人教版高中数学必修一数学建模活动(3)-课件

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北师大版高中数学必修第一册第八章《数学建模活动(一)》PPT课件

[建立模型] 此问题需要分是否可以原路调头的情况来讨论. (1)每条线路都有往返双向线； (2)设4条路分别为A，B，C，D； (3)以A为起始， ①如允许原路调头，则有A→A，A→B，A→C，A→D， ②如不允许原路调头，则有A→B，A→C，A→D.
[求解模型] 第一步：始线路条数；第二步：终线路条数. ①如允许原路调头：则N＝4×4＝16(种)可能； ②如不允许原路调头：则N＝4×3＝12(种)可能. [检验结果] 如果允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有16种不同的行车情况，如果不允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有12种不同的行车情况.
(3)求解模型这个过程是求解数学问题.值得注意的是，如果目标是求值，一般不容易求得精确值，这就要根据需要求近似解. (4)检验结果用实际现象或数据检验求得的解是否符合实际.如果不符合实际情况，就要重新建模.数学建模的过程可用如图的框图表示.
【例1】 [提出问题] 在小傅家门口有一个十字型的交通路口(如图所示)，小傅就想了，警察叔叔需要指挥多少种情况的汽车运行线路？
第八章数学建模活动(一)
[数学文化]——了解数学文化的发展与应用 1.数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的，我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂.经过30多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径.大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例.可以说数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的.

数学人教B必修第一册：数学建模活动 PPT模板

对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题就是数学建模.
数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，验证结果、改进模型，最终解决实际问题
在实际的数学建模过程中，为了向别人介绍数学建模的成果，给别人提供参考，我们还需要将建模结果整理成论文的形式。
这表示投资每增加1个单位，收入将增加个单位. 例如，当C0=10，a= 时，有Y=5I+50，因此：如果投资I=10，那么Y=5×10+50=100；如果投资l=15，那么Y=5×15+50=125. 可以看到，投资增长5个单位时，收入增加了25个单位。
此时，C0
国民收入、消费与投资的关系
4.验证结果、改进模型
怎样才能确定上述f（x），g（t），h（t）呢？这可以通过合理假设以及收集数据、确定参数来完成。
我们可以假设f（x）和g（t）都是一次函数，且f（x）=k1x+L1，g（t）=k2t+L2；并假设h（t）是一个二次函数，且h（t）=at2+bt+c.
则有
z=f（h（t））-g（t）=k1at2+（k1b一k2 ）t+k1c+L1-L2，其中k1<0，k2>0，a≠0.
国民收入、消费与投资的关系
2.分析问题、建立模型
要用数学语言描述经济增长、投资、消费之间的关系，实际上是要研究国民收入（简称为收入，用Y表示）、国民投资（简称为投资，用l表示）、国民消费（简称为消费，用C表示）之间的关系. 为了简单起见，可以做出以下假设：（1）收入、投资、消费都用同一单位来衡量，为了方便，以下均省略单位；（2）收入只用于投资和消费；（3）消费可以分为两部分，一部分为基本消费（用C0表示），另一部分与收入成正比，比例系数为a. 值得注意的是，以上假设都是合理的。例如一个家庭的收入，一般面言，不是用于投资（比如储蓄、购买理财产品等），就是用于消费（比如家庭成员的生活支出等）；一个家庭的消费，一部分用于满足基本生活需求（比如购买食品等），而另一部分则依赖于收入的多少（比如家庭成员的旅游支出等）。由假设可知，收入、投资、消费之间的关系可描述为

