PISA数学样本题

第一卷（60分）一． 选择题：（本题共有12个小题，每小题5分，共60分;在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，把正确的代号填在答题卡指定位置上 ）1． 设※是集合A 中元素的一种运算, 如果对于任意的x 、y A ∈, 都有x ※y A ∈, 则称运算※对集合A 是封闭的, 若M },Z b ,a ,b 2a x |x {∈+==则对集合M 不封闭的运算是 ( ) A. 加法 B. 减法 C. 乘法 D. 除法 2．（理）已知复数12z m i =+，234z i =-，若12z z 为实数，则实数m 的值为 A ．83 B ．32- C ．83- D ．32（文）已知向量a =（2，3），b =（－4，7），那么a 在b方向上的投影为AB3．（理）设函数f (x )=(x +1)2(x -2)，则1()lim 1x f x x →-'+等于 A ．６B ．2.C ．０D ．－６（文）已知sin(α-3π)=31,则cos(απ+6)的值为A.31B .-31C.332 D.-332 4．已知βα,均为锐角，若:sin sin(),:,2p q p q πααβαβ<++<则是的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．如果以原点为圆心的圆经过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点，而且被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e 等于 （ ）A ．2B ．25 C ．3 D ．56． 函数|x |log 22y =的图像大致是( )7．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是323π，那么这个三棱柱的体积是A ．D.8．设直线x =0和y =x 将圆x 2+y 2=4分成4部分，用5种不同的颜色给四部分涂色，每部分涂一种且相邻部分不能同种颜色，则不同的涂色方案有Ａ．120种 Ｂ．240种 Ｃ．260种 Ｄ．280种9．已知正方形ABCD 的边长是4，对角线AC 与BD 交于O ，将正方形ABCD 沿对角线BD 折成60º的二面角，并给出下面结论：①AC ⊥BD ； ②AD ⊥CO ； ③△AOC 为正三角形；④cos∠ADC =34，则其中的真命题是A ．①③④.B ．①②④.C ． ②③④D ． ①②③.10．（理）已知数列{log 3(a n +1)}(n ∈N *)为等差数列，且a 1=2,a 2=8，则213243111lim(x a a a a a a →∞+++---…+11)n na a +=- ( )A ．14 B.34 C.12 D.1（文）某餐厅内抽取100人，其中有30人在15岁以下，35人在16至25岁之间，25人在26至45岁之间，10人在46岁以上，则数0.35是16至25岁人员占总体分布的 A.概率 B.频率 C.累积频率 D.频数 11． 已知函数)x (f 满足)x (f )x (f -π=, 且当)2,2(x ππ-∈ 时, x sin x )x (f +=. 设 )3(f c ),2(f b ),1(f a === ,则( )A. c b a <<B. a c b <<C. a b c <<D. b a c <<12.若圆x 2+y 2-ax+2y+1=0和圆x 2+y 2=1关于直线y=x-1对称，过点C （-a,a ）的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是A.y 2-4x+4y+8=0B.y 2+2x-2y+2=0C.y 2+4x-4y+8=0D.y 2-2x-y+1=0第二卷（90分）二．填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分)把答案填在答题卡对应题号的横线上13．62)21(x x -展开式中5x 的系数为 .14．(理)已知集合{|(21,22),},{|(32,61),}M a a t t t R N b b t t t R ==+--∈==-+∈,则M N =___________.(文) 已知直线y =kx +4与二次函数y =x 2的图象交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则 OA OB=___________ .15．定义在N ＋上的函数f(x)，满足f (1 )＝1，且f(n+1)=⎪⎩⎪⎨⎧.),(,),(21为奇数　为偶数n n f n n f 则f (22)= ．16．有以下四个命题①x sin 3x sin y 22+=的最小值是32；②已知10x 11x )x (f --=, 则)3(f )4(f >；③1x a y =log (2+a ) (a >0, a )≠在R 上是增函数；④定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)=-f (x )，则 f (2)=f (0).其中真命题的序号是 (把你认为正确命题的序号都填上)三． 解答题：(本大题共6小题，共74分)解答应写出文字说明 证明过程或推演步骤 。

17. （本题满分12分）已知OA=(sin )33x x ，OB =(cos ,cos )(),33x xx R ∈()f x OA OB =⋅ ．（1）求函数()f x 图象的对称中心的横坐标; （2）若(0,]3x π∈，求函数()f x 的值域．18．甲、乙两个盒子中装有大小相同的小球，甲盒中有2个黑球和2个红球，乙盒中有2个黑球和3个红球，从甲乙两盒中各任取一球交换。

