()1=0g ≥-．因此()0f x e +≥．【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问构造12g(x)1x e x x +=++-很关键，本题有难度．22．（1）22:1,(1,1]4y C x x +=∈-；:2110l x ++=；（2【分析】（1）利用代入消元法，可求得C 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l 的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值. 【详解】（1）由2211t x t -=+得：210,(1,1]1x t x x -=≥∈-+，又()2222161t y t =+ ()()222116141144111xx y x x x x x -⨯+∴==+-=--⎛⎫+ ⎪+⎝⎭整理可得C 的直角坐标方程为：221,(1,1]4y x x +=∈-又cos x ρθ=，sin y ρθ=l ∴的直角坐标方程为：2110x ++=（2）设C 上点的坐标为：()cos ,2sin θθ则C 上的点到直线l的距离d ==当sin 16πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 取最小值则min d = 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.23．（1）51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）证明见解析. 【分析】（1）分1x ≤、14x <<、4x ≥三种情况解不等式()1f x >，综合可得出该不等式的解集；（2）由（1）可得出函数()y f x =的最大值m 的值，从而得出3a b c ++=，然后再利用基本不等式可证明出不等式成立. 【详解】（1）当1x ≤时，()()()4214212f x x x x x x =---=---=+，令()1f x >，即21x +>，解得1x >-，此时11x -<≤；当14x <<时，()()()42142136f x x x x x x =---=---=-+，令()1f x >，即361x -+>，解得53x <，此时513x <<；当4x ≥时，()()()4214212f x x x x x x =---=---=--，令()1f x >，即21x -->，解得3x <-，此时x ∈∅.综上所述，不等式()1f x >的解集为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）由（1）知，当1x ≤时，()23f x x =+≤；当14x <<时，()()366,3f x x =-+∈-；当4x ≥时，()26f x x =--≤-.综上所述，函数()y f x =的最大值为3m =，3a b c ∴++=. 由基本不等式得222222222a b c a b c a b c c a b a b c c a b c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++≥++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b c ===时，等号成立，所以2223b c a a b c a b c++≥++=. 【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立，涉及含绝对值函数最值的求解，考查分类讨论思想与推理能力，属于中等题.。

2020-2021学年安徽省六安一中高二(下)开学数学试卷(理科)(附答案详解)

2020-2021学年安徽省六安一中高二（下）开学数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知命题p ：∃x 0>2，x 03−8>0，那么￢p 为( )A. ∃x 0>2，x 03−8≤0 B. ∀x >2，x 3−8≤0 C. ∃x 0≤2，x 03−8≤0D. ∀x ≤2，x 3−8≤02. 设x ，y ∈R ，向量a ⃗ =(x,1，1)，b ⃗ =(1,y ，1)，c ⃗ =(2,−4,2)，且a ⃗ ⊥c ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则|a ⃗ +b ⃗ |=( )A. 2√2B. √10C. 3D. 43. 已知集合A ={x|−12≤x <2}，集合B ={x|x 2−(a +2)x +2a <0}.若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,−12)B. (−∞,−12]C. [−12,2)D. (−12,2)4. 渐近线方程为x ±√3y =0的双曲线的离心率是( )A. √32B. 2√33C. 2D. 2或2√335. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是DD 1，BD 的中点，则直线AD 1与EF 所成角的余弦值是( )A. 12B. √63C. √32D. √626. 蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x(每分钟鸣叫的次数)与气温y(单位：℃)存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据，建立了y 关于x 的线性回归方程y ̂=0.25x +k ， x(次数/分钟) 203040 5060 y(℃)2527.52932.536则当蟋蟀每分钟鸣叫56次时，该地当时的气温预报值为( )A. 33℃B. 34℃C. 35℃D. 35.5℃7. 明代数学家程大位(1533～1606年)，有感于当时筹算方法的不便，用其毕生心血写出《算法统宗》，可谓集成计算的鼻祖．如图所示的程序框图的算法思路源于其著作中的“李白沽酒”问题．执行该程序框图，若输出的y的值为2，则输入的x的值为()A. 74B. 5627C. 2D. 164818.已知样本数据为x1，x2，x3，x4，x5，该样本平均数为5，方差为2，现加入一个数5，得到新样本的平均数为x，方差为s2，则()A. x>5，s2>2B. x=5，s2<2C. x<5，s2<2D. x=5，s2>29.关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验.受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计π的值，试验步骤如下：①先请高二年级n名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对(x,y)(0<x<1,0<y<1)；②若卡片上的x，y能与1构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为m；④根据统计数n，m估计π的值.那么可以估计π的值约为()A. mn B. n−mnC. 4(n−m)nD. 4mn10.如图，二面角α−AB−β的大小为θ，P，Q分别在平面α，β内，PM⊥AB，NQ⊥AB，|PM|=m，|QN|=n，|PQ|=l，则|MN|=()A. √l2−m2−n2+2mncosθB. √l2+m2+n2−2mncosθC. √m2+n2−l2+2mncosθD. √l2−m2−n2±2mncosθ11.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[π6,π4]，则该椭圆离心率e的取值范围为()A. [√22,√32] B. [√22,1) C. [√22,√3−1] D. [√33,√63]12.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，点M在棱AB上，且AM=1，点P是正方体下底面ABCD内(含边界)的动点，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为16，则动点P到B点的最小值是()A. 72B. 2√2C. √6D. √2二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知点P 在抛物线y 2=4x 上，且点P 到y 轴的距离与其焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为______ ．14. 过点A(2,0)且与圆x 2+4x +y 2−32=0内切的圆的圆心的轨迹方程为______． 15. 已知双曲线x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上，且∠F 1PF 2=120°，∠F 1PF 2的平分线交x 轴于点A ，则|PA|= ______ ． 16. 如图，在三棱锥D −ABC 中，已知AB =2，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，设AD =a ，BC =b ，CD =c ，则c 2ab+1的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =8+4ty =1−t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2(1+8sin 2θ)=9．(1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点M 到l 的距离的最大值．18. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，现从参与调查的人群中随机选出20人的样本，并将这20人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)求a的值．(2)根据频率分布直方图，估计参与调查人群的样本数据的中位数(保留两位小数)．(3)若从年龄在[15,35)的人中随机抽取两位，求两人中恰有一人的年龄在[25,35)内的概率．19.在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD为直角梯形，侧面PAD为等边三角形，M、N分别为AD，PD的中点，PM⊥平面ABCD，AB//CD，AD⊥AB，PD=CD=2，AB=1．(1)求证：AN//平面PBC，(2)求异面直线PB与NC所成角的余弦值；(3)求B到平面MNC的距离．20. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√63，点T(2√2,√33)在椭圆上．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)已知直线y =√2x +m 与椭圆交于A ，B 两点，点P 的坐标为(2√2,0)，且PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，求实数m 的值．