2014届钻石卡学员Ⅰ阶段总结复习资料(数学)

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2014年初中数学知识点中考总复习总结归纳

第一章实数考点一、实数的概念及分类（3分）1、实数的分类正有理数有理数零有限小数和无限循环小数实数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；（4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数的倒数、相反数和绝对值（3分）1、相反数实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。

2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。

零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。

3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。

倒数等于本身的数是1和-1。

零没有倒数。

考点三、平方根、算数平方根和立方根（3—10分）1、平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根（或二次方跟）。

一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

正数a 的平方根记做“a ±”。

2、算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。

正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

a （a ≥0）0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷专题综合测试1Word版含解析

专题一综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·重庆卷)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝()A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3} D．{4}解析由已知得A∪B＝{1,2,3}，又集合U＝{1,2,3,4}，所以∁U(A ∪B)＝{4}．答案 D2．(2013·辽宁卷)已知集合A＝{x|0<log4x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B ＝()A．(0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．(1,2]解析经计算A＝{x|1<x<4}，B＝{x|x≤2}，所以A∩B＝{x|1<x≤2}．答案 D3．(2013·福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析 a ＝3⇒A ⊆B ，但A ⊆B 可得a ＝2或a ＝3，故选A. 答案 A4．下列结论错误的是( )A ．命题“若p ，则q ”与命题“若綈q ，则綈p ”互为逆否命题B ．命题p ：∀x ∈[0,1]，e x ≥1；命题q ：∃x ∈R ，x 2＋x ＋1<0，则p ∨q 为真C ．“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题D ．若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题解析根据四种命题的构成规律，选项A 中的结论是正确的；选项B 中的命题p 是真命题，命题q 是假命题，故p ∨q 为真命题，选项B 中的结论正确；当m ＝0时，a <b ⇒am 2＝bm 2，故选项C 中的结论不正确；选项D 中的结论正确，故选C.答案 C5．函数y ＝a x－1a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )解析当a >1时，y ＝a x－1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0<1－1a <1，排除A 、B.当0<a <1时，y ＝a x －1a 为减函数，且1－1a <0，D 满足．答案 D6．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c解析 a ＝log 233，b ＝log 233，∴a ＝b >1.又c ＝log 32<1，∴a ＝b >c .答案 B7．(2013·重庆卷)(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3 D.322解析 (3－a )(a ＋6)＝－a 2－3a ＋18＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋814，当a ＝－32∈[－6,3]时，(3－a )(a ＋6)取得最大值92.答案 B8．2013年下半年某省市拟联合公选年轻干部，其中省管干部x 名，市管干部y 名，x 和y 须满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4≥0，x －y ＋4≥0，x ≤4，x ∈N *，y ∈N *，则z ＝7x ＋9y的最大值是( )A ．64B ．72C ．90D ．100解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示(取阴影部分中的整点)，由目标函数z＝7x＋9y的意义可知当直线z＝7x＋9y过A点时，z取得最大值，此时z＝7×4＋9×8＝100.选D.答案 D9.设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是()解析在区间(0,2)上，f′(x)<0，所以函数f(x)在(0,2)上单调递减，符合题意的只有C.答案 C10．(理)(2013·江西卷)如图所示，半径为1的半圆O与等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l与半圆相交于F，G两点，与三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧FG的长为x(0<x<π)，y＝EB＋BC＋CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y＝f(x)的图象大致是()解析正三角形的高为1，则边长为233，当x ＝0时，y ＝233(0<x <π)，排除B ；由平行线分线段成比例知BEAB ＝1－cos x 21，即BE ＝233⎝⎛⎭⎪⎫1－cos x 2，而BE ＝CD ，故y ＝2EB ＋BC ＝23－433cos x2(0<x <π)，排除A ，C ，故选D.答案 D10．(文)(2013·东北三校第一次联考)已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12 C ．1D ．4解析由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12x －12| x ＝14＝1，g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．答案 A11．(理)(2013·辽宁卷)设函数f (x )满足x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，f (2)＝e28，则x >0时，f (x )( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也无极小值解析由x 2f ′(x )＋2xf (x )＝e x x ，得[x 2f (x )]′＝e x x ，令g (x )＝x 2f (x )，则g ′(x )＝e x x ，又f (x )＝g (x )x 2，所以f ′(x )＝xg ′(x )－2g (x )x 3＝e x－2g (x )x 3，令h (x )＝e x －2g (x )，h ′(x )＝e x －2g ′(x )＝e x－2e xx ＝e x(x －2)x ，当0<x <2时，h ′(x )<0，当x >2时，h ′(x )>0，所以h (x )≥h (2)＝0，即f ′(x )≥0，所以当x >0时，f (x )单调递增，f (x )既无极大值也无极小值．答案 D11．(文)已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，则x <0时( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0解析依题意得，函数f ′(x )、g ′(x )分别是偶函数、奇函数，当x <0时，－x >0，f ′(x )＝f ′(－x )>0，g ′(x )＝－g ′(－x )<0，选B.答案 B12．(理)(2013·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]解析解法一：|f (x )|的图象如图，x >0时，ln(x ＋1)>0，x >0时|f (x )|≥ax ，即ln(x ＋1)>ax ，由图可得a ≤0；而x ≤0时|f (x )|≥ax ，即x 2－2x ≥ax ，得a ≥x －2恒成立得a ≥－2.综上得－2≤a ≤0，故选D.解法二：由图得a >0不成立，故a ≤0，结合图象可得，|f (x )|≥ax 恒成立，只需a 大于等于x 2－2x 在x ＝0处的切线的斜率，即a ≥(2x －2)|x ＝0，所以a ≥－2，得－2≤a ≤0.答案 D12．(文)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )<0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c ＝f (3)，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a解析依题意得，当x <1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；又f (3)＝f (－1)，且－1<0<12<1，因此有f (－1)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即有f (3)<f (0)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，c <a <b ，选C.答案 C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．13．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1，若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.解析 ∵y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1. ∴f (－1)＋(－1)2＝－[f (1)＋12]，∴f (－1)＝－3. 因此g (－1)＝f (－1)＋2＝－1. 答案－114．某名牌电动自行车的耗电量y 与速度x 之间有如下关系：y ＝13x 3－392x 2－40x (x >0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．解析 ∵y ′＝x 2－39x －40，令y ′＝0，即x 2－39x －40＝0，解得x ＝40或x ＝－1(舍)．当x >40时，y ′>0. 当0<x <40时，y ′<0，所以当x ＝40时，y 最小．答案 4015．(2013·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________．解析设P ⎝⎛⎭⎪⎫t ，1t ，其中t >0，P A 2＝(t －a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －a 2＝t 2＋1t 2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋2a 2，即P A 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t ＋2a 2－2，令m ＝t ＋1t ≥2，所以P A 2＝m 2－2am ＋2a 2－2＝(m －a )2＋a 2－2，当P A取得最小值时⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，22－4a ＋2a 2－2＝(22)2，或⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a 2－2＝(22)2.解得a ＝－1或a ＝10. 答案－1，1016．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为________(把所有正确命题的序号都填上)．解析取x ＝－3，则f (3)＝f (－3)＋f (3)，又y ＝f (x )是R 上的偶函数，∴f (－3)＝f (3)＝0，即f (x ＋6)＝f (x )，∴f (x )是周期函数且T ＝6，故①②正确；由题意可知f (x )在[0,3]上是增函数，∴在[－3,0]上是减函数，故在[－9，－6]上为减函数，③错误；f (－3)＝f (3)＝f (9)＝f (－9)＝0，④正确．答案 ①②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题10分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3(a ≠0)，若不等式f (x )>0的解集为(－1,3)．(1)求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在x ∈[m,1]上的最小值为1，求实数m 的值．解 (1)由条件得⎩⎨⎧－1＋3＝－b －2a ，－1×3＝3a ，解得a ＝－1，b ＝4.(2)f (x )＝－x 2＋2x ＋3，对称轴方程为x ＝1， ∴f (x )在x ∈[m,1]上单调递增． ∴x ＝m 时，f (x )min ＝－m 2＋2m ＋3＝1，解得m ＝1±3.∵m <1，∴m ＝1－ 3.18．(本小题12分)已知函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3x ＋1. (1)设a ＝2，求f (x )的单调区间；(2)设f (x )在区间(2,3)中至少有一个极值点，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 3－6x 2＋3x ＋1. f ′(x )＝3x 2－12x ＋3 ＝3(x 2－4x ＋1)＝3(x －2＋3)(x －2－3)．当x <2－3，或x >2＋3时，得f ′(x )>0；当2－3<x <2＋3时，得f ′(x )<0.因此f (x )递增区间是(－∞，2－3)，(2＋3，＋∞)； f (x )的递减区间是(2－3，2＋3)． (2)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3，Δ＝36a 2－36，由Δ>0得，a >1或a <－1，又x 1x 2＝1，可知f ′(2)<0，且f ′(3)>0，解得54<a <53，因此a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫54，53.19．(本小题12分)已知函数f (x )＝ax 2＋1(a >0)，g (x )＝x 3＋bx . (1)若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．(2)当a ＝3，b ＝－9时，若函数f (x )＋g (x )在区间[k,2]上的最大值为28，求k 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝2ax ，∴f ′(1)＝2a .又f (1)＝a ＋1＝c ，∴f (x )在点(1，c )处的切线方程为y －c ＝2a (x －1)，即y －2ax ＋a －1＝0.又∵g ′(x )＝3x 2＋b ，则g ′(1)＝3＋b .又g (1)＝1＋b ＝c ，∴g (x )在点(1，c )处的切线方程为y －(1＋b )＝(3＋b )(x －1)，即y －(3＋b )x ＋2＝0.依题意知3＋b ＝2a ，且a －1＝2，即a ＝3，b ＝3.(2)记h (x )＝f (x )＋g (x )．当a ＝3，b ＝－9时，h (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1.h ′(x )＝3x 2＋6x －9.令h ′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝1.h (x )与h ′(x )在(－∞，2]上的变化情况如下：当k ≤－3时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值为h (－3)＝28；当－3<k <2时，函数h (x )在区间[k,2]上的最大值小于28.因此，k 的取值范围是(－∞，－3]．20．(本小题12分)(2013·北京卷)设L 为曲线C ：y ＝ln x x 在点(1,0)处的切线．(1)求L 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线L 的下方．解(1)设f(x)＝ln xx，则f′(x)＝1－ln xx2.所以f′(1)＝1，即L的斜率为1.又L过点(1,0)，所以L的方程为y＝x－1.(2)令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(∀x>0，x≠1)．g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝x2－1＋ln xx2.当0<x<1时，x2－1<0，ln x<0，所以g′(x)<0，故g(x)单调递减；当x>1时，x2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)单调递增．所以，g(x)>g(1)＝0(∀x>0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．21．(本小题12分)(理)(2013·湖北卷)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.(1)求p0的值；(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954 4，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ＝0.997 4)(2)某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解(1)由于随机变量X服从正态分布N(800,502)，故有μ＝800，σ＝50，P (700<X ≤900)＝0.954 4.由正态分布的对称性，可得p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800<X ≤900)＝12＋12P (700<X ≤900)＝0.977 2.(2)设A 型、B 型车辆的数量分别为x 、y 辆，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y .依题意，x ，y 还需满足：x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，P (X ≤36x ＋60y )≥p 0. 由(1)知，p 0＝P (X ≤900)，故P (X ≤36x ＋60y )≥p 0等价于36x ＋60y ≥900.于是原问题等价于求满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N ，且使目标函数z ＝1 600x ＋2 400y 达到最小的x ，y . 作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5,12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上截距z 2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．21．(本小题12分)(文)(2013·课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.(1)求a ，b 的值；(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．解 (1)f ′(x )＝e x (ax ＋a ＋b )－2x －4.由已知得f (0)＝4，f ′(0)＝4.故b ＝4，a ＋b ＝8.从而a ＝4，b ＝4.(2)由(1)知f (x )＝4e x (x ＋1)－x 2－4x ，f ′(x )＝4e x(x ＋2)－2x －4＝4(x ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－ln2或x ＝－2.从而当x ∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f ′(x )>0；当x ∈(－2，－ln2)时，f ′(x )<0.故f (x )在(－∞，－2)，(－ln2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln2)上单调递减．故当x ＝－2时，函数f (x )取得极大值，极大值为f (－2)＝4(1－e －2)．22．(本小题12分)(理)(2013·辽宁卷)已知函数f (x )＝(1＋x )e －2x ，g (x )＝ax ＋x 32＋1＋2x cos x .当x ∈[0,1]时，(1)求证：1－x ≤f (x )≤11＋x； (2)若f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e －2x ≥1－x ，只需证明(1＋x )·e －x ≥(1－x )e x .记h (x )＝(1＋x )e －x －(1－x )e x ，则h ′(x )＝x (e x －e －x )，当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0，因此h (x )在[0,1]上是增函数，故h (x )≥h (0)＝0.所以f (x )≥1－x ，x ∈[0, 1]．要证x ∈[0,1]时，(1＋x )e －2x ≤11＋x，只需证明e x ≥x ＋1. 记K (x )＝e x －x －1，则K ′(x )＝e x －1，当x ∈(0,1)时，K ′(x )>0，因此K (x )在[0,1]上是增函数，故K (x )≥K (0)＝0.所以f (x )≤11＋x，x ∈[0,1]．综上，1－x ≤f (x )≤11＋x，x ∈[0,1]． (2)f (x )－g (x )＝(1＋x )e －2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋x 32＋1＋2x cos x ≥1－x －ax －1－x 32－2x cos x＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1＋x 22＋2cos x . 设G (x )＝x 22＋2cos x ，则G ′(x )＝x －2sin x .记H (x )＝x －2sin x ，则H ′(x )＝1－2cos x ，当x ∈(0,1)时，H ′(x )<0，于是G ′(x )在[0,1]上是减函数，从而当x ∈(0,1)时，G ′(x )<G ′(0)＝0，故G (x )在[0,1]上是减函数．于是G (x )≤G (0)＝2，从而a ＋1＋G (x )≤a ＋3.所以，当a ≤－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上恒成立，下面证明，当a >－3时，f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．f (x )－g (x )≤11＋x－1－ax －x 32－2x cos x ＝－x 1＋x－ax －x 32－2x cos x ＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x ，记I (x )＝11＋x ＋a ＋x 22＋2cos x ＝11＋x＋a ＋G (x )，则 I ′(x )＝－1(1＋x )2＋G ′(x )，当x ∈(0,1)时，I ′(x )<0.故I (x )在[0,1]上是减函数，于是I (x )在[0,1]上的值域为[a ＋1＋2cos1，a ＋3]．因为当a >－3时，a ＋3>0，所以存在x 0∈(0,1)，使得I (x 0)>0，此时f (x 0)<g (x 0)，即f (x )≥g (x )在[0,1]上不恒成立．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]．22．(本小题12分)(文)(2013·浙江十校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋ax (a ∈R )．(1)求f (x )的单调区间；(2)设g (x )＝x 2－4x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝a ＋1x ＝ax ＋1x (x >0)．①当a ≥0时，由于x >0，故ax ＋1>0，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．②当a <0时，由f ′(x )＝0，得x ＝－1a .在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上，f ′(x )>0，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上，f ′(x )<0，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞. (2)由题意得f (x )max <g (x )max ，而g (x )max ＝2，由(1)知，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故不符合题意．当a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上单调递减，故f (x )的极大值即为最大值，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－ln(－a )，所以2>－1－ln(－a )，解得a <－1e 3.。

