材料力学第五章弯曲内力
材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质在外力作用下的变形和破坏规律的科学。
而弯曲内力则是材料力学中的一个重要概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
弯曲内力是指在梁或梁式结构中由外力引起的内部应力状态，它是由梁的外部受力状态和几何形状决定的。
在工程设计和结构分析中，了解和计算弯曲内力是非常重要的，本文将对材料力学中的弯曲内力进行详细的介绍。
首先，我们来看一下弯曲内力的产生原理。
当梁受到外力作用时，梁内部会产生弯曲变形，这时梁内部就会产生弯曲应力。
弯曲内力包括正应力和剪应力两部分，正应力是沿梁的纵向方向产生的拉压应力，而剪应力则是梁内部产生的剪切应力。
这些内力的大小和分布是由梁的受力情况和截面形状决定的。
其次，我们来讨论一下弯曲内力的计算方法。
在工程实践中，我们通常采用梁的截面性质和外力矩的大小来计算弯曲内力。
对于矩形截面的梁，我们可以通过简单的公式来计算出弯曲内力的大小和分布。
而对于复杂形状的截面，我们则需要借助数值计算或者有限元分析来得到准确的结果。
在实际工程中，我们通常会使用专业的结构分析软件来进行弯曲内力的计算，这样可以大大提高计算的准确性和效率。
接着，我们来谈一下弯曲内力的影响因素。
弯曲内力的大小和分布受到多种因素的影响，包括外力的大小和方向、梁的截面形状和材料性质等。
在设计和分析过程中，我们需要充分考虑这些因素，以确保结构的安全性和稳定性。
此外，梁的支座条件和边界约束也会对弯曲内力产生影响，这些因素需要在计算中进行合理的考虑和处理。
最后，我们来总结一下弯曲内力的重要性。
弯曲内力是梁和梁式结构中非常重要的内部应力状态，它直接影响着结构的安全性和稳定性。
在工程设计和分析中，准确计算和合理分析弯曲内力是非常重要的，它可以帮助工程师们更好地理解和把握结构的受力情况，从而保证结构的安全性和可靠性。
总之，弯曲内力是材料力学中一个重要的概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
通过对弯曲内力的了解和计算，我们可以更好地设计和分析工程结构，保证结构的安全性和稳定性。
材料力学05(第五章 弯曲内力)
0 x1 3a
Fs 2 qx2
1 2 M 2 qx2 2 0 x2 a
M
(d )
1 2 qa 2
例 简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和 弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。
解：1、求支座反力
1 l l M A 0 FB l q 2 4 0 FB 8 ql 3 l l l M B 0 FA l q 2 ( 2 4) 0 FA 8 ql 可利用平衡方程 Fy 0 对所求反力进行校核。
2、 校核弯矩图 Me =3qa2 A
FS a 5qa/3 8a/3 M C 3a
q
AC段
B
x 剪力=常量 弯矩图→斜率为 正值的斜直线
qa/3 x
弯矩值： 支座A：MA=0
5qa2/3 x
qa2/18 4qa2/3
C截面左侧:
M C
5 2 FA a qa 3
FS
5qa/3
8a/3
FS(x)
AC 段 CB 段
3 ql qx 8 1 ql 8
d FS ( x) dx
-q
0
d M ( x) d M 2 ( x ) M(x) d x2 dx 3 1 23 qlx qx ql qx -q 8 2 8 1 1 ql (l x) ql 0 8 8
对于该梁来说有
d FS x q 2 d M x dx q 2 dx d M x FS x dx
Fa FB l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
a
F
C
l
b
A FA AC段 A FA
x x
B FB
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
第5章-弯曲内力
本章主要研究:
直梁弯曲内力 载荷与弯曲内力间的微分关系 刚架弯曲内力
单辉祖,材料力学教程
1
§1 引言 §2 梁的约束与类型 §3 剪力与弯矩 §4 剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图 §5 FS , M 与 q 间的微分关系 §6 刚架与曲梁的内力
单辉祖,材料力学教程
2
§1 引 言
FS , M 沿杆轴（x轴）变化的解析表达式 FS FS ( x) －剪力方程 M M( x)－弯矩方程
单辉祖,材料力学教程
16
剪力与弯矩图
表示 FS 与 M 沿杆轴（x轴）变化情况 的图线，分别称为剪力图与弯矩图
画剪力图
FS
ql 2
qx
－直线
FS
(0)
ql 2
弯曲实例 弯曲及其特征
单辉祖,材料力学教程
3
弯曲实例
单辉祖,材料力学教程
4
弯曲及其特征
外力特征： 外力或外力偶的矢量垂直于杆轴 变形特征：杆轴由直线变为曲线
弯曲与梁： 以轴线变弯为主要特征的变形形式－弯曲 以弯曲为主要变形的杆件－梁
计算简图： 画计算简图时，通常以轴线代表梁