21. 图1是直角梯形ABCD ，AB//DC ，∠D =90°，AB =2，DC =3，AD =√3，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ .以BE 为折痕将△BCE 折起，使点C 到达C 1的位置，且AC 1=√6，如图2． (1)证明：平面BC 1E ⊥平面ABED ； (2)求直线BC 1与平面AC 1D 所成角的正弦值．22.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆x2 4+y23=1的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于点A，B．(1)求抛物线C的标准方程；(2)设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，证明：k1⋅k2为定值；(3)求|AB|的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：已知命题p：∃x0>2，x03−8>0，那么￢p是∀x>2，x3−8≤，故选：B．将存在量词改写为全称量词，再否定结论，从而得到答案．本题考查了命题的否定，将命题的否定和否命题区分开，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：设x，y∈R，向量a⃗=(x,1，1)，b⃗ =(1,y，1)，c⃗=(2,−4,2)，且a⃗⊥c⃗，b⃗ //c⃗，∴{2x−4+2=012=y−4=12，解得x=1，y=−2，∴a⃗+b⃗ =(1,1，1)+(1，−2，1)=(2，−1，2)，∴|a⃗+b⃗ |=√4+1+4=3．故选：C．利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出x，y，再由平面向量坐标运算法则求出a⃗+b⃗ ，由此能求出|a⃗+b⃗ |.本题考查向量的模的求法，考查向量平行、向量垂直、平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：当a>2时，集合B={x|x2−(a+2)x+2a<0}={x|2<x<a}，当a=2时，B=⌀，当a<2时，集合B={x|x2−(a+2)x+2a<0}={x|a<x<2}，“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴A⫋B，∵A={x|−12≤x<2}，∴a<−1 2故选：A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题4.【答案】D【解析】解：∵双曲线的渐近线方程是2x ±3y =0，∴知焦点是在x 轴时，ba=√33，设a =3k ，b =√3k ，则c =√12k ，∴e =ca =2√33．焦点在y 轴时ba =√3，设a =k ，b =√3k ，则c =2k ，∴e =2．故选：D ．由双曲线的渐近线方程为x ±√3y =0可知焦点是在x 轴时b a=√33，焦点在y 轴时ba =√3，由此可以求出该双曲线的离心率本题考查双曲线的渐近线和离心率，解题的关键是由渐近线方程导出a ，b ，c 的关系，是基础题．5.【答案】B【解析】解：正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是DD 1，BD 的中点，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2，以D 为原点，建立空间直角坐标系D −xyz ，则E(0,0，1)，F(1,1，0)，A(2,0，0)，D 1(0,0，2)，AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，2)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1，−1)，设直线AD 1与EF 所成角为θ，则cosθ=|AD1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4√8⋅√3=√63． ∴直线AD 1与EF 所成角的余弦值是√63．故选：B ．以D 为原点，建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出直线AD 1与EF 所成角的本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查异面直线所成角的定义、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】B【解析】解：由题意，得x −=15(20+30+40+50+60)=40，y −=15(25+27.5+29+32.5+36)=30，则k =y −−0.25x −=30−0.25×40=20；当x =56时，y ̂=0.25×56+20=34，故选：B ．求出样本中心坐标，代入回归直线方程，得到k ，代入x =56，求解预报值，推出结果．本题考查回归直线方程的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行过程知， y =3x −4，i =1； y =9x −16，i =2； y =27x −52，i =3； y =81x −160，i =4； y =243x −484，此时不满足i ≤3，跳出循环，输出结果为243x −484，由题意243x −484=2，得x =2．故选：C ．模拟程序的运行过程，得出程序运行后输出结果，再列方程求出x 的值．本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．8.【答案】C【解析】解：∵样本数据为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，该样本平均数为5，方差为2，现加入一个数5，得到新样本的平均数为x ，方差为s 2， ∴x =16(5×5+5)=5，方差为s 2=16[5×2+0]=53<2．故选：C ．由题意得x =16(5×5+5)=5，方差为s 2=16[5×2+0]=53<2．本题考查新数据的平均数、方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．9.【答案】C【解析】解：根据题意，有n 对都小于l 的正实数对(x,y)，满足{0≤x <10≤y <1，其面积为1；有m 对实数对x ，y ，满足x 、y 能与1构成锐角三角形，则有{0<x <10<y <1x 2+y 2>1，其面积为1−π4，则有mn =1−π4，变形可得π=4(n−m)n；故选：C ．根据题意，分析可得有n 对都小于l 的正实数对(x,y)，满足{0≤x <10≤y <1，分析其面积，有m 对实数对x ，y ，满足x 、y 能与1构成锐角三角形，则有{0<x <10<y <1x 2+y 2>1，分可得其面积，由几何概型公式可得mn =1−π4，变形可得答案．本题考查模拟方法估算概率，涉及几何概型的计算，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：在平面β内取点E ，使四边形MNQE 为矩形，连接PE ，因为AB ⊥PM ，AB ⊥ME ，所以∠PME =θ，由余弦定理得PE 2=m 2+n 2−2mncosθ，因为AB ⊥平面PME ，QE//AB ，所以QE ⊥平面PME ，又因为PE ⊂平面PME ，所以QE ⊥PE ，于是QE 2=PQ 2−PE 2，又因为MN =QE ，所以MN =√l 2−m 2−n 2+2mncosθ．故选：A ．寻找二面角的平面角，用余弦定理求出PE ，在直角三角形中求解即可．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了线段长度计算问题，考查了二面角的计算问题，属于中档题．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查椭圆的定义，三角函数关系式的恒等变换，利用定义域求三角函数的值域，离心率公式的应用，属于中档题．由椭圆的定义及对称性求得|AF|+|BF|=2a，利用直角三角形的性质求得|AF|及|BF|，利用椭圆的离心率公式及正弦函数的图象及性质，即可求得e的取值范围．【解答】解：由已知，点B和点A关于原点对称，则点B也在椭圆上，设椭圆的左焦点为F1，由|OA|=|OB|,|OF1|=|OF|可得四边形AF1BF为平行四边形，又AF⊥BF，所以平行四边形AF1BF为矩形，所以|AF1|=|BF|，|AB|=|F1F|=2c，又根据椭圆定义：|AF|+|AF1|=2a，因此|AF|+|BF|=2a①；在Rt△ABF中，|AF|=2csinα②，|BF|=2ccosα③；将②、③代入①得，2csinα+2ccosα=2a，则离心率e=ca=1sinα+cosα=√2sin(α+π4)，由α∈[π6,π4]，α+π4∈[5π12,π2]，又sin5π12=sin(π4+π6)=√6+√24由函数的单调性可知：sin(α+π4)∈[√6+√24,1]，则e∈[√22,√3−1]，故选C．12.【答案】C【解析】解：如图所示，作PQ⊥AD，垂足为Q，则PQ⊥平面ADD1A1，过点Q作QR⊥A1D1，则A1D1⊥平面PQR，所以PR即为点P到直线A1D1的距离，因为PR2−PQ2=RQ2=16，且PR2−PM2=16，所以PM=PQ，所以点P的轨迹是以AD为准线，点M为焦点的抛物线，如图建立直角坐标系，则点P的轨迹方程为y2=2x(0≤x≤2√2)，点B(72,0)，设点P(y22,y)，则PB=√(y22−72)2+y2=√y44−5y22+494．故选：C．利用线面垂直的判定定理和性质定理以及勾股定理得到点P满足的关系，再利用抛物线的定义得到点P的轨迹，从而求出抛物线的方程，可以得到点P到点B之间的距离，结合二次函数求最值即可得到答案．本题考查了立体几何与平面几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和抛物线定义的应用，解题的关键是求出动点P的轨迹方程．13.【答案】2【解析】解：设点P的坐标为(x P,y P)，抛物线y2=4x的准线方程为x=−1，根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故x Px P−(−1)=12，解得x P=1，∴y P2=4，∴|y P|=2．故答案为：2设P的坐标为(x P,y P)，求出抛物线的准线方程，结合抛物线的定义建立方程关系进行求解即可．本题主要考查抛物线性质和定义的应用，利用抛物线的定义建立方程关系是解决本题的关键．14.