人教版七年级数学下册三元一次方程组(提高) 典型例题(考点)讲解+练习(含答案).doc

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三元一次方程组（提高）知识讲解
责编:杜少波
【学习目标】
1．理解三元一次方程(或组)的含义；
2．会解简单的三元一次方程组；
3. 会列三元一次方程组解决有关实际问题.
【要点梳理】
要点一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1.三元一次方程的定义:
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程．如x+y-z＝1，2a-3b+4c＝5等都是三元一次方程．
要点诠释：
(1)三元一次方程的条件：①是整式方程，②含有三个未知数，③含未知数的项的最高次数是1次．
(2) 三元一次方程的一般形式：ax+by+cz+d=0，其中a、b、c不为零．
2．三元一次方程组的定义：
一般地，由几个一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组. 要点诠释：
(1) 三个方程中不一定每一个方程中都含有三个未知数，只要三个方程共含有三个未知量即可．
（2）在实际问题中含有三个未知数，当这三个未知数同时满足三个相等关系时，可以建立三元一次方程组求解．
要点二、三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的一般步骤
(1)利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
(2)解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
(3)将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
(4)解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
(5)将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
要点诠释：
（1）解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”消元，把“三元”化为“二元”．使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而转化为解一元一次方程．其思想方法是：
（2）有些特殊的方程组可用特殊的消元法，解题时要根据各方程特点寻求其较简单的解法．要点三、三元一次方程组的应用
列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
1．弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；
2．找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
3．根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
4．解这个方程组，求出未知数的值；
5．写出答案(包括单位名称)．
要点诠释：
(1)解实际应用题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的应该舍去．
(2)“设”、“答”两步，都要写清单位名称，应注意单位是否统一．
(3)一般来说，设几个未知数，就应列出几个方程并组成方程组．
【典型例题】
类型一、三元一次方程及三元一次方程组的概念
1.下列方程组不是三元一次方程组的是（）．
A．
1
22
36
x y
y z
y
+=
⎧
⎪
+=-
⎨
⎪=
⎩
B．
240
1
3
x
y x
xy z
⎧-=
⎪
+=
⎨
⎪-=-
⎩
C．
2
23
1
x
y
x z
=
⎧
⎪
=-
⎨
⎪-=
⎩
D．
1
3
21
y x
x z
y z
-=-
⎧
⎪
+=
⎨
⎪-=
⎩
【思路点拨】根据三元一次方程组的定义来求解，对A、B、C、D四个选项进行一一验证．【答案】B
【解析】
解：由题意知，含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1次，并且一共有三个方程，叫做三元一次方程组．
A、满足三元一次方程组的定义，故A选项错误；
B、x2-4=0，未知量x的次数为2次，∴不是三元一次方程，故B选项正确；
C、满足三元一次方程组的定义，故C选项错误；
D、满足三元一次方程组的定义，故D选项错误；
故选B．
【总结升华】三元一次方程组中的方程不一定都是三元一次方程，并且有时需对方程化简后再根据三元一次方程组的定义进行判断．
类型二、三元一次方程组的解法
2. （2015春•苏州校级期末）若x：y：z=2：7：5，x﹣2y+3z=6，求的值．
【思路点拨】根据x：y：z=2：7：5，设x=2k，y=7k，z=5k，代入x﹣2y+3z=6得出方程，求出方程的解，即可求出x、y、z的值，最后代入求出即可．
【答案与解析】
解：∵x：y：z=2：7：5，
∴设x=2k，y=7k，z=5k，
代入x﹣2y+3z=6得：2k﹣14k+15k=6，
解得：k=2，
∴x=4，y=14，z=10，
∴==0.18．
【总结升华】若某一方程是比例形式，则先引入参数，后消元．
举一反三：
【变式】解方程组:2:3,:4:5,
2329x y y z x y z =⎧⎪=⎨⎪-+=⎩
①②③
【答案】
解：由①，得3x ＝2y ，即23x y =， ④ 由②，得5y ＝4z ，即54
z y =，⑤ 把④、⑤代入③，得21522934
y y y -+=． 解得y ＝12．⑥
把⑥代入④，得x ＝8，把⑥代入⑤，得z ＝15．
所以原方程组的解为8,12,15.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
【：三元一次方程组 409145 例3】
3.已知方程组354x y a y z a z x a +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩
①②③的解使得代数式x-2y+3z 的值等于-10，求a 的值．
【思路点拨】由题意可知，此方程组中的a 是已知数，x 、y 、z 是未知数，先解方程组，求出x ，y ，z(含有a 的代数式)，然后把求得的x 、y 、z 代入等式x-2y+3z ＝-10，可得关于a 的一元一次方程，解这个方程，即可求得a 的值．
【答案与解析】
解法一： ②-①，得z-x ＝2a ④
③+④，得2z ＝6a ，z ＝3a
把z ＝3a 分别代入②和③，得y ＝2a ，x ＝a ．
∴ 23x a y a z a =⎧⎪=⎨⎪=⎩
．
把x ＝a ，y ＝2a ，z ＝3a 代入x-2y+3z ＝10得
a-2×2a+3×3a ＝-10．
解得53
a =-． 解法二：①+②+③，得2(x+y+z)＝12a ．
即x+y+z=6a ④
④-①，得z ＝3a ，④-②，得x ＝a ，④-③，得y ＝2a ．
∴ 23x a y a z a =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
把x ＝a ，y ＝2a ，z ＝3a 代入x-2y+3z ＝10得
a-2×2a+3×3a ＝-10． 解得53a =-． 【总结升华】当方程组中三个方程的未知数的系数都相同时，可以运用此题解法2中的技巧解这类方程组．
【：三元一次方程组409145 例4】
举一反三：
【变式】若 303340x y z x y z -+=⎧⎨--=⎩
①② ，则x ：y ：z ＝ . 【答案】15:7:6
类型三、三元一次方程组的应用
4.（2016春•洛江区期末）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息： 营业员A ：月销售件数200件，月总收入2400元；
营业员B ：月销售件数300件，月总收入2700元；
假设营业员的月基本工资为x 元，销售每件服装奖励y 元．
（1）求x 、y 的值；
（2）若某营业员的月总收入不低于3100元，那么他当月至少要卖服装多少件？
（3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需350元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？
【思路点拨】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以得到x 、y 的值；
（2）由题意可以列出相应的不等式，从而可以得到某营业员至少需要卖出服装的件数；
（3）由题意可得相应的三元一次方程组，通过变形即可得到问题的答案．
【答案与解析】
解：（1）由题意，得
，
解得
即x 的值为1800，y 的值为3；
（2）设某营业员当月卖服装m 件，由题意得，
1800+3m ≥3100，
解得，，
∵m 只能为正整数，
∴m 最小为434，
即某营业员当月至少要卖434件；
（3）设一件甲为a元，一件乙为b元，一件丙为c元，则
，
将两等式相加得，4a+4b+4c=720，
则a+b+c=180，
即购买一件甲、一件乙、一件丙共需180元．
【总结升华】本题考查三元一次方程组的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组或不等式．
举一反三：
【变式】（2015•黄冈中学自主招生）有铅笔、练习本、圆珠笔三种学习用品，若购铅笔3支，练习本7本，圆珠笔1支共需3.15元；若购铅笔4支，练习本8本，圆珠笔2支共需4.2元，那么，购铅笔、练习本、圆珠笔各1件共需（）
A．1.2元B．1.05元C．0.95元D．0.9元
【答案】B．
解：设购一支铅笔，一本练习本，一支圆珠笔分别需要x，y，z元，
根据题意得，
②﹣①得x+y+z=1.05（元）．。