2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷专题综合测试4Word版含解析

专题四综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．如图是一正方体被过点A、M、N的平面和点N、D、C1的平面截去两个角后所得的几何体，其中M、N分别为棱A1B1、A1D1的中点，则该几何体的正视图为()解析正视图是正方形，点M的射影是中点，对角线DC1在正视图中是虚线，故选B.答案 B2．如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和侧(左)视图都是边长为2的正方形，俯视图是一个直径为2的圆，则这个几何体的全面积为()A ．2πB ．4πC ．6πD ．8π解析由三视图知该空间几何体为圆柱，所以其全面积为π×12×2＋2π×1×2＝6π，故选C.答案 C3．平面α∥平面β的一个充分条件是( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ， b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α 解析若α∩β＝l ，a ∥l ，a ⊄α，a ⊄β，a ∥α，a ∥β，故排除A. 若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，则a ∥β，故排除B.若α∩β＝l ，a ⊂α，a ∥l ，b ⊂β，b ∥l ，则a ∥β，b ∥α，故排除C. 答案 D4．将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体，这个正四面体的体积是正方体体积的( )A.12B.13C.23D.14解析设正方体的棱长为1，依题意知，截去的角为一个三棱锥，其体积为：V 1＝13×12×1×1×1＝16，则V 正四面体＝1－4×16＝13.∴V 正四面体V 正方体＝131＝13.答案 B5．已知空间中有三条线段AB 、BC 和CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．AB ∥CD B ．AB 与CD 异面C ．AB 与CD 相交D ．AB ∥CD 或AB 与CD 异面或AB 与CD 相交解析若三条线段共面，如果AB ，BC ，CD 构成等腰三角形，则直线AB 与CD 相交，否则直线AB 与CD 平行；若不共面，则直线AB 与CD 是异面直线，故选D.答案 D6．已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( )A.32B.12C.33D.36解析由于是正三棱锥，故顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心，底面的一个顶点到这个中心的距离是23×32＝33，故侧棱与底面所成角的余弦值为332＝36.答案 D7．(2013·山东卷)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析由棱柱ABC －A 1B 1C 1为正三棱柱底面边长为3，设高为h ，得32×32×12×h ＝94，解得h ＝3，设△ABC 中心为O ，则PO ＝3，AO ＝23×32×3＝1，由PO ⊥面ABC 知∠P AO 即AP 与面ABC 所成的角，tan ∠P AO ＝3，所以∠P AO ＝π3.答案 B8．(2013·长沙模拟)如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱AA 1的中点，若截面三角形BC 1D 是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为( )A ．16 3B ．8 3C ．4 3D.833解析设正三棱柱的底面边长为a ，高为2h ，则BD ＝C 1D ＝a 2＋h 2，BC 1＝a 2＋4h 2，由△BC 1D 是面积为6的直角三角形，得⎩⎪⎨⎪⎧2×(a 2＋h 2)＝a 2＋4h 2，12(a 2＋h 2)＝6，解得⎩⎨⎧a 2＝8，h ＝2，故此三棱柱的体积为V ＝12×8×sin60°×4＝8 3.答案 B9.如图所示，四棱锥S －ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是( )A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角解析易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正确；AB∥DC，DC ⊂平面SCD，AB⊄平面SCD，故AB∥平面SCD，B正确；由于SA，SC 与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同．答案 D10．(2013·湖北卷)一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为V1，V2，V3，V4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有()A．V1<V2<V4<V3B．V1<V3<V2<V4C．V2<V1<V3<V4D．V2<V3<V1<V4解析由题意可知，由于上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体．根据三视图可知，最上面一个简单几何体是上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为1，高为1的圆台，其体积V 1＝13π×(12＋22＋1×2)×1＝73π；从上到下的第二个简单几何体是一个底面圆半径为1，高为2的圆柱，其体积V 2＝π×12×2＝2π；从上到下的第三个简单几何体是边长为2的正方体，其体积V 3＝23＝8；从上到下的第四个简单几何体是一个棱台，其上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，棱台的高为1，故体积V 4＝13×(22＋22×42＋42)×1＝283，比较大小可知答案选C.答案 C11．(理)如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝CD ＝1，BD ＝2，BD ⊥CD .将四边形ABCD 沿对角线BD 折成四面体A ′－BCD ，使平面A ′BD ⊥平面BCD ，则下列结论正确的是( )A ．A ′C ⊥BDB ．∠BA ′C ＝90°C ．CA ′与平面A ′BD 所成的角为30° D ．四面体A ′－BCD 的体积为13解析取BD 的中点O ，∵A ′B ＝A ′D ，∴A ′O ⊥BD ，又平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴A ′O ⊥平面BCD ，∵CD ⊥BD ，∴OC 不垂直于BD ，假设A ′C ⊥BD ，∵OC 为A ′C 在平面BCD 内的射影，∴OC ⊥BD ，矛盾，∴A ′C 不垂直于BD ，A 错误，∵CD ⊥BD ，平面A ′BD ⊥平面BCD ，∴CD ⊥平面A ′BD ，A ′C 在平面A ′BD 内的射影为A ′D ，∵A ′B ＝A ′D ＝1，BD ＝2，∴A ′B ⊥A ′D ，A ′B ⊥A ′C ，B 正确；∠CA ′D 为直线CA ′与平面A ′BD 所成的角，∠CA ′D ＝45°，C 错误；V A ′－BCD ＝13S △A ′BD ·CD ＝16，D 错误，故选B.答案 B11．(文)(2013·江西九校联考)如图所示，三棱锥V －ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其正视图的面积为23，则其侧视图的面积为( )A.32B.33C.34D.36解析由题意知，该三棱锥的正视图为△VAC ，作VO ⊥AC 于O ，连接OB ，设底面边长为2a ，高VO ＝h ，则△VAC 的面积为12×2a ×h ＝ah ＝23.又三棱锥的侧视图为Rt △VOB ，在正三角形ABC 中，高OB ＝3a ，所以侧视图的面积为12OB ·VO ＝12×3a ×h ＝32ah ＝32×23＝33.答案 B12.如图所示，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝1，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，将△ABD 沿BD 折起，使得平面ABD ⊥平面BCD ，则该几何体的外接球的表面积等于( )A ．3πB ．6π C.3π2D ．2π解析在Rt△BCD中，BD＝BC2＋CD2＝2；在Rt△ABD中，AD＝AB2＋BD2＝ 3.如图所示，折起的几何体为一个三棱锥A－BCD，因为AB⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AB⊥平面BCD，又因为CD⊂平面BCD，所以AB⊥CD，又因为BC⊥CD，AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以CD⊥AC.取AD的中点O，连接OB，OC.在Rt△ABD中，OA＝OB＝OD＝12AD＝32；在Rt△ACD中，OA＝OC＝OD＝12AD＝32，所以三棱锥A－BCD的外接球的球心为O，半径为32，故其表面积为S＝4πr2＝4π×⎝⎛⎭⎪⎫322＝3π.答案 A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．13．(2013·辽宁卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析该几何体是一圆柱挖去一正四棱柱后剩下的部分，所以体积是π×22×4－22×4＝16π－16.答案16π－1614．(2013·福建卷)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________．解析该球为一棱长为2的正方体的外接球，体对角线为球的直径，2R＝22＋22＋22＝23，得R＝3，所以该球的表面积为4πR2＝12π.答案12π15．三棱锥P－ABC的两侧面P AB，PBC都是边长为2a的正三角形，AC＝3a，则二面角A－PB－C的大小为________．解析取PB的中点M，连接AM，CM.则AM⊥PB，CM⊥PB.故∠AMC为二面角A－PB－C的平面角．在△P AB和△PBC中可得AM＝CM＝3a，而AC＝3a，则△AMC为正三角形，∴∠AMC＝60°.则二面角A－PB－C的大小为60°.答案60°16．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M 分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件________时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件________时，就有MN∥平面B1D1C.解析 N 在线段EG 上时，MN ⊥AC ，又AC ∥A 1C 1，∴MN ⊥A 1C 1.∵平面HEM ∥平面B 1D 1C ，∴当MN ⊂平面HEM 时，MN ∥平面B 1D 1C .∴N ∈线段EH 时，MN ∥平面B 1D 1C .答案 N 在线段EG 上点N 在线段EH 上三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题10分)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，M 是棱BB 1的中点，N 是CC 1的中点，AC 1与A 1N 相交于点E .(1)求三棱锥A －MNA 1的体积；(2)求证：AC 1⊥A 1M .解 (1)∵三棱锥A －MNA 1的体积等于三棱锥M －ANA 1的体积，∴V ＝13×12×6×3×1＝22.(2)证明：∵BC ⊥AC ，BC ⊥CC 1，∴BC ⊥面ACC 1.连接MN ，由M ，N 分别是BB 1和CC 1的中点可知MN ∥BC ， ∴MN ⊥面ACC 1，又∵AC 1⊂面ACC 1.∴MN ⊥AC 1.在Rt △A 1C 1N 中，A 1N2＝NC 21＋A 1C 21＝3＋64＝92，∴A 1N ＝322.在Rt △AC 1C 中，AC 21＝CC 21＋AC 2＝3＋6＝9，∴AC 1＝3. 由CC 1∥AA 1可得，NE ＝12NA 1＝22，EC 1＝13AC 1＝1，∴NE 2＋EC 21＝NC 21.∴AC 1⊥A 1N .∴AC 1⊥面A 1MN ，又∵A 1M ⊂面A 1MN ，∴AC 1⊥A 1M .18．(本小题12分)(理)如图所示，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1(即底面为正方形的直四棱柱)中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上且C 1E ＝3EC .(1)证明：A 1C ⊥平面BED ；(2)求直线A 1C 与平面A 1DE 所成角的正弦值．解如图建立空间直角坐标系，则A 1(2,0,4)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，D (0,0,0)，E (0,2,1)．(1)证明：A 1C →＝(－2,2，－4)，DB →＝(2,2,0)，DE →＝(0,2,1)．∵A 1C →·DB →＝－2×2＋2×2－4×0＝0，A 1C →·DE →＝－2×0＋2×2－4×1＝0.∴A 1C →⊥DB →，A 1C →⊥DE →.∴A 1C ⊥平面BED .(2)A 1E →＝(－2,2，－3)，A 1D →＝(－2,0，－4)，设平面A 1DE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ·A 1E →＝0及n ·A 1D →＝0，得－2x ＋2y －3z ＝0，－2x －4z ＝0，取n ＝(－4，－1,2)，A 1C →＝(－2,2，－4)．设直线A 1C 与平面A 1DE 所成角为θ.则sin θ＝|cos 〈n ，A 1C →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪8－2－821·24＝1442. 则直线A 1C 与平面A 1DE 所成角的正弦值为1442.18．(本小题12分)(文)如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)若BD ＝1，求三棱锥D －ABC 的表面积．解 (1)证明：∵折起前AD 是BC 边上的高，∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，又DB ∩DC ＝D ，∴AD ⊥平面BDC .∵AD ⊂平面ADB ，∴平面ADB ⊥平面BDC .(2)由(1)知，DA ⊥DB ，DB ⊥DC ，DC ⊥DA ，∵DB ＝DA ＝DC ＝1，∴AB ＝BC ＝CA ＝2，从而S △DAB ＝S △DBC ＝S △DCA ＝12×1×1＝12，S △ABC ＝12×2×2×sin60°＝32，∴表面积S ＝12×3＋32＝3＋32.19.(本小题12分)(理)(2013·广东佛山一模)如图所示，在三棱锥S －ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点．(1)证明：SO ⊥平面ABC ；(2)求二面角A －SC －B 的余弦值．解 (1)证明：由题设知AB ＝AC ＝SB ＝SA ，连接OA ，易知△ABC为等腰直角三角形，所以OA ＝OB ＝OC ＝22SA ，且AO ⊥BC .又△SBC为等腰三角形，SO ⊥BC ，且SO ＝22SA ，从而OA 2＋SO 2＝SA 2.所以△SOA 为直角三角形，SO ⊥AO .又AO ∩BC ＝O ，所以SO ⊥平面ABC .(2)解法一：取SC 的中点M ，连接AM ，OM ，由(1)知SO ＝OC ，SA ＝AC ，得OM ⊥SC ，AM ⊥SC .∴∠OMA 为二面角A －SC －B 的平面角．由AO ⊥BC ，AO ⊥SO ，SO ∩BC ＝O 得AO ⊥平面SBC .所以AO ⊥OM .又AM ＝32SA ，故sin ∠OMA ＝AO AM ＝22SA 32SA＝63. 所以二面角A －SC －B 的余弦值为33.解法二：以O 为坐标原点，射线OB ，OA 分别为x 轴、y 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .设B (1,0,0)，则C (－1,0,0)，A (0,1,0)，S (0,0,1)．取SC 的中点M ，连接OM ，AM ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12，MO →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，－12，MA →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，1，－12，SC →＝(－1,0，－1)．∴MO →·SC →＝0，MA →·SC →＝0.由MO ⊥SC ，MA ⊥SC ，〈MO →，MA →〉即为二面角A －SC －B 的平面角．cos 〈MO →，MA →〉＝MO →·MA →|MO →||MA →|＝33，∴二面角A －SC －B 的余弦值为33.19.(本小题12分)(文)(2013·课标全国Ⅰ)如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．解(1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC ＝OA1＝ 3.又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋OA21，故OA1⊥OC.因为OC ∩AB ＝O ，所以OA 1⊥平面ABC ，OA 1为三棱柱ABC －A 1B 1C 1的高．又△ABC 的面积S △ABC ＝3，故三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝S △ABC ×OA 1＝3.20．(本小题12分)(理)在如图所示的几何体中，四边形ACC 1A 1为矩形，FC 1∥BC ，EF ∥A 1C 1，∠BCC 1＝90°，点A ，B ，E ，A 1在一个平面内，AB ＝BC ＝2，AC ＝2 2.(1)证明：A 1E ∥AB ；(2)若A 1E ＝C 1F ＝12CC 1＝1，求平面ABC 与平面BEF 所成角的正切值．解 (1)证明：四边形ACC 1A 1为矩形，∴A 1C 1∥AC .又∵AC ⊂平面ABC ，A 1C 1⊄平面ABC ，∴A 1C 1∥平面ABC .∵FC 1∥BC ，BC ⊂平面ABC ，FC 1⊄平面ABC ，∴FC 1∥平面ABC .又∵A 1C 1⊂平面A 1EFC 1，FC 1⊂平面A 1EFC 1，且A 1C 1∩FC 1＝C 1，∴平面A 1EFC 1∥平面ABC .又∵平面ABEA 1∩平面A 1EFC 1＝A 1E ，平面ABEA 1∩平面ABC ＝AB ，∴A 1E ∥AB .(2)∵四边形ACC 1A 1是矩形，∴AA 1⊥AC ，AA 1∥CC 1.又∵∠BCC 1＝90°，即CC 1⊥BC ，∴AA 1⊥BC .又AC ∩BC ＝C ，∴AA 1⊥平面ABC .∵AB ＝BC ＝2，AC ＝22，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，∴∠ABC ＝90°，即BC ⊥AB .根据以上结论，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，E (0,1,2)，F (1,0,2)，∴BE →＝(0,1,2)，BF →＝(1,0,2)．设平面ABC 与平面BEF 的法向量分别是n 1和n 2，平面ABC 与平面BEF 所成的二面角的平面角为θ，取n 1＝(0,0,1)，设n 2＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n 2·BE →＝0，n 2·BF →＝0，即⎩⎨⎧ y ＋2z ＝0，x ＋2z ＝0，取n 2＝(2,2，－1)．∴cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－13. 由图易知θ为锐角，∴cos θ＝13，sin θ＝223，tan θ＝sin θcos θ＝2 2.20.(本小题12分)(文)(2013·重庆卷)如图所示，四棱锥P －ABCD中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝23，BC ＝CD ＝2，∠ACB ＝∠ACD ＝π3.(1)求证：BD ⊥平面PAC ；(2)若侧棱PC 上的点F 满足PF ＝7FC ，求三棱锥P －BDF 的体积．解 (1)证明：因BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又∠ACB ＝∠ACD ，故BD ⊥AC.因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥BD.从而BD 与平面PAC 内两条相交直线PA ，AC 都垂直，所以BD ⊥平面PAC.(2)三棱锥P －BCD 的底面BCD 的面积S △BCD ＝12BC·CD·sin ∠BCD＝12·2·2·sin 2π3＝ 3.由PA ⊥底面ABCD ，得V P －BCD ＝13·S △BCD ·PA ＝13·3·23＝2.由PF ＝7FC ，得三棱锥F －BCD 的高为18PA ，故V F －BCD ＝13·S △BCD ·18PA ＝13·3·18·23＝14，所以V P －BDF ＝V P －BCD －V F －BCD ＝2－14＝74.21．(本小题12分)(理)(2013·安徽卷)如图所示，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.(1)证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面；(2)求cos ∠COD.解 (1)证明：设面PAB 与面PCD 的交线为l.因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD 内，所以AB ∥面PCD.又AB ⊂面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ，所以AB ∥l. 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．(2)设CD 的中点为F.连接OF ，PF.由圆的性质，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD.因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP ⊥CD ，又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF.又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD ，从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ，故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角．由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ，则OF ＝OP·tan ∠OPF ＝h·tan 60°＝3h.根据题设有∠OCP ＝22.5°，得OC ＝OP tan ∠OCP ＝h tan 22.5°. 由1＝tan 45°＝2tan 22.5°1－tan 222.5°和tan 22.5°>0，可得tan22.5°＝2－1，因此OC＝h2－1＝(2＋1)h.在Rt△OCF中，cos∠COF＝OFOC＝3h(2＋1)h＝6－3，故cos∠COD＝cos(2∠COF)＝2cos2∠COF－1＝2(6－3)2－1＝17－12 2.21．(本小题12分)(文)如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角△ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，∠BAC＝∠ACD＝90°，AE∥CD，DC＝AC＝2AE＝2.(1)求证：平面BCD⊥平面ABC；(2)求证：AF∥平面BDE；(3)求四面体B－CDE的体积．解(1)证明：∵平面ABC⊥平面ACDE，平面ABC∩平面ACDE ＝AC，CD⊥AC，∴DC⊥平面ABC.∵DC ⊂平面BCD ，∴平面BCD ⊥平面ABC.(2)证明：取BD 的中点P ，连接EP 、FP ，则PF 綊12DC.∵EA 綊12DC ，∴EA 綊PF.∴四边形AFPE 是平行四边形．∴AF ∥EP ，∵EP ⊂平面BDE ，∴AF ∥平面BDE.(3)∵BA ⊥AC ，平面ABC ∩平面ACDE ＝AC ，∴BA ⊥平面ACDE ，∴BA 就是四面体B －CDE 的高，且BA ＝2.∵DC ＝AC ＝2AE ＝2，AE ∥CD ，∴S 梯形ACDE ＝12×(1＋2)×2＝3，S △ACE ＝12×1×2＝1，∴S △CDE ＝3－1＝2.∴V B －CDE ＝13×2×2＝43.22．(本小题12分)(理)(2013·浙江卷)如图所示，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝2 2.M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC.(1)证明：PQ ∥平面BCD ；(2)若二面角C －BM －D 的大小为60°，求∠BDC 的大小．解解法一：(1)取BD 的中点O ，在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连接OP ，OF ，FQ.因为AQ ＝3QC ，所以QF ∥AD ，且QF ＝14AD.因为O ，P 分别为BD ，BM 的中点，所以OP 是△BDM 的中位线，所以OP ∥DM ，且OP ＝12DM.又点M 为AD 的中点，所以OP ∥AD ，且OP ＝14AD.从而OP ∥FQ ，且OP ＝FQ ，所以四边形OPQF 为平行四边形，故PQ ∥OF ，又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD.(2)作CG ⊥BD 于点G ，作GH ⊥BM 于点H ，连接CH. 因为AD ⊥平面BCD ，CG ⊂平面BCD ，所以AD ⊥CG ，又CG ⊥BD ，AD ∩BD ＝D ，故CG ⊥平面ABD ，又BM ⊂平面ABD ，所以CG ⊥BM.又GH ⊥BM ，CG ∩GH ＝G ，故BM ⊥平面CGH ，所以∠CHG 为二面角C －BM －D 的平面角，即∠CHG ＝60°. 设∠BDC ＝θ.在Rt △BCD 中，CD ＝BD cos θ＝22cos θ，CG ＝CD sin θ＝22cos θsin θ，BG ＝BC sin θ＝22sin 2θ.在Rt △BDM 中，HG ＝BG·DM BM ＝22sin 2θ3. 在Rt △CHG 中，tan ∠CHG ＝CG HG ＝3cos θsin θ＝ 3.所以tan θ＝ 3.从而θ＝60°，即∠BDC ＝60°.解法二：(1)如图所示，取BD 的中点O ，以O 为原点，OD ，OP所在射线为y ，z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系O －xyz.由题意知A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0)．设点C 的坐标为(x 0，y 0,0)．因为AQ →＝3QC →，所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，12. 因为M 为AD 的中点，故M(0，2，1)．又P 为BM 的中点，故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12.所以PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0. 又平面BCD 的一个法向量为u ＝(0,0,1)，故PQ →·u ＝0.又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD .(2)设m ＝(x ，y ，z )为平面BMC 的法向量．由CM →＝(－x 0，2－y 0,1)，BM →＝(0,22，1)知⎩⎨⎧ －x 0x ＋(2－y 0)y ＋z ＝0，22y ＋z ＝0.取y ＝－1，得m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 0＋2x 0，－1，22. 又平面BDM 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，于是 |cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 0＋2x 09＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 0＋2x 02＝12，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 0＋2x 02＝3.(1) 又BC ⊥CD ，所以CB →·CD →＝0，故(－x 0，－2－y 0,0)·(－x 0，2－y 0,0)＝0，即x 20＋y 20＝2.(2)联立(1)(2)，解得⎩⎨⎧ x 0＝0，y 0＝－2，(舍去)或⎩⎨⎧ x 0＝±62，y 0＝22.所以tan ∠BDC ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 02－y 0＝ 3. 又∠BDC 是锐角，所以∠BDC ＝60°.22．(本小题12分)(文)(2013·北京海淀一模)在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC中点，又∠CAD ＝30°，P A ＝AB ＝4，点N 在线段PB 上，且PN NB ＝13.(1)求证：BD ⊥PC ；(2)求证：MN ∥平面PDC ；(3)设平面P AB ∩平面PCD ＝l ，试问直线l 是否与直线CD 平行，请说明理由．解 (1)证明：因为△ABC 是正三角形，M 是AC 的中点，所以BM ⊥AC ，即BD ⊥AC .又因为P A ⊥面ABCD ，BD ⊂面ABCD ，所以P A ⊥BD ，又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥面P AC ，又PC ⊂面P AC ，所以BD ⊥PC .(2)证明：在正三角形ABC 中，BM ＝23，在△ACD 中，因为M 为AC 中点，DM ⊥AC ，所以AD ＝CD .因为∠CAD ＝30°，所以DM ＝233.所以BM MD ＝所以BN NP＝BM MD.所以MN∥PD，又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，所以MN∥平面PDC.(3)假设直线l∥CD，因为l⊂平面P AB，CD⊄平面P AB，所以CD∥平面P AB，又CD⊂平面ABCD，平面P AB∩平面ABCD＝AB，所以CD∥AB，这与CD与AB不平行矛盾，所以直线l与直线CD不平行．。