【答案】x29+y25=1【解析】解：设动圆圆心的坐标为P(x,y)，由x2+4x+y2−32=0，得：(x+2)2+y2= 36，∴圆x2+4x+y2−32=0的圆心坐标为B(−2,0)，半径为6．∵动圆过点A(2,0)且与圆x2+4x+y2−32=0内切，∴|PA|+|PB|=6>|AB|．∴P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且a=3，c=2，b=√5，两边再平方并整理得：5x2+9y2=45．∴椭圆方程为x29+y25=1．故答案为x29+y25=1．】化圆的一般式为标准式，求出圆心和半径，设出动圆圆心坐标，由题意P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且a=3，c=2，b=√5，即可得答案．本题考查了轨迹方程，解答的关键是得出P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，且a=3，c=2，b=√5，考查了学生的运算能力，是中档题．15.【答案】2√55【解析】解：由题意可得a2=1，b2=3，在三角形PF1F2中，设P在右支上，由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|⋅cos120°=(|PF1|−|PF2|)2+2|PF1|⋅|PF2|+|PF1||PF2|，即4c2=4a2+3|PF1||PF2|，所以可得|PF 1||PF 2|=4(c 2−a 2)3=4b 23=4×33=4，|PF 1|−|PF 2|=2a =2，可得|PF 1|=√5+1，|PF 2|=√5−1，所以S △PF 1F 2=12|PF 1|⋅|PF 2|⋅sin120°=12×4×√32=√3，因为PA 为角平分线，所以∠F 1PA =∠F 2PA =60°，而S △PF 1F 2=S △PF 1A +S △PF 2A =12(|PF 1|⋅|PA|sin60°+|PF 2|⋅|PA|⋅sin60°)=12|PA|⋅(|PF 1|+|PF 2|)⋅√32=√34|PA|(√5+1+√5−1)=√152|PA|，所以√3=√152|PA|，所以|PA|=2√55，故答案为：2√55．由余弦定理可得|PF 1||PF 2|的乘积，由面积公式进而求出△PF 1F 2的面积，再由双曲线的定义|PF 1|−|PF 2|=2a 可得|PF 1|，|PF 2|的值，因为PA 为角平分线，再由题意三角形的面积关系，可得|PA|的值．本题考查双曲线的性质及余弦定理的应用，属于中档题．16.【答案】2【解析】解：∵在三棱锥D −ABC 中，AB =2，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−3，设AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −c ⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ +c ⃗ ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ +c ⃗ )=a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ −b ⃗ ⋅c ⃗ −c ⃗ 2=−3， ∴c ⃗ 2=a ⃗ ⋅b ⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ −b ⃗ ⋅c ⃗ +3，又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −b ⃗ −c ⃗ ， ∴|(a ⃗ −b ⃗ )−c ⃗ |=2，① ∴c 2ab+1=a ⃗ ⋅b ⃗ +(a ⃗ −b ⃗ )⋅c ⃗ +3ab+1，②将①两边平方得(a ⃗ −b ⃗ )2+c ⃗ 2−2(a ⃗ −b ⃗ )⋅c ⃗ =4， ∴(a ⃗ −b ⃗ )2+c ⃗ 2−4=2(a ⃗ −b ⃗ )⋅c ⃗ ，∴(a ⃗ −b ⃗ )22+c⃗ 22−2=(a ⃗ −b ⃗ )⋅c ⃗ ，代入②中，得c 2ab+1=a⃗ ⋅b ⃗ +(a ⃗⃗ −b ⃗ )22+c⃗ 22+1ab+1，∴12c ⃗ 2=a ⃗ ⋅b⃗ +1+(a ⃗ −b ⃗ )22=a ⃗ ⋅b ⃗ +1+12(a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b⃗ ) =1+12(a ⃗ 2+b ⃗ 2)，∴c ⃗ 2=2+a ⃗ 2+b ⃗ 2，又c ⃗⃗⃗ 2=c 2，a ⃗ 2=a 2，b ⃗ 2=b 2，∴c 2ab+1=2+a 2+b 2ab+1≥2+2ab ab+1=2．∴c 2ab+1的最小值为2．故答案为：2．由已知得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −c ⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ +c ⃗ ，从而由AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ⃗ −c ⃗ )⋅(b ⃗ +c ⃗ )=−3，得|(a ⃗ −b ⃗ )−c ⃗ |=2，从而c 2ab+1=a ⃗ ⋅b ⃗ +(a ⃗ −b ⃗ )c ⃗ +3a⃗ ⋅b ⃗ +1，由此入手能求出c 2ab+1的最小值．本题考查三角形中关于边长的代数式的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．17.【答案】解：(1)：直线l 的参数方程为{x =8+4t,y =1−t,消t ，得到：x +4y −12=0．由ρ2(1+8sin 2θ)=9，得ρ2+8ρ2sin 2θ=9，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为x 2+y 2+8y 2=9，即x 2+9y 2=9， ∴x 29+y 2=1．∴直线l ：x +4y −12=0，曲线C ：x 29+y 2=1(2)曲线C 的参数方程为{x =3cosθ,y =sinθ,(θ为参数)，设M(3cosθ,sinθ)．则d =√17=√17其中φ满足sinφ=35，cosφ=45．∵5sin(θ+φ)∈[−5,5]， ∴d max =√17=√17．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题型．18.【答案】解：(1)因为(0.01+0.015+a+0.030+0.010)×10=1，解得a=0.035；(2)因为[15,35)的频率为(0.01+0.015)×10=0.25，[35,45)的频率为0.035×10=0.35，所以估计参与调查人群的样本数据的中位数为35+0.5−0.250.35×10≈42.14；(3)20人中，年龄在[15,25)中的有0.01×10×20=2人，记为A，B，年龄在[25,35)中的有0.015×10×20=3人记为a，b，c，从年龄在[15,35)的5人中随机抽取两位，其本事件有：(A,B)，(A,a)，(A,b)，(A,c)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，(a,b)，(a,c)，(b,c)，共10种，两人恰有一人的年龄在[25,35)内的基本事件有：(A,a)，(A,b)，(A,c)，(B,a)，(B,b)，(B,c)，共6种．所以两人恰有一人的年龄在[25,35)内的概率为P=mn =610=35．【解析】(1)利用频率之和为1，列式求解即可；(2)利用频率分布直方图中中位数的求解方法计算即可；(3)求出所求的基本事件总数和符合条件的基本事件数，利用概率公式求解即可．本题考查了频率分布直方图的理解和应用，解题的关键是正确读取频率分布直方图中的数据信息，考查了频数、频率、样本容量之间关系的运用以及频率分布直方图中中位数的求解方法，属于基础题．19.【答案】证明：(1)由题意，以M为坐标原点，分别以MA，MP所在直线为x，z轴，以过M且平行于AB的直线为y轴建立空间直角坐标系．则M(0,0，0)，A(1,0，0)，B(1,1，0)，D(−1,0，0)，C(−1,2，0)，P(0,0，√3)，N(−12,0，√32).PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−√3)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,0,√32)，设平面PBC 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，由{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y −√3z =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +y =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,2,√3)． ∵AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−32+32=0，且AN ⊄平面PBC ， ∴AN//平面PBC ，解：(2)∵PB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,−√3)，NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,2,−√32)， ∴|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5，|NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3，则异面直线PB 与NC 所成角的余弦值为|cos <PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=35；解：(3)NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,2,−√32)，MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，0)，设平面MNC 的一个法向量为n⃗ =(x 1,y 1,z 1)，由{n ⃗ ⋅MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 1+2y 1=0n ⃗ ⋅NC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x 1+2y 1−√32z 1=0，取y 1=1，得n ⃗ =(2,1,2√33)．又MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)， ∴B 到平面MNC 的距离为|n ⃗⃗ ⋅MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√3=3√5719．