2012年普通高等学校招生全国统一考试 理数(新课标卷) (含答案)

2012年普通高等学校招生全国统一考试—全国新课标理科数学时间 120分钟第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合}5,4,3,2,1{=A ，},,|),{(A y x A y A x y x B ∈-∈∈=，则B 中所含元素的个数为（ ）A 、3B 、6C 、8D 、102．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 A 、12种 B 、10种 C 、9种 D 、8种 3．下面是关于复数iz +-=12的四个命题： 2|:|1=z p i z p 2:22= z p :3的共轭复数为i +1 z p :4的虚部为1-其中的真命题为（ ）A 、2p ，3pB 、1p ，2pC 、2p ，4pD 、3p ，4p4．设1F 、2F 是椭圆E ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点，P 为直线23a x =上一点，12PF F ∆是底角为o 30的等腰三角形，则E 的离心率为（）A 、21B 、32 C 、43D 、54 5．已知}{n a 为等比数列，274=+a a ，865-=a a ，则=+101a a（ ）A 、7B 、5C 、-5D 、-76．如果执行右边的程序框图，输入正整数)2(≥N N 和实数N a a a ,,,21Λ，输出A 、B ，则（ ） A 、B A +为N a a a ,,,21Λ的和 B 、2BA +为N a a a ,,,21Λ的算术平均数 C 、A 和B 分别是N a a a ,,,21Λ 中最大的数和最小的数D 、A 和B 分别是N a a a ,,,21Λ 中最小的数和最大的数7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某 几何体的三视图，则此几何体的体积为 （ ） A 、6 B 、9 C 、12 D 、18 8．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物 线x y 162=的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则C 的实轴长为（） A 、2B 、22C 、4D 、89．已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是（ ） A 、]45,21[B 、]43,21[C 、]21,0( D 、]2,0(10．已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图像大致为（ ）A B C D11．已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为 （ ）A 、62B 、63 C 、32 D 、22 12．设点P 在曲线xe y 21=上，点Q 在曲线)2ln(x y =上，则||PQ 的最小值为 （ ） A 、2ln 1-B 、)2ln 1(2-C 、2ln 1+D 、)2ln 1(2+第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知向量，夹角为o45，且||1a =r，|2|a b -=r r ，则||b =r．14．设x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0031y x y x y x ，则y x z 2-=得取值范围为．15．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。

设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布)50,1000(2N ，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．16．数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n nn ，则}{n a 的前60项和为 ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，0sin 3cos =--+c b C a C a ． （Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若2=a ，ABC ∆的面积为3，求b 、c ．18．（本小题满分12分）某花店每天以5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进16朵玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，N n ∈）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由． 19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，121AA BC AC ==，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1．（Ⅰ）证明：BC DC ⊥1；（Ⅱ）求二面角11C BD A --的大小．20．（本小题满分12分）设抛物线C ：)0(22>=p py x 的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于两B 、D 点．（Ⅰ）若o BFD 90=∠，ABD ∆的面积为24，求p 的值及圆F 的方程；（Ⅱ）若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到n 、m 距离的比值．A CB 1B 1A D 1C21．（本小题满分12分）已知函数)(x f 满足2121)0()1(')(x x f e f x f x +-=-． （Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥221)(，求b a )1(+的最大值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时请写清题号。

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，D 、E 分别为ABC ∆边AB 、CD 的中点，直线DE 交ABC ∆的外接圆于F 、G 两点，若AB CF //，证明：（Ⅰ）BC CD =；（Ⅱ）BCD ∆∽GBD ∆．23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x （ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程是2=ρ．正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为)3,2(π．（Ⅰ）求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；（Ⅱ）设P 为1C 上任意一点，求2222||||||||PD PC PB PA +++的取值范围． 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数|2|||)(-++=x a x x f ．（Ⅰ）当|3-=a 时，求不等式3)(≥x f 的解集；（Ⅱ）若|4|)(-≤x x f 的解集包含]2,1[，求a 的取值范围．2012年普通高等学校招生全国统一考试全国新课标(答案)一、选择题：（1）【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种 （3）【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）【解析】选C∆21F PF 是底角为30o 的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5）【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）【解析】选C （7）【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯= （8）【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,A -(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔= （9）【解析】选A592()[,]444x πππωω=⇒+∈ 不合题意 排除()D351()[,]444x πππωω=⇒+∈ 合题意 排除()()B C另：()22πωππω-≤⇔≤，3()[,][,]424422x ππππππωωπω+∈++⊂ 得：315,2424224πππππωπωω+≥+≤⇔≤≤（10）【解析】选B()ln(1)()1()010,()00()(0)0x g x x x g x xg x x g x x g x g '=+-⇒=-+''⇒>⇔-<<<⇔>⇒<= 得：0x >或10x -<<均有()0f x < 排除,,A C D （11）【解析】选AABC ∆的外接圆的半径r =O 到面ABC的距离d == SC 为球O 的直径⇒点S 到面ABC的距离为2d =此棱锥的体积为11233ABC V S d ∆=⨯==另：123ABC V S R ∆<⨯=排除,,B C D （12）【解析】选A 函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =的距离为d设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=-⇒=-⇒=-⇒=由图象关于y x =对称得：PQ最小值为min 2ln 2)d =-二．填空题（13）【解析】b =r222(2)1044cos 4510a b a b b b b ︒-=⇔-=⇔+-=⇔=r r r r r r r（14）【解析】2z x y =-的取值范围为 [3,3]-约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C则2[3,3]z x y =-∈-（15）【解析】使用寿命超过1000小时的概率为38三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12p =超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2131(1)4P p =--=那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为2138p p p =⨯= （16）【解析】{}n a 的前60项和为 1830可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+ 112341515141010151618302b a a a a S ⨯=+++=⇒=⨯+⨯= 三、解答题 （17）【解析】（1）由正弦定理得：cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C CA A A A A ︒︒︒︒⇔+=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=（2）1sin 42S bc A bc ==⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+= 解得：2b c == （18）【解析】（1）当16n ≥时，16(105)80y =⨯-= 当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-得：1080(15)()80(16)n n y n N n -≤⎧=∈⎨≥⎩（2）（i ）X 可取60，70，80 (60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ======600.1700.2800.776EX =⨯+⨯+⨯= 222160.160.240.744DX =⨯+⨯+⨯=（ii ）购进17枝时，当天的利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯=76.476> 得：应购进17枝（19）【解析】（1）在Rt DAC ∆中，AD AC = 得：45ADC ︒∠=同理：1114590A DC CDC ︒︒∠=⇒∠=得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥⇒⊥面1BCD DC BC ⇒⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥⇒⊥面11ACC A BC AC ⇒⊥取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H 1111111AC B C C O A B =⇒⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ⇒⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥⇒⊥ 得：点H 与点D 重合 且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角设AC a =，则1C O =111230C D C O C DO ︒==⇒∠= 既二面角11C BD A --的大小为30︒（20）【解析】（1）由对称性知：BFD ∆是等腰直角∆，斜边2BD p =点A 到准线l 的距离d FA FB ===122ABD S BD d p ∆=⇔⨯⨯=⇔=圆F 的方程为22(1)8x y +-=（2）由对称性设2000(,)(0)2x A x x p >，则(0,)2pF点,A B 关于点F 对称得：22220000(,)3222x x p B x p p x p p p --⇒-=-⇔=得：3,)2p A，直线:02p m y x x =+⇔+=2222x x x py y y x p p p '=⇔=⇒==⇒=⇒切点)6p P直线:06p n y x x p -=-⇔-= 坐标原点到,m n3=。