万学全国分校2014届钻石卡6月份阶段模考(数学一)试卷班主任制

1
(
)
针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨
(7) 下列各命题中正确的是 (A) 若事件 A, B 独立，则 P A B P( A) P B . (B) 若事件 A, B 独立，则事件 A 与 B 独立. (C) 事件 A, B , C 独立的充要条件是 A, B , C 两两独立. (D) 事件 A, B 独立，则 P ( A B ) P ( B ) . (8) 若随机变量 X , Y 在区域 D (A) P X Y 0
(A) (C1 C2 x)e
2x
1 1 x . 4 2 1 1 2 x 2x (D) C1e C2 e x . 4 2
(B) (C1 C2 x)e
2 x
(4) 设 un (1) ln(1
n
1 ) ,则级数 n
(B)
(

)
(A)
un 与 un2 都收敛.
h 0
(
)
1 f 2h f h 存在. h
(B) lim
h 0
f (1 cos h) 存在. ln 2 (1 h)
(C) lim
an x .
(D) lim
h 0
1 f h tan h 存在. h2
万学教育·公共课教学与研究中心
一、选择题:1～8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．．．． (1) 设 f ( x ) 在 x 0 的某邻域内有定义,且 f 0 0, 则 f ( x ) 在 x 0 可导的充分必要条件为 (A) lim
(6) 设 A 为 3 阶矩阵,将 A 的第 1 行的 2 倍加到第 2 行得 B ,再将 B 的第 2 列的 2 倍加到第 1 列得 C ,记