【解析】(1)以M 为坐标原点，分别以MA ，MP 所在直线为x ，z 轴，以过M 且平行于AB 的直线为y 轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC 的一个法向量，再求出AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用向量数量积为0证明线面平行；(2)直接利用空间向量求解两条异面直线所成角；(3)求出平面MNC 的一个法向量及MB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，利用空间向量求距离．本题考查利用空间向量证明线面平行，训练了利用空间向量求解空间角与距离，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)∵椭圆的离心率e =c a =√63，∴不妨设a =3t,c =√6t(t >0)，∴b 2=a 2−c 2=3t 2，∵点T(2√2,√33)在椭圆上，∴89t 2+133t 2=1，解得t 2=1，∴椭圆的方程为x 29+y 23=1．(Ⅱ)设A ，B 的坐标为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，联立{y =√2x +m x 29+y 23=1，得7x 2+6√2mx +3m 2−9=0，∴{x 1+x 2=−6√2m 7x 1x 2=3m 2−97，△=(6√2m)2−4×7×(3m 2−9)>0即0<m 2<21，∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2√2,y 1)⋅(x 2−2√2,y 2)=3x 1x 2+(√2m −2√2)(x 1+x 2)+8+m 2 =3×3m 2−97+(√2m −2√2)×(−6√2m 7)+8+m 2=−1，化简整理得，m 2+6m +9=0，解得m =−3，符合0<m 2<21．故m =−3．【解析】(Ⅰ)结合椭圆的基本几何性质求解即可；(Ⅱ)设A ，B 的坐标为(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，通过曲直联立和韦达定理，可得{x 1+x 2=−6√2m 7x 1x 2=3m 2−97，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−2√2,y 1)⋅(x 2−2√2,y 2)=4m2+24m+287=−1，从而解得m 的值．本题考查直线与椭圆的位置关系，平面向量的坐标运算，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．21.【答案】(1)证明：如图所示，连接AC 与BE 相交于点O ，过点B 作BF ⊥EC 交EC 于点F ．DC =3，CE =2ED ，则DE =1，EC =2．四边形ABFD 为矩形，可得BF =AD =√3，FC =1． ∴BC =√BF 2+FC 2=2．∴∠BCF =60°.∴△BCE 是等边三角形．∴OC =√3，EC//AB ，EC =AB =2，OC ⊥EB ．可得：OA =OC =√3，OA ⊥EB ．∴OA 2+OC 12=6=AC 12，∴OA ⊥OC 1．又OB ∩OC 1=O ，∴OA ⊥平面BC 1E . 又OA ⊂平面ABED ，∴平面BC 1E ⊥平面ABED ．(2)解：建立如图所示的空间直角坐标系．O(0,0，0)，A(√3,0，0)，B(0,1，0)，D(√32,−32,0)，C 1(0,0，√3)，AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0，√3)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√32,−32,0)，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,√3)，设平面AC 1D 的法向量为：n ⃗ =(x,y ，z)，则n ⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴−√3x +√3z =0，−√32x −32y =0，取n ⃗ =(√3,−1,√3).∴直线BC 1与平面AC 1D 所成角的正弦值=|cos <n ⃗ ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=2×√7=2√77．【解析】(1)如图所示，连接AC 与BE 相交于点O ，过点B 作BF ⊥EC 交EC 于点F.根据已知可得：四边形ABFD 为矩形，可得BF =AD =√3，FC =1.△BCE 是等边三角形．OC ⊥EB ，OA ⊥EB.OA 2+OC 12=6=AC 12，可得OA ⊥OC 1.进而证明结论：平面BC 1E ⊥平面ABED ．(2)建立如图所示的空间直角坐标系．设平面AC 1D 的法向量为：n ⃗ =(x,y ，z)，则n ⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得n ⃗ .利用向量夹角公式可得：直线BC 1与平面AC 1D 所成角的正弦值=|cos <n ⃗ ，BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|．本题考查了空间位置关系、法向量的应用、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)由椭圆方程得，椭圆的右焦点为(1,0) ∴抛物线的焦点为F(1,0)，∴p =2，所以抛物线的标准方程：y 2=4x ． (2)抛物线C 的准线方程为x =−1．设M(−1,t)，设过点M(−1,t) 的直线方程为y =k(x +1)+t ，与抛物线方程y 2=4x 联立，消去x 得：ky 2−4y +4k +4t =0．其判别式△=16−16k(k +t)，令△=0，得：k 2+kt −1=0．由韦达定理知k 1+k 2=−t ，k 1k 2=−1，故k 1k 2=−1(定值)．(3)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由k 2+kt −1=0，得t =1−k 2k，故ky 2−4y +4k +4t =ky 2−4y +4k +4⋅1−k 2k=ky 2−4y +4k =k(y −2k )2，所以y =2k ，代入抛物线方程得x =1k 2，所以A(1k 12,2k 1)，B(1k 22,2k 2)，|AB|=√(112−122)2+(22−21)2 =√(k 22−k 12k 22k 12)2+4⋅(k 1−k 2k 1k 2)2因为k 1k 2=−1，k 1+k 2=−t ，所以|AB|=√(k 12−k 22)2+4(k 1−k 2)2=√4+t 2|k 1−k 2|=√4+t 2√(k 1+k 2)2−4k 1k 2 =√4+t 2⋅√t 2+4=4+t 2≥4，当且仅当t =0时取等号．当且仅时取等号．故|AB|的最小值为4．【解析】(1)由椭圆的方程可得右焦点的坐标，由题意可得抛物线的焦点坐标，进而可得抛物线的方程；(2)由(1)可得抛物线的准线，可设M 的坐标，求出在M 点的切线方程与抛物线的方程联立求出两根之和及两根之积，进而求出k 1⋅k 2的代数式，可证得其为定值； (3)设A ，B 的坐标，由(2)可得参数t ，k 的关系，代入过M 的切线方程与抛物线的方程中，可得A ，B 用参数k 1，k 2表示的坐标，代入弦长公式中求|AB|的表达式，由参数的范围求出|AB|的最小值．本题考查求抛物线的方程及直线与抛物线的综合，属于中档题．。

安徽省六安市第一中学2020-2021学年高二数学9月月考试题文(含解析)

安徽省六安市第一中学20212021学年高二数学9月月考试题文（含解析）数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知数列是公差为1的等差数列，为的前项和，若，是（）A. B. C. 10 D. 12【答案】B【解析】试题分析：由得，解得.考点：等差数列.2. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】B【解析】试题分析：该数列为等差数列，且，即，解得.考点：等差数列，数学文化.3. 在等差数列中，若，则的值为（）A. 20B. 22C. 24D. 28【答案】C.....................4. 在中，内角所对的边分别为，若的面积为，且，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：因为，因此，代入上式可得，即，因为，因此，因此，因此，故选C.考点：三角的面积公式；余弦定理；同角三角函数的差不多关系式.5. 已知在中.若的解有且仅有一个，则满足的条件是（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】已知在中，，要使的解有且仅有一个，即三角形形状唯独，有两种情形：①为直角三角形；②为钝角三角形，若为直角三角形，，可得，现在；若为钝角三角形，可得，综上，或，故选D.6. 在中，内角所对的边分别为，且满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意设，，则，，，∴由余弦定理可得，∴由正弦定理可得，故选：A．考点：（1）正弦定理；（2）余弦定理．7. 已知等差数列的前项和为，若三点共线，为坐标原点，且（直线只是点），则等于（）A. 20B. 10C. 40D. 15【答案】B【解析】∵M、N、P三点共线，O为坐标原点，且（直线MP只是点O），∴a6+a15=1，∴a1+a20=1，∴.本题选择B选项.8. 已知等差数列的前项和为，若的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：本题是关于等差数列前项和公式应用的题，关键是把握等差数列的性质。

安徽省六安市第一中学2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题文