数学北师大版必修第一册第八章数学建模活动课件

(4)撰写报告,讨论交流.可以用照片、模型、PPT等情势展现获得的
成果.
根据上述要求,每个小组要完成以下工作:
(1)选题
(2)开题
可以在课堂上组织开题交流,让每一个项目小组陈说初步测量方案,
教师和其他同学可以提出质疑算高度,教师可以追问:怎么测
量?用什么工具测量?目的是提醒学生,事先设计出有效的测量方法
仰角
第一次
第二次
67°
52°
后退距离为25 m,人的“眼高”为1.5 m,计算可得理想大厦的高度约
为71.5 m,结果与期望值(70 m~80 m)相差不大.误差的原因是铅笔
在纸板上画出度数时不够精确.减小误差的方法是几个人分别测量
高度及仰角,再求平均值,误差就能更小.
(2)镜面反射法
实际测量数据:
铅垂线之间的夹角可以在图上直接读出,这个角是
待测仰角的余角.
测量间距差的 a 工具:用自行车来测距离,解决了皮
尺长度不够的问题.
照片
说明
左图:测量角的工具(量角器)太小,造成仰角的测量
误差很大.
右上图:用腕尺法测量时,腕尺应与地面垂直,手臂
水平,否则就没有相似的直角三角形.
右下图:用镜子反射法时,要保持镜面水平,否则入
射三角形和反射三角形就不相似.
测量仰角的工具:把一个量角器放在复印机上放大
4 倍复印,在中心处绑上一个铅垂,这样测量视线和
是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动.
【数学建模】
数学建模的基本过程如下:
数学建模活动是环绕某个具体的数学问题,开展自主探究、合作研
究并最终解决问题的过程.具体表现为:发现和提出有意义的数学
问题,猜测合理的数学结论,提出解决问题的思路和方案,通过自主

人教版高中数学必修一第三章第二节函数模型的应用实例第一课时公开课教学课件 (共24张PPT)

问题有意义。（3）运用数形结合，转化与化归等思想方法解
决问题。
课后作业：
必做题 P107习题3.2 A组 2 4 6 选做题 P108习题3.2 B组 2
1954 60266
1955 1956 1957 1958 1959
61456 62828 64563 65994 67207
问题1如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型。
解：设1951～1959年期间我国人口的增长率
行驶路程是多少？ 90
问题5：你能建立路程S1关
80 70
于时间t的函数关系吗？
60 50
并画出函数图像。
10
50t 80t-30 S1 = 90t-50 75t-5
0≤t＜1 1≤t＜2 2≤t＜3
3≤t＜4
0 1 2 t 3 4 5 t/h
s1(km)
400 300 200
65t+35 4≤t≤5
第一课时
烟台一中解相萍
一、复习巩固
一次函数 yk xb(k0) 正比例函数 ykx(k0) 反比例函数 y k (k 0)
x
二次函数 ya2x b xc (a0)
指数函数 y a x(a 0 ,且 a 1 )
对数函数 y lo x (a g 0 ,且 a 1 ) a
实际上1850年以前世界人口就超过了10亿，而2003年世界人口还没达到72亿。
特别提醒:此模型不太适宜估计时间跨度非常大的人口增长情况。因此用已知的函数模型刻画实际问题的时候，由于实际问题的条件与得出已知模型的条件有所不同，通过模型得出的结果往往会与实际问题存在一定的误差。往往需要对模型进行修正。

新教材人教B版高中数学必修第一册全册精品教学课件共723页

(empty set)，记作 ∅ .
知识点五集合的分类 (1)有限集； (2)无限集．知识点六几个常用数集的固定字母表示
知识点七集合的表示方法
集合常见的表示方法有：自然语言
、列举法、描述法、
“区间” (以及后面将要学习的维恩图法和数轴表示法等直观表示方
法)． (1)列举法：把集合中的元素一一列举
[解析] ①能构成集合．其中的元素需满足三条边相等． ②不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合． ③不能构成集合．因“比较接近 1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合． ④能构成集合．其中的元素是“高一年级的全体女生”． ⑤能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于 1 的点”．
2．集合的三个特性 (1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的 “点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明． (2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体． (3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素．
第一章集合与常用逻辑用语
1.1.1 集合及其表示方法 1.1.2 集合的基本关系 1.1.3 集合的基本运算 1.2.1 命题与量词 1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 1.2.3 充分条件、必要条件
第二章等式与不等式
2.1.1 等式的性质与方程的解集 2.1.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系 2.1.3 方程组的解集 2.2.1 不等式及其性质 2.2.2 不等式的解集 2.2.3 一元二次不等式的解法 2.2.4 均值不等式及其应用