2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷高频考点训练1Word版含解析

高考专题训练时间：45分钟分值：75分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·全国卷Ⅱ)已知集合M＝{x|(x－1)2<4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝()A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}解析M＝{x|－1<x<3}，N＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{0,1,2}，故选A.答案 A2．(2013·大纲卷)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()A．3 B．4C．5 D．6解析由集合中元素的互异性知M＝{5,6,7,8}，故选B.答案 B3．(2013·四川卷)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：∀x∈A,2x∈B，则()A．綈p：∀x∈A,2x∉BB．綈p：∀x∉A,2x∉BC．綈p：∃x∉A,2x∈BD．綈p：∃x∈A,2x∉B解析全称命题的否定为特称命题，故选D.答案 D4．(2013·北京卷)“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析 φ＝π时，y ＝sin(2x ＋π)＝－sin2x 过原点，但函数过原点时φ可以取其他值．答案 A5．下列命题中错误的是( )A ．命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题是“若x ≠2，则x 2－5x ＋6≠0”B ．若x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“xy ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22中等号成立”的充要条件C ．已知命题p 和q ，若p ∨q 为假命题，则命题p 与q 中必一真一假D ．对命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0解析易知选项A ，B ，D 都正确；选项C 中，若p ∨q 为假命题，根据真值表，可知p ，q 必都为假，故C 错．答案 C6．(2013·天津卷)已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12相切．其中真命题的序号为( ) A ．①②③B ．①②C ．①③D ．②③解析由球的体积公式V ＝43πR 3可得①是真命题；因为标准差除了与平均数有关，还与各数据有关，所以②是假命题；圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离等于22与圆的半径相等，所以③是真命题；所以真命题的序号为①③.答案 C二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．已知命题甲：a ＋b ≠4，命题乙：a ≠1且b ≠3，则命题甲是命题乙的________条件．解析 ∵a ＝1或b ＝3D ⇒\a ＋b ＝4，且a ＋b ＝4D ⇒\a ＝1或b ＝3，∴a ＝1或b ＝3是a ＋b ＝4的既不充分也不必要条件．由原命题与逆否命题等价可知，“a ＋b ≠4”是“a ≠1且b ≠3”的既不充分也不必要条件．答案既不充分也不必要8．命题“∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析 “∃x ∈R,2x 2－3ax ＋9<0”为假命题，则“∀x ∈R,2x 2－3ax ＋9≥0”为真命题，因此Δ＝9a 2－4×2×9≤0，故－22≤a ≤2 2.答案 [－22，22]9．已知集合A 、B ，定义集合A 与B 的一种运算A ⊕B ，其结果如下表所示：，则M ⊕N ＝________.解析由给出的定义知集合A ⊕B 的元素是由所有属于集合A 但不属于集合B 和属于集合B 但不属于集合A 的元素构成的，即A ⊕B ＝{x |x ∈A 且x ∉B ，或x ∈B 且x ∉A }．故M ⊕N ＝{－2 011,2 012，－2 012,2 013}．答案 {－2 011,2 012，－2 012,2 013}三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)已知p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根；q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根．若p 或q 为真，p 且q 为假，求m 的取值范围．解若方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2，即p ：m >2. 若方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，则Δ＝16(m －2)2－16＝16(m 2－4m ＋3)<0，解得1<m <3，即q ：1<m <3.因p 或q 为真，所以p 、q 至少有一个为真，又p 且q 为假，所以p 、q 至少有一个为假．因此，p 、q 两命题应一真一假，即p 真q 假，或p 假q 真．所以⎩⎪⎨⎪⎧ m >2，m ≤1或m ≥3，或⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，解得m ≥3或1<m ≤2.11．(本小题10分)(2013·大连模拟)已知p ：x 2－8x －20≤0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．解由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m .∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，即p 是q 的充分不必要条件，即p ⇒q 但qD ⇒\p .∴{x |－2≤x ≤10}是{x |1－m ≤x ≤1＋m }的真子集．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9. ∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)．12．(本小题10分)已知函数f (x )＝ 6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B .(1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解 A ＝{x |－1<x ≤5}，(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1，或x ≥3}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，故4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的一个根，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8.此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意．因此实数m 的值为8.。

万学海文2014届钻石卡I阶VIP课程讲义高等数学习题训练精选答案

因此 a 1 .
【解析】由
知
1 a) 0 lim( x 0 1 x
从而
1 a 2bx x 2bx(1 x) 1 2b(1 x) lim lim 2 lim 1 x x 0 x 0 x 0 2x 2 x(1 x) 2(1 x)
因此 x 0 时, 7、【答案】A
1 1 sin 0 .当 k 绝对值无限增大时 x 0 . 2 x x
1 1 sin 是无界的但不是无穷大量. 2 x x
1 a 2bx ln(1 x) (ax bx 2 ) 1 x lim lim 2 x 0 x 0 2x x2
极限存在的充要条件知 lim
x 0
1 arctan 存在.故选 A. x
13、【答案】C 【解析】用排除法 ① 取 f ( x)
1 x 0 0 x 0 ,则 f ( x) 为有界函数,且 lim f ( x ) ( x ) 0 ,满， ( x ) x 0 x 0 1 x 0
4、【答案】D
1 (2n+1) 2 2n 1 0 及 lim x2n+1 lim 【解析】由 lim x2n lim , n n 2n n n 2n 1
针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨 1
2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案
但 x 2 k 时, f ( x) 0 . 9、【答案】D
所以当 x 时, f ( x) 不是无穷大.
针对性教学：一切以提高学生成绩为宗旨
2
2014 届钻石卡学员 I 阶段 VIP 课程讲义高等数学习题训练精选答案
【解析】 lim + sin(tan x )及 lim － sin(tan x ) 均不存在. x

2014届中考数学知识点归纳复习4

平行四边形的两组对角分别相等；
平行四边形的对角线互相平分．
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
．平行或在同一
相交于点
、BD相交于点
的取值范围是（）
；D．4＜x＜5
和图中已标明字母的某一个点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等．
均有一棵大核桃树，此村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘的面积扩大一倍，又保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形状，你认为该村能否实现这一设想？若能，请你设计
P，交AB于
为菱形？说明你的理。

2014届高考数学大一轮复习(Word版题库含解析)2.1 函数及其表示

2.1 函数及其表示一、选择题1．已知a 、b 为实数，集合M ＝{b a，1}，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1. 答案：C2．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )．解析 (筛选法)根据函数的定义，观察得出选项B. 答案 B【点评】本题解题利用的是筛选法，即根据题设条件筛选出正确选项，这种方法在选择题中经常应用.3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，f x －3 ，x >0，则f (2012)等于( )A ．－1B ．1C ．－3D ．3解析： f (2012)＝f (2009)＝f (2006)＝……＝f (2)＝f (－1)＝2×(－1)＋1＝－1. 答案： A4.若函数y ＝f (x )的值域是[12，3]，则函数F (x )＝f (x )＋1f x 的值域是( )A ．[12，3]B ．[2，103]C ．[52，103]D ．[3，103]解析：令t ＝f (x )，则12≤t ≤3，由函数g (t )＝t ＋1t 在区间[12，1]上是减函数，在[1,3]上是增函数，且g (12)＝52，g (1)＝2，g (3)＝103，可得值域为[2，103]，选B.答案： B5．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b ＞1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R.若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )．A ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32B ．(－∞，－2]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ 解析当(x 2－2)－(x －x 2)≤1，即－1≤x ≤32时，f (x )＝x 2－2；当x 2－2－(x －x 2)＞1，即x ＜－1或x ＞32时，f (x )＝x －x 2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2 ⎝⎛⎭⎪⎫－1≤x ≤32，x －x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜－1或x ＞32，f (x )的图象如图所示，c ≤－2或－1＜c ＜－34.答案 B6．如下图，是张大爷晨练时所走的离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是( )．解析据图象可知在第一段时间张大爷离家距离随时间的增加而增加，在第二段时间内，张大爷离家的距离不变，第三段时间内，张大爷离家的距离随时间的增加而减少，最后回到始点位置，对比各选项，只有D 选项符合条件．答案 D7．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x ＜A ，c A ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )． A ．75,25 B ．75,16 C ．60,25D ．60,16解析 (回顾检验法)∵c A＝15，故A ＞4，则有c2＝30，解得c ＝60，A ＝16，将c ＝60，A ＝16代入解析式检验知正确．故选D. 答案 D【点评】解决分段函数的关键在于“对号入座”，解出结果后代入对应解析式检验是否正确.二、填空题8．已知f (x －1x )＝x 2＋1x2，则函数f (3)＝________.解析：∵f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x)2＋2，∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11. 答案：119．已知函数f (x )、g (x )分别由下表给出：则f [g (1)]的值为________；满足f [g (x )]>g [f (x )]的x 的值是________．解析 g (1)＝3 f [g (1)]＝1 g [f (1)]＝3g (2)＝2 f [g (2)]＝3 g [f (2)]＝1 g (3)＝1 f [g (3)]＝1 g [f (3)]＝3因此满足f (g (x ))>g (f (x ))的x ＝2. 答案 1 210．若函数f (x )＝的定义域为R ，则a 的取值范围为________．解析 ∵y ＝的定义域为R ， ∴对一切x ∈R 都有2x 2＋2ax －a ≥1恒成立，即x 2＋2ax －a ≥0恒成立．∴Δ≤0成立，即4a 2＋4a ≤0， ∴－1≤a ≤0. 答案 [－1,0]11．函数y ＝log 2 4－x 的定义域是________．解析：要使函数有意义，应有log 2(4－x )≥0， ∵4－x ≥1，∴x ≤3. 答案：(－∞，3]12．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，10x，x ≤0，则f (f (－2))＝________.解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，10x，x ≤0，又－2<0，∴f (－2)＝10－2,10－2>0，f (10－2)＝lg10－2＝－2.答案：－2 三、解答题13．设函数f (x )＝ln 1＋x 1－x ，求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的定义域. 解析：由1＋x1－x>0知－1<x <1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<x2<1 ①－1<1x <1 ②，由①得－2<x <2，由②得x >1或x <－1，因此－2<x <－1或1<x <2.所以函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 的定义域是(－2，－1)∪(1,2). 14．记f (x )＝lg(2x －3)的定义域为集合M ，函数g (x )＝ 1－2x －1的定义域为集合N ，求：(1)集合M 、N ； (2)集合M ∩N ，M ∪N .解 (1)M ＝{x |2x －3>0}＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32， N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－2x －1≥0＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －3x －1≥0＝{x |x ≥3，或x <1}； (2)M ∩N ＝{x |x ≥3}，M ∪N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <1或x >32. 15．已知g (x )＝－x 2－3，f (x )是二次函数，当x ∈[－1,2]时，f (x )的最小值为1，且f (x )＋g (x )为奇函数，求函数f (x )的表达式．解设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (x )＋g (x )＝(a －1)x 2＋bx ＋c －3，又f (x )＋g (x )为奇函数，∴a ＝1，c ＝3. ∴f (x )＝x 2＋bx ＋3，对称轴x ＝－b2.当－b2≥2，即b ≤－4时，f (x )在[－1,2]上为减函数，∴f (x )的最小值为f (2)＝4＋2b ＋3＝1. ∴b ＝－3.∴此时无解．当－1＜－b2＜2，即－4＜b ＜2时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝3－b 24＝1，∴b ＝±2 2. ∴b ＝－22，此时f (x )＝x 2－22x ＋3，当－b2≤－1，即b ≥2时，f (x )在[－1,2]上为增函数，∴f (x )的最小值为f (－1)＝4－b ＝1. ∴b ＝3.∴f (x )＝x 2＋3x ＋3.综上所述，f (x )＝x 2－22x ＋3，或f (x )＝x 2＋3x ＋3.16．我国是水资源相对匮乏的国家，为鼓励节约用水，某市打算制定一项水费措施，规定每季度每人用水不超过5吨时，每吨水费的价格(基本消费价)为1.3元，若超过5吨而不超过6吨时，超过部分的水费加收200%，若超过6吨而不超过7吨时，超过部分的水费加收400%，如果某人本季度实际用水量为x (x ≤7)吨，试计算本季度他应缴纳的水费．解：设y 表示本季度应缴纳的水费(元)，当0<x ≤5时，y ＝1.3x ；当5<x ≤6时，应将x 分成两部分： 5与(x －5)分别计算，第一部分为基本消费1.3×5，第二部分由基本消费与加价消费组成，即 1．3×(x －5)＋1.3(x －5)×200% ＝3.9x －19.5，此时y ＝1.3×5＋3.9x －19.5 ＝3.9x －13，当6<x ≤7时，同理y ＝6.5x －28.6 综上可知：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.3x ， 0<x ≤53.9x －13， 5<x ≤66.5x －28.6， 6<x ≤7。

应同学要求,传数学三的一些考纲,这之前的找不到了

2013届钻石卡学员I阶段学习计划（数学三）考研产品部公共课教研中心数学教研室2013届钻石卡学员学习计划---数学三1第一轮复习：基础知识自我复习维杰，我把数三不考的章节也列出来，这样你比较明确一些。