安徽省六安市第一中学20212021学年高二数学下学期期末考试试题文数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.复数3ii-（i 为虚数单位）等于（） A ．13i -- B ．13i -+ C ．13i + D ．13i - 2.已知{1,2,4,8,16}A =，2{|log ,}B y y x x A =∈，则AB =（）A ．{1,2}B ．{2,4,8}C ．{1,2,4}D ．{1,2,4,8}3.已知θ的始边与x 轴非负半轴重合，终边上存在点(1,)P a -且sin 2θ=，则a =（）A ．1BC ．-1D ． 4.已知1sin()3πα+=-，则3cos()2πα-的值为（）A ．13 B C ． D ．13-5.下列说法正确的个数是（）①“若4a b +≥，则a ，b 中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题； ②命题“设,a b R ∈，若6a b +≠，则3a ≠或3b ≠”是一个真命题；③“0x R ∃∈，2000x x -<”的否定是“x R ∀∈，20x x ->”；④“1a b +>”是“a b >”的一个必要不充分条件.A ．0B ．1C ．2D ．36.函数2()x x e e f x x --=的图象大致是（）A ．B ．C ．D ． 7.已知 1.12a =，0.45b =，5ln2c =，则（） A ．b c a >> B ．a c b >> C ．b a c >> D ．a b c >> 8.若函数2()()f x x x m =-在3x =处有极小值，则实数m =（）A ．9B ．3C ．3或9D ．以上都不对9.已知函数,0()2,0x e a x f x x a x ⎧-≤=⎨->⎩()a R ∈，若函数()f x 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范畴是（）A ．(0,1]B ．[1,)+∞C ．(0,1)D ．(,1]-∞ 10.某参观团依照下列约束条件从A ，B ，C ，D ，E 五个镇选择参观地点： ①若去A 镇，也必须去B 镇； ②D ，E 两镇至少去一镇； ③B ，C 两镇只去一镇； ④C ，D 两镇都去或都不去； ⑤若去E 镇，则A ，D 两镇也必须去. 则该参观团至多去了（）A ．B ，D 两镇 B ．A ，B 两镇C ．C ，D 两镇 D ．A ，C 两镇 11.已知()f x 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且()(2)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(2018)f f f f +++⋅⋅⋅+=（）A ．-2020B ．0C ．2D ．202012.设函数32()35f x x x ax a =--+-，若存在唯独的正整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范畴是（）A ．1(0,)3B ．15(,]34C ．13(,]32D ．53(,]42二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某种活性细胞的存活率(%)y 与存放温度()x C ︒之间具有线性相关关系，样本数据如下表所示：经运算得回来直线的斜率为-3.2.若存放温度为6C ︒，则这种细胞存活率的预报值为%．14.函数sin xy x e =+在点(0,1)处的切线方程是． 15.已知函数21()ln 22f x x ax x =--，若函数()f x 在1[,2]2上单调递增，则实数a 的取值范畴是．16.已知函数2()log )2f x x =+，()3f a =，则()f a -= ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.设t R ∈，已知命题p ：函数2()21f x x tx =-+有零点；命题q ：[1,)x ∀∈+∞，2141x t x-≤-. （1）当1t =时，判定命题q 的真假；（2）若p q ∨为假命题，求t 的取值范畴. 18.已知函数()21f x x x a =---，a R ∈. （1）当1a =时，解不等式()1f x <；（2）当(1,0)x ∈-时，()1f x >有解，求a 的取值范畴.19.在直角坐标系xOy 中，过点(1,2)P 的直线l 的参数方程为11222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. （1）求直线l 的一般方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点，求11PM PN+的值.20.已知函数1()2931x x f x a +=⋅-+，其中a R ∈.（1）当1a =时，求()f x 的零点；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范畴. 21.已知函数()()xxf x e x ae =-. （1）当0a =，求()f x 的最值；（2）若()f x 有两个不同的极值点，求a 的取值范畴. 22.已知函数()ln af x x x=+，a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a >时，证明：21()a f x a-≥.六安一中2021～2020年度高二年级第二学期期末考试数学试卷（文科）参考答案一、选择题1-5: ACADC 6-10: BDBAC 11、12：CB 二、填空题13. 34 14. 210x y -+= 15. (,1]-∞- 16. 1 三、解答题17.解：（1）当1t =时，max 1()0x x -=，13x x-≤在[1,)+∞上恒成立，则命题q 为真命题.（2）若p q ∨为假命题，则p ，q 差不多上假命题. 当p 为假命题时，2(2)40t ∆=--<，解得11t -<<；当q 为真命题时，2max 1()41x t x-≤-，即2410t -≥，解得12t ≤-或12t ≥，则当q 为假命题时，1122t -<<，因此11(,)22t ∈-.18.解：（1）当1a =时，()211f x x x =---1,2132,12,1x x x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪>⎪⎪⎩，当12x ≤时，1x x -⇔>-，∴112x -<≤；当112x <≤时，321x x -⇔<，∴112x <<；当1x >时，1x <，无解；综上，不等式()1f x <的解集为{|11}x x -<<.（2）当(1,0)x ∈-时，()1f x >有解2x a x ⇔-<-有解22x x a x ⇔<-<-有解3x a x ⇔<<-有解，∵33x >-，1x -<，∴31a -<<.19.（1）直线l20y -+=；曲线C 的直角坐标方程为224x y y +=即22(2)4x y +-=.（2）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得230t t +-=. 设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则121213t t t t +=-⎧⎨=-⎩，∴11PM PN PM PN PM PN ++=⋅12121212t t t t t t t t +-==⋅⋅==.20.解：（1）当1a =时，1()2931xx f x +=⋅-+.1()029310x x f x +=⇒⋅-+=，令3x t =，则22310t t ⋅-+=，∴12t =或1t =，∴132x=或31x =，∴31log 2x =或0x =， ∴()f x 的零点为31log 2和0.（2）()f x 有两个零点()0f x ⇔=有两个不同的实数根，即129310xx a +⋅-+=有两个不同的实数根.令3xt =，则0t >. 则129310xx a +⋅-+=有两个不同的实数根22310at t ⇔-+=在(0,)+∞上有两个不同的实数根.因此980304a a∆=->⎧⎪⎨>⎪⎩908a ⇒<<. 21.解：（1）当0a =时，()xf x xe =，'()(1)01xf x x e x =+>⇒>-，'()01f x x <⇒<-，则()xf x xe =在(,1)-∞-单调递减，在(1,)-+∞单调递增，则min 1()(1)f x f e=-=-，无最大值. （2）'()(12)xxf x e x ae =+-.解法一：()f x 有两个极值点'()0f x ⇔=有两个不等实根12x x a e+⇔=有两个不等的实根. 记1()x x g x e +=，则'()xxg x e -=. 因此'()00g x x >⇒<，'()00g x x <⇒>.则()g x 在(,0)-∞上单调递增，(0,)+∞上单调递减，max ()(0)1g x g ==，(1)0g -=，且当0x >时，()0g x >，()g x 如图所示：∴021a <<即102a <<. 解法二：依题意得'()(12)0xxf x e x ae =+-=有两个不等实根.记()12xh x x ae =+-，则()0h x =有两个不等实根1x ，2x ，'()12xh x ae =-. ①当0a ≤时，'()1h x ≥，()h x 在R 上递增，()0h x =至多一个实根，不符合要求； ②当0a >时，()h x 在1(,ln)2a -∞递增，1(ln ,)2a +∞递减，max 11()(ln )ln22h x h a a==，又当x →-∞时，()h x →-∞，当x →+∞时，()h x →-∞，故要使()0h x =有两个实根.则11(ln)ln 022h a a =>，得102a <<. 22.解：（1）2'()(0)x af x x x -=>. 当0a ≤时，'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上单调递增.当0a >时，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增. （2）由（1）知，当0a >时，min ()()ln 1f x f a a ==+.要证21()a f x a -≥，只需证21ln 1a a a -+≥，即证1ln 10a a +-≥. 令1()ln 1(0)g a a a a =+->，则211'()g a a a=-，则当01a <<时，'()0g a <；当1a >时，'()0g a >，因此1()ln 1g a a a=+-在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，因此min ()(1)0g a g ==，则1ln 10a a +-≥恒成立，因此21()a f x a-≥.。

安徽省六安一中2020-2021学年高二数学10月阶段检测试题文(含解析)