高中数学第三章 3.3 3.4数学建模活动决定苹果的最佳出售时间点教师用书新人教B版必修第一册

3.4 数学建模活动：决定苹果的最佳出售时间点一次函数模型为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(单位：分)与通话费用y(单位：元)的关系如图所示：(1)分别求出通话费用y 1，y 2与通话时间x 之间的函数解析式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.【解】 (1)由图像可设y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，把点B (30，35)，C (30，15)分别代入y 1＝k 1x ＋29，y 2＝k 2x ，得k 1＝15，k 2＝12.所以y 1＝15x ＋29(x ≥0)，y 2＝12x (x ≥0).(2)令y 1＝y 2，即15x ＋29＝12x ，则x ＝9623.当x ＝9623时，y 1＝y 2，两种卡收费一致；当x ＜9623时，y 1＞y 2，使用“便民卡”便宜；当x ＞9623时，y 1＜y 2，使用“如意卡”便宜.利用一次函数模型解决实际问题时，需注意以下两点： (1)待定系数法是求一次函数解析式的常用方法.(2)当一次项系数为正时，一次函数为增函数；当一次项系数为负时，一次函数为减函数.某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min 开出13 km ，之后以120 km/h 的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的函数关系式，并求火车离开北京2 h 时火车行驶的路程.解：因为火车匀速行驶的总时间为(277－13)÷120＝115(h)，所以0≤t ≤115. 因为火车匀速行驶t h 所行驶的路程为120t km ，所以火车行驶的总路程s 与匀速行驶的时间t 之间的函数关系式为s ＝13＋120t ⎝⎛⎭⎪⎫0≤t ≤115.火车离开北京2 h 时火车匀速行驶的时间为2－16＝116(h)，此时火车行驶的路程s ＝13＋120×116＝233(km).二次函数模型有l 米长的钢材，要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆，下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形，则小矩形的长与宽之比为多少时，窗户所通过的光线最多？并求出窗户面积的最大值.【解】设小矩形的长为x ，宽为y ，窗户的面积为S ，则由图可得9x ＋πx ＋6y ＝l ，所以6y ＝l －(9＋π)·x ，所以S ＝π2x 2＋4xy ＝π2x 2＋23x ·[l －(9＋π)·x ]＝－36＋π6x 2＋23lx ＝－36＋π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2l 36＋π2＋2l23(36＋π). 要使窗户所通过的光线最多，只需窗户的面积S 最大. 由6y ＞0，得0＜x ＜l9＋π.因为0＜2l 36＋π＜l9＋π，所以当x ＝2l 36＋π，y ＝l －(9＋π)x 6＝l (18－π)6(36＋π)，即x y ＝1218－π时，窗户的面积S 有最大值，且S max ＝2l23(36＋π).二次函数模型主要用来解决实际问题中的利润最大、用料最省等问题，是高考考查的重点.解题时，建立二次函数解析式后，可以利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题.渔场中鱼群的最大养殖量为m (m ＞0)，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x 小于m ，以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y 和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k (k ＞0).(1)写出y 关于x 的函数关系式，并指出该函数的定义域； (2)求鱼群年增长量的最大值. 解：(1)根据题意知，空闲率是m －x m ，故y 关于x 的函数关系式是y ＝kx ·m －xm，0≤x ＜m .(2)由(1)知，y ＝kx ·m －x m ＝－k m x 2＋kx ＝－k m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22＋mk 4，0≤x ＜m ，则当x ＝m2时，y 取得最大值，y max ＝mk4.所以鱼群年增长量的最大值为mk4.分段函数模型提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数.(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/时)【解】(1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003. 故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13(200－x )，20＜x ≤200.(2)依题意并结合(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x (200－x )，20＜x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，f (x )在区间[0，20]上取得最大值60×20＝1 200；当20＜x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )＝－13(x －100)2＋10 0003≤10 0003，当且仅当x ＝100时，等号成立.所以当x ＝100时，f (x )在区间(20，200]上取得最大值10 0003. 综上可得，当x ＝100时，f (x )在区间[0，200]上取得最大值10 0003≈3 333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时.(1)现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型.(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.某旅游景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每提高1元，租不出去的自行车就增加3辆.旅游景区规定：每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元.用x (单位：元，且x ∈N )表示每辆自行车的日租金，用y (单位：元)表示出租的自行车的日净收入.