高等数学第九单元（课前或课后学习内容）计划对应教材：高等数学下册同济大学数学系编高等教育出版社第六版高等数学第九章多元函数微分法及其应用第9章第1节多元函数的基本概念（P52——P63）第9章第2节偏导数（P63——P69）第9章第3节全微分（P70——P76）第9章第4节多元复合函数的求导法则（P76——P83）第9章第5节隐函数的求导公式（P83——P90）第9章第6节多元函数微分学的几何应用（P90——P101）——本节内容数学三不要求第9章第7节方向导数与梯度（P101——P109）——本节内容数学三不要求第9章第8节多元函数的极值及其求法（P109——P119）第9章第9节二元函数的泰勒公式（P119——P124）——本节内容数学三不要求第9章总复习题（P129——P131）本单元中我们应当学习——1. 二元函数的概念与几何意义；2. 二元函数的极限与连续的概念，有界闭区域上连续函数的性质；3. 多元函数偏导数和全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件，全微分形式的不变性，会求全微分；4. 多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法；5. 隐函数存在定理，计算多元隐函数的偏导数；6.多元函数极值和条件极值的概念，二元函数极值存在的必要条件、充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值.22013届钻石卡学员学习计划---数学三3第十单元（课前或课后学习内容）计划对应教材：高等数学下册同济大学数学系编高等教育出版社第六版高等数学第十章重积分第10章第1节二重积分的概念与性质（P132——P137）第10章第2节二重积分的计算法（P137——P157）本单元中我们应当学习——1. 二重积分的概念和性质，二重积分的中值定理；2. 会利用直角坐标、极坐标计算二重积分；4第十一单元（课前或课后学习内容）计划对应教材：高等数学下册同济大学数学系编高等教育出版社第六版高等数学第十二章无穷级数第12章第1节常数项级数的概念和性质（P248——P255）第12章第2节常数项级数的审敛法（P256——P269）第12章第3节幂级数（P269——P278）第12章第4节函数展开成幂级数（P278——P285）本单元中我们应当学习——1. 常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，级数的基本性质及收敛的必要条件；2. 几何级数与p 级数的收敛与发散的条件；3.正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法； 4.交错级数和莱布尼茨判别法； 5.任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系； 6.函数项级数的收敛域及和函数的概念； 7.幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法； 8.幂级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和；2013届钻石卡学员学习计划---数学三5第十二单元（课前或课后学习内容）计划对应教材：高等数学下册同济大学数学系编高等教育出版社第六版高等数学第十二章无穷级数第12章第7节傅里叶级数（P302——P316）——本节内容数学三不要求第12章第8节一般周期函数的傅里叶级数（P316——P322）——本节内容数学三不要求第12章总复习题（P322——P323）高等数学第八章空间解析几何与向量代数——本章内容数学三不要求高等数学第十章重积分第10章第3节三重积分（P157——P165）——本节内容数学三不要求第10章第4节重积分的应用（P165——P176）——本节内容数学三不要求第10章总复习题（P181——P184）第十三单元（课前或课后学习内容）计划对应教材：高等数学下册同济大学数学系编高等教育出版社第六版高等数学第十一章曲线积分与曲面积分——本章内容数学三不要求第十四单元（课前或课后学习内容）计划对应教材：高等数学下册同济大学数学系编高等教育出版社第六版高等数学第十一章曲线积分与曲面积分——本章内容数学三不要求线性代数第十五单元（课前或课后学习内容）计划对应教材：工程数学线性代数同济大学数学系编高等教育出版社第五版线性代数第一章行列式第1章第1节二阶与三阶行列式（P1——P4）第1章第2节全排列及其逆序数（P4——P5）第1章第3节n阶行列式的定义（P5——P8）第1章第4节对换（P8——P9）第1章第5节行列式的性质（P9——P15）第1章第6节行列式按行（列）展开（P16——P21）第1章第7节克拉默法则（P21——P25）62013届钻石卡学员学习计划---数学三7本单元中我们应当学习——1．行列式的概念和性质，行列式按行（列）展开定理．2．用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．3．用克莱姆法则解齐次线性方程组．第十六单元（课前或课后学习内容）计划对应教材：工程数学线性代数同济大学数学系编高等教育出版社第五版线性代数第二章矩阵及其运算第2章第1节矩阵（P29——P32）第2章第2节矩阵的运算（P33——P42）第2章第3节逆矩阵（P42——P47）第2章第4节矩阵分块法（P47——P54）线性代数第三章矩阵的初等变换与线性方程组第3章第1节矩阵的初等变换（P57——P65）本单元中我们应当学习——1．矩阵的概念，单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵的概念和性质．2．矩阵的线性运算、乘法运算、转置以及它们的运算规律.3. 方阵的幂与方阵乘积的行列式的性质.4．逆矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件.5. 伴随矩阵的概念，用伴随矩阵求逆矩阵．6．分块矩阵及其运算．7．矩阵初等变换的概念，初等矩阵的性质，矩阵等价的概念．82013届钻石卡学员学习计划---数学三910。

2014年中考数学总复习资料

2014年中考数学总复习资料代数部分第一章：实数基础知识点：一、实数的分类：无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成qp的形式，其中p、q是互质的整数，这是有理数的重要特征。

2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.1001……；特定意义的数，如π、45sin°等。

3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。

二、实数中的几个概念1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

（1）实数a的相反数是 -a；（2）a和b互为相反数a+b=0 2、倒数：（1）实数a（a≠0）的倒数是a1；（2）a和b 互为倒数1ab；（3）注意0没有倒数 3、绝对值：（1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：,0,00,aaaaaa（2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。

（3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。

4、n次方根（1）平方根，算术平方根：设a≥0，称a叫a的平方根，a叫a的算术平方根。

（2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

（3）立方根：3a叫实数a的立方根。

（4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。

2014年度细分行业报告汇集制造行业报告互联网行业报告农林牧渔行业报告三、实数与数轴1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。

原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。

2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。

实数和数轴上的点是一一对应的关系。

四、实数大小的比较1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。

《高等数学》详细上册答案(一--七)

2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划《高等数学》上册（一----七）第一单元、函数极限连续使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版；同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点：1.函数的概念及表示方法；2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念；4.基本初等函数的性质及其图形；5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系；6.极限的性质及四则运算法则；7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限；9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质.天数学习时间学习章节学习知识点习题章节必做题目巩固习题（选做）备注第一天2h第1章第1节映射与函数函数的概念函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数初等函数具体概念和形式，函数关系的建立习题1－14(3) (6)(8),5(3)★,9(2),15(4)★,17★4(4)(7),5(1),7(2),15(1)本节有两部分内容考研不要求，不必学习：1. “二、映射”；2. 本节最后——双曲函数和反双曲函数第二天3h1章第2节数列的极限数列极限的定义数列极限的性质(唯一性、有界性、保号性)习题1－21(2) (5)(8)★3(1)1. 大家要理解数列极限的定义中各个符号的含义与数列极限的几何意义；2. 对于用数列极限的定义证明，看懂即可。

第1章第3节函数的极限函数极限的概念函数的左极限、右极限与极限的存在性函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，函数极限与数列极限的关系等）习题1－32,4★3,1. 大家要理解函数极限的定义中各个符号的含义与函数极限的几何意义；2. 对于用函数极限的定义证明，看懂即可。

2014届钻石卡学员全真模拟考试(数学一)试卷

2
2
数.
ˆ 和参数的最大似然估计量 ˆ ； (I) 求参数的最大似然估计量
2 2
ˆ 和 ˆ 是否具有无偏性. (II) 讨论
2
数学（一）Hale Waihona Puke 题第 4 页（共 4 页）
(A) 不连续. (C) 可导但 f ( x) 在 x 0 不连续. (B) 连续但不可导. (D) 可导且 f ( x) 在 x 0 连续.
(
)
(2)设 y y ( x) 满足方程 y 4 y 4 y 0 及初始条件 y (0) 0, y(0) 4 ，则反常积分
xy yz zu 0 确定出的函数 u u ( x, y, z ) 在点 P
(12)曲面 z x y 平行于平面 2 x 2 y z 0 的切平面方程为___________.
2 2
2 2 3 1 1 1 1 1 1 A (13)设 A 1 1 0 , B 2 1 0 ,则 ( A) A B ( ) B ___________. A 5 1 2 1 7 1 0

0
y ( x)dx
(B) 等于 1 . (D) 等于 3 .
2
(
)
(A) 发散. (C) 等于 1 .
3
(3) 设方程 x 6 x 9 x k 0 在 ( , ) 上恰有两个实根，则常数 k = （A） 4 . (B) 2 . (C) 2 . (D) 4 或者 0 .
一、选择题:1～8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．．．．

数学1

数学一各位钻石卡学员：经过前期紧锣密鼓的学习及上辅导班阶段，大家对数学各部分的知识及常考题型和解题方法已经基本掌握，但是对于解决综合题的能力可能还有待提高，尤其是对做套题的感觉还未真正培养，接下来我们要做的就是通过做套题（包括真题和模拟题）达到进一步深化自己对于基本知识点的掌握和解题的能力，全面提高应试技巧，培养考试的感觉，为考研数学做好充分的准备。

这一阶段并不像前面做全书一样需要我们做大量的题目，但这并不代表我们的任务变轻了，而是从一个更高的高度要求大家理解、分析、总结解题方法，也是提高数学成绩至关重要的时期，只有在做套题的基础上揣摩出题人的意图，做到遇到题目可以很快分析出其所考知识点，进一步利用我们已有的知识解决问题才是我们最终的目标。

下面对11月份学习计划做一个宏观的分析，使大家达到复习过程中心中有数。

计划使用说明：学习时间：11月份；对于复习全书还没有完成的同学可以推迟15天开始做套题（15天之内的同学可以按照自己的复习情况做出相应的调整）。

学习内容：11月份的复习用书主要是：真题+冲刺135分学习流程：每套题分三天完成：第一天严格按照时间做题，核对答案找出不足第二天根据问题相应地查缺补漏第三天重温题目，总结数学各章常考题型及解题方法（具体进度详细计划中有说明）学习目的：进一步深化自己对于基本知识点的掌握和解题的能力，全面提高应试技巧，培养考试的感觉预期效果：通过总结与实战形成自己的解题思路与知识网络。

温馨提示：大家在做真题和模拟题的时候都会发现真题得分要比模拟题高，但不要慌，由于模拟题难度较真题难度高，所以属于正常情况。

数学学习方法提示：一、复习资料的利用：(1)在考研规定时间内完成：做套题和做全书不一样，不是一天只要可以完成当天任务量就可以了，而是一定要在连续的考研规定时间内（3小时）完成一套题目（建议8：30-11：30），只有这样才能检测自己做题的速度是否合理，是否需要做出相应的调整。