安徽省六安一中20212021学年高二数学10月阶段检测试题文（含解析）文科数学试卷时刻：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在等差数列中，，则（）A. 12B. 14C. 16D. 18【答案】D【解析】 ,故选择D.2. 在中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，若，，，则角B的大小为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由可得即，因此，因为，因此，在中，由正弦定理可得，又因为，从而，故为锐角，因此，选A.考点：1.同角三角函数的差不多关系式；2.正弦定理.3. 设等差数列的前n项和为，若，则（）A. 20B. 16C. 12D. 8【答案】A【解析】是等差数列，由等差数列和的性质可知成首项为，公差为的等差数列，，故选A【点睛】本题采纳一样的解法直截了当先求出的值，再用等差数列的通项求出也是能够的，但运算较复杂；注意观看题目已知条件可发觉，再由等差数列的性质构造等差数列，最后由等差数列的通项公式求出.4. 在递增等比数列中，，则（）A. B. 2 C. 4 D. 8【答案】B【解析】由递增等比数列的性质有，又，故选B.5. 已知数列的通项公式为，其前n项和为，则n的值为（）A. 99B. 100C. 120D. 121【答案】C考点：裂项相消法求数列的前n项和.6. 已知数列中，，能使的n能够为（）A. 17B. 16C. 15D. 14【答案】B【解析】由，故选B.7. 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，则（）A. B. C. 2 D. 3【答案】D【解析】（舍）或，故选D.8. 已知两等差数列前项和分别为，若，则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故选A.【点睛】本题关键是要熟练把握等差数列的求和公式，利用整体代换思想构造.9. 已知数列是正项等比数列，若，，数列的前项和为，则>0时的最大值为（）A. 5B. 6C. 10D. 11【答案】C【解析】，故选C.10. 在中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，三内角A、B、C成等差数列，若，则的周长取值范畴为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】三内角A、B、C成等差数列,则有；由正弦定理得即，得，故,,故选D.A11. 等差数列中，，，设，表示不超过x的最大整数，，则数列前8项和=（）A. 24B. 20C. 16D. 12【答案】C【解析】由已知可得,故选C.【点睛】解决本题的关键之处有：利用方程思想建立方程组，求得；紧扣定义，逐一运算出的前八项，从而求得正解.12. 在中，，是中点，若,则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如上图所示，令，在中，由正弦定理得即解得，因此，在直角中，因此，化简可得，解得，故，故选B二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13. 在中，角A、B、C所对边分别是a、b、c，若，则角__________；【答案】【解析】由全余弦定理有.14. 等比数列中，前项和（为常数），则=__________；【答案】2【解析】当时，;当时， ,令则 .15. 下表中的数阵，其特点是每行每列都成等差数列，记第i行第j列的数为，则____________；（用含的式子表达）【答案】【解析】由表可得 .16. 已知数列的通项公式，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数k的取值范畴为_____________．【答案】[.............【点睛】解决本题的关键之处有：利用公式正确求得；利用转化化归思想将问题等价变形为恒成立；发觉数列的单调性，求得最大项.三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解承诺写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17. （1）设等差数列满足，前3项和，求数列的通项公式；（2）数列是等比数列，，，求其通项公式．【答案】（1）; （2）;【解析】试题分析：（1）依照等差数列的前项和公式结合已知条件求可得，再依照等差数列的通项公式可得；（2）依照等比数列的通项公式结合已知条件可得，求得或；再依照等比数列的通项公式得.试题解析：（1）（2）或18. 设的内角所对应的边分别为，且，，. （1）求的值；（2）求的面积.【答案】（1）; （2）;【解析】试题分析：（1）对进行边角转换结合两角和差正弦公式得，再由正弦定理得；（2）由三角形三个内角关系结合两角和差正弦公式得，再由三角形面积公式得.试题解析：（1）依照边角转换得（2）19. 已知等差数列的首项，公差，等比数列满足，，（1）求数列，通项公式；（2）设数列对任意，均有，求数列的前项和．【答案】（1）; （2）;【解析】试题分析：（1）由等差数列性质可得；由，可得，因此；（2）由已知，，结合等差数列的表达式有，则进而可求得.试题解析：（1）（2）①②①-②得=（未讨论首项扣两分，结果是）20. 设数列的前项积是，且，.（1）求证：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和【答案】（1）证明见解析；（2）;【解析】试题分析：（1）由，依照等差数列的定义命题得证；（2）由等差数列的通项公式得，进而可得，则，代入可得，因此=.试题解析：由是公差的等差数列（2），符合上式（未讨论首项扣1分）=【点睛】解决本题的关键之处有：紧扣等差数列，将递推公式变形为；发觉的规律，将之裂项得：.21. 已知数列是递增的等差数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由等差数列通项公式得，即可求得，；（2）由（1）得，则可得.试题解析：（1）设（2）的前项和为①②①-②得故【点睛】解决本题的关键之处有：利用方程思想建立方程组求得首项与公差利用错位相减法求和.22. 已知某渔船在渔港O的南偏东60°方向，距离渔港约160海里的B处显现险情，现在在渔港的正上方恰好有一架海事巡逻飞机A接到渔船的求救信号，海事巡逻飞机迅速将情形通知了在C处的渔政船并要求其迅速赶往出事地点施救．若海事巡逻飞机测得渔船B的俯角为68.20°，测得渔政船C的俯角为63.43°，且渔政船位于渔船的北偏东60°方向上．（Ⅰ）运算渔政船C与渔港O的距离；（Ⅱ）若渔政船以每小时25海里的速度直线行驶，能否在3小时内赶到出事地点？（参考数据：sin68.20°≈0.93，tan68.20°≈2.50，shin63.43°≈0.90，tan63.43°≈2.00，≈3.62，≈3.61）【答案】（1）; （2）可在3小时内赶到出事地点【解析】试题分析：(1)由，结合正切的定义可求得得，海里再由余弦定理得(2由)可在3小时内赶到出事地点试题解析：（1）依题意：BO=160海里，,海里在中，，由全余弦定理得(2)可在3小时内赶到出事地点- 11 - / 11。

安徽省六安市第一中学2020_2021学年高二数学下学期期末考试试题理

安徽省六安市第一中学2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题理一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.z 满足()134i z i -=+，则z =（）A.52B.2 C.5{}419A x x =-≥，03x B x x ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，则A B ⋂等于（）A.(3,2]--B.5(3,2]0,2⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦C.5(,2],2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭D.5(,3),2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭(52x +的展开式中，3x 的系数为（）2y x =及曲线24y x x =-围成的封闭图形的面积为（）A.1B.43C.83:p 若0x >，则sin x x <，命题 :q 函数2()2x f x x =-有两个零点，则下列说法正确的是（）①p q ∧为真命题；②p q ⌝∨⌝为真命题；③p q ∨为真命题；④p q ⌝∨为真命题 A.①②B.①④C.②③D.①③④3()1f x ax x =++有极值的一个充分不必要条件是（）A.1a <-B.1a <C.0a <D.0a >7.为了解某社区居民的家庭年收入年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：但是统计员不小心丢失了一个数据（用m 代替），在数据丢失之前得到回归直线方程为0.760.4y x =+，则m的值等于（）8.2020年全国高中生健美操大赛，某市高中生代表队运动员由2名男生和3名女生共5名同学组成，这5名同学站成一排合影留念，则3名女生中有且只有两位女生相邻的排列种数共有（）9.《易经》是中国传统文化中的精髓.下图是易经先天八卦图（记忆口诀：乾三连、坤六断、巽下断、震仰盂、坎中满、离中虚、艮覆碗、兑上缺），每一卦由三根线组成（“”表示一根阳线，“”表示一根阴线），现从八卦中任取两卦，已知每卦都含有阳线和阴线，则这两卦的六根线中恰有四根阳线和两根阴线的概率为（）A.1 3B.514C.314D.1510.观察下列算式：311=3235=+337911=++3413151719=+++若某数3n按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n=（）11.如图是一个质地均匀的转盘，一向上的指针固定在圆盘中心，盘面分为A，B，C三个区域，每次转动转盘时，指针最终都会随机停留在A，B，C中的某一个区域，且指针停留在区域A，B的概率分别是p和1206p p ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.每次转动转盘时，指针停留在区域A ，B ，C ()f p ，则()f p 的最大值点0p 的值为（）A.17B.18C.19D.110(2,2)-上的函数()f x 的导函数为()f x '，已知2(1)f e =，且()2()f x f x '>，则不等式24(2)x e f x e -<的解集为（）A.(1,4)B.(2,1)-C.(1,)+∞D.(0,1)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.“0x ∃<，220x x -->”的否定是“______”.1ln y x x=-在1x =处的切线在y 轴上的截距为______.15.我国在2020年11月1日零时开始展开第七次全国人口普查，甲、乙等5名志愿者参加4个不同社区的人口普查工作，要求每个社区至少安排1名志愿者，每名志愿者只去一个社区，则不同的安排方法共有______种.16.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲、乙在每局中获胜的概率均为12，且各局胜负相互独立，比赛停止时一共打了ξ局，则ξ的方差()D ξ=______.