广东省佛山市三水中学2012年5月高三临考集训试卷(理数)

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广东省佛山市三水区2012年5月考前金题巧练(5,理数)

2012考前金题巧练（5）祝你成功1．已知函数()()3f x log ax b =+的图象经过点()2,1A 和()5,2，记()3,f n n a n N *=∈（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n n nn b b b T a b +++== 21,2若)(Z m m T n ∈<对*N n ∈恒成立，求m 的最小值.2．已知数列{}n a 中，13a =，25a =，其前n 项和n S 满足()121223n n n n S S S n ---+=+≥ 令11n n n b a a +=⋅．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()12x f x -=，求证：()()()121126n n T b f b f b f n =+++<（1n ≥）．3.设函数2113()424f x x x =+-，对于正数数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且()n n S f a =，()n N *∈.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）是否存在等比数列{}n b ，使得111222(21)2n n n a b a b a b n ++++=-+对一切正整数n都成立？若存在，请求出数列{}n b 的通项公式；若不存在，请说明理由.4．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的前n 项和为n S ，若570S =，且2a ，7a ，22a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：1368nT <≤．5．等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;（Ⅱ）设()()252123n n n b a n n +=++,求数列{}n b 的前n 项和n S ．6．已知函数)(x f y =的图象经过坐标原点，且}{,12)(n a x x f 数列-='的前).)((*N ∈=n n f S n n 项和（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足33log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和。

广东省2012届高三数学(理科)全真模拟卷8

广东省2012届高三全真模拟卷数学理科8一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知}01|{},0|{=-==-=ax x N a x x M ,若N N M =⋂，则实数a 的值为（）A.1B.－1C.1或－1D.0或1或－12．已知为虚数单位，则ii+1的实部与虚部之积等于（） A ．41 B ．41- C ．i 41 D ．i 41-3.阅读如图所示的算法框图，输出的结果S 的值为（）A B ．．0 D 4.等比数列{a n }中，a 3=6，前三项和3304S xdx =⎰，则公比q 的值为 A.1B.12-C.1或12-D.1-或12-5.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA 1⊥面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为A. C. 6.已知α、β是两个不同平面，m 、n 是两条不同直线，则下列命题不正确．．．的是( )A ．//,,m αβα⊥则m β⊥B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αC ．n ∥α，n ⊥β，则α⊥βD ．m ∥β，m ⊥n ，则n ⊥β7．在锐角ABC ∆中，2,A B B C ∠=∠∠∠、的对边长分别是b c 、，则bb c+的取值范围是（）A 、11(,)43B 、11(,)32C 、12(,)23D 、23(,)348．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ABc PBC S S ∆∆， λ2＝ABC PCA S S ∆∆，λ3＝ABCPAB S S∆∆，定义f （P ）=（λ1, λ, λ3）,若G 是△ABC 的重心，f （Q ）＝（21，31，61），则（） A ．点Q 在△GAB 内 B ．点Q 在△GBC 内C ．点Q 在△GCA 内D ．点Q 与点G 重合二、填空题：（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（9～13题）9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2>σσN ．若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为．10．若1()n x x-的展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为。

广东省佛山市三水区2012高考理科数学中低档题型专题训练(1)

2012广东省理科数学大题（中低档题型）专题训练（一）1．设函数⎪⎭⎫⎝⎛π-+=2sin sin )(x x x f ωω，R ∈x ．（1）若21＝ω，求)(x f 的最大值及相应的x 的集合；（2）若8π=x 是)(x f 的一个零点，且100<<ω，求ω的值和)(x f 的最小正周期．解（1）x x x x x f ωωωωcos sin 2sin sin )(-=⎪⎭⎫ ⎝⎛π-+=， ……………………1分当21＝ω时，⎪⎭⎫⎝⎛-=42sin 22cos 2sin )(πx x x x f ＝－， ……………………2分而142sin 1≤⎪⎭⎫⎝⎛π-≤-x ，所以)(x f 的最大值为2， ……………………4分此时，π+π=π-k x 2242，∈k Z ，即π+π=k x 423，Z ∈k ，相应的x 的集合为},423|{Z ∈π+π=k k x x ． …………………6分（2）（法一）因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin 2)(πωx x f ，所以，8π=x 是)(x f 的一个零点⇔048sin 8=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛πππωf ，……………8分即π=π-πk 48ω，Z ∈k ，整理，得28+=k ω，又100<<ω，所以10280<+<k ，141<<-k ，而Z ∈k ，所以0=k ，2=ω，…10分⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42sin 2)(x x f ，)(x f 的最小正周期为π． ……………………12分（法二）8π=x 是)(x f 的一个零点⇔08cos 8sin8=π-π=⎪⎭⎫⎝⎛πωωf ，即18tan =πω． ……………………8分所以48π+π=πk ω，Z ∈k ，整理，得28+=k ω，又100<<ω，所以10280<+<k ，141<<-k ，而Z ∈k ，所以0=k ，2=ω， …10分⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42sin 2)(x x f ，)(x f 的最小正周期为π． ……………………12分2．第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日至23日在深圳举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm ）：男女9 15 7 7 8 9 9 9 8 16 1 2 4 5 8 9 8 6 5 0 17 2 3 4 5 6 7 4 2 1 18 0 1 1 19若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．（1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望．解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人，…………………………1分用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是61305=， …………………………2分所以选中的“高个子”有26112=⨯人，“非高个子”有36118=⨯人．…………………3分用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名“高个子”被选中”，则()P A =-12523C C 1071031=-=． ………………………………5分因此，至少有一人是“高个子”的概率是107． ……………………………6分（２）依题意，ξ的取值为0,1,2,3． ……………………………7分5514C C )0(31238===ξP ， 5528C C C )1(3122814===ξP ， 5512C C C )2(3121824===ξP ， 551C C )3(31234===ξP ． …………………………9分因此，ξ的分布列如下：………………10分15513551225528155140=⨯+⨯+⨯+⨯=ξ∴E ．…………………………12分【说明】本题主要考察茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识．3．一个几何体是由圆柱11ADD A 和三棱锥E ABC -组合而成，点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图3所示，其中EA ABC ⊥平面， AB AC ⊥，AB AC =，2AE =．（1）求证：AC BD ⊥；（2）求二面角A BD C --的平面角的大小．（本小题主要考查空间线线、线面关系，二面角，三视图等知识，考查化归与转化数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力．）方法1：（1）证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以EA AC ⊥，即E D A C ⊥．又因为AC AB ⊥，AB ED A =，所以AC ⊥平面EBD ．因为B D ⊂平面，所以A C⊥．………………………………………………………………4分（2）解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的直径．设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩…………………………………………6分解得2,2.r h =⎧⎨=⎩所以4BC =，AB AC ==7分过点C 作CH BD ⊥于点H ，连接AH ，由（1）知，AC BD ⊥，AC CH C =，所以BD ⊥平面ACH ．因为AH ⊂平面ACH ，所以BD AH ⊥．所以A H ∠为二面角A BD C--的平面A O D E 正（主）视图E A 侧（左）视图 A 1 D 1 A D 1A 1 E BC OD 图3AD 1A 1EBCO D角．…………………………………………………………9分由（1）知，AC ⊥平面ABD ，AH ⊂平面ABD ，所以AC AH ⊥，即△CAH 为直角三角形．在Rt △BAD中，AB =2AD =，则BD =由AB AD BD AH ⨯=⨯，解得AH =．因为tan ACAHC AH ∠==13分所以AHC ∠60=．所以二面角A BD C--的平面角大小为60．………………………………………………………14分方法2：（1）证明：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的直径．设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩…………………………………………2分解得2,2.r h =⎧⎨=⎩所以4BC =，AB AC ==3分以点D 为原点，1DD 、DE 所在的射线分别为x 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()14,0,0D ，()0,0,2A ，()2,2,2B ，()2,2,2C -，()2,2,0AC =-，()2,2,2DB =．………………………5分因为()()2,2,02,2,20AC DB =-=，所以AC DB ⊥．所以AC BD ⊥．…………………………………………………9分（2）解：设(),,x y z =n 是平面BCD 的法向量，因为()0,4,0BC =-，所以0,0.BC DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即40,2220.y x y z -=⎧⎨++=⎩AD 1A 1EBCO D取1z =-，则()1,0,1=-n 是平面B C 的一个法向量．……………………………………………11分由（1）知，AC BD ⊥，又AC AB ⊥，ABBD B =，所以AC ⊥平面ABD ．所以()2,2,0AC =-是平面ABD的一个法向量．……………………………………………………12分因为1cos ,22AC AC AC ⋅===⋅n n n ，所以,60AC =n ．而,AC n 等于二面角A BD C --的平面角，所以二面角A BD C--的平面角大小为60．…………………………………………………14分方法3：（1）证明：因为EA ABC ⊥平面，C A ABC ⊂平面，所以EA AC ⊥，即E D A C⊥．又因为AC AB ⊥，AB ED A =，所以AC ⊥平面EBD ．因为BD EBD ⊂平面，所以A ⊥．…………………………………………………………………………………………4分（2）解：因为点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，且AB AC ⊥，所以BC 为圆O 的直径．设圆O 的半径为r ，圆柱高为h ，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，12210,2122212.2rh r rh r ⎧+⨯=⎪⎪⎨⎪+⨯⨯=⎪⎩…………………………………………6分解得2,2.r h=⎧⎨=⎩所以4BC =，AB AC ==7分以点D 为原点，1DD 、DE 所在的射线分别为x 轴、z 轴建立如图的空间直角坐标系D xyz -，则()0,0,0D ，()14,0,0D ，()0,0,2A ，()2,2,2B ，()2,2,2C -，()0,4,0BC =-，()2,2,2DB =．…………………………9分AD 1A 1EBCO D设(),,x y z =n 是平面BCD 的法向量，则0,0.BC DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n 即40,2220.y x y z -=⎧⎨++=⎩ 取1z =-，则()1,0,1=-n 是平面BCD 的一个法向量．………11分由（1）知，AC BD ⊥，又AC AB ⊥，AB BD B =，所以AC ⊥平面ABD ．所以()2,2,0AC =-是平面ABD的一个法向量．……………………………………………………12分因为1cos ,22AC AC AC ⋅===⋅n n n ，所以,60AC =n ．而,AC n 等于二面角A BD C --的平面角，所以二面角A BD C--的平面角大小为60．………………………………………………………14分4.已知数列{}n a 满足对任意的*n ∈N，都有0n a >，且()23331212n n a a a a a a +++=+++．（1）求1a ，2a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式n a ；（3）设数列21n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，不等式()1log 13n a S a >-对任意的正整数n恒成立，求实数a 的取值范围．（本小题主要考查数列通项、求和与不等式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：当1n =时，有3211a a =，由于0n a >，所以11a =．当2n =时，有()2331212a a a a +=+，将11a =代入上式，由于0n a >，所以22a =．（2）解：由于()23331212n n a a a a a a +++=+++， ① 则有()23333121121n n n n a a a a a a a a ++++++=++++． ②②－①，得()()223112112n n n n a a a a a a a a ++=++++-+++，由于0n a >，所以()211212n n n a a a a a ++=++++． ③同样有()21212n n n a a a a a -=++++()2n ≥， ④③－④，得2211n n n n a a a a ++-=+．所以11n n a a +-=．由于211a a -=，即当n ≥1时都有11n n a a +-=，所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列．故n a n =．。