(注：日净收入等于每日出租的自行车的总收入减去管理费用)(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元？日净收入最多为多少元？解：(1)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，y ＝50x －115. 当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115，综上，y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧50x －115，3≤x ≤6，x ∈N ，－3x 2＋68x －115，6＜x ≤20，x ∈N .(2)当3≤x ≤6，且x ∈N 时，因为y ＝50x －115是增函数，所以当x ＝6时，y max ＝185. 当6＜x ≤20，且x ∈N 时，y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎪⎫x －3432＋8113，所以当x ＝11时，y max ＝270.综上，当每辆自行车日租金定为11元时才能使日净收入最多，为270元.f (x )＝x ＋ax(a ＞0)模型小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元).在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x－38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得：当0＜x ＜8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋100x－38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0＜x ＜8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0＜x ＜8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元，当x ≥8时，L (x )＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，当且仅当x ＝100x时等号成立，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元.因为9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.应用均值不等式解实际问题的步骤(1)理解题意，设变量；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象成求函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)写出正确答案.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是元.解析：设该长方体容器的长为x m ，则宽为4xm.又设该容器的造价为y 元，则y ＝20×4＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ×10＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x (x ＞0).因为x ＋4x≥2x ·4x＝4⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取“＝”，所以y min ＝80＋20×4＝160(元).答案：1601.一定范围内，某种产品的购买量y 与单价x 之间满足一次函数关系.如果购买1 000吨，则每吨800元，购买2 000吨，则每吨700元，那么一客户购买400吨，其价格为每吨( )A.820元B.840元C.860元D.880元解析：选C.设y ＝kx ＋b ，则1 000＝800k ＋b ，且2 000＝700k ＋b ，解得k ＝－10，b ＝9 000，则y ＝－10x ＋9 000.解400＝－10x ＋9 000，得x ＝860(元).2.某品牌电动车有两个连锁店，其月利润(单位：元)分别为y 1＝－5x 2＋900x －16 000，y 2＝300x －2 000，其中x 为销售量.若某月两店共销售了110辆电动车，则最大利润为( )A.11 000元B.22 000元C.33 000元D.40 000元解析：选C.设两个店分别销售出x 与110－x 辆电动车，则两店月利润L ＝－5x 2＋900x －16 000＋300(110－x )－2 000＝－5x 2＋600x ＋15 000＝－5(x －60)2＋33 000，所以当x ＝60时，两店的月利润取得最大值，为33 000元.3.某数学练习册，定价为40元.若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券.某班购买x (x ∈N *，x ≤40)本，则总费用f (x )与x 的函数关系式为 (代金券相当于等价金额).解析：当0＜x ＜10时，f (x )＝40x ；当10≤x ＜20时，f (x )＝35x －10；当20≤x ≤40时，f (x )＝30x －20.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧40x ，0＜x ＜10，35x －10，10≤x ＜20，(x ∈N *).30x －20，20≤x ≤40答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧40x ，0＜x ＜10，35x －10，10≤x ＜20，(x ∈N *)30x －20，20≤x ≤404.如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，某炮位于坐标原点，已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限内有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.解：(1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件，知x ＞0，k ＞0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k ＝20⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k 2＋2≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号.所以炮的最大射程为10 km.