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知函数()|3|f x x =-，()|4|g x x m =-++. （1）当9m =时，解关于x 的不等式()()f x g x >；（2）若()()f x g x >对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分12分）盲盒里面通常装的是动漫、影视作品的周边，或者设计师单独设计出来的玩偶.由于盒子上没有标注，购买者只有打开才会知道自己买到了什么，因此这种惊喜吸引了众多年轻人，形成了“盲盒经济”.某款盲盒内可能装有某一套玩偶的A ，B ，C 三种样式，且每个盲盒只装一个.（1）某销售网点为调查该款盲盒的受欢迎程度，随机发放了200份问卷，并全部收回.经统计，有30%的人购买了该款盲盒，在这些购买者当中，女生占23；而在未购买者当中，男生女生各占50%.请根据以上信息填写下表，并判断是否有95%的把握认为购买该款盲盒与性别有关?附：)22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：（2）该销售网点已经售卖该款盲盒6周，并记录了销售情况，如下表：由于电脑故障，第二周数据现已丢失，该销售网点负责人决定用第4、5、6周的数据求线性回归方程，再用第1，3周数据进行检验.①请用4，5，6周的数据求出）关于x 的线性回归方程y bx a =+；（注：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx yb x x xnx====---==--∑∑∑∑，a y bx =-）②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2盒，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠? 19.（本小题满分12分）在某学校某次射箭比赛中，随机抽取了100名学员的成绩（单位：环），并把所得数据制成了如下所示的频数分布表；（1）求抽取的样本平均数x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）已知这次比赛共有2000名学员参加，如果近似地认为这次成绩Z 服从正态分布()2,N μσ（其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差21.61s =），且规定8.27环是合格线，那么在这2000名学员中，合格的有多少人?（3）已知样本中成绩在[9,10]的6名学员中，有4名男生和2名女生，现从中任选3人代表学校参加全国比赛，记选出的男生人数为ξ，求ξ的分布列与期望E ξ.[附：若()2~,Z N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9545P Z μσμσ-<<+=，1.27≈，结果取整数部分]20.（本小题满分12分）已知()23x xf e x e =--.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的值域；（3）若函数1()g x f kx x ⎛⎫=-⎪⎝⎭在定义域上是增函数，求实数k 的取值范围. 21.（本小题满分12分）随着5G 通讯技术的发展成熟，移动互联网短视频变得越来越普及，人们也越来越热衷于通过短视频获取资讯和学习成长.某短视频创作平台，为了鼓励短视频创作者生产出更多高质量的短视频，会对创作者上传的短视频进行审核，通过审核后的短视频，会对用户进行重点的分发推荐.短视频创作者上传一条短视频后，先由短视频创作平台的智能机器人进行第一阶段审核，短视频审核通过的概率为35，通过智能机器人审核后，进入第二阶段的人工审核，人工审核部门会随机分配3名员工对该条短视频进行审核，同一条短视频每名员工审核通过的概率均为12，若该视频获得2名或者2名以上员工审核通过，则该短视频获得重点分发推荐. （1）某创作者上传一条短视频，求该短视频获得重点分发推荐的概率；（2）若某创作者一次性上传3条短视频作品，求其获得重点分发推荐的短视频个数的分布列与数学期望. 22.（本小题满分12分）已知2()sin sin x x f x x e xe x ax a x =--+. （1）当()f x 有两个零点时，求a 的取值范围；（2）当1a =，0x >时，设()()sin f x g x x x=-，求证：()ln g x x x ≥+.六安一中2020~2021学年第二学期高二年级期末考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题：二、填空题：13.0x ∀<，220x x --≤14.-315.24016.114三、解答题：17.解：（1）当9m =时，由()()f x g x >，得341x x -++>，4349x x x <-⎧⎨--->⎩或43349x x x -≤≤⎧⎨-++>⎩或3349x x x >⎧⎨-++>⎩解得，5x <-或x 无解或4x >，故不等式的解集为(,5)(4,)x ∈-∞-⋃+∞.（2）因为()()f x g x >恒成立，即|3||4|x x m ->-++恒成立，所以|3||4|m x x <-++恒成立，所以min (|3||4|)m x x <-++，因为|3||4||(3)(4)|7x x x x -++≥--+=（当43x -≤≤时取等号）所以min (|3||4|)7x x -++=，所以实数m 的取值范围是(,7)-∞. 18.解：（1）则2 4.714 3.8411109060140K =≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为“购买该款盲盒与性别有关”. （2）①由数据，求得5x =，27y =，由公式求得222(45)(2527)(55)(2627)(65)(3027)5ˆ(45)(55)(65)2b--+--+--==-+-+-，5ˆˆ27514.52ay bx =-=-⨯=，所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.514.5yx =+. ②当1x =时，ˆ 2.5114.517y=⨯+=，|1716|2-<；同样，当3x =时，ˆ 2.5314.522y=⨯+=，|2223|2-<.所以，所得到的线性回归方程是可靠的.19.解：（1）由所得数据列成的频数分布表，得样本平均数4.50.055.50.186.50.287.50.268.50.179.50.067x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由（1）知~(7,1.61)Z N ，10.6827(8.27)0.158652P Z -∴≥== ∴在这2000名学员中，合格的有：20000.15865317⨯≈人（3）由已知得ξ的可能取值为1，2，31242361(1)5C C P C ξ===，2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===， ξ∴的分布列为：1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=（人）20.解：（1）令xe t =，(0)t >，则ln x t =，由()23x x f e x e =--，得()ln 23f t t t =--，所以函数()f x 的解析式为()ln 23f x x x =--.（2）依题意知函数的定义域是(0,)+∞，且1()2f x x'=-，令()0f x '>，得102x <<，令()0f x '<，得12x >，故()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减，所以max 1()ln 242f x f ⎛⎫==--⎪⎝⎭；又因为0x →，()f x →-∞，所以函数()f x 的值域为(,ln 24]-∞--. （3）因为12()ln 3g x f kx x kx x x ⎛⎫=-=---- ⎪⎝⎭在(0,)+∞上是增函数，所以212()0g x k x x '=-+-≥在(0,)+∞上恒成立，则只需2min 12k x x ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，而221211112488x x x ⎛⎫-+=--≥- ⎪⎝⎭（当4x =时取等号），所以实数k 的取值范围为1,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 21.解：（1）设“该短视频获得重点分发推荐”为事件A ，则21302333311113()C 115222210P A C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）设其获得重点分发推荐的短视频个数为随机变量X ，X 3~3,10X B ⎛⎫⎪⎝⎭， 030333343(0)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；121333441(1)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 212333189(2)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；30333327(3)110101000P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以随机变量X 的分布列如下：()0123100010001000100010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（或()31010E X =⨯=）22.解：（1）由题知，()()(sin )xf x xe a x x =--有两个零点，sin 0x x -=时，0x =故当0xxe a -=有一个非零实根设()x h x xe =，得()(1)x h x x e '=+，()h x ∴在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增. 又1(1)h e-=-，(0)0h =，0x >时，(0)0h >；0x <时，(0)0h <. 所以，a 的取值范围是1a e=-或0a >. （2）由题，()()1sin x f x g x xe x x==--法一：()1ln ln x x xe x x xe -≥+=，令0x t xe =>，令()ln 1(0)H t t t t =-->11()1t H t t t-'=-=()H x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.()(1)0H x H ∴≥=.1ln x xe x x ∴-≥+法二：要证1ln x xe x x -≥+成立故设()ln 1x M x xe x x =---，1()(1)x M x x e x ⎛⎫'=+-⎪⎝⎭，(0)x >，令1()xN x e x =-，则21()0xN x e x'=+>，()N x ∴在(0,)+∞上单调递增又1202N ⎛⎫=<⎪⎝⎭，(1)10N e =->， 01,12x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭使()00N x =.001x e x ∴=，00ln x x =-，()M x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增.()0min 0000[()]ln 10x M x M x x e x x ∴==---=.1ln x xe x x ∴-≥+。