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* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 热点三　金属的锈蚀条件和防锈方法要点提示: 金属锈蚀条件有外因和内因。

外因是水分、氧气等物质的相互作用；内因是金属的内部结构。

金属防锈方法：一是改变金属的内部结构，如在普通钢中加入铬、镍等金属元素制成不锈钢；二是表面覆盖保护膜，如刷油漆、涂机油、涂搪瓷、电镀、烤蓝等。

典例分析 3 为了探究铁生锈的条件，某科学兴趣小组的成员进行了如图所示的实验。

十天后发现Ⅰ试管中铁钉慢慢生锈，且水面处铁钉生锈较严重，而Ⅱ、Ⅲ试管中的铁钉基本无变化。

试根据图中的实验，回答下列问题：(1)Ⅱ试管中的铁钉为什么没有生锈？ ____________________________________________ (2)Ⅲ试管中的铁钉基本无变化的原因是什么？ ____________________________________________ (3)由上述实验可知钢铁锈蚀是_____、水共同作用的结果。

(4)海南岛和吐鲁番盆地两地比较，铁生锈相对较慢的地区是____________，这是因为_______________。

解析: (1)Ⅱ试管中的铁钉上方被植物油覆盖，水中缺少O2。

(2)Ⅲ试管中的橡皮塞阻隔了外界的空气(水蒸气)，试管内空气干燥，缺少水分。

(3)Ⅰ试管开口，水面处既有充足的水分，又有充足的氧气(空气)，所以此时铁钉最易生锈。

上述实验运用了控制变量法：Ⅰ和Ⅱ比较的主要变量是氧气(空气)，Ⅰ和Ⅲ比较的主要变量是水。

由此可知钢铁锈蚀是空气(O2)、水共同作用的结果。

(4)海南岛临海，空气中水分充足，所以铁易生锈；吐鲁番盆地地处大陆腹地，空气中水分较少，气候干燥，所以铁生锈相对较慢。

答案: (1)Ⅱ中铁丝只与水接触，缺少氧气　(2)Ⅲ中铁丝只与空气接触，缺少水分　(3)空气(氧气)　(4)吐鲁番盆地　地处大陆腹地，空气中水分较少，气候干燥对点训练 3．锁是日常生活中常用的工具，其中的铁锁经常会生锈。

广东省佛山市三水区2012高考理科数学中低档题型专题训练3

SBCED 1 (4 1) 4 10 ， V 1 SBCED AC 1 10 4 40 ，
2
3
3
3
此几何体的体积为 40 ；
5分
3
E
解法一：（Ⅱ）过点 B 作 BF // ED 交 EC 于 F ，连接 AF ，则
FBA 或其补角即为异面直线 DE 与 AB 所成角，在 BAF 中，
F
AB 4 2 ， BF AF 16 9 5，
2
f ( x) 的图象。……………… 12 分
2．某种项目的射击比赛，开始时在距目标 100m 处射击，如果命中记 6 分，且停止射
击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已经在 150m 处，这时命中记 3 分，
且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已经在
200m 处，若第
AC BQ ，
BQ ACQ ，
C
D B
D
By
A
x
AQ 平面 ACQ ， AQ BQ ；
14 分
解法二：（Ⅰ）同上。
（Ⅱ）以 C 为原点，以 CA 、 CB 、 CE 所在直线为 x 、 y 、 z 轴建立如图所示的
空间直角坐标系，则 A( 4,0,0) ， B(0,4,0) ， D( 0,4,1) ， E(0,0,4) ，得 DE (0, 4,3) ，
…………… 5 分
记 100m,150m,200 m 处命中目标分别为事件 A, B, C
由⑴知 P( P( 3) P( 1) P( 0)
1 6) P( A) ，
2 P(A B) P( A) P(B)
1 71 P( A B C)
298 1 P( 6) P( 3)

广东省佛山市三水区2012高考数学中低档题型专题训练(10)理

2012广东省理科数学大题（中低档题型）专题训练（十）1．已知△ABC 三个内角A 、B 、C 的对边为a 、b 、c ，)cos ,(B a m =，),(cos b A n -=，a ≠b ，已知n m ⊥.(1)判断三角形的形状，并说明理由。

(2)若BA B A y sin sin sin sin +=，试确定实数y 的取值范围．【答案】解：（1）∵m n ⊥,∴0m n =,∴cos cos 0a A b B -=.2分由正弦定理知，21sin sin a bR A B===，∴sin ,sin a A b B ==. ∴sin cos sin cos ,A A B B =∴sin 2sin 2A B =.4分 ∵(),0,A B π∈,∴22A B =或22A B π+=.5分∴A B =（舍去）,2A B π+=。