(2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标等价于存在k ＞0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立，即关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根，所以Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0⇔a ≤6，所以当它的横坐标a不超过6 km时，可击中目标.[A 基础达标]1.某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数：m＝162－3x.若要使每天获得最大的销售利润，则该商品的售价应定为( )A.40元/件B.42元/件C.54元/件D.60元/件解析：选B.设每天获得的销售利润为y元，则y＝(x－30)(162－3x)＝－3(x－42)2＋432，所以当x＝42时，获得的销售利润最大，故该商品的售价应定为42元/件.2.把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )A.32cm2 B.4 cm2C.3 2 cm2D.2 3 cm2解析：选D.设一段长为x cm，则另一段长为(12－x)cm，两个正三角形的面积之和为S cm2.分析知0＜x＜12.则S＝34⎝⎛⎭⎪⎫x32＋34⎝⎛⎭⎪⎫4－x32＝318(x－6)2＋23，当x＝6时，S min＝2 3.3.某小区物业管理中心制订了一项节约用水措施，作出如下规定：如果某户月用水量不超过10立方米，按每立方米m元收费；月用水量超过10立方米，则超出部分按每立方米2m 元收费.已知某户某月缴水费16m元，则该户这个月的实际用水量为( )A.13 立方米B.14 立方米C.18 立方米D.26 立方米解析：选A.由已知得，该户每月缴费y元与实际用水量x立方米满足的关系式为y＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10. 由y ＝16m ，得x >10，所以2mx －10m ＝16m . 解得x ＝13.故选A.4.一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸( )A.215份B.350份C.400份D.520份解析：选C.设每天从报社买进x (250≤x ≤400，x ∈N )份报纸时，每月所获利润为y 元，具体情况如下表.y ＝[(60x ＋＝8x ＋5 500(250≤x ≤400，x ∈N ). 因为y ＝8x ＋5 500在[250，400]上是增函数，所以当x ＝400时，y 取得最大值8 700.即每天从报社买进400份报纸时，每月获得的利润最大，最大利润为8 700元.故选C. 5.一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与它的速度的平方成正比，除燃料费外其他费用为每小时96元.当速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元.若匀速行驶10海里，当这艘轮船的速度为海里/小时时，费用总和最小.解析：设每小时的燃料费y ＝kv 2，因为速度为10海里/小时时，每小时的燃料费是6元，所以k ＝610×10＝350，费用总和为10v ⎝ ⎛⎭⎪⎫350v 2＋96＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫350v ＋96v ≥10×2350×96＝48，当且仅当350v ＝96v，即v ＝40时取等号. 答案：406.统计某种水果在一年中四个季度的市场价格及销售情况如下表.某公司计划按这一年各季度“最佳近似值m ”收购这种水果，其中的最佳近似值m 这样确定，即m 与上表中各售价差的平方和最小时的近似值，那么m 的值为Ｗ.解析：设y ＝(m －19.55)2＋(m －20.05)2＋(m －20.45)2＋(m －19.95)2＝4m 2－2×(19.55＋20.05＋20.45＋19.95)m ＋19.552＋20.052＋20.452＋19.952，则当m ＝19.55＋20.05＋20.45＋19.954＝20时，y 取最小值.答案：207.如图，一动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 出发，沿正方形的边界逆时针运动一周，再回到点A .若点P 经过的路程为x ，点P 到顶点A 的距离为y ，则y 关于x 的函数关系式是Ｗ.解析：①当0≤x ≤1时，AP ＝x ，也就是y ＝x .②当1<x ≤2时，AB ＝1，AB ＋BP ＝x ，BP ＝x －1，根据勾股定理，得AP 2＝AB 2＋BP 2，所以y ＝AP ＝1＋(x －1)2＝x 2－2x ＋2. ③当2<x ≤3时，AD ＝1，DP ＝3－x ，根据勾股定理，得AP 2＝AD 2＋DP 2，所以y ＝AP ＝1＋(3－x )2＝x 2－6x ＋10. ④当3<x ≤4时，有y ＝AP ＝4－x .所以所求的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1x 2－2x ＋2，1<x ≤2x 2－6x ＋10，2<x ≤34－x ，3<x ≤4.答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1x 2－2x ＋2，1<x ≤2x 2－6x ＋10，2<x ≤34－x ，3<x ≤48.某地上年度电价为0.8元/度，年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55～0.75元/度之间(包含0.55元/度和0.75元/度)，经测算，若电价调至x 元/度，则本年度新增用电量y (亿度)与(x －0.4)(元/度)成反比，且当x ＝0.65时，y ＝0.8.(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每度电的成本为0.3元，则电价调至多少时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)] 解：(1)因为y 与(x －0.4)成反比，所以可设y ＝kx －0.4(k ≠0)，把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式，得0.8＝k 0.65－0.4，解得k ＝0.2，所以y ＝0.2x －0.4＝15x －2，所以y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2(0.55≤x ≤0.75).(2)根据题意，得(1＋15x －2)(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%) ，整理得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5(舍去)或x 2＝0.6，所以当电价调至0.6元/度时，电力部门本年度的收益将比上一年增加20%.9.已知A ，B 两城市相距100 km ，在两地之间距离A 城市x km 的D 处修建一垃圾处理厂来解决A ，B 两城市的生活垃圾和工业垃圾，且垃圾处理厂与城市的距离不得少于10 km.