单辉祖,材料力学教程
简支梁：一端固定铰支、另一端可动铰支的梁 悬臂梁：一端固定、另一端自由的梁 外伸梁：具有一个或两个外伸部分的简支梁
静不定梁
约束反力数超过有效平衡方程数的梁
单辉祖,材料力学教程
8
§3 剪力与弯矩
剪力与弯矩 正负符号规定 剪力与弯矩计算 例题
单辉祖,材料力学教程
9
剪力与弯矩
FS－剪力
解：
Fy 0, FSE FAy 0 FSE FAy2F
材料力学第五章弯曲内力
CA和DB段：q=0，Q图为水平线， M图为斜直线。
AD段：q<0， Q图为向下斜直线， M图为上凸抛物线。
3、先确定各分段点的Q 、M 值，用相应形状的线条连接。
32
§5-6 纯弯曲时的正应力
• 纯弯曲(Pure Bending):某段梁的 内力只有弯矩没有剪力时，该段 梁的变形称为纯弯曲。
如图（b）示。
qL A
x1Q1
图（a） M1
图（b）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA(Fi) qLx1 M1 0 M1 qLx1
17
2--2截面处截取的分离体如图（c） qL
Y qL Q2 q(x2 a) 0 Q2 qx2 a qL
剪力等于梁保留一侧横向外
②写出内力方程
Q(x)
P
Q( x ) YO P
M(x) PL
x
M( x ) YOx MO
P( x L ) x
③根据方程画内力图
20
F
a
b
A
C
x1 x2
FAY
l
FS Fb / l
Fa / l
Fab/ l
M
[例]图示简支梁C点受集中力作用。
试写出剪力和弯矩方程，并画 B 出剪力图和弯矩图。
4. 标值、单位、正负号、纵标线
31
例 外伸梁AB承受荷载如图所示，作该梁的Q---M图。
3kN
6kN m 2kN/m
A C
B D
1m
4m
FA
Q 4.2
(kN) +
E
_
3
x=3.1m
1m
FB
_
3.8
第五章 弯曲内力(张新占主编 材料力学)
（3）作剪力图和弯矩图 剪力方程是x的一次函数，故剪力图是一条倾斜的直线，需确定 其上两个截面的剪力值，于是，应选择 A 右 和 B左 为特定截面，计 算其剪力值，绘出此梁的剪力图。
弯矩方程是的二次函数，弯矩图为一条抛物线。为了画出此抛 物线，至少须确定其上三、四个点，如 l ql2 l 3 2 ; x l, M 0 x 0, M 0; x , M ql ; x , M 2 8 4 32 弯矩极值所在处为跨度中点横截面
5.2 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
一、剪力、弯矩方程
沿梁轴线取 x 轴，坐标 x 表示横截面 在梁轴线上的位置，则各横截面上 的剪力和弯矩可以表示为 x的函数， 即
FQ FQ ( x ) 剪力方程 M M ( x ) 弯矩方程
在集中力、集中力偶和分布荷载的起止点处，剪力方程和弯 矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程 的分段点。若梁内部（不包括两个端部）有n个分段点，则梁 需分为n+1段列剪力、弯矩方程。
y
0 F FQ 0 0M Fx 0
得
M
得
FQ F
C
M Fx
FQ 是横截面上切向分布内力的 合力，称为m-m面上的剪力， 其单位为N。 M是横截面上法向分布内力的合 力偶矩，称为m-m面上的弯矩， 其单位为N ▪ m。
二、剪力和弯矩的正负号规定
剪力：横截面的左段相对右段向上错动时截面上的剪 力为正，或横截面上的剪力绕截开部分顺时针转动时 为正，反之为负。
弯矩：截面的左段相对右段向上错动时截面上的剪力 为正，或横截面上的剪力绕截开部分顺时针转动时为 正，反之为负。横截面处弯曲变形向下凸(或梁的下 表面纤维受拉)时，此横截面上的弯矩M为正，反之为 负。
材料力学---弯曲内力课件(1)
FS/kN20
FsA右-5kN；FsB左5kN ; o + -
FS(+)
FS(–)
FS(+)
FS(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的弯矩为正；使梁变成凸形 的弯矩为负。或者说：左顺右逆的M为正， 反之相反。
M(+)
M(+) M(–)
M(–)
9
[例5-1]：求图示梁1-1、2-2截面处的内力。
ql 1
2q
解：1-1截面:
F y 0 : F S 1 ql
1a ql
M(x) RA x FS(x)
AC段：F S(x)R AF l b 0xa
RA x
Fb /l
FS
+
F M(x)
M (x)R A xF l xb 0xa
FS(x)
CB段：F S (x )R A F F l a a xl
-
M (x ) R A x F x a F ll a x a x l
Fa /l (3)绘制剪力图、弯矩图：
M
+
在集中力F作用点处，FS图发生突
Fab /l
变，M图出现尖角。
15
A
mC
B
xx
RA
a
b RB
l
解：(1)计算支反力：
M A 0 : R B m / l M B 0 : R A m / l
(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、
M(x)
CB两段考虑，以A为原点。