所以三角形ABC 是直角三角形6分(2)A B cos sin = A A AA y cos sin cos sin +=∴ .7分),4sin(2cos sin π+=+A A A ),2,0(π∈A )43,4(4πππ∈+A . ∴]1,22()4sin(∈+πA ]2,1(cos sin ∈+∴A A 9分令(21sin cos ,sin cos 2t A A t A A -+=∈=，11分∴22211t x t t t==--.12分∵1t t-在(单调递增，∴102t t<-≤=，∴x ≥b a ≠ ,故x 的取值范围为),22(+∞.14分2．现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查，随机抽调了50人，他们月收入的频数分布及对楼市“楼市限购令”赞成人数如下表．（Ⅰ）由以上统计数据填下面2乘2列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500为（Ⅱ)若对在[15，25），[25，35）的被调查中各随机选取两人进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“楼市限购令”人数为 ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望。

广东省佛山市三水区2012高考理科数学中低档题型专题训练(4)

广东省佛山市三水区2012高考理科数学中低档题型专题训练（4）1、函数)3cos(3)3sin()(πωπω+-+=x x x f 〔0>ω〕的最小正周期为π、⑴求)127(πf 的值； ⑵假设ABC ∆满足)(2)()(A f A B f C f =-+，证明：ABC ∆是直角三角形、【答案】⑴x x f ωsin 2)(=……2分〔振幅1分，角度1分〕，πωπ==2T ……3分，2=ω……4分，因此167sin 2)127(-==ππf ……6分、〔未化简)(x f 而求T ，扣2分〕 ⑵由)(2)()(A f A B f C f =-+得A A B C 2sin 2)22sin(2sin =-+……7分，A A B B A 2s i n 2)22s i n ()22s i n (=-++-……8分，得02sin cos 2=A B ……9分，因此0cos =B 或02sin =A ……10分，因为A <0，π<B ，因此2π=B 或2π=A ，ABC∆是直角三角形……12分、〔“2π=B 或2π=A ”只得到一个，扣1分〕2、某企业生产的一批产品中有【一】【二】三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润〔单位：元〕如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2.假设从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润(即数学期望)为4.9元.表1(1)求,a b 的值；(2)从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率.(本小题要紧考查数学期望、概率等知识,考查或然与必定的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)〔1〕解：设1件产品的利润为随机变量ξ，依题意得ξ的分布列为：……2分 60.6540.1 4.9E a b ξ=⨯++⨯-=,∴即50.9a b -=.……3分∵0.60.20.11a b ++++=,即0.3a b +=,……4分解得0.2,0.1a b ==.∴0.2,0.1a b ==.……6分(2)解：为了使所取出的3件产品的总利润不低于17元，那么这3件产品能够有两种取法：3件都是一等品或2件一等品，1件二等品.……8分故所求的概率P =30.6+C 2230.60.2⨯⨯0.432=.……12分3、如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且1,MD NB ==〔1〕以向量AB 方向为侧视方向，侧视图是什么形状？〔2〕求证：//CN 平面AMD ；〔3〕求面AMN 与面NBC 所成二面角的余弦值. 【解析】〔1〕因为MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ， NB MD BC ==，因此侧视图是正方形及其两条对角线；(4分) 〔2〕ABCD 是正方形，//,//BC AD BC ∴平面AMD ；(5分)又MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，//,//NB NB MD ∴∴平面AMD ，(6分) 因此平面//BNC 平面AMD ，故//CN 平面AMD ；(8分)〔3〕以D 为坐标原点，DA ，DC ，DM 分别为x ，y ，z 轴建立图示空间直角坐标系，那么：A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0).N(1,1,1),M(0,0,1),(1,0,1)AM =-,(0,1,1)AM =,(0,1,0)AB =(9分)设平面AMN 的一个法向量为(,,)n x y z =,由00AM n AN n ⎧=⎪⎨⎪=⎩得:00x z y z ⎧-+=⎨+=⎩(10分)令z=1得:(1,1,1)n =-.易知:(0,1,0)AB =是平面NBC 的一个法向量.(12分)1cos ,3AB n ==-(13分) ∴面AMN 与面NBC所成二面角的余弦值为分) 4、数列}{n a 的前n 项和记为S n ，1a t =，点〔S n ，1+n a 〕在直线21y x =+上，n ∈N *、〔1〕假设数列{}n a 是等比数列，求实数t 的值；〔2〕设n n na b =，在〔1〕的条件下，求数列{}n b 的前n 项和n T ；〔3〕设各项均不为0的数列}{n c 中，所有满足01<⋅+i i c c 的整数i 的个数称为那个NMDBANMODBA数列}{n c 的“积异号数”，令nn n b b c 4-=〔n N *∈〕，在〔2〕的条件下，求数列}{n c 的“积异号数”.【答案】解：〔1〕由题意，当2n ≥时，有112121n n n n a S a S +-=+⎧⎨=+⎩，〔1分〕两式相减，得)2(3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 即，〔2分〕因此，当2n ≥时，{}n a 是等比数列，要使1n ≥时{}n a 是等比数列，那么只需21213a t a t+==，从而得出1t =、〔4分〕〔2〕由〔1〕得，等比数列{}n a 的首项为11a =，公比3q =，∴13n n a -=〔5分〕 ∴13n n n b na n -==⋅〔6分〕 ∴01221132333(1)33n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅①〔7分〕上式两边乘以3得12313132333(1)33n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅②〔8分〕①－②得0121233333n n n T n --=++++-⋅〔9分〕∴211344n n n T -=⋅+〔10分〕〔3〕由〔2〕知13n n b n -=⋅，∵41n nc b =- ∵14131c =-=-，2411233c =-=⨯，∴1210c c =-<〔11分〕 ∵03)1()32(44411>⋅++=-=-++nn n n n n n n b b c c ， ∴数列{}n c 递增.〔12分〕由2103c =>，得当2≥n 时，c n >0.〔13分〕 ∴数列{}n c 的“积异号数”为1.〔14分〕。

广东省佛山市三水区2012高考数学中低档题型专题训练(7)理

2012广东省理科数学大题（中低档题型）专题训练（七）1．已知函数)4sin(32sin )(2π++=x x x f 3cos )4cos(.2---x x π. (1)求函数f(x)的最小正周期和最值； (2)求函数f(x)的单调递减区间．【答案】解：(1))4sin(32sin )(2π++=x x x f 3cos )4cos(2---x x π32cos )4(sin 322--+=x x πxx 2cos 2sin 3-=)62sin(2π-=xππ==∴22T当2262πππ+=-k x 即)(3Z k k x ∈+=ππ时，f(x)取最大值2；当2262πππ-=-k x 即)(6Z k k x ∈-=ππ时，f(x)取最小值-2.(2)由≤-≤+6222πππx k )(232z k k ∈+ππ，得)(653z k k x k ∈+≤≤+ππππ ∴单调递减区间为)](65,3[z kk k ∈++ππππ. 2．本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。

某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。

有甲乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次），设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为2141，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为4121，；两人租车时间都不会超过四小时。

（Ⅰ）求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE ；【答案】解：（1）所付费用相同即为0,2,4元。

设付0元为8121411=⨯=P ，…………………2分付2元为8141212=⨯=P ，付4元为16141413=⨯=P (4)分则所付费用相同的概率为165221=++=P P P P ……………6分（2）设甲，乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,81(0)811115(2)4422161111115(4)4424241611113(6)442416111(8)4416P P P P P ξξξξξ====⋅+⋅===⋅+⋅+⋅===⋅+⋅===⋅=…………………10分分布列ξ0 24 6 8P18 516516 316 1165591784822E ξ=+++=…………………14分3. 如图6，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，且1=AB ，2=BC ，060=∠ABC ，E 为BC 的中点，⊥1AA 平面ABCD ．⑴证明：平面⊥AE A 1平面DE A 1； ⑵若E A DE 1=，试求异面直线AE 与D A 1 所成角的余弦值．【答案】⑴依题意，CD AB BC EC BE ====21……1分，所以ABE ∆是正三角形，060=∠AEB ……2分，又00030)120180(21=-⨯=∠CED ……3分，所以090=∠AED ，AE DE ⊥……4分，因为⊥1AA 平面ABCD ，⊂DE 平面ABCD ，所以DE AA ⊥1……5分，因为A AE AA = 1，所以⊥DE 平面AE A 1……6分，因为⊂DE 平面DE A 1，所以平面⊥AE A 1平面DE A 1……7分．⑵取1BB 的中点F ，连接EF 、AF ……8分，连接C B 1，则D A C B EF 11////……9分，所以AEF ∠是异面直线AE 与D A 1所成的角……10分。