已知城市的垃圾处理费用和该城市到垃圾处理厂距离的平方与垃圾量之积成正比，比例系数为0.25.若A 城市每天产生的垃圾量为20 t ，B 城市每天产生的垃圾量为10 t.(1)求x 的取值范围；(2)把每天的垃圾处理费用y 表示成x 的函数；(3)垃圾处理厂建在距离A 城市多远处，才能使每天的垃圾处理费用最少？解：(1)x 的取值范围为[10，90].(2)由题意，得y ＝0.25[20x 2＋10(100－x )2]，即y ＝152x 2－500x ＋25 000(10≤x ≤90).(3)y ＝152x 2－500x ＋25 000＝152(x －1003)2＋50 0003(10≤x ≤90)，则当x ＝1003时，y 最小.即当垃圾处理厂建在距离A 城市1003km 处时，才能使每天的垃圾处理费用最少.[B 能力提升]10.某电脑公司2017年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2019年经营总收入要达到1 690万元，且计划从2017年到2019年，每年经营总收入的年增长率相同，则2018年预计经营总收入为万元.解析：设年增长率为x (x >0)，则40040%×(1＋x )2＝1 690，所以1＋x ＝1310，因此2018年预计经营总收入为40040%×1310＝1 300(万元).答案：1 30011.某市居民生活用水收费标准如下：已知某用户1 6 t ，缴纳的水费为21元.设用户每月缴纳的水费为y 元.(1)写出y 关于x 的函数解析式；(2)若某用户3月份用水量为3.5 t ，则该用户需缴纳的水费为多少元？(3)若某用户希望4月份缴纳的水费不超过24元，求该用户最多可以用多少吨水.解：(1)由题设可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤2，2m ＋3(x －2)，2<x ≤4，2m ＋6＋n (x －4)，x >4.当x ＝8时，y ＝33；当x ＝6时，y ＝21，代入得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＋4n ＝33，2m ＋6＋2n ＝21，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1.5，n ＝6. 所以y 关于x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ，0≤x ≤2，3x －3，2＜x ≤4，6x －15，x ＞4.(2)当x ＝3.5时，y ＝3×3.5－3＝7.5. 故该用户3月份需缴纳的水费为7.5元. (3)令6x －15≤24，解得x ≤6.5. 故该用户最多可以用6.5 t 水.12.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的关系符合图1中的折线表示的函数关系，西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的关系符合图2中的抛物线表示的函数关系.(1)写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P ＝f (t )，图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g (t )；(2)若市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的纯收益最大？解：(1)由图1可得市场售价与时间的函数关系式为f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－t ，0<t ≤2002t －300，200<t ≤300.由图2可得种植成本与时间的函数关系式为g (t )＝1200(t －150)2＋100，0<t ≤300. (2)设上市时间为t 时的纯收益为h (t )，则由题意，得h (t )＝f (t )－g (t )，即h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1200t 2＋12t ＋1752，0<t ≤200－1200t 2＋72t －1 0252，200<t ≤300.当0<t ≤200时，整理，得h (t )＝－1200(t －50)2＋100，当t ＝50时，h (t )取得最大值100；当200<t ≤300时，整理，得h (t )＝－1200(t －350)2＋100，当t ＝300时，h (t )取得最大值87.5.综上，当t ＝50，即从2月1日开始的第50天上市的西红柿的纯收益最大.[C 拓展探究]13.某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质.已知每投放质量为m (mg)的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (mg ·L－1)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋2，0<x ≤4x ＋142x －2，x >4.当药剂在水中释放的浓度不低于4 mg ·L －1时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4 mg ·L －1且不高于10 mg ·L－1时称为最佳净化.(1)如果投放的药剂质量为4 mg ，问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)为了使在7天(从投放药剂算起)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值.解：(1)由题意，得当药剂质量m ＝4时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋8，0<x ≤42x ＋28x －1，x ＞4.当0<x ≤4时，x 24＋8≥4显然成立；当x >4时，由2x ＋28x －1≥4，得2x ＋28≥4(x －1)，得4<x ≤16 .综上，0<x ≤16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天.(2)由题意，知0<x ≤7，y ＝mf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 216＋2m ，0<x ≤4mx ＋14m 2x －2，x >4，当0<x ≤4时，y ＝mx 216＋2m 在区间(0，4]上单调递增，则2m <y ≤3m ；当x >4时，y ＝mx ＋14m 2x －2＝m 2＋15m 2x －2，其在区间(4，7]上单调递减，则7m4≤y <3m . 综上，7m4≤y ≤3m .为使4≤y ≤10恒成立，只要满足7m4≥4且3m ≤10，即167≤m ≤103，- 21 - 所以应该投放的药剂量m 的最小值为167.。

