工学结构动力学随机振动数学描述PPT课件

2 x
0
(c) Rx ( ) Rx (0)
(d)自相关函数是有界的，且满足
2 x
2 x
Rx ( )
通常不可能取无限个样本，而是大量的样本函数作为随机过程的一个近似。
能否用一个样本来描述该随机过程？ 若时间平均：
xk
lim 1 T T
T /2
T / 2 xk (t)dt
Rxk
(
)
lim
T
1 T
T /2 T / 2
xk
(t ) xk
(t
)dt
等统计特性对各样本是相同的(与k无关)，则该过程称为各态历经过程，此时可用一个样本的时间平均 来讨论。
**研究方法
输入 激励
系统
输出 响应
系统：机械产品，结构物，装置，零部件等，M,C,K表示 激励：系统受到的随时间变化的扰动(位移、速度、力等) 响应：系统激励作用产生的运动(位移、速度、加速度、
应力等)
采用概率统计的方法研究，应用傅立叶分析，把时域信号转换到频域中去考虑
**研究课题有：①环境调查②响应预估③系统识别
对各态历经过程，有
Rx
(
)
lim
T
1 T
T
x(t)x(t )dt
0
一般情况下Rx(τ) 与τ的关系曲线如下图 常见信号类型的自相关函数如右图
(2)自相关函数的性质
(a)平稳过程x(t)的Rx(τ)是实偶函数，即
Rx ( ) Rx ( )
(b)
Rx (0)
E[ x(t) x(t)]
E[ x 2 (t)]
①数学期望(又称集合平Байду номын сангаас、均值、一次矩)
xk E[x(t)]
x p(x, t)dx
②均方值(二次矩)
p(x, t)概率密度函数
2 x
E[ x2 (t)]
x2 p(x, t)dx
③方差(二次中心矩)
Dx D[ x(t)] E[(x x ) 2 ]
(x
x )2
p(x, t)dx
E[ x 2
注意：各态历经过程一定是平稳的，但平稳过程不一定是各态历经的。而要证明一个过程是各态历经 的却很难，通常假设过程是各态历经的，除非有证据证明不是。
主要讨论各态历经过程和平稳过程。
§9-4 概率分布 概率密度函数 联合概率分布
研究随机变量，不仅要知道它可能取得一些什么值，更重要的是要知道它取得这些值的概率， 这就是随机变量的概率分布问题。
而
xy
称为C互x y协方差系数或互相关系数
x y
若X(t) 与Y(t)互相独立，则ρxy＝0
但反过来若ρxy＝0，则X(t)与Y(t)不一定互相独立！
特别地，若用X(t)代替Y(t)，则协方差：
C12 E[{x(t1 ) x1}{x(t2 ) x2 }]
( x1 x1 )(x2 x2 ) p( x1 , t1 ; x2 , t2 )dx1dx2
第九章 随机振动数学描述
§9-1 引言
前面介绍的都是确定性振动问题。对于确定性系统，若激励是随机的，则响应也是随机的，这 种问题是随机振动问题。
随机激励，如：路面对车辆，风对塔架，河流对船舶 随机振动的特点是：
①规律事先不知道 ②试验条件相同，但各次测量波形不重复 ③不能用周期函数或其组合来描述
应该指出： ①一个确定性振动，不论波形怎样复杂，也不是随机振动
②随机振动≠复杂振动，如初相位随机变化的简谐振动x=X0sin(ωt+φ)(φ在0～2π之间 随机取值)，波形十分简单，但仍属于随机振动
**常见的几种随机激励： 1)固体接触面凹凸不平，如：路面，滚珠轴承，齿轮金属切削加工，……
2)流体对固体表面的作用，如：船，堤坝，海洋平台，高层建筑，……
**常见的几种随机激励： 3)火箭燃烧放热不均匀，如：火箭发动机，化工储液罐，……
关于概率分布函数、概率密度函数、联合概率分布及正态分布过程等内容请看相关书籍。
注意：对各态历经过程，我们可从单个样本函数去求概率分布函数及概率密度函数等。
§9-5 随机变量的概率特征及其代数运算
概率密度函数可以描述随机变量的特征，但在实际问题中，有时候并不需要知道随机变量的全 部统计信息，或者不容易得到概率密度函数。此时，寻求随机变量的某些既重要又有代表性和 确定性的信息来代替随机变量的全部统计信息是重要的。
4)地震或地面突变，如：地震，火炮发射，采掘机抖动，……
**随机振动的利与害 〔利用〕
1)诊断与检验：心电图、脑电波分析，轴承、齿轮和发动机的故障诊断
2)找振源、确定传递通道 3) ……
〔危害〕
对于确定性振动，只要使系统固有频率远离激励频率，就可避免共振发生
但是，对于随机振动，由于激励频率是一连续分布的形式，要避免共振是困难的，只能 作某些要求，如：避免在加速度0.1g以上条件下工作，或在振幅大于某个值的条件下工 作等等
Rx (t1 , t1
)
lim
n
1 n
n k 1
xk (t1 ) xk (t1
)
统计特性 x (t1 ), Rx (t1 , t1 )等不与时刻 t1有关，则过程称为定常 过程(平稳过程 )
x (t1 ) x
Rx (t1 , t1 ) Rx ( )
§9-3 时间平均 各态历经过程
(t)]
2 x
2 x
2 x
④相关矩(协方差)
x Dx
2 x
2 x
x2
随机变量X(t1) 与Y(t2)的协方差定义为：
C xy E[{x(t1 ) x }{ y(t2 ) y }]
( x x )( y y ) p( x, t1 , y, t2 )dxdy
E[ x(t1 ) y(t2 )] x y
§9-2 集合平均 定常过程
无限个、无限长样本{xk(t)}，随机变量 {xk(t1)}
xn (t) xi (t )
x2 (t)
x1 (t)
t1
t2
无限个、无限长样本{xk(t)}，随机变量 {xk(t1)}，则集合平均(t1时刻)
自相关函数
x (t1 )
lim
n
1 n
n k 1
xk (t1 )
E[ x(t1 ) x(t2 )] x1 x2
2 12
当t1
t
2时，
2 12
2，协方差系数为
x
x1x 2
2 12
E[ x 2 ]
对各态历经过程，上述统计特性均可从一个样本信息得到。
§9-6 自相关函数及其特性
(1)自相关函数 对平稳过程，有
Rx ( ) E[ x(t) x(t )] x1 x2 p( x1 , x2 )dx1dx2