2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷专题综合测试5Word版含解析

专题五综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．若直线l 1：ax ＋2y －1＝0与l 2：3x －ay ＋1＝0垂直，则a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0 D ．2 解析由3a －2a ＝0知a ＝0. 答案 C2．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，半径为5的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析将方程分离参数a 可得a (x ＋1)－(x ＋y －1)＝0，方程表示过两直线的交点⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝0，x ＋y －1＝0，即C 点为(－1,2)，故圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5，即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.答案 C3．(2013·福建卷)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于( )A.25B.45C.255D.455解析双曲线x 24－y 2＝1的顶点为(±2,0)，渐近线为y ＝±12x ，所以所求距离为255答案 C4．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为( )A.x 212＋y 216＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 248＋y 264＝1D.x 264＋y 248＝1解析因为抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是(2,0)，由此得2m ＝12，解得m ＝4，由n 2＝m 2－22＝12，所以所求的椭圆方程是x 216＋y 212＝1.答案 B5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为( )A ．5x 2－5y24＝1B.x 25－y 24＝1C.y 25－x 24＝1D ．5x 2－4y25＝1解析由题意得抛物线焦点为(1,0)， ∴a 2＋b 2＝1.又∵e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝1a 2＝5，∴a 2＝15，∴b 2＝45.∴该双曲线的方程为5x 2－54y 2＝1.答案 A6．设圆C 与圆x 2＋(y －3)2＝1外切，与直线y ＝0相切，则C 的圆心轨迹为( )A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．圆解析设圆C 的半径为r ，则圆心C 到直线y ＝0的距离为r .由两圆外切可得，圆心C 到点(0,3)的距离为r ＋1，也就是说，圆心C 到点(0,3)的距离比到直线y ＝0的距离大1，故点C 到点(0,3)的距离和它到直线y ＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C 的轨迹为抛物线．答案 A7．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0(a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析由题意知，圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心坐标为(－1,2)，将圆心坐标代入直线方程得2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1，平方得1＝a 2＋b 2＋2ab ≥4ab ，所以ab ≤14.答案 A8．(2013·全国大纲卷)已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A 、B 两点，若MA →·MB →＝0，则k ＝( )A.12 B.22 C. 2D ．2解析由题意知k ≠0，设直线AB 方程为x ＝1k y ＋2，与抛物线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 与抛物线方程联立得ky 2－8y －16k ＝0，y 1＋y 2＝8k ，y 1y 2＝－16.MA →·MB →＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 218＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 228＋2＋(y 1－2)(y 2－2)＝0，整理并结合y 1＋y 2＝8k ，y 1y 2＝－16得k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2，故选D.答案 D9．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C .若AB →＝12BC →，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C. 5D.10解析直线l ：y ＝－x ＋a 与渐近线l 1：bx －ay ＝0交于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋b ，ab a ＋b ，l 与渐近线l 2：bx ＋ay ＝0交于C ⎝⎛⎭⎪⎫a 2a －b ，－ab a －b ，A (a,0)，AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫－ab a ＋b ，ab a ＋b ，BC →＝⎝⎛⎭⎪⎫2a 2b a 2－b 2，－2a 2b a 2－b 2.∵AB →＝12BC →，∴－ab a ＋b ＝a 2b a 2－b2，b ＝2a ，∴c 2－a 2＝4a 2.∴e 2＝c2a 2＝5，∴e ＝5，故选C.答案 C10．已知抛物线y 2＝4px (p >0)与双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( )A.5＋12B. 2＋1C.3＋1D.22＋12解析如图所示，由抛物线的定义知|AF |＝2p ＝2c .再由双曲线的定义知：|AF ′|－|AF |＝2a .又|AF ′|＝4c 2＋4c 2＝22c ， ∴22c －2c ＝2a . ∴e ＝c a ＝12－1＝2＋1.答案 B11．已知P 为抛物线x 2＝4y 上一个动点，Q 是圆(x －4)2＋y 2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值是( )A ．5B ．8 C.17－1D.5＋2解析由抛物线定义知，点P 到抛物线准线的距离等于到焦点的距离，所以问题转化为抛物线上的点到圆上的点和到焦点的距离之和的最小值，易知此最小值即为圆心到焦点的距离减去圆的半径．抛物线的焦点坐标为(0,1)，圆的圆心坐标为(4,0)，半径为1，故点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和的最小值为(4－0)2＋(0－1)2－1，即17－1.答案 C 12.(2013·湖南卷)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图所示)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ．1 C.83D.43解析以AB 、AC 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)，则△ABC 的重心G ⎝⎛⎭⎪⎫43，43，设AP ＝t (0<t <4)，则P (t,0)，P 关于直线AC 、BC 的对称点P 1(－t,0)，P 2(4,4－t )，由题可知P 1，P 2，G 三点共线，所以4343＋t ＝43－(4－t )43－4，解得t ＝43.答案 D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上．13．(2013·陕西卷)双曲线x 216－y 2m ＝1的离心率为54，则m 等于________．解析由双曲线的几何性质得a 2＝16，b 2＝m ，e ＝c a ＝54，则a ＝4，b ＝m ，e ＝ca ＝16＋m 4＝54，故m ＝9.答案 914．已知抛物线y 2＝ax 过点A ⎝⎛⎭⎪⎫14，1，那么点A 到此抛物线的焦点的距离为________．解析由题意知点A 在抛物线y 2＝ax 上，得1＝14a ，所以a ＝4，故y 2＝4x .由抛物线的定义可知点A 到焦点的距离等于点A 到准线的距离，所以点A 到此抛物线的焦点的距离为x A ＋a 4＝14＋1＝54.答案 5415．(2013·湖南卷)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．解析不妨设|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又结合|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，从而|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|为最小边，从而∠PF 1F 2＝30°，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos30°，即4a 2＝16a 2＋4c 2－83ac ，解得c a ＝ 3.答案 316．已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4,0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．解析 (1)当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝4，代入y 2＝4x ，得交点为(4,4)，(4，－4)，∴y 21＋y 22＝16＋16＝32.(2)当直线的斜率存在时，设直线方程为y ＝k (x －4)，与y 2＝4x 联立，消去x 得ky 2－4y －16k ＝0，由题意知，k ≠0，则y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－16.∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝16k2＋32>32.综合(1)(2)知(y 21＋y 22)min ＝32.答案 32三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m消y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0.∴Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <2 3. ∴x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，y 0＝x 0＋m ＝m3.∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355. 18．(本小题12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线与圆Q 相交于不同的两点A 、B .(1)求k 的取值范围．(2)是否存在常数k ，使得向量OA →＋OB →与PQ →共线？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)圆的方程可写成(x －6)2＋y 2＝4，所以圆心为Q (6,0)．过P (0,2)且斜率为k 的直线方程为y ＝kx ＋2，代入圆的方程得x 2＋(kx ＋2)2－12x ＋32＝0，整理得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0.① 直线与圆交于两个不同的点A 、B 等价于 Δ＝[4(k －3)]2－4×36(1＋k 2)＝42(－8k 2－6k )>0，解得－34<k <0，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．由方程①， x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4，③ 而P (0,2)，Q (6,0)，PQ →＝(6，－2)，所以OA →＋OB →与PQ →共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)．将②③代入上式，解得k ＝－34.由(1)知k ∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0，故没有符合题意的常数k ，使OA →＋OB →与PQ →共线．19．(本小题12分)已知椭圆C 1：x 24＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，OB →＝2OA →，求直线AB 的方程．解 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为y 2a 2＋x 24＝1(a >2)，其离心率为32，故a 2－4a ＝32，则a ＝4，故椭圆C 2的方程为y 216＋x 24＝1.(2)A ，B 两点的坐标分别记为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由OB →＝2OA →及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入x 24＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x 2A ＝41＋4k 2；将y ＝kx 代入y 216＋x 24＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x 2B ＝164＋k 2. 又由OB →＝2OA →，得x 2B ＝4x 2A ，即164＋k 2＝161＋4k 2，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .20．(本小题12分)(2013·福建卷)如图所示，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9.连接OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)．(1)求证：点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；(2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△OCN 的面积比为，求直线l 的方程．解解法一：(1)依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .设P i 的坐标为(x ，y )，由⎩⎨⎧x ＝i ，y ＝i10x ，得y ＝110x 2，即x 2＝10y .所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .(2)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋10，x 2＝10y ，得x 2－10kx －100＝0，此时Δ＝100k 2＋400>0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k ，①x 1·x 2＝－100.②因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|. 又x 1·x 2<0，所以x 1＝－4x 2，分别代入①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＝10k ，－4x 22＝－100，解得k ＝±32.所以直线l 的方程为y ＝±32x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.解法二：(1)点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在抛物线E ：x 2＝10y 上．证明如下：过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝i ， B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i 10x .由⎩⎨⎧x ＝i ，y ＝i 10x ，解得P i 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫i ，i 210. 因为点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y .(2)同解法一．21．(本小题12分)(2013·陕西卷)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明直线l 过定点．解 (1)如图所示，设动圆圆心O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点，∴|O 1M |＝x 2＋42.又|O 1A |＝(x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ，∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中，得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0，其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk 2，① x 1x 2＝b 2k 2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①②代入③，得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0， ∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)， ∴直线l 过定点(1,0)．22．(本小题12分)(2013·广东卷)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为322.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线P A ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．解 (1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy ，则|0－c －2|2＝322，结合c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(其中y 1＝x 214，y 2＝x 224)，则切线P A ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2.所以切线P A 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x－2y －2y 1＝0.同理，可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0.因为切线P A ，PB 均过点P (x 0，y 0)，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0.所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解．所以直线AB 的方程为x 0x －2y 0－2y ＝0. (3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y .消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0，由根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1.又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2. 所以y 20＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92.所以当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.。

2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷高频考点训练26Word版含解析

高考专题训练时间：45分钟分值：75分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·全国卷Ⅰ)执行下面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]解析由程序框图得s ＝⎩⎨⎧3t ，t <1，4t －t 2，t ≥1，所以－1≤t <1时s ＝3t ∈[－3,3)，1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4 ∈[3,4]，故s ∈[－3,4]，选A.答案 A 2．(2013·广东卷)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( )A ．(2,4)B ．(2，－4)C ．(4，－2)D ．(4,2)解析由i z ＝2＋4i 得：z ＝2＋4i i ＝(2＋4i )i－1＝4－2i ，对应点为(4，－2)，故选C.答案 C3．(2013·全国卷Ⅰ)若复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，则z 的虚部为( )A ．－4B ．－45 C ．4 D.45解析 |4＋3i|＝42＋32＝5，所以(3－4i)z ＝5，即z ＝53－4i＝5(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝35＋45i ，所以z 的虚部为45，故选D.答案 D4．(2013·安徽卷)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.16B.2524C.34D.1112解析由程序框图的循环结构得s ＝12，n ＝4；s ＝34，n ＝6；s ＝1112，n ＝8.停止循环，输出s ＝1112，故选D.答案 D5．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n ，由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对∀x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n解析注意到，选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和等于S n ＝n (1＋2n －1)2＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．因此选A.答案 A6．类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S (x )＝a x －a －x ，C (x )＝a x ＋a －x ，其中a >0，且a ≠1，下面正确的运算公式是( )①S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；②S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )；③2S (x ＋y )＝S (x )C (y )＋C (x )S (y )；④2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )．A ．①②B ．③④C ．①④D ．②③解析经验证易知①②错误．依题意，注意到2S (x ＋y )＝2(a x ＋y －a－x －y )，又S (x )C (y )＋C (x )S (y )＝2(a x ＋y －a －x －y )，因此有2S (x ＋y )＝S (x ) C (y )＋C (x )S (y )；同理有2S (x －y )＝S (x )C (y )－C (x )S (y )，综上所述，选B.答案 B二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．(2013·天津卷)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.解析 (a ＋i)(1＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ＝b i ，由复数的运算法则可得⎩⎨⎧a －1＝0，a ＋1＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，所以a ＋b i ＝1＋2i.答案 1＋2i8．(2013·陕西卷)观察下列等式 12＝1 12－22＝－3 12－22＋32＝6 12－22＋32－42＝－10 ……照此规律，第n 个等式可为________．解析由已知式子归纳规律可得第n 个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)2答案 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝(－1)n ＋1n (n ＋1)29.(2013·山东卷)执行右面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．解析由题中所给循环程序得：F1＝3，F0＝2，n＝2，1F1＝13>0.25；继续执行；F1＝5，F0＝3，n＝3；此时1F1＝0.2<0.25，故停止循环，输出n＝3.答案 3三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)(2013·江苏卷)已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.解 2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2)＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0,2a ＋b >0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .11．(本小题10分)已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12n 为等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)设b n ＝a n －12n ，则b 1＝5－12＝2.因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n ＋1－a n －12n ＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1]＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1]＝1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n －12n 为首项是2，公差是1的等差数列． (2)由(1)知，a n －12n ＝a 1－12＋(n －1)×1， ∴a n ＝(n ＋1)·2n ＋1.∵S n ＝(2·21＋1)＋(3·22＋1)＋…＋(n ·2n －1＋1)＋[(n ＋1)·2n ＋1]， ∴S n ＝2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1＋(n ＋1)·2n ＋n . 设T n ＝2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1＋(n ＋1)·2n ，①2T n＝2·22＋3·23＋…＋n·2n＋(n＋1)·2n＋1.②②－①，得T n＝－2·21－(22＋23＋…＋2n)＋(n＋1)·2n＋1＝n·2n＋1，所以S n＝n·2n＋1＋n＝n·(2n＋1＋1)．12．(本小题10分)根据如图所示的程序框图，将输出的x，y值依次分别记为x1，x2，…，x k，…；y1，y2，…，y k，….(1)分别求数列{x k}和{y k}的通项公式；(2)令z k＝x k y k，求数列{z k}的前k项和T k，其中k∈N*，k≤2 007.解(1)由程序框图，知数列{x k}中，x1＝1，x k＋1＝x k＋2，∴x k＝1＋2(k－1)＝2k－1(k∈N*，k≤2 007)．由程序框图，知数列{y k}中，y k＋1＝3y k＋2，∴y k＋1＋1＝3(y k＋1)．∴y k ＋1＋1y k ＋1＝3，y 1＋1＝3. ∴数列{y k ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列． ∴y k ＋1＝3·3k －1＝3k .∴y k ＝3k －1(k ∈N *，k ≤2 007)．(2)T k ＝x 1y 1＋x 2y 2＋…＋x k y k ＝1×(3－1)＋3×(32－1)＋…＋(2k －1)(3k －1)＝1×3＋3×32＋…＋(2k －1)·3k －[1＋3＋…＋(2k －1)]．记S k ＝1×3＋3×32＋…＋(2k －1)·3k ，① 则3S k ＝1×32＋3×33＋…＋(2k －1)·3k ＋1，②①－②，得－2S k ＝3＋2·32＋2·33＋…＋2·3k －(2k －1)·3k ＋1 ＝2(3＋32＋…＋3k )－3－(2k －1)·3k ＋1 ＝2×3×(1－3k )1－3－3－(2k －1)·3k ＋1＝3k ＋1－6－(2k －1)·3k ＋1 ＝2(1－k )·3k ＋1－6， ∴S k ＝(k －1)·3k ＋1＋3.又∵1＋3＋…＋(2k －1)＝k (1＋2k －1)2＝k 2， ∴T k ＝(k －1)·3k ＋1＋3－k 2.。