人教A版高中数学必修第一册数学建模建立函数模型解决实际问题【课件】

收集数据.
上述过程可以概括为:
3.数学建模活动的要求
(1)组建合作团队:数学建模活动需要团队协作.首先在班级中
组成3~5人的研究小组,每位同学参加其中一个小组.在小组
内,要确定一个课题负责人,使每位成员都有明确的分工;然后
拟定研究课题、确定研究方案、规划研究步骤、编制研究手
册,最后在班里进行一次开题报告.
算得y≈63.98,因为78÷63.98≈1.22>1.2,所以这个男性体型偏胖.
【典例2】个体经营者把开始六个月试销A,B两种商品的逐
月投资与所获纯利润列成下表:
投资 A 种商品金额/万元
获纯利润/万元
投资 B 种商品金额/万元
获纯利润/万元
1
0.65
1
0.25
2
1.39
2
0.49
3
1.85
3
(2)开展研究活动:根据开题报告所规划的研究步骤,通过背景
分析、收集数据、数据分析、数学建模、获得结论等过程,
完成课题研究.在研究过程中,可以借助信息技术解决问题.
(3)撰写研究报告:以小组为单位,撰写一份研究报告.
(4)交流展示:①对同一个课题,先由3~4个小组进行小组交流,
每个小组都展示自己的研究成果,相互借鉴、取长补短.在小
们选择函数模型.
以身高x为横坐标,体重y为纵坐标,
画出用y=a·bx作为刻画这个地
区未成年男性的体重与身高关系的函数模型.
建立模型设函数的解析式为 y=a·bx(a>0,b>0,b≠1).
不妨取其中的两组数据(70,7.90),(160,47.25)代入 y=a·bx,
气最少,最少是多少?
分析数据烧开一壶水所需的燃气量与燃气灶旋钮角度有关,

高中数学人教A版必修第一册建立数学模型解决实际问题课件

检验模型
y
y
90
90
a = 0.92270
80
a = 0.91810
80
70
70
x
O
1
2
3
4
5
x
O
1
2
3
4
5
不难发现，采用平均值作为衰减比例与实际数据更加的吻合，
因此选取的函数模型为 y=60×0.9227x+25.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 检验模型
这种采用平均值的方法在解决实际问题中也是很常见的.因为实验
所得的数据并不一定具有很强的规律性，所以我们在实验过程中应
观察散点图的分布状况，并考虑到茶
水温度降至室温就不能再降的事实，
可选择函数y=kax +25（k∈R，0<a<1，
x>0）来近似地刻画茶水温度随时间变
化的规律，
90
80
70
x
O
1
2
3
图1
4
5
建立模型
4.建立模型
如何利用以上实验数据求解函数模型中的参数k和a.
根据实际情况可知，当x=0时，y=85，可得k=60.
收集数据
追问：怎样保证测量数据的准确性以减少误差?
可多次重复实验，取平均值从而减小误差.
任务1：请同学们课后按照实验流程进行实验,获取并记录
一组数据.
下面我们看某研究人员每隔1 min测量一次茶水温度，得
到表1的一组数据.
分析数据
3·分析数据
观察实验数据会发现，随着时间的变化，茶水的温度也在发生
选取a的值？
a = 0.90320
80
80

人教A版数学必修一教案：§3.2.2函数模型的应用实例(ⅲ)

§3.2.2函数模型的应用实例（Ⅲ）一、教学目标1、知识与技能能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。

2、过程与方法体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。

3、情感、态度、价值观深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。

二、教学重点、难点：重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。

难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。

三、学法与教学用具1、学法：学生自查阅读教材，尝试实践，合作交流，共同探索。

2、教学用具：多媒体四、教学设想（一）创设情景，揭示课题2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。

这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。

这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。

本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。

（二）尝试实践探求新知例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表（身高：cm；体重：kg）身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。

2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男生的体重是事正常？探索以下问题：1）借助计算器或计算机，根据统计数据，画出它们相应的散点图；2）观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？3）你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关系比较合适？4）确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价.5）怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好？本例给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的，要引导学生借助计算器或计算机画图，帮助判断.根据散点图，利用待定系数法确定几种可能的函数模型，然后进行优劣比较，选定拟合度较好的函数模型.在此基础上，引导学生对模型进行适当修正，并做出一定的预测. 此外，注意引导学生体会本例所用的数学思想方法.例2. 将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表：1）描点画出水温随时间变化的图象；2）建立一个能基本反映该变化过程的水温y （℃）关于时间()x s 的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.3）水杯所在的室内温度为18℃，根据所得的模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10℃？对此结果，你如何评价？本例意图是引导学生进一步体会，利用拟合函数解决实际问题的思想方法，可依照例1的过程，自主完成或合作交流讨论.课堂练习：某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1 .2万件、1.3万件、1.37万件. 由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好. 为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？探索过程如下：1）首先建立直角坐标系，画出散点图；2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：一次函数模型：()(0);f x kx b k =+≠ 二次函数模型：2()(0);g x ax bx c a =++≠ 幂函数模型：12()(0);h x ax b a =+≠指数函数模型：()x l x ab c =+（0,a b ≠＞0，1b ≠）利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多，可同桌两个同学分工合作，最后再一起讨论确定.（三）归纳小结，巩固提高.通过以上三题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法. 利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：符合实际（四）布置作业：作业：教材P107习题32（B组）第1、2题：小课堂：如何培养学生的自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

