8函数的连续性

( 2) lim f ( x) = a 存在 ; ( x → x0 时, f ( x ) 有极限 )
x → x0
(3) a = f ( x0 ) . (极限值等于函数在点 x0 处的函数值)
1.函数间断点的定义
定义
∧
若函数 f (x) 在 U ( x0 ) 内有定义, 且在点 x0 处 满足下述三个条件中的任何一个, 则称函数 f (x) 在点 x0 处间断, 点 x0 称为函数 f (x) 的一个间断点： (1) f (x) 在 x0 处无定义.
对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性
一般地, 如果函数 f (x) 在区间 I 上连续, 则记为 f (x) ∈C( I ) .
二. 函数的间断点
通常将函数的不连续点叫做 函数的间断点.
函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点： (1) f (x) 在 U(x0) 内有定义; (包括在点 x0 处有定义)
定义
若 x0 为函数 f (x) 的一个间断点, 且 ,
+ x → x0
lim f ( x) 与 lim f ( x) 存在 , 则称 x0 为函数
− x → x0
f (x) 的第一类间断点.
(2) 第二类间断点
定义
凡不属于第一类的间断点, 称为函数的第二类间断点. .
即左右极限至少有一个不存在的点. 即左右极限至少有一个不存在的点
故 x = 0 为函数的第二类间断点.
看看该函数的图形.
y
1
1 y = sin x
O
−1
x
1 称 x = 0 为 f (x) = sin 的振荡型间断点 . x
无穷型间断点 第 二 类 间 型间断点 断 点 间断点
无穷
函 数 的 间 断 点
第二类间断点
无穷 振荡 其它 跳跃 可去
第一类间断点
内容小结
3.连续性概念的增量形式
定义
在某过程中, 变量 u 的终值 u2 与它的 初值 u1 的差 u2 − u1, 称为变量 u 在 u1处的 增量, 记为 ∆u = u2－u1.
∆u 是一个整体记号, 它可以取正值、负值或零.
设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义, x∈U(x0) , 则称 ∆x = x − x0 为自变量 x 在 x0 点处的增量. 此时, x = x0 + ∆x , 相应地, 函数在点 x0 点处 有增量 ∆ y ∆y = f (x) − f (x0 ) = f (x0 + ∆ x) − f (x0 )
在点 连续的等价形式
在点
左连续 间断的类型
右连续
第一类间断点
第二类间断点
可去间断点 左右极限都存在 跳跃间断点 无穷间断点 左右极限至少有一 个不存在
∆x = x − x0
∀ε > 0, 若 ∃ δ > 0, 当 | x − x0 | < δ 时, 有 | f (x) −f (x0) | < ε
∆y = f (x) − f (x0 )
成立, 则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.
函数的连续性是通过极限定义的, 当然可以 运用《 ε − δ 》语言描述它.
O x0 y y = f (x) ∆y ∆x x x
连续性概念的增量形式
定义
设 f (x) 在 U(x0) 内有定义. 若
∆x →0
lim ∆y = 0
(∆x = x − x0 )
则称 f (x) 在点 x0 处连续.
自变量的增量趋于零时, 函数的增量也趋于零.
4.函数的左、右连续性
定义 设函数 f (x) 在 [x0, x0+δ ) 内有定义. 若
例8
1 讨论函数 f ( x ) = 在 x = 0 处的连续性. x
1 y= x
1 y 解 Q f ( x) = 在 x = 0 无定义, x
∴
x = 0为函数的间断点,
O
1 又 lim± f ( x ) = lim± = ±∞, x →0 x →0 x
x
1 故 x = 0为函数 f ( x) = 的第二类间断点. x
第八节 函数的连续性与间断点
一、连续函数的概念 二、 函数的间断点
一、连续函数的概念
极限形式 增量形式
1.函数连续性的定义 (极限形式)
是整个邻域 可减弱：x0 为聚点 定义
设 f (x) 在 U(x0) 内有定义, 若
x→ x0
lim f ( x) = f ( x0 )
则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的.
x→x0
lim f ( x) = f ( x0 )
⇐⇒
x→x
lim f (x) = lim f (x) = f (x 0) + −
0
x→x0
函数在点 x0 连续, 等价于它在点 x0 既 左连续又右连续.