2014高考数学(全国通用)二轮复习钻石卷高频考点训练8Word版含解析

高考专题训练时间：45分钟分值：75分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案填在题后括号内．1．(2013·辽宁朝阳一模)在△ABC 中， M 为边BC 上任意一点，N 为AM 中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14D ．1解析 ∵M 为边BC 上任意一点， ∴可设AM →＝xAB →＋yAC →(x ＋y ＝1)． ∵N 为AM 中点，∴AN →＝12AM →＝12xAB →＋12yAC →＝λAB →＋μAC →. ∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12. 答案 A2．(2013·辽宁卷)已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎪⎫45，－35C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35解析 AB →＝(3，－4)，则|AB →|＝5，所以与AB →同方向的单位向量是⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45.答案 A3．已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.π2D.2π3解析由(a ＋2b )·(a －b )＝|a |2＋a ·b －2|b |2＝－2，得a ·b ＝2，即|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2，cos 〈a ，b 〉＝12.故〈a ，b 〉＝π3.答案 B4．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝( )A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )， 3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1， 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝12.又π6<C ＋π6<7π6，因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3，选C. 答案 C5．(2013·湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )A ．[2－1，2＋1]B ．[2－1，2＋2]C ．[1，2＋1]D ．[1，2＋2]解析由已知得|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2，易知c 与a ＋b 共线时，可取得最值．因为|c －a －b |＝1，所以2－1≤|c |≤2＋1. 答案 A6．(2013·重庆卷)在平面上，AB 1→⊥AB 2→，|OB 1→|＝|OB 2→|＝1，AP →＝AB 1→＋AB 2→.若|OP →|<12，则|OA →|的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，52B.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，72C.⎝ ⎛⎦⎥⎤52，2 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2 解析由题意得点B 1，B 2在以O 为圆心，半径为1的圆上，点P 在以O 为圆心半径为12的圆内，又AB 1→⊥AB 2→，AP →＝AB 1→＋AB 2→，所以点A 在以B 1B 2为直径的圆上，当P 与O 点重合时，|OA →|最大为2，当P 在半径为12的圆周上，|OA →|最小为72.答案 D二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在题中横线上．7．(2013·全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________.解析 a ，b 均为单位向量，夹角为60°，所以a ·b ＝12.又b ·c ＝0.即：b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，得t 2＋(1－t )＝0，解得t ＝2. 答案 28．(2013·天津卷)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．解析 AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AD →－12AB →＝AD →2＋12AB →·AD →－12AB →2＝AD →2＋12|AB →|·|AD →|cos60°－12AB →2＝1，把|AD →|＝1代入得|AB →|＝12.答案 129．如图是半径为2，圆心角为90°的直角扇形OAB ，Q 为AB 上一点，点P 在扇形内(含边界)，且OP →＝tOA →＋(1－t )OB →(0≤t ≤1)，则OP →·OQ →的最大值为________．解析 ∵OP →＝tOA →＋(1－t )OB →， ∴BP →＝tBA →.又0≤t ≤1， ∴P 在线段BA 上运动．∵Q 为AB 上一点，设∠POQ ＝θ，∴OP →·OQ →＝|OP →||OQ →|cos θ＝2|OP →|cos θ≤2|OP →|≤2×2＝4，即当P ，Q 重合且位于A 或B 处时，OP →·OQ →取最大值4. 答案 4三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．(本小题10分)已知向量AB →＝(3,1)，AC →＝(－1，a )，a ∈R . (1)若D 为BC 中点，AD →＝(m,2)，求a ，m 的值；(2)若△ABC 是直角三角形，求a 的值．解 (1)因为AB →＝(3,1)，AC →＝(－1，a )，所以AD →＝12(AB →＋AC →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋a 2. 又AD →＝(m,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，1＋a ＝2×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，m ＝1.(2)因为△ABC 是直角三角形，所以A ＝90°或B ＝90°或C ＝90°. 当A ＝90°时，由AB →⊥AC →，得3×(－1)＋1·a ＝0，所以a ＝3；当B ＝90°时，因为BC →＝AC →－AB →＝(－4，a －1)，所以由AB →⊥BC →，得3×(－4)＋1·(a －1)＝0，所以a ＝13；当C ＝90°时，由BC →⊥AC →，得－1×(－4)＋a ·(a －1)＝0，即a 2－a ＋4＝0，因为a ∈R ，所以无解．综上所述，a ＝3或a ＝13.11．(本小题10分)(2013·江苏卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．解 (1)由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.12．(本小题10分)已知向量m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4，cos 2x 4. (1)若m ·n ＝1，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x 的值； (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．解 (1)m ·n ＝3sin x 4cos x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12·cos x 2＋12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12.又∵m ·n ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12.cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＝12，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝－12. (2)∵(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C . ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．∵A ＋B ＋C ＝π，∴sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0. ∴cos B ＝12.又∵0<B <π，∴B ＝π3. ∴0<A <2π3.∴π6<A 2＋π6<π2，12<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6<1.又∵f (x )＝m ·n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6＋12，∴f (A )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π6＋12.故函数f (A )的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。

2014年初四数学总复习

2014年初四数学总复习1.如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心．此时，点M是线段PQ的中点．在平面直角坐标系中，△ABO的顶点A，B，O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）．点列P1、P2、P3、…，中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称：点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…，对称中心分别是A，B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环．已知点P1的坐标是（1，1），则点P2014的坐标为_______________2. 如图在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AC=5，BC=4，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AP长度的最大值与最小值的差为___________．3. 如图，在直角梯形OABC中，OA、OC边所在直线与x、y轴重合，BC∥OA，点B的坐标为（6.4，4.8），对角线OB⊥OA．在线段OA、AB上有动点E、D，点E以每秒2厘米的速度在线段OA上从点O向点A匀速运动，同时点D以每秒1厘米的速度在线段AB上从点A向点B匀速运动．当点E到达点A时，点D同时停止运动．设点E的运动时间为t（秒），（1）求线段AB所在直线的解析式；（2）设四边形OEDB的面积为y，求y关于t的函数关系式，并写出自变量的t的取值范围；（3）在运动过程中，存不存在某个时刻，使得以A、E、D为顶点的三角形与△ABO相似，若存在求出这个时刻t，若不存在，说明理由．4.如图，每一幅图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个，第2幅图中有3个，第3幅图中有5个，则第4幅图中有_______个，第n幅图中共有___________个．5. 某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．（1）若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y1（元）和蔬菜加工厂自己加工制作纸箱的费用y2（元）关于x（个）的函数关系式；（2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．6. 如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，过B点作BC∥OD交⊙O于点C，连接OC、AC，AC交OD于点E．（1）求证：△COE∽△A BC；（2）若AB=2，AD=3，求图中阴影部分的面积．7. 如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=15cm2，S△BQC=25cm2，则阴影部分的面积为__________cm2．8. 将一个无盖正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②）．则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是___________．与静止的⊙B相切，那么⊙A由图示位置需向右平移___个单位长．11. 如图，⊙O上有两点A与P，若P点在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度d与时间t的关系可能是下列图形中的________________________12. 已知，如图，直角坐标系内的矩形ABCD，顶点A的坐标为（0，3），BC=2AB，P为AD边上一动点（与点A、D不重合），以点P为圆心作⊙P与对角线AC相切于点F，过P、F作直线L，交BC边于点E，当点P运动到点P1位置时，直线L恰好经过点B，此时直线的解析式是y=2x+1．（1）求BC、AP1的长；（2）设AP=m，梯形PECD的面积为S，求S与m之间的函数关系式，写出自变量m的取值范围；（3）以点E为圆心作⊙E与x轴相切．①探究并猜想：⊙P和⊙E有哪几种位置关系，并求出AP相应的取值范围；②当直线L把矩形ABCD分成两部分的面积之比值为3：5时，则⊙P和⊙E的位置关系如何并说明理由．13. 如图（1）正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不运动到点M，点C），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线交AD于点F，切点为E．（1）求四边形CDFP的周长；（2）设BP=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）延长DC，FP相交于点G，连接OE并延长交直线DC于H〔如图（2）〕．问是否存在点P，使△EFO∽△EHG（其中△EFO顶点 E、F、O与△EHG顶点E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由．14. 将矩形纸片ABCD，按如图所示的方式折叠，点A、点C恰好落在对角线BD上，得到菱形BEDF．若BC=6，则AB的长为_____________．15. 在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=12∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；（2）通过观察、测量、猜想：BFPE= ，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求BFPE的值．（用含α的式子表示）16.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有____________①②③④17. 如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，则阴影部分面积占圆面积____________18. 在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半，下面分别是小明和小颖的设计方案．小明说：我的设计方案如图1，其中花园四周小路的宽度相等．通过解方程，我得到小路的宽为2m或12m．小颖说：我的设计方案如图2，其中花园中每个角上的扇形相同．（1）你认为小明的结果对吗？请说明理由．（2）请你帮助小颖求出图中的x（精确到0.1m）．（3）你还有其他的设计方案吗？请在下边的矩形中画出你的设计草图，并加以说明．19. 如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP⊥BC，交AC于P，连接MP．已知动点运动了x秒．（1）P点的坐标为多少；（用含x的代数式表示）（2）试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值；（3）请你探索：当x为何值时，△MPA是一个等腰三角形？你发现了几种情况？写出你的研究成果．20. 如图是农村常搭建横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是___________________21. 李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的重要条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．（1）如图1，正方体的棱长为5cm一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处；（2）如图2，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处；（3）如图3，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图4所示，且∠AOA1=120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A．22. “五一黄金周”的某一天，小明全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到距离180千米的某著名旅游景点游玩．该小汽车离家的距离s（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的曲线表示．根据图象提供的有关信息，解答下列问题：（1）小明全家在旅游景点游玩了多少小时？（2）求出返程途中，s（千米）与时间t（时）的函数关系，并回答小明全家到家是什么时间？（3）若出发时汽车油箱中存油15升，该汽车的油箱总容量为35升，汽车每行驶1千米耗油19升．请你就“何时加油和加油量”给小明全家提出一个合理化的建议．（加油所用时间忽略不计）23. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．（1）求OA、OC的长；（2）求证：DF为⊙O′的切线；（3）小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．24. 如图①，矩形纸片ABCD中，AD=14cm，AB=10cm．（1）将矩形纸片ABCD沿折线AE对折，使AB边与AD边重合，B点落在F点处，如图②所示，再剪去四边形CEFD，余下部分如图③所示，若将余下的纸片展开，则所得的四边形ABEF的形状是________，它的面积为_______cm2；（2）将图③中的纸片沿折线AG对折，使AF与AE边重合，F点落在H点处．如图④所示，再沿HG将△HGE剪下，余下的部分如图⑤所示，把图⑤的纸片完全展开，请你在图⑥的矩形ABCD中画出展开后图形的示意图，剪去的部分用阴影表示，折痕用虚线表示；（3）求图④中剪去的△HGE的展开图的面积（结果用含有根式的式子表示）．25. 如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB=4，BC=6，∠B=60度．（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x．①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．26. 操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．27. 如图，经过原点的抛物线y=-x2+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为A．过点P（1，m）作直线PM⊥x轴于点M，交抛物线于点B．记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）．连接CB，CP．（1）当m=3时，求点A的坐标及BC的长；（2）当m＞1时，连接CA，问m为何值时CA⊥CP？（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在m，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．28. 一次研究性学习活动中，某小组将两张互相重合的正方形纸片ABCD和EFGH的中心O用图钉固定住，保持正方形ABCD不动，顺时针旋转正方形EFGH，如图所示．（1）小组成员经观察、测量，发现在旋转过程中，有许多有趣的结论．下面是旋转角度小于90°时他们得到的一些猜想：①ME=MA；②两张正方形纸片的重叠部分的面积为定值；③∠MON保持45°不变．请你对这三个猜想作出判断（正确的在序号后的括号内打上“√”，错误的打上“×”）：①（）；②（）；③（）（2）小组成员还发现：（1）中的△EMN的面积S随着旋转角度∠AOE的变化而变化．请你指出在怎样的位置时△EMN的面积S取得最大值．（不必证明）（3）上面的三个猜想中若有正确的，请选择其中的一个给予证明；若都是错误的，请选择其一说明理由．29. （1）如图（1），OA、OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD交OC于点E．求证：CD=CE；（2）若将图（2）中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交⊙O于B′，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗？为什么？（3）若将图（3）中的半径OB所在直线向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗？为什么？30. 如图①所示，在直角梯形ABCD中，∠BAD=90°，E是直线AB上一点，过E作直线l∥BC，交直线CD于点F．将直线l向右平移，设平移距离BE为t（t≥0），直角梯形ABCD被直线l扫过的面积（图中阴影部分）为S，S关于t的函数图象如图②所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，N点横坐标为4．信息读取（1）梯形上底的长AB=_______；（2）直角梯形ABCD的面积=_____________；图象理解（3）写出图②中射线NQ表示的实际意义；（4）当2＜t＜4时，求S关于t的函数关系式；问题解决（5）当t为何值时，直线l将直角梯形ABCD分成的两部分面积之比为1：3．31. 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E的坐标为（4，0），顶点G的坐标为（0，2），将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点A．（1）判断△OGA和△OMN是否相似，并说明理由；（2）求图象经过点A的反比例函数的解析式；（3）设（2）中的反比例函数图象交EF于点B，求直线AB的解析式．32. 如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B （-3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点D的坐标为（-2，0）．问：直线AC上是否存在点F，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求△BCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．33.．有四张背面相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有四个不同的几何图形（如图）．小明将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，将剩余3张洗匀后再摸出一张．（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌用A，B，C，D表示）；（2）求摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形纸牌的概率．34.（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF=90°．求证：BE=CF．（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．求GH的长．35.某玩具零售店老板到批发市场选购A、B两种玩具，批发价分别为20元/件、24元/件，通过试销发现销售A、B两种文具的日销售量y（件）与零售价x（元/件）均成一次函数关系（如图）（1）求y关于x的函数关系；（2）该零售店老板这次选购A、B两种文具的数量共100件，所带资金不少于2240元，但不超过2250元且所带资金全部用于购买此两种文具，他这次有几种进货方案？（3）若B种玩具的售价比A种玩具的售价高5元/件，求这两种型号玩具每日的销售利润W（元）与A种玩具售价x（元/件）之间的函数关系式，并说明A、B两种玩具的售价分别为多少时每日的销售利润最大？36.如图，抛物线y=12x2+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，2），连接BC、AD．（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；（2）将△BCH绕点B按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△BEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；（3）设过点E的直线交AB边于点P，交CD边于点Q．问是否存在点P，使直线PQ分梯形ABCD的面积为1：3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．37. 如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-3，0）、B两点，与y轴相交于点C（0，3）．当x=-4和x=2时，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值y相等，连接AC、BC．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M、N时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得△ACF是等腰三角形？若不存在请说明理由；若存在，请求出F点坐标．38. 已知二次函数y=-14x2+32x的图象如图．（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由．39. 要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．（1）设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的14，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．40.如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点．抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连接DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长；（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由．41.教材上有这样一道习题：“在一块三角形余料ABC中，它的边BC=120mm，高线AD=80mm．要把它加工成正方形零件（如图），使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长为多少mm？”（1）请你解答上题；（2）若将上题图中的正方形PQMN改为矩形，其余条件不变，求矩形PQMN的面积S的最大值；（3）我们把上面习题中的正方形PQMN叫做“BC边上的△ABC的内接正方形”，若在习题的条件下，又知AB=150mm，AC=100mm，请分别写出AB边上的△ABC的内接正方形的边长和AC边上的△ABC的内接正方形的边长（不必写出过程，只要直接写出答案即可，结果精确到1mm）；（4）结合第（1）、（3）题，若三角形的三边长分别为a，b，c，各边上的高分别为h a，h b，h c，要使a边上的三角形内接正方形的面积最大，请写出a与h a必须满足的条件（不必写出过程）．42. 西湖龙井茶名扬中外．小叶是某龙井茶叶有限公司产品包装部门的设计师．如图1是用矩形厚纸片（厚度不计）做长方体茶叶包装盒的示意图，阴影部分是裁剪掉的部分．沿图中实线折叠做成的长方体纸盒的上下底面是正方形，有三处矩形形状的“接口”用来折叠后粘贴或封盖．（1）小叶用长40cm，宽34cm的矩形厚纸片，恰好能做成一个符合要求的包装盒，盒高是盒底边长的2.5倍，三处“接口”的宽度相等．则该茶叶盒的容积是多少？（2）如图2是小叶设计出的一款茶叶包装，它的里面是由四个圆柱体茶叶罐包装而成的龙井茶．现有一张60cm×44cm的矩形厚纸片，按如图3所示的方法设计包装盒，用来包装四个圆柱体茶叶罐，已知该种的茶叶罐高是底面直径1.5倍，要求包装盒“接口”的宽度为2cm（如有多余可裁剪），问这样的茶叶罐底面直径最大可以为多少？43. 如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE；（2）连接FC，观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=a，BC=b（a、b为常数），E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变？若∠FCN的大小不变，请用含a、b的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．44.如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论：①CP平分∠BCD；②四边形ABED为平行四边形；③CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分；④△ABF为等腰三角形，其中不正确的有_____________45. 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，交AC于点E，过点D作DF⊥AC，垂足为F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若过A点且与BC平行的直线交BE的延长线于G点，连接CG．当△ABC是等边三角形时，求∠AGC的度数．46.我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．（1）写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称正方形、长方形、直角梯形（任选两个均可）；（2）如图1，已知格点（小正方形的顶点）O（0，0），A（3，0），B（0，4），请你画出以格点为顶点，OA，OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形OAMB；（3）如图2，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，∠DCB=30度．求证：DC2+BC2=AC2，即四边形ABCD是勾股四边形．47.在修建某条公路的过程中，需挖通一条隧道，甲、乙两个工程队从隧道两端同时开始挖掘．施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直至隧道挖通．图是甲、乙两个工程队所挖隧道的长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的函数图象．请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）求该隧道的长；（2）乙工程队工作多少天时，两队所挖隧道的长度相差18米？48.．如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足为B、D，且AD与BC相交于E点．已知：A（-2，-6），C（1，-3）（1）求证：E点在y轴上；（2）如果AB的位置不变，而DC水平向右移动K（K＞0）个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于K的函数解析式；（3）过A、E、E′三点的抛物线中，是否存在一条抛物线，它的顶点在x轴上？若存在，请求出k的值；若不存在，说明理由．49. 如图，从内到外，边长依次为2，4，6，8，…的所有正六边形的中心均在坐标原点，且一组对边与x轴平行，它们的顶点依次用A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10、A11、A12…表示，那么顶点A2014的坐标是___________．50. 如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：①CE=BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB=∠AEB；④CD•AE=EF•CG；一定正确的结论有________________51.如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．（1）猜想：ME与MF的数量关系；（2）如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且∠M=∠B，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并加以证明；（3）如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且AB：BC=1：2，其它条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由；（4）如图4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠M=∠B，AB：BC=m，其它条件不变，求出ME：MF的值．（直接写出答案）52. ●探究：（1）在图中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．①若A（-1，0），B（3，0），则E点坐标为__________；②若C（-2，2），D（-2，-1），则F点坐标为_____________；（2）在图中，已知线段AB的端点坐标为A（a，b），B（c，d），求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的代数式表示），并给出求解过程．●归纳：无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为A（a，b），B（c，d），AB中点为D（x，y）时，x=_____，y=_____．（不必证明）●运用：在图中，一次函数y=x-2与反比例函数y=3x的图象交点为A，B．①求出交点A，B的坐标；②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论求出顶点P的坐标．53. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，锐角∠DAB的平分线AC交⊙O于点C，作CD⊥AD，垂足为D，直线CD与AB的延长线交于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）过点O作线段AC的垂线OE，垂足为E（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（3）若CD=4，AC=45，求垂线段OE的长．54.如图1，在△ABO中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连接AD并延长交OC于E．（1）求点B的坐标；（2）求证：四边形ABCE是平行四边形；（3）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．55.如图，已知抛物线y=-49x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线x=2，且与x轴交于点D，AO=1．（1）填空：b= ，c= ，点B的坐标为（ , ）：（2）若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F．求FC的长；（3）探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．56. 已知如图抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）与y轴交于C点，顶点为D．（1）求出A、B、C、D四点坐标；（2）判断△AOC与△BCD是否相似，并说明理由；（3）过C作直线CE平行x轴交抛物线另一个交点为E，动点F从C点开始，以每秒2个单位的速度沿CF方向在射线CE上运动，动点G从B点开始以每秒4个单位速度沿BC方向在射线BC上运动．设动点F、G同时出发运动时间为t，问在抛物线上是否存在点H；使以C、G、H、F四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出相应t的值和H的坐标；若不存在，请说明理由．57.如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，BD为斜边AC上的中线，将△ABD绕点D顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到△EFD，点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，连接BE、CF．（1）判断BE与CF的位置、数量关系，并说明理由；（2）若连接BF、CE，请直接写出在旋转过程中四边形BCEF能形成哪些特殊四边形；（3）如图2，将△ABC中AB=BC改成AB≠BC时，其他条件不变，直接写出α为多少度时（1）中的两个结论同时成立．58.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P（不与A、B重合），连接DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．（1）当x为何值时，△APD是等腰三角形；（2）若设BE=y，求y关于x的函数关系式；（3）若BC的长可以变化，是否存在点P，使得PQ经过点C？若不存在，请说明理由，若存在并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．59. 如图1，在第一象限内，直线y=mx与过点B（0，1）且平行于x轴的直线l相交于点A，半径为r的⊙Q与直线y=mx、x轴分别相切于点T、E，且与直线l分别交于不同的M、N两点．（1）当点A的坐标为（33，p）时，①填空：p= ，m= ，∠AOE= ．②如图2，连接QT、QE，QE交MN于点F，当r=2时，试说明：以T、M、E、N为顶点的四边形是等腰梯形；（2）在图1中，连接EQ并延长交⊙Q于点D，试探索：对m、r的不同取值，经过M、D、N三点的抛物线y=ax2+bx+c，a的值会变化吗？若不变，求出a的值；若变化．请说明理由．60.如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C在x轴上，点B坐标为（3，m）（m＞0），线段AB与y轴相交于点D，以P（1，0）为顶点的抛物线过点B、D．（1）求点A的坐标（用m表示）；（2）求抛物线的解析式；（3）设点Q为抛物线上点P至点B之间的一动点，连接PQ并延长交BC于点E，连接BQ并延长交AC于点F，试证明：FC（AC+EC）为定值．61. 随着我市近几年城市园林绿化建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资成本x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资成本x成二次函数关系，如图②所示．（注：利润与投资成本的单位：万元）（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；（2）如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木，请求出他所获得的总利润Z与投入种植花卉的投资量x之间的函数关系式，并回答他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？62. 美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某市城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示）（1）根据图中所提供的信息，回答下列问题：2001年底的绿地面积为公顷，比2000年底增加了公顷；在1999年，2000年，2001年这三年中，绿地面积增加最多的是年；（2）为满足城市发展的需要，计划到2003年底使城区绿地总面积达到72.6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增长率？63.如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，DE=3，连接BD，过点E作EM∥BD，交BA的延长线于点M．（1）求⊙O的半径；（2）求证：EM是⊙O的切线；（3）若弦DF与直径AB相交于点P，当∠APD=45°时，求图中阴影部分的面积．64.某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．请根据如图，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．。