广东省佛山市三水区2012年5月考前金题巧练(7,理数)

2012考前金题巧练（7）祝你成功1. 已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个顶点为)1,0(M ，离心率36=e ．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l ，求△AOB 面积的最大值．2.已知ABC ∆的顶点A 、B 在椭圆.//,2:,4322l AB x y l C y x 且上在直线点上+==+（Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及ABC ∆的面积；（Ⅱ）当︒=∠90ABC ，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程.3.已知椭圆C 的中心在原点，左焦点为(，离心率为23．设直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，记点P 在第一象限时直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为B A 、，且向量OM OA OB =+ ,求：(Ⅰ)椭圆C 的方程；（Ⅱ）OM 的最小值及此时直线l 的方程.4.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，且过点3(1,)2P ，F 为其右焦点.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点(4,0)A 的直线l 与椭圆相交于M 、N 两点（点M 在,A N 两点之间），若AMF △与MFN △的面积相等，试求直线l 的方程.5.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为1F (1,0)，离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程及左顶点P 的坐标；（Ⅱ）设过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，若PAB ∆的面积为3613，求直线AB 的方程.6.已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.7.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()0,2M 是椭圆的一个顶点，△21MF F 是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为1k ，2k ，且128k k +=，证明：直线AB 过定点（2,21--）．8.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，直线l 过点(4,0)A ，(0,2)B ，且与椭圆C 相切于点P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A 的直线m 与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，使得23635AP AM AN =⋅?若存在，试求出直线m 的方程；若不存在,请说明理由..9.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为)0,1(F ，M 为椭圆的上顶点，O 为坐标原点，且△OMF 是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在直线l 交椭圆于P ，Q 两点，且使点F 为△PQM 的垂心（垂心：三角形三边高线的交点）？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．10.已知焦点在x 轴上的椭圆C 过点(0,1)，Q 为椭圆C 的左顶点.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）已知过点6(,0)5-的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点.（ⅰ）若直线l 垂直于x 轴，求AQB ∠的大小;（ⅱ）若直线l 与x 轴不垂直，是否存在直线l 使得QAB ∆为等腰三角形？如果存在，求出直线l 的方程；如果不存在，请说明理由.2012考前金题巧练（7）参答1.解：（Ⅰ）设22b ac -=，依题意得1b =3ce aa ===，解得a b ==1. 所以椭圆的方程为.x y +=2213. （Ⅱ）①当AB .3||,=⊥AB x 轴时②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为),(),,(,2211y x B y x A m kx y +=，由已知,231||2=+k m 得),1(4322+=k mm kx y +=把代入椭圆方程，整理得,0336)13(222=-+++m kmx x k于是.13)1(3,1362221221+-=+-=+k m x x k km x x 故21222))(1(||x x k AB -+= ]13)1(12)13(36)[1(2222222+--++=k m k m k k 2222212(1)(31)(31)k k m k ++-=+22223(1)(91)(31)k k k ++=+ )0(61912316912322222≠+++=+++=k kk k k k .4632123=+⨯+≤ 当且仅当33,1922±==k k k 即时等号成立，此时.2||=AB③当.3||,0==AB k 时综上：2||max =AB ，AOB ∆面积取最大值.2323||21max =⨯=AB S 2.解：（Ⅰ）因为,//l AB 且AB 通过原点（0，0），所以AB 所在直线的方程为.x y =由⎩⎨⎧==+xy y x 4322得A 、B 两点坐标分别是A （1，1），B （-1，-1）。

广东佛山三水区2012高考理科数学中低档题型专题训练(2)(精)

2012广东省理科数学大题（中低档题型）专题训练（二）1．已知向量a)3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin x x b x x a ==b )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin x x b x x a ==，函数()f x a b =a ·b ， (Ⅰ)求函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ)如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足acb =2，且边b 所对的角为x ，试求x的范围及函数)(x f 的值域．解：122()()sin cos cos sin cos )33332331222sin sin()23232332x x x x x xf x a b x x x π=⋅==++=++=++Ⅰ3分令2233222πππππ+≤+≤-k x k ，解得，)(,43453Z k k x k ∈+≤≤-ππππ. 故函数)(x f 的单调递增区间为)(],43,453[Z k k k ∈+-ππππ.6分22222221(),cos .2222a cb ac ac ac ac b ac x ac ac ac +-+--===≥=Ⅱ8分953323,301cos 21ππππ≤+<∴≤<<≤∴x x x ，，2sinsin()1333x ππ∴<+≤， 10分23123)332sin(3+≤++<∴πx 即)(x f 的值域为]231,3(+.综上所述，)(],3,0(x f x π∈的值域为]231,3(+.12分2．四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x 、y ，记y x +=ξ； (Ⅰ)求随机变量ξ的分布列和数学期望；(Ⅱ)设“函数1)(2--=x x x f ξ在区间)3,2(上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率．解：（Ⅰ）由题意可知随机变量ξ的可能取值为2，3，4，从盒子中摸出两个小球的基本事件总数为624=C ，2分当2=ξ时，摸出小球所标的数字为1，1，61)2(==ξP ，当4=ξ时，摸出小球所标的数字为2，2，61)4(==ξP ，可知，当3=ξ时，3261611)3(=--==ξP ；5分得ξ的分布列为：1212343636E ξ=⨯+⨯+⨯=； 7分（Ⅱ）由“函数1)(2--=x x x f ξ在区间)3,2(上有且只有一个零点”可知0)3()2(<f f ，即0)38)(23(<--ξξ，解得3823<<ξ，又ξ的可能取值为2，3，4，故2=ξ，∴事件A 发生的概率为61。