（1）求交换后甲盒中恰有2个黑球的概率；（2）（理）设交换后甲盒中黑球的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望。

（文）求交换后甲盒中的黑球数没有减少的概率。

C19．如图已知四面体PABC 中，1AB BC ==，AC =PA PC ==，2PC =，且PC 与平面ABC 所成角是4π，E 是AB 的中点。

（1）求点P 在平面ABC 内的射影到直线,AB AC 的距离； （2）求二面角P EC B --的大小； （3）求点B 到平面PEC 的距离。

20．（理）已知()()mf x x m R x=+∈ ， （1）若2m ≤，求函数()()ln g x f x x =-在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值；（2）若函数()12log 2y f x =+⎡⎤⎣⎦在区间[1,)+∞上是增函数，求实数m 的取值范围。

（文）已知函数x ax x x f 332)(23--=, ∈x R ． （1）若函数在1x =时取得极小值，求实数a 的值；（2）当21<a 时，求证：)(x f 在)1,1(-内是减函数。

21．（理）如图所示：已知椭圆()221222:10,x y C a b F F a b+=>>、为其左、右焦点，A 为右顶点，过1F 的直线l 与椭圆相交于Q P 、两点，且有11112PF QF +=。

（1）求长半轴长a 的取值范围；（2）若2AP AQ a ⋅= 且49,35a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求直线l 的斜率的取值范围。

（文）等差数列{}n a 中，首项11a =，公差0d ≠，已知数列123,,,,,n k k k k a a a a 成等比数列，其中1231,2,5k k k ===。

（1）求数列{}{},n n a k 的通项公式； （2）当,2n N n +∈≥时，求和：1212212121n n n a a a s k k k =+++--- 。

22．（理）等差数列{}n a 中，首项11a =，公差0d ≠，已知数列123,,,,,n k k k k a a a a 成等比数列，其中1231,2,5k k k ===。

（1）求数列{}{},n n a k 的通项公式； （2）当,3n N n +∈≥时，求证：3242348222222223n n a a a a k k k k ++++<---- 。

（文）如图所示：已知椭圆()221222:10,x y C a b F F a b+=>>、为其左、右焦点，A 为右顶点，过1F 的直线l 与椭圆相交于Q P 、两点，且有11112PF QF +=（1）求长半轴长a 的取值范围；（2）若2AP AQ a ⋅= 且49,35a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求直线l 的斜率的取值范围。

[参考答案]一．二．（13）－160；（14）理{(2,1)}-文12；（15）11024；（16）③④。

三．17解：(1) 2()sin cos 333x x x f x OA OB =⋅= ---------------------2分=122sin sin()2333x x π=+-----------6分 令231()()332x k k k Z x k Z πππ-+=∈=∈得： 中心的横坐标:31()2k k Z π-∈-----------------------8分 (2)由250,33339x x ππππ<≤∴<+<2sin()133x π<+≤ 所以()f x 值域: ---------------12分 18．解：（1）甲乙两盒各取一个球交换后，甲盒中恰有2个黑球有下面几种情况： ①取出的两个球都是黑球，则甲盒恰好有2个黑球的事件记为A 1， 则 51)(151412121=⋅⋅=C C C C A P ………………3分②取出的两个球都是红球，则此时甲盒中恰有2个黑球的事件记为A 2，则103)(151413122=⋅⋅=C C C C A P ……………6分故P 1=P （A 1）+P （A 2）=2110351=+ ………………8分 （………………………………………10分E ξ=103×1+21×2+51×3=1019…………………12分 （文）设从甲盒中取出红球，乙盒中取出黑球交换为事件A 3，则P （A 3）＝1122114515C C C C ⋅=，……………………10分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D理B 文A理D 文BBACDCA理A 文BDCC所以概率为P 2＝P 1＋P （A 3）＝710。

………………12分 19．解：（1）由1AB BC ==，AC =，PA PC ==，2PC =得到：90PAB PCB ABC∠=∠=∠=︒， 设点P 在平面ABC 内的射影是点O ，则sin4OP BP π=⋅=2分由,PA AB PC BC ⊥⊥得到：,OA AB OC BC ⊥⊥，且1O A O C ==，O 到直线AB 、AC 的距离都是等于1；………4分 （2）取BC 的中点F ，连接OF 交CE 于点G ，正方形ABCO 中，可以证明到OFCE ⊥所以PGF ∠为所求二面角的平面角。