例2
讨论 y = | x |, x∈(−∞,+∞) 在点 x = 0 处 的连续性. y
解
Q lim | x |= 0
函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的.
函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点： (1) f (x) 在 U(x0) 内有定义；(包括在点 x0 处有定义)
(2) lim f ( x) = a 存在；( x → x0 时, f ( x ) 有极限 )
x → x0
(3) a = f ( x0 ) . (极限值等于函数在点 x0 处的函数值)
x →0
x →0
x →0
lim− sgn x = lim− (−1) = −1
sgn x|x=0=sgn 0 = 0 故符号函数 y = sgn x 在点 x = 0 处不连续.
x2, 例4 讨论函数 f (x) =
x ≤1,
x + 1, x >1,
在 x = 1 处的连续性. 解
x →1
Q f (1) = x
(2) lim f ( x ) = a 不存在 .
x → x0
(3) lim f ( x ) = a 但 a ≠ f(x 0 ) .
x → x0
求函数间断点的途径: 求函数间断点的途径:
(1) f (x)在 x0 处无定义, 但 f (x) 在 U( x0 ) 内有定义. (2) lim f ( x) 与 lim f ( x) 中至少有一个不存在.
进一步分析该间断点的特点.
这个间断点的特点是该处的左、右极限存 在且相等, 即极限存在, 经过补充定义间断点 处函数值后, 可得到一个新的连续函数 , 故将 这种间断点称为可去间断点.
补 充 定 义 f * (x) =
f (x) ,
x→x0
x ≠ x0
lim f (x) , x = x0
第 一 类 间 断 点 间断点 跳跃型间断点
例7
x −1 讨论 f ( x ) = 在 x = 1 处的连续性. x −1
2
解 Q函数在 x =1 无定义,
y P(1,2) 1 O 1 x
∴ x =1 为函数的间断点.
x2 −1 而 lim = lim( x + 1) = 2 x →1 x − 1 x →1
故 x =1 为函数的第一类间断点.
x→x0
lim f ( x) = f ( x0 ) +
则称 f (x) 在 x0 点处右连续. . 设函数 f (x) 在 (x0– δ , x0 ] 内有定义. 若
x→ x0
lim f ( x) = f ( x0 ) −
则称 f (x) 在 x0 点处左连续. 其中, δ > 0 为任意常数.
定理
x →1
2
x =1
= 1,
x→1
lim f ( x) = lim x 2 = 1 − −
lim f ( x) = lim( x + 1) = 2 + +
x→1
∴ 函数 f (x) 在点 x = 1 处不连续. 但由于
x →1
lim f ( x) = 1 = f 1 处是左连续的.
+ x → x0 − x → x0
∧
(3) xlim f ( x) 与 xlim f ( x) 存在, 但不相等. →x →x
+ 0 − 0
(4) lim+ f ( x) = lim− f ( x) = a, 但 a ≠ f (x0 ).
x → x0 x → x0
2.函数间断点的分类 (1) 第一类间断点
这算定义吗？
例6
讨论函数 f (x)=
x +1 1 2 sinx y
x>0
x=0
x<0
在 x = 0 处的连续性. y＝x+1
1 1 2
由图可知, 函数在 点 x0 处间断.
y = f (x)
x O 将左、右极限存在但不相等的间断点, y 跳跃型间断点 = sinx 称为函数的跳跃型间断点 跳跃型间断点.
由于 lim f ( x) = ∞ 所以称它为无穷间断点.
x →0
例9
1 讨论函数 f ( x ) = sin 在 x = 0 处的连续性 . x
1 解 Q f ( x ) = sin 在 x = 0 处无定义, x
∴ x = 0 为函数的间断点 .
1 又 lim f ( x ) = lim sin 不存在, x→0 x→0 x
5.函数在区间上的连续性
定义
设函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有定义. 若 ∀ x0∈(a, b), f (x) 在点 x0 处连续, 则称 f (x) 在开区间 (a, b) 内连续, 记为 f (x)∈C( (a, b) ).