2012年佛山一模理科数学试题答案

2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学 (理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知i 是虚数单位，m 、n ∈R ，且i 1i m n +=+，则iim n m n +=- A ．1-B ．1C ．i -D ．i2．下列函数中既是奇函数，又在区间()1,1-上是增函数的为A ．y x =B ．sin y x =C ．x x y e e -=+D ．3y x =-3．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前5项和5S =A ．10B ．15C ．20D ．304．“关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”是“01a ≤≤”A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．一个体积为则这个三棱柱的左视图的面积为A. 36 B ．8 C ．38D ．126．已知点P 是抛物线24x y =上的一个动点，则点P 到点(2,0)M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为A B C ．D ．927．某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出100名司机，已知抽到的司机年龄都在[)20,45岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是A ．31.6岁B ．32.6岁C ．33.6岁D ．36.6岁8．对于非空集合,A B ，定义运算：{|,}A B x x A B x A B ⊕=∈∉ 且，已知}|{},|{d x c x N b x a x M <<=<<=，其中d c b a 、、、满足a b c d +=+，0ab cd <<，则=⊕N MA. (,)(,)a d b cB.(,][,)c a b dC. (,][,)a c d bD.(,)(,)c a d b 二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分）(一)必做题(9～13题)9．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则a =_______________. 10．函数sin()2y x x π=++的最小正周期是 ___________.11．已知不等式组02,20,20x x y kx y ≤≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域的面积为4，则k 的值为__________.12．已知向量=a (,2)x ，=b (1,)y ，其中0,0x y >>.若4=a b ，则12x y+的最小值为 . 13．对任意实数b a ,，函数|)|(21),(b a b a b a F --+=，如果函数2()23,f x x x =-++ ()1g x x =+，那么函数()()(),()G x F f x g x =的最大值等于 .(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程）在极坐标系下，已知直线l 的方程为21)3cos(=-πθρ，则点)2,1(πM 到直线l 的距离为__________.15.（几何证明选讲）如图，P 为圆O 外一点，由P 引圆O 的切线PA 与圆O 切于A 点，引圆O 的割线PB 与圆O 交于C 点.已知AC AB ⊥， 1,2==PC PA .则圆O 的面积为 .AP三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，满足2A C B +=，且1411)cos(-=+C B . （1）求C cos 的值；（2）若5=a ，求△ABC 的面积. 17．（本题满分14分）如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ，90BCA ∠=，2===CA BC PB ，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且FA PF =2. （1）求证：平面PAC ⊥平面BEF ；（2）求平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角（锐角）的余弦值.18．（本题满分13分）佛山某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命ξ（单位：月）服从正态分布2(,)N μσ，且使用寿命不少于12个月的概率为0.8，使用寿命不少于24个月的概率为0.2. （1）求这种灯管的平均使用寿命μ；（2）假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管，使用12个月时进行一次检查，将已经损坏的灯管换下（中途不更换），求至少两支灯管需要更换的概率. 19．（本题满分12分）已知圆221:(4)1C x y -+=，圆222:(2)1C x y +-=，动点P 到圆1C ,2C 上点的距离的最小值相等. （1）求点P 的轨迹方程；（2）点P 的轨迹上是否存在点Q ，使得点Q 到点(A -的距离减去点Q 到点B 的距离的差为4，如果存在求出Q 点坐标，如果不存在说明理由.20．（本题满分14分）设a R ∈,函数()ln f x x ax =-.(1) 若2a =，求曲线()y f x =在()1,2P -处的切线方程； (2) 若()f x 无零点,求实数a 的取值范围；(3) 若()f x 有两个相异零点12,x x ,求证: 212x x e ⋅>.21．（本题满分14分）设*N n ∈，圆n C ：222(0)n n x y R R +=>与y 轴正半轴的交点为M，与曲线y =的交点为1(,)n N y n，直线MN 与x 轴的交点为(,0)n A a . (1)用n 表示n R 和n a ; (2)求证:12n n a a +>>;(3)设123n n S a a a a =++++ ,111123n T n =++++ ,求证:27352n n S n T -<<.2012年佛山市普通高中高三教学质量检测（一）数学试题（理科）参考答案和评分标准二、填空题（每题5分，共30分） 9．30 10．2π 11．1 12．94 13． 3 14．213- 15．π49 三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）解：（1）∵2A C B +=，且A B C π++=，∴3B π=…………………1分∵1411)cos(-=+C B ,∴1435)(cos 1)sin(2=+-=+C B C B …………………3分 ∴()cos cos cos()cos sin()sin C B C B B C B B C B =+-=+++⎡⎤⎣⎦7123143521411=⨯+⨯-= …………………6分（2）由（1）可得734cos 1sin 2=-=C C …………………8分在△ABC 中，由正弦定理AaB bC c sin sin sin == ∴8sin sin ==A C a c , 5sin ==aAb b …………………10分三角形面积11sin 5822S ac B ==⨯⨯=…………………12分 17．（本题满分14分）（1）证明：∵⊥PB 底面ABC ，且⊂AC 底面ABC ， ∴AC PB ⊥ …………………1分由90BCA ∠=，可得CB AC ⊥ …………………………2分又 PB CB B = ，∴AC ⊥平面PBC …………………………3分注意到⊂BE 平面PBC ， ∴AC BE ⊥ …………………………4分BC PB = ,E 为PC 中点，∴BE PC ⊥ …………………………5分PC AC C = ， BE ⊥平面PAC …………………………6分而⊂BE 平面BEF ，∴BEF PAC 平面平面⊥ …………………………7分（2）方法一、如图，以B 为原点、BC 所在直线为x 轴、BP 为z 轴建立空间直角坐标系.则)1,0,1(,)2,0,0(,)0,2,2(,)0,0,2(E P A C …………………………8分1224(,,)3333BF BP PF BP PA =+=+= . …………………………10分设平面BEF 的法向量(,,)m x y z =.由0,0m BF m BE ⋅=⋅= 得0343232=++z y x ，即02=++z y x (1)0=+z x (2)取1=x ，则1,1-==z y ，(1,1,1)m =-. …………………………12分取平面ABC 的法向量为)1,0,0(=则cos ,3||||m n m n m n ⋅<>=，故平面ABC 与平面PEF 所成角的二面角（锐角）的余弦值为33. ……………14分方法二、取AF 的中点G ，AB 的中点M ，连接,,CG CM GM ，的中点为PC E ，AF PF =2，∴//EF CG . ……………8分 B E F EF BEF CG 平面平面⊂⊄, ， ∴//CG BEF 平面. ……………9分同理可证：BEF GM 平面//. 又CG GM G = ， ∴//CMG BEF 平面平面.…………10分则CMG 平面与平面ABC 所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角（锐角）已知ABC PB 底面⊥，2==BC AC ，⊂CM 平面ABC ∴CM PB ⊥，∴CM AB ⊥ …………11分又PB AB B = ，∴CM ⊥平面PAB 由于⊂GM 平面PAB ， ∴CM GM ⊥ 而CM 为CMG 平面与平面ABC 的交线，又⊂AM 底面ABC ，⊂GM 平面CMGAMG ∠∴为二面角A CM G --的平面角 …………12分根据条件可得2=AM ，33231==PA AG 在PAB ∆中，36cos ==∠AP AB GAM 在AGM ∆中，由余弦定理求得36=MG …………13分 332cos 222=⋅-+=∠GM AM AG GM AM AMG 故平面ABC 与平面PEF 所成角的二面角（锐角）的余弦值为33. …………14分 18．（本题满分13分）解：（1）∵2(,)N ξμσ ，(12)0.8P ξ≥=，(24)0.2P ξ≥=，∴(12)0.2P ξ<=，显然(12)(24)P P ξξ<=> …………………3分由正态分布密度函数的对称性可知，1224182μ+==，即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月； …………………5分（2）每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为10.80.2-=， …………………6分假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支，则(4,0.2)B η ， …………………10分故至少两支灯管需要更换的概率1(0)(1)P P P ηη=-=-=041314411310.80.80.2625C C =--⨯=（写成≈0.18也可以）. …………………13分 19．（本题满分13分）解：（1）设动点P 的坐标为(,)x y ，圆1C 的圆心1C 坐标为(4,0)，圆2C 的圆心2C 坐标为(0,2)， ……………………2分因为动点P 到圆1C ,2C 上的点距离最小值相等，所以12||||PC PC =, ……………………3分=23y x =-， ……………………4分因此点P 的轨迹方程是23y x =-； ……………………5分（2）假设这样的Q 点存在，因为Q点到(A -点的距离减去Q点到B 点的距离的差为4，所以Q点在以(A -和B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，即Q 点在曲线221(2)44x y x -=≥上， ……………………9分又Q 点在直线:23l y x =-上， Q 点的坐标是方程组2223144y x x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩的解，……………………11分消元得2312130x x -+=，21243130∆=-⨯⨯<，方程组无解，所以点P 的轨迹上不存在满足条件的点Q . ……………………13分 20．（本题满分14分）解：方法一在区间()0,+∞上,11()axf x a x x-'=-=. ……………………1分（1）当2a =时，(1)121f '=-=-，则切线方程为(2)(1)y x --=--，即10x y ++= …………3分（2）①若0a <,则()0f x '>,()f x 是区间()0,+∞上的增函数,(1)0f a =->Q ,()(1)0a a a f e a ae a e =-=-<,(1)()0a f f e ∴⋅<,函数()f x 在区间()0,+∞有唯一零点. …………6分②若0a =,()ln f x x =有唯一零点1x =. …………7分 ③若0a >,令()0f x '=得: 1x a=. 在区间1(0,)a上, ()0f x '>,函数()f x 是增函数; 在区间1(,)a+∞上, ()0f x '<,函数()f x 是减函数; 故在区间()0,+∞上, ()f x 的极大值为11()ln 1ln 1f a a a=-=--. 由1()0,f a <即ln 10a --<,解得:1a e>. 故所求实数a 的取值范围是1(,)e+∞. …………9分方法二、函数()f x 无零点⇔方程ln x ax =即ln xa x=在()0,+∞上无实数解 …………4分令ln ()x g x x =，则21ln ()xg x x -'= 由()0g x '=即21ln 0xx-=得：x e = …………6分在区间(0,)e 上, ()0g x '>,函数()g x 是增函数; 在区间(,)e +∞上, ()0g x '<,函数()g x 是减函数; 故在区间()0,+∞上, ()g x 的极大值为1()g e e=. …………7分注意到(0,1)x ∈时，()(),0g x ∈-∞；1x =时(1)0g =；()1,x ∈+∞时，1()0,g x e⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故方程ln x a x =在()0,+∞上无实数解⇔1a e>. 即所求实数a 的取值范围是1(,)e+∞. …………9分[注:解法二只说明了()g x 的值域是1,e⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦,但并没有证明.](3) 设120,x x >>12()0,()0,f x f x ==Q 1122ln 0,ln 0x ax x ax ∴-=-=1212ln ln ()x x a x x ∴+=+,1212ln ln ()x x a x x -=-原不等式21212ln ln 2x x e x x ⋅>⇔+>12()2a x x ⇔+>121212ln ln 2x x x x x x -⇔>-+1122122()ln x x x x x x -⇔>+ 令12x t x =,则1t >,于是1122122()2(1)ln ln 1x x x t t x x x t -->⇔>++. …………12分设函数2(1)()ln 1t g t t t -=-+(1)t >, 求导得: 22214(1)()0(1)(1)t g t t t t t -'=-=>++ 故函数()g t 是()1,+∞上的增函数, ()(1)0g t g ∴>= 即不等式2(1)ln 1t t t ->+成立,故所证不等式212x x e ⋅>成立. ……………………14分 21．（本题满分14分）解： (1)由点N在曲线y =上可得1(N n , ……………………1分又点在圆n C 上，则222111(),n n n R R n n n +=+==……………………2分从而直线MN 的方程为1n nx y a R +=, ……………………4分由点1(N n在直线MN 上得:11n na =,将n R =代入化简得: 11n a n =++ ……………………6分(2) 111n +>>,*1,12n n N a n ∴∀∈=++> ……………………7分又11111n n +>+>+111111n n a a n n +∴=+>++ ……………………9分(3)先证:当01x ≤≤时,11)12xx +≤≤+. 事实上,不等式11)12x x +≤≤+22[11)]1(1)2xx x ⇔+≤+≤+22211)1)114x x x x x ⇔++≤+≤++2223)1)04x x x ⇔+≤≤后一个不等式显然成立,而前一个不等式2001x x x ⇔-≤⇔≤≤. 故当01x ≤≤时,不等式11)12xx +≤+成立. 1111)12n n ∴+≤<+, ……………………11分1132122n a n n n∴≤=+<+(等号仅在n =1时成立) 求和得: 3222n n n n T S n T ≤<+⋅27352nnS nT-∴<≤<……………………14分理科试题参考答案第11 页共11 页。