2014年中考数学总复习资料大全(精华版)

2014年中考数学总复习资料大全实数★重点★实数的有关概念及性质，实数的运算☆内容提要☆重要概念1．数的分类及概念数系表：说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）2）有标准2．非负数：正实数与零的统称。

（表为：x≥0）常见的非负数有：性质：若干个非负数的和为0，则每个非负担数均为0。

3．倒数：①定义及表示法②性质：A.a≠1/a（a≠±1）;B.1/a中，a≠0;C.0＜a＜1时1/a＞1;a＞1时，1/a＜1;D.积为1。

4．相反数：①定义及表示法②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

5．数轴：①定义（“三要素”）②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

6．奇数、偶数、质数、合数（正整数—自然数）定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n（n为自然数）7．绝对值：①定义（两种）：代数定义：几何定义：数a 的绝对值顶的几何意义是实数a 在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a │≥0,符号“││”是“非负数”的标志;③数a 的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有“││”出现，其关键一步是去掉“││”符号。

实数的运算1．运算法则（加、减、乘、除、乘方、开方）2．运算定律（五个—加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律）3．运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.（同4．级运算）从“左”到“右”（如5÷51³5）;C.(有括号时)由“小”到“中”到“大”。

应用举例（略）附：典型例题已知：a 、b 、x 在数轴上的位置如下图，求证：│x-a │+│x-b │=b-a.2.已知：a-b=-2且ab<0，（a ≠0，b ≠0），判断a 、b 的符号。

第二章代数式★重点★代数式的有关概念及性质，代数式的运算☆内容提要☆重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

2014届启航学员高等数学基础阶段测试卷答案

学海航行大智方赢—【学航教育】全国硕士研究生入学统一考试数学(一、二、三适用)2014届学员高等数学基础阶段测试卷(答案解析)一选择题1-4 CBCD 5-8B ADB 详解1、（A ）当0→x 时，223~)(x x x x +=α是3x d 的低阶无穷小.(B) 当0→x 时，x xxx x x =-=221~cos 1)(β是3x d 的低阶无穷小.(C) 当0→x 时，的同阶无穷小是32202)1(ln3)1ln(03)(.31)1(ln 31311)1()1()(lim limlimlim22x x xx x x e x dt e x x x x x x t x x λλ=+=+-=-=→+→+→→⎰(D) 当0→x 时，1sinx 1)()1ln(-+=+x x ）（δ1)1ln(sinx 1ln -=++x e）（2~)1l n (s i n x 1ln ~x x ++）（是3x 的低阶无穷小. 2.计算111)1()00(lim lim0220=+=--=+++→→x x x x x f x x 111)1()00(lim lim 0220-=+-=--=---→→x x x x x f x x 由于)00(+f ≠)00(-f ，故0=x 不是可去间断点.3. 3333333000333000(sin )(sin )sin (sin )(0)sin lim lim lim sin sin 0sin sin 1sin 1(0)lim lim lim 3=22k k kx x x k k k x x x f x f x x f x f xx x x x x x x x f k x x x λλλλλλλ→→→→→→-=⋅=⋅-'=⋅===∴=， 4. (A)项：设2()f x x =-，显然(0)0f =为极大值.设2()g x x =-，显然 (0)0g =为极大值而4()()()F x f x g x x =⋅=，(0)F 为极小值.所以(A)错误，故(C)也错误.(B)项：设 2()f x x =-，显然 (0)0f =为极大值，设2()1g x x =-，显然 (0)1g = 为极大值. 又因为22()()()(1)F x f x g x x x =⋅=--，易见(0)0F =，而当0x ≠，且x 很小时，()0F x <，所以(0)F 为极大值，故不选(B)，因此选(D). 5. 由多元函数在一点的偏导数定义可知，学航与坚持梦想者同行2220001sin 0(1)(01)sin (01)lim lim lim 1x x x x x f x f x x f x x x→→→--'====，，，故答案选(B). 6．在积分区域22{()+1}D x y x y =≤，上有22222()x y x y +≤+≤，且等号仅在区域D 的边界22{()+1}D x y x y ==，上与点(00)，处成立.从而在积分区域D上有22222cos()cos()x y x y +≥+≥，且等号也仅在区域D 的边界22{()+1}D x y x y ==，上与点(00)，处成立.此外，三个被积函数又都在区域D 上连续，按二重积分性质可得321I I I >>，故应选A7. 该二重积分的积分区间如图：先确定x 的取值范围，则积分区间可写为：{()10ln }x y x e y x ≤≤≤≤，，若先确定 y 的取值范围，则积分区间可写为：{()01}y x y y e x e ≤≤≤≤，，.因此交换次序后，二重积分变为10()yee I dyf x y dx =⎰⎰，故答案选(D).8. 特征方程为2+1=0λ=i λ∴±所以0不是特征方程的根，y y x ''+=的特解1*y ax b =+，又i ±是特征根，所以cos y y x ''+=的特解为2*(sin cos )y x A x B x =+，又12***y y y =+，所以*(sin cos )y ax b x A x B x =+++正确选项为B二、填空题9.e 10. 2y x = 11. 22222sin()12sin()xy xy xye x y x yxe y x y x y++++-++++12. 1cos 2cos C x x -+（C 为任意常数）13. 23020122x e x x x ⎧-⎪<⎪⎨≥⎪-⎪⎩，，14. z xy -9. 2211ln )0lim )lim x e x x x x x x e x e -→→-=（（学海航行大智方赢—【学航教育】又2200001ln )-111lim ln )lim lim =lim =2)2)2x x xx x x x x x e x e e x x x x e x e x →→→→--=--（（洛必达法则（（21120lim )=x x x e x e →∴-（10.设斜渐近线方程方程为：y ax b =+，则3221lim 2x x x a x→∞+==，322lim(2)01x x b x x →∞=-=+ 所以曲线的斜渐近线方程为：2y x =11.方程两边关于x 求导，得：222()sin()(12)xyx y e y xy x y yy x y'+''++=-+++整理得： 22222s i n ()12s i n ()xy xy x ye x y x yy xe y x y x y++++'=-++++12.这是一阶线性非齐次微分方程,通解为：tan tan 11[sin ]cos 2cos xdxxdx Cy e x e dx C x x-⎰⎰=⋅+=-+⎰，C 为任意常数. 13.因为1()()xF x f t dt =⎰是变限积分，而()f t 又是分段函数，所以应对上限x 分段讨论。