北师版高中数学必修第一册精品课件第8章数学建模活动(一) 3 数学建模活动的主要过程

业规模缩小了.
(3)每个养鸡场出产鸡的只数满足数列:
an=1+(n-1)×0.2=0.2n+0.8(1≤n≤6,n∈N+);
养鸡场个数满足数列:bn=30-4(n-1)=-4n+34(1≤n≤6,n∈N+),
全县每年出产鸡的总只数满足
Sn=an·bn=-0.8n2+3.6n+27.2(1≤n≤6,n∈N+),
养老院的合理布局、传染病的传播机理),生活方面的问题(如
乘车路线的规划,营养餐的配置).
4.建模选题的来源有哪些?
提示:来源之一:阅读已有的研究论文,用同样的方法研究类似
的问题.
来源之二:研究已有的论文,换个视角,增加问题的复杂性,进
一步研究相关的问题.
来源之三:用数学的眼光观察世界,发现研究新的问题.
ab(1+10x)

ab(1-x)×
a(1-x) b(1+10x)
(1+10x)
降价后 a

(+)(-)-(+)-
数量关系式为

≥30%,
化简得-70x2+13x-0.6≥0,

解得≤x≤,即 ≤t≤10.
答:降价至多 10 个百分点.
骤,可能遇到的困难和对策.
第二,参会人员对开题报告进行讨论,中肯地提出意见和建议,
共同完善研究设计.
四、建模做题
【问题思考】
1.建模做题是什么?
提示:建模做题是研究者(研究小组),建立数学模型、用数学
解决实际问题的实践活动.
2.建模做题应注意哪些问题?
提示:建模做题是一项小课题研究,往往是团队式的研究,要发

人教版高中数学《一次函数建模及应用》教学课件

将x=6代入该模型中，得到y=7.8。于是得到该问题的最终结果，即当所挂物体重量为6kg时，弹簧长度7.8cm。
二、猜测建立模型
例2.爸爸穿42码的鞋，长度为26cm；妈妈穿39码的鞋，长度为24.5cm。小明穿41码的鞋子，长度为多少？请大家运用获得的函数模型进行验证, 妹妹穿36码的鞋，长度为23cm 。
模型应用：利用模型对实际问题作预测、分析、解释、决策等。
一、直接给出模型
例1.已知弹簧的长度y在一定的限度内是所挂物质重量x的一次函数。现已测得所挂重物重量为4kg时，弹簧的长度是7.2cm；所挂重物重量为5kg时,弹簧的长度为7.5cm。求所挂重物重量为6kg时弹簧的长度。
题干明确给出了y与x之间具备的是一次函数关系，数学建模过程已经被省略掉了。设数学模型为 y=kx+b，将两个条件分别代入这个模型关系式中，可得：7.2=4x+b，7.5=5x+b。求解二元一次方程组，得出k=0.3，b=6，得到模型y=0.3x+6。
注意：数学建模是从实践到理论，再从理论到实践，不断反复修正以使模型与实际相符的过程。
二. 数学建模的一般步骤
包括六个环节：建模准备，作出假设，建立模型，模型求解，讨论验证，模型应用。
各环节的含义：
模型准备：了解实际问题的背景、建模的目的，收集数据和相关信息，找寻其变化的客观规律。
• 五、总结归纳：
用一次函数模型解决实际问题的一般步骤：
实际问题思考、抽象一次函数模型解函数模型数学化
一次函数模型的解
验证
六、课下巩固
y元
下面是王老师手机通话
时间x（分钟）与通话费
20
10
用y（元）之间的图象.