广东省佛山市三水中学2012年5月高三临考集训试卷(理数)

佛山三水中学2012届高三临考集训试卷理科数学试题一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分..） 1.设全集U=R,集合，，若A 与B 的关系如右图所示,则实数a 的取值范围是（A ）（B ）（C ）（D ）2．在复平面内，复数1ii+对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．函数)2(cos 2π+=x y 的单调增区间是（A ）]2,[πππk k +k ∈Z （B ）],2[ππππ++k k k ∈Z（C ）]2,2[πππ+k k k ∈Z （D ）]22,2[ππππ++k k k ∈Z4.41(2)x x-的展开式中的常数项为（A ）24- （B ）6- （C ）6 （D ）245.若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为（）（A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）66．如图（１）是反映某条公共汽车线路收支差额（即营运所得票价收入与付出成本的差）y 与乘客量x 之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损，公司有关人员提出了两种调整的建议，如图（２）（３）所示.给出下说法：①图（2）的建议是：提高成本，并提高票价； ②图（2）的建议是：降低成本，并保持票价不变； ③图（3）的建议是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）的建议是：提高票价，并降低成本．其中所有说法正确的序号是．（A ）① ③ （B ）①④ （C ）② ③ （D ）②④(1)(2)(3)7. .如图，用21A A K 、、三类不同的元件连接成一个系统，K 正常工作且21A A 、至少有一个正常工作时，系统正常工作.已知21A A K 、、正常工作的概率依次为9.0、8.0、8.0，则系统正常工作的概率为A. 960.0 B .864.0C. 720.0D. 576.08.定义：()00>>=y ,x y )y ,x (F x ，已知数列{}n a 满足：()()n ,F ,n F a n 22=()n *∈N ，若对任意正整数n ，都有k n a a ≥()k *∈N 成立，则k a 的值为（A ）12（B ）2 （C ）89 （D ）98二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分.其中9—13题为必做题，14—15为选做题）（一）必做题 9—139. 如图，是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，11．已知非零向量，满足||332||||=-=+，则b a +与b a -的夹角为．12．过点P )1,2(的双曲线与椭圆1422=+y x 共焦点，则其渐近线方程是． 13.已知函数sin 1()1x x f x x -+=+()x ∈R 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为 .(二)选做题14—1514．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标下，曲线122:()x t aC t y t=+⎧⎨=-⎩为参数，曲线22cos :()12cos x C y θθθ=⎧⎨=+⎩为参数，若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a 的取值范围为．15．（几何证明选讲）如图，点,,A B C 是圆O 上的点,且2,120AB BC CAB ==∠=,则AOB ∠对应的劣弧长为．K A 1A 216．（本小题满分12分）已知23cos 3cos sin )(2-+-=x x x x f ωωω的周期为2π （1）求()x f 的最大值以及取最大值时x 的集合（2）已知()31=αf ，且α)2,0(π∈，求)265cos(απ+17.（本小题满分12分）如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？(2)用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X 的分布列和数学期望．18.（本小题满分14分）已知DB C ∆∆和ABC 所在的平面互相垂直，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，120=∠=∠D B C C B A ，求：⑴．直线AD 与平面BCD 所成角的大小； ⑵．直线AD 与直线BC 所成角的大小； ⑶．二面角A-BD-C 的余弦值．19. （本小题满分14分）已知⊙O ：122=+y x ，M 为抛物线x y 82=的焦点，P 为⊙O 外一点，由P 作⊙O 的切线与圆相切于N 点，且2=PMPN（1）求点P 的轨迹C 的方程（2）设A 为抛物线x y 82=准线上任意一点，由A 向曲线C 作两条切线AB 、AC ，其中B 、C 为切点。

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* * * * * * * * * * (1)写出用高锰酸钾制氧气的化学方程式：___________； (2)欲调整试管高度，应调节图中A、B、C哪个旋钮：____； (3)步骤②的操作与观察到的现象是：________；若装置无破损，加热一段时间后，观察到高锰酸钾已大量分解，但导管口仍未产生明显气泡，可能的原因是________； (4)上述实验步骤中，可能导致集气瓶中收集的氧气不纯净(水蒸气不计)的是________；(填序号) (5)步骤⑦中的操作，可能引起____________。

答案:　(1)2KMnO4 K2MnO4＋MnO2＋O2↑　(2)A (3)用手捂住大试管，导管口冒气泡，松手后导管口形成稳定的水柱　橡皮塞没有塞紧　(4)③⑤　(5)倒吸(或大试管破裂) 实验探究典例分析 3 (2011桂林)实验室制取氧气是初中化学阶段的重要实验。

小元同学准确称取7.9g纯净的高锰酸钾加热一段时间后，收集到氧气580mL(标准状况)。

(1)请写出两个实验室用固体反应物制取氧气的化学方程式：______________________。

(2)意外发现：根据化学方程式计算，7.9g高锰酸钾完全分解，应生成氧气560mL(标准状况)。

小元通过数据分析，意外发现收集到的氧气体积和理论计算的氧气体积不相符合，并且在实验中还意外发现锰酸钾溶液呈墨绿色。

(3)提出假设：小元取实验后的少量固体残渣再次加热，经检验又产生了氧气。

根据小元发现的问题和上述实验结果可以做出如下假设：假设1：二氧化锰也可以受热分解产生氧气假设2：锰酸钾也可以受热分解产生氧气假设3：二氧化锰和锰酸钾受热都可以放出氧气假设4：____________________________(只填一种) (4)设计实验：小元用最初加热所得的残渣及必要的实验用品，设计了如下实验流程验证假设2。