安徽省六安市第一中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学试题 Word版含答案

六安一中2021~2022学年第二学期高二年级开学考试数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 圆心在y 轴上，半径为1，且过点()12，的圆的方程是（） A. ()2221x y +-= B. ()2221x y ++= C. ()()22131x y -+-= D. ()2231x y +-=【答案】A2. 已知()21e xf x -=，则()1f '=（）A. eB. 2eC.e2D. 2【答案】 B 3. 若数列{}n a 满足111n nd a a +-=(n *∈N ，d 为常数)，则称数列{}n a 为“调和数列”.已知数列{}n x 为“调和数列”，且1220111200x x x ++⋅⋅⋅+=，则51611x x +（） A. 15 B. 20C. 25D. 30【答案】B4. 已知0mn ≠，则方程221mx ny +=与20mx ny +=在同一坐标系内的图形可能是（）A. B.C. D.【答案】A5. 已知椭圆()221112211:10,0x y C a b a b +=>>与双曲线()222222222:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点12F F 、，P 点是曲线1C 与2C 的一个公共点，12,e e 分别是1C 和2C 的离心率，若12PF PF ⊥，则22124e e +的最小值为（） A.35B.92C.112D.132【答案】B6. 若函数()12sin 2sin 2f x x x a x =+-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恰有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是（） A.)2,3B. ()22,3C. ()22,4D.)2,6【答案】B7. 已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1231234ln()a a a a a a a ++=+++，若101a <<，则 A. 1324,a a a a << B. 1324,a a a a <> C. 1324,a a a a >> D. 1324,a a a a ><【答案】A8. 已知1a b >>，若1e 2e e a b a a a b +-=-，则下列结论不正确的是（） A. 133a b -> B. ()ln 1a b +> C. 3323a b -+> D. ()ln 0a b -< 【答案】D二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 在等比数列{}n a 中，公比0q >，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若12a =，2312a a +=，则下列结论正确的是（） A. 563S =B. 2qC. 数列{}2n S +是等比数列D. 数列{}lg n a 是公差为2的等差数列【答案】BC10. 已知圆22:1O x y +=，圆()()22:41M x a y a -+-+=，点P 是圆M 上一动点，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，下列说法正确的是（） A. 圆心M 的轨迹方程为4y x =- B. 圆O 和圆M 始终相离C. 存在某个位置使得90APB ∠=︒D. 若存在点P 使得60APB ∠=︒，则a的取值范围是2,222⎡-+⎢⎣⎦【答案】ABD11. 已知直线l 过抛物线C ：24x y =-的焦点F ，且直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作抛物线C 的切线，两切线交于点G ，设(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),GG G xy .则下列选项正确的是（）A. 4A B y y ⋅=B. 以线段AB 为直径的圆与直线32y =相离 C. 当2AB FB =时，92AB = D. GAB △面积的取值范围为[)4,+∞【答案】BD12. 已知函数()()()21,01,0x xx e x f x x x e ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，下列选项正确的是（）A. 函数()f x 在()2,1-上单调递增B. 函数()f x 的值域为21,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C. 若关于x 的方程()()20f x a f x -=⎡⎤⎣⎦有3个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是214,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 不等式()0f x ax a -->在()1,-+∞恰有两个整数解，则实数a 的取值范围是212,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】ACD三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 等差数列{}n a 的前n 项和22n S n n a =++，等比数列{}n b 的前n 项和3n n T b =+，（其中a 、b 为实数）则a b +的值为 __________. 【答案】1-14. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12、F F ，若椭圆上的点P 满足2PF x ⊥轴，122PF PF =，则该椭圆的离心率为___________．【答案】315. 已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y px =(0p >)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ OP ⊥，若6FQ =，则C 的准线方程为______.【答案】32x =-16. 在数列{}n a 中，11a =，n S 为{}n a 的前n 项和，且函数()()311sin 123n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一的零点，则n a =________；当不等式()291nn n S ka +≥-对任意的*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围为________．【答案】 ①. n ②. 297,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦四､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知圆()22:15C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=. （1）求证：对m R ∈ ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；（2）直线l 与圆C 交于,A B 两点，当弦长AB 最短时，求直线AB 方程．【答案】（1）证明见解析；（2）x =1.18. 已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),M x y 满足直线AM 与BM 的斜率之积为12，记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程；（2）若直线l ：3y x =-和曲线C 相交于E ，F 两点，求EF .【答案】（1）22142x y -=（2x ≠±）（2）19. 在①21n a n =-，323n n b T =+；②22n n S n a =+，2n n n b a S =这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题.已知数列{}n a 前n 项和是n S ，数列{}n b 的前n 项和是n T ，___________. （1）求数列{}n b 的通项公式；（2）设nn na cb =，证明：121n c c c ++⋅⋅⋅+<. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析. .20. 已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>12.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点E ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析，定点2(,0)7-. 21. 已知函数f(x)＝(2－a)lnx ＋1x＋2ax. (1)当a<0时，讨论f(x)的单调性；(2)若对任意的a ∈(－3，－2)，x 1，x 2∈[1,3]，恒有(m ＋ln 3)a －2ln 3>|f(x 1)－f(x 2)|成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)见解析(2) (－∞，－133]． 22. 已知函数()e xf x ax =-.（1）当1a =时，求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）当1a >时，求()f x 在[]0,1上的最小值；（3）当0a =时，求函数()()2sin e g x x f x -=-在()0,∞+上零点的个数.【答案】（1）()e 1y x =- （2）答案见解析（3）2个。