请在下面实验流程方框中的相应位置填写各步骤的实验操作名称。

广东省佛山市三水区2012年5月考前金题巧练(4,理数)

2012考前金题巧练（4）祝你成功1.知函数b x x f +=)(的图像与函数23)(2++=x x x g 的图象相切，记).()()(x g x f x F = （Ⅰ）求实数b 的值及函数F （x ）的极值；（Ⅱ）若关于x 的方程F （x ）= k 恰有三个不等的实数根，求实数k 的取值范围.2.已知函数32()f x x ax b =-++(),a b ∈R ．（Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若对任意[]3,4a ∈，函数()f x 在R 上都有三个零点，求实数b 的取值范围．3.已知函数 321()(21)3(2)13f x x a x a a x =-++++，a R ∈．（Ⅰ）当0a =时，求曲线()y f x =在点（3,(3)f ）处的切线方程；（Ⅱ）当1a =-时，求函数()y f x =在[0,4]上的最大值和最小值；（Ⅲ）当函数'()y f x =在0,4（）上有唯一的零点时，求实数a 的取值范围．4.设0≠t ，点P （t ，0）是函数c bx x g ax x x f +=+=23)()(与的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线.（Ⅰ）用t 表示a ，b ，c ；（Ⅱ）若函数)()(x g x f y -=在（－1，3）上单调递减，求t 的取值范围.5.设函数)0(333)(23>---=a a x x x x f 。

（Ⅰ）如果1=a ，点P 为曲线)(x f y =上一个动点，求以P 为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；（Ⅱ）若]3,[a a x ∈时，0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围。

6.函数3342)(232+-++-=t t t tx x x f ，其中R t R x ∈∈,，将()f x 的最小值记为()g t ．（Ⅰ）求()g t 的表达式；（Ⅱ）讨论()g t 在区间[-1，1]内的单调性；（Ⅲ）若当[-1,1]∈t 时，k t g ≤)(恒成立，其中k 为正数，求k 的取值范围．7.已知a 为实数,函数()f x =323322x ax x a +++. （Ⅰ）若函数()f x 的图象上有与x 轴平行的切线,求a 的取值范围；（Ⅱ）若(1)0f '-=,对任意12,[1,0]x x ∈-,不等式12|()()|f x f x m -≤恒成立，求m 的最小值.8.对于函数()()3220.32a b f x x x a x a =+-> （Ⅰ）若函数()f x 在2x =处的切线方程为720y x =-,求,a b 的值；（Ⅱ）设12,x x 是函数)(x f 的两个极值点,且122x x +=,证明：b ≤ .9.已知函数32()3f x x x =+（Ⅰ）若()y f x =在区间[21,1]m m -+上是增函数，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若12,[1,1]x x ∈-，求证：12|()()|4f x f x -≤．10.已知函数43219()42f x x x x cx =+-+有三个极值点。

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2012考前金题巧练（6）祝你成功 1.已知函数. （Ⅰ）数列求数列的通项公式；（Ⅱ）已知数列，求数列的通项公式；（Ⅲ）设的前n项和为Sn，若不等式对所有的正整数n恒成立，求的取值范围。

2．已知数列中，，，记为的前项的和．（Ⅰ）设，证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求；（Ⅲ）不等式对于一切恒成立，求实数的最大值. 3．已知数列的前五项依次是. 正数数列的前项和为，且.（Ⅰ）通过观察和归纳写出符合条件的数列的一个通项公式；（Ⅱ）求的表达式；（Ⅲ）在（Ⅰ）、（Ⅱ）的条件下，，当时，设，是数列的前项和，且恒成立，求实数的取值范围. 4.已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+（）.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）若数列{前项和为，问>的最小正整数是多少? . 5.已知：数列，中，=0，=1，且当时，，，成等差数列，，，成等比数列.（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）求最小自然数，使得当≥时，对任意实数，不等式≥恒成立；（Ⅲ）设（∈），求证：当≥2都有＞2. 6．直线过（1，0）点，且关于直线y=x对称的直线为，已知点在上，。

当n≥2时，有（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）求{ an}的通项公式；（Ⅲ）设求数列{ bn}的前n项和Sn 7．已知数列{ an }的前n项和Sn满足，Sn=2an+（—1）n，n≥1。

（Ⅰ）求数列{ an }的通项公式；（Ⅱ）求证：对任意整数m>4，有 8．已知函数（为常数，且），且数列是首项为4，公差为2的等差数列.求证：数列是等比数列；若，当时，求数列的前项和；若，问是否存在，使得中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由数列{an}满足：(n≥3)．（Ⅰ）求证数列{bn}为等差数列，并求其通项公式；，数列{}的前n项和为Sn，求证：n<Sn<n+1． 10.已知数列中，. （Ⅰ）写出的值（只写结果）并求出数列的通项公式；（Ⅱ）设，求的最大值。

广东省佛山市三水区2012高考理科数学中低档题型专题训练(8)

广东省佛山市三水区2012高考理科数学中低档题型专题训练（8）1.函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R).(1) 当x 取什么值时,函数()f x 取得最大值,并求其最大值;(2) 假设θ为锐角，且83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan θ的值. (本小题要紧考查三角函数性质,同角三角函数的差不多关系、两倍角公式等知识,考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1)解:()2sin cos cos2f x x x x =+sin 2cos2x x =+……1分2222x x ⎫=+⎪⎪⎭……2分24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.……3分∴当2242x k πππ+=+,即(8x k k ππ=+∈Z )时,函数()f x 取得最大值,. ……5分(2)解法1:∵8f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.……6分 ∴1cos 23θ=.……7分 ∵θ为锐角，即02πθ<<,∴02θπ<<.∴sin 23θ==.……8分∴sin 2tan 2cos 2θθθ==……9分∴22tan 1tan θθ=-……10分2tan 0θθ+-=.∴)(1tan 0θθ-+=.∴tan θ=tan θ=不合题意,舍去)……11分∴tan 2θ=.……12分解法2:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴1cos 23θ=.……7分 ∴212cos 13θ-=.……8分 ∵θ为锐角，即02πθ<<,∴cos θ=.……9分∴sin 3θ==.……10分∴sin tan cos 2θθθ==.……12分解法3:∵83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,223πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴1cos 23θ=.……7分 ∵θ为锐角，即02πθ<<,∴02θπ<<.∴sin 23θ==.……8分 ∴sin tan cos θθθ=……9分 22sin cos 2cos θθθ=……10分 sin 21cos 2θθ=+=……12分 2.2017年广东亚运会，某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K和D 两个动作，竞赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩。

广东省佛山市三水区2012年5月考前金题巧练(3,理数)

2012考前金题巧练（3）祝你成功1.设ax x x x f 22131)(23++-=. (Ⅰ)若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；（Ⅱ）当20<<a 时，)(x f 在]4,1[上的最小值为316-，求)(x f 在该区间上的最大值.2.设()nx mx x x f ++=2331. (Ⅰ)如果()()32--'=x x f x g 在2-=x 处取得最小值5-，求()x f 的解析式；（Ⅱ）如果()+∈<+N n m n m ,10，()x f 的单调递减区间的长度是正整数，试求m 和n 的值．(注：区间()b a ,的长度为a b -）3.已知函数32()3(36)124()f x x ax a x a a R =++-+-∈ (Ⅰ)证明：曲线()0y f x x ==在(2,2)的切线过点；（Ⅱ）若00()(1,3)f x x x x =∈在处取得极小值，,求a 的取值范围。

4.已知函数32()(,0)f x ax bx cx d x a =+++∈≠R ，2-是)(x f 的一个零点，又)(x f 在0=x 处有极值，在区间)4,6(--和)0,2(-上是单调的，且在这两个区间上的单调性相反．(Ⅰ)求ab的取值范围；（Ⅱ）当a b 3=时，求使{}(),32[3, 2]y y f x x =-≤≤⊆-成立的实数a 的取值范围．5.已知函数()32312f x ax x =-+()x ∈R ，其中0a >．（Ⅰ）若1a =，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程；（Ⅱ）若在区间11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，()0f x >恒成立，求a 的取值范围．6.已知函数321()(2)41,()532m f x mx x x g x mx =-+++=+．（Ⅰ）若6=m ，求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）是否存在0m <，使得对任意的1x ，2[2,3]x ∈都有12()()1f x g x -≤，若存在，求m 的范围；若不存在，请说明理由．7.已知函数)(241)(24R a x ax x x f ∈+-=．（Ⅰ）若23=a ，求函数)(x f 极值；（Ⅱ）设F(x)=2)12()(22'-+-+x a x a x f ，若函数F(x)在[0，1]上单调递增，求a 的取值范围．8.已知函数，()2321383f x a x ax x =++，()3238g x x m x m =+- （Ⅰ）求()f x 在x=1处的切线斜率的取值范围；（Ⅱ）求当()f x 在x=1处的切线的斜率最小时，()f x 的解析式；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否总存在实数m ，使得对任意的[]11,2x ∈-，总存在[]00,1x ∈，使得()()01g x f x =成立？若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，说明理由．9.设定义在R 的函数43201234()f x a x a x a x a x a =++++，01234,,,,a a a a a ∈R. 当1x =-时，()f x 取得极大值23，且函数(1)y f x =+的图象关于点(1, 0)-对称. （I ）求函数()y f x =的表达式；（II ）判断函数()y f x =的图象上是否存在两点，使得以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标在区间[上，并说明理由；（III ）设12n n x -=-，1)m m y -=-（,m n N *∈），求证：4()()3n m f x f y -<.10.设()1212,x x x x ≠是函数()()3220f x ax bx a x a =+->的两个极值点.（I ）若121,2x x =-=,求函数()f x 的解析式;（II ）若12x x +=,求b 的最大值.2012考前金题巧练（3）参答1.解: (Ⅰ))(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，即存在某个子区间),32(),(+∞⊆n m 使得0)('>x f .由a x a x x x f 241)21(2)(22'++--=++-=，)('x f 在区间),32[+∞上单调递减，则只需0)32('>f 即可。

广东省佛山市三水区2012年5月考前金题巧练(2,理数)

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌2012考前金题巧练（2）祝你成功1．已知斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，90ACB ∠=，侧棱与底面所成角为θ，点1B 在底面上射影D 落在BC 上．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面11BB C C ；（Ⅱ）若点D 恰为BC 中点，且11AB BC ⊥，求θ的大小；（III ）若1cos 3θ=，且当1AC BC AA a ===时，求二面角1C AB C --的大小．2．如图4，已知平面11BCC B 是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面），BC 是圆柱底面的直径，O 为底面圆心，E 为母线1CC 的中点，已知14AB AC AA === （Ⅰ）求证：1B O ⊥平面AEO ；（Ⅱ）求二面角1B AE O --的余弦值; （III ）求三棱锥1A B OE -的体积.3．在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形。

0,90,1,2AB CD ADC AB AD PD CD ∠=====（Ⅰ）求证：BE 平面APD ；（Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ；（III ）设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=; 试确定λ的值，使得二面角为Q BD P --为045.CA▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌Q MDCAPB4．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，1AB AF ==,M 是线段EF 的中点．（Ⅰ）求证AM //平面BDE ；（Ⅱ）求二面角A -DF -B 的大小；（Ⅲ）试在线段AC 上确定一点P ，使得PF 与BC 所成的角是60︒．5．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，90ABC??，2AB PB PC BC CD ====，平面PBC ^平面ABCD .（Ⅰ）求证：AB ^平面PBC ；（Ⅱ）求平面PAD 和平面BCP 所成二面角（小于90°）的大小；（Ⅲ）在棱PB 上是否存在点M 使得CM ∥平面PAD ？若存在，求PMPB的值；若不存在，请说明理由.6. 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ︒∠=，Q 为AD 的中点，2PA PD AD ===．（Ⅰ）求证：AD ⊥平面PQB ；（Ⅱ）点M 在线段PC 上，PM tPC =，试确定t 的值，使//PA 平面MQB ；（Ⅲ）若//PA 平面MQB ，平面PAD ⊥平面ABCD ，求二面角M BQ C --的大小．E D7.已知正方形ABCD 的边长为2，AC BD O =．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使AC a =，得到三棱锥A BCD -，如图所示．（Ⅰ）当2a =时，求证：AO BCD ⊥平面；（Ⅱ）当二面角A BD C --的大小为120时，求二面角A BC D --的正切值．8．如图所示，已知四棱锥S ABCD -的底面是边长为4的正方形，S 在底面上的射影O 落在正方形ABCD 内，且O 到,AB AD 的距离分别为2和1 （Ⅰ）求证：AB SC ⋅是定值；（Ⅱ）已知P 是SC 的中点，且3SO =，问在棱SA 上是否存在一点Q ，使异面直线OP 与BQ 所成的角为090？若存在，请给出证明，并求出AQ 的长；若不存在，请说明理由.A图1图29.如图，四边形ABCD 中（图1），E 是BC的中点，2DB =，1,DC =BC =，AB AD ==将（图1）沿直线BD 折起，使二面角A BD C --为060（如图2）（Ⅰ）求证：AE ⊥平面BDC ；（Ⅱ）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值；（Ⅲ）求点B 到平面ACD 的距离.10．如图，在三棱锥ABC P -中，O 为AC 的中点，平面ABC ⊥平面PAC ，2====PC AP BC AB ,︒=∠=∠90APC ABC .（Ⅰ）求证：OB OP ⊥；（Ⅱ）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值；（III ）若动点M 在底面三角形ABC 上，二面角M PA C --的余弦值为11113，求BM 的最小值.AC2012考前金题巧练（2）参答1．解：（I ）∵B 1D ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴1B D AC ⊥又∵BC AC ⊥，1B D BC D =，∴AC ⊥平面11BB C C（II ）1111111111AB BC BC AB C AC BC BC B C B C AB C AB AC ⊥⎫⊥⎫⎪⊥⇒⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪⎭平面平面与相交∴四边形11BB C C 为菱形，又∵D 为BC 的中点，BD ABC ⊥平面∴1B BC ∠为侧棱和底面所成的角α，∴11cos 2B BC ∠=∴160B BC ∠=，即侧棱与底面所成角3π．（III ）以C 为原点，CA 为x 轴CB 为y 轴，过C 点且垂直于平面ABC 的直线为Z 轴，建立空间直角坐标系，则A （a ,0,0），B (0,a ,0)，1(0,)3a C -，平面ABC 的法向量1(0,0,1)=n ，设平面ABC 1的法向量为2(,,)x y z =n ，由22100AB BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即0403x y y -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，2=n12cos ,<>=n n 1C AB C --的大小为4π 2．解：依题意可知， 1AA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，空间向量法如图建立空间直角坐标系o xyz -，因为1AB AC AA ==＝4，则1(0,0,0),(4,0,0)(0,4,2),(2,2,0),(4,0,4)A B E O B（Ⅰ）1(224)(222)BO EO =--=--，，，，，，(2,2,0)AO = 1(2)22(2)(4)(2)0BO EO =-+-+--=×××，∴1B O EO ⊥，∴1B O EO ⊥ 1(2)222(4)00BO AO =-++-=×××， ∴1B O AO ⊥，∴1B O AO⊥，∵AO EO O =，,AO EO ⊂平面AEO ∴ 1B O ⊥平面AEO（Ⅱ）平面AEO 的法向量为1(224)B O =--，，，设平面 B 1AE 的法向量为10()0n AE n x y z nB A ⎧=⎪=⎨=⎪⎩·，，，∴·，即⎩⎨⎧=+=+002z x z y令x ＝2，则21(212)z y z =-==-，，∴，，∴111cos6||||9n B O n B O n B O <>===·，·×∴二面角B 1—AE —F（III ）因为222200AO EO =⨯-⨯+=，∴AO EO ⊥， ∴AO EO ⊥∵2||2AO AO ==，||23EO EO ==∴1111118332A B OE B AOE AOE V V S B O --∆==⋅=⨯⨯=3．解：（Ⅰ）取PD 的中点F ，连结,EF AF ，因为E 为PC 中点，所以EF CD ，且112EF CD ==。

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