RA RA FS
4
F x 0 :F N ( x 1 ) 0 0 x 1 2 a
3a
F y 0 :F s ( x 1 ) 9 4 q0 a x 1 2 a
材料力学cl05弯曲内力
墙
楼板
梁
q
l
23:29 1
P 栏杆 a
A 阳台梁
B
M e Pa
q
A
23:29
P B
2
23:29
3
上海长江大桥架起"世界第一梁"
上海长江大桥第53号至54号桥墩间，架起“百米长梁”。这一箱梁长 105米、宽16米、高5米，重2300吨，为世界第一。 “百米长梁”超越东海 大桥“梁式大桥”70米的跨度，实现了桥梁史上的一大突破。 上海长江大桥跨江段长10公里，全桥长16.5公里，双向6车道，设计时 速100公里。整个隧桥工程在2009年完工。
（剪力 FS的实际方向与假设方 向相反，为负剪力）
M C FAy 2a 2qa a M1 0 M C FAy 2a 2qa a M1 2qa2
（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）
23:29 14
如以右侧梁作为研究对象，则：
FSc q 2a FBy qa
Fs1
Fs 4
4 由 M A 0 得 RB 7qa 4 5qa Fs1 RA 4 2
5qa M 2 M1 R A a 4
Fs 2
Fs 3
23:29
（FS4的实际方向与假设方 向相反，为负剪力）
qa FS 3 Fs 2 RA qa 42 3qa M 3 R A 2a qa a 2 3qa 5qa 2 Fs 4 qa RB , M4 4 4
23:29
9
§4-3
梁的内力及其求法
a
P
A
x
l
材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质受力和变形的科学。
在工程学中，材料力学的应用非常广泛，其中弯曲内力是一个重要的研究对象。
弯曲内力是指在材料受到外力作用下，产生的弯曲应力和弯曲应变。
了解和分析材料的弯曲内力对于工程设计和材料选用具有重要意义。
首先，我们来了解一下弯曲内力的产生原因。
在工程结构中，由于外力的作用，材料会产生弯曲变形，这时就会产生弯曲内力。
弯曲内力的大小和方向取决于外力的大小、作用点的位置以及材料的几何形状和材料性质。
在工程实践中，我们需要通过理论分析和实验测试来确定材料的弯曲内力，以便进行结构设计和材料选用。
其次，我们需要了解弯曲内力的计算方法。
在弯曲内力的计算中，我们通常采用弯矩和剪力图的方法。
弯矩图是描述材料在受弯曲作用下，不同位置上的弯矩大小和方向的图形，而剪力图则是描述材料在受弯曲作用下，不同位置上的剪力大小和方向的图形。
通过分析弯矩和剪力图，我们可以得到材料在不同位置上的弯曲内力大小和方向，从而进行合理的结构设计和材料选用。
此外，材料的弯曲内力还与材料的强度和刚度密切相关。
在工程设计中，我们需要根据材料的弯曲内力来选择合适的材料，以保证结构的安全性和稳定性。
一般来说，材料的抗弯强度和弯曲刚度越大，其受力性能越好，适用范围也越广。
因此，在工程实践中，我们需要充分考虑材料的强度和刚度对弯曲内力的影响，从而进行合理的材料选用和结构设计。
最后，我们需要注意弯曲内力对材料的影响。
在工程实践中，弯曲内力会对材料的疲劳寿命、变形性能和使用安全性产生重要影响。
因此，我们需要通过理论分析和实验测试来充分了解材料的弯曲内力特性，从而进行合理的结构设计和材料选用，以保证工程结构的安全可靠性。
总之，材料力学弯曲内力是工程设计和材料选用中的重要内容。
了解和分析材料的弯曲内力对于工程实践具有重要意义。
通过深入研究材料的弯曲内力特性，我们可以更好地进行结构设计和材料选用，从而保证工程结构的安全可靠性。
材料力学-(主占元)第5章弯曲内力
(如：MDA、MDB、MDC)。
3、正确选取隔离体
FNDA 0 FQDA 5kN M DA 5kN m
FNDB 4kN FQDB 5kN M DB 15kN m
FNDC 0 FQDC 4kN M DC 20kN m
（左边受拉）
（右边受拉）
（下边受拉）
m0 RA L m0 RB L
a
m0 L
b B
A RA
0 xL
② 列内力方程 剪力方程 弯矩方程
M ( x)
RB
m0 FQ ( x) RA L
m0 RA x x 0 xa L
m0 RA x m0 x m0 a x L L
③ 绘图
m0 FQ ( x) L 0 x L
P2 A P1
1m 1m
m1
.
m2
q
c.
M1
P3
1m 1m 1m
FQ1
1 P M1 0 1 5 P 2 4 m1 P 3 2 m2 q 1 2
M
C
0
1 M1 P 1 5 P 2 4 m1 P 3 2 m2 q 1 2
4、要注意结点的平衡条件。
Fx 5kN 5kN 0 0 Fy 0 4kN 4kN 0 M 5kN m 15kN m 20kN m 0
节点处的平衡关系
N FQ
FQ
N FQ
M M M
N
FQ
M
N
刚架的内力图
刚架内力图基本作法是把刚架折成杆件。 也就是说，先求各杆的杆端内力，然后利用杆
xA 0
材料力学第五章
例5-2 求图5-9所示简支梁各截面内力，并作内力图。 （a）
（c） （d）
（b）
图5-9
（e）
解 （1）求约束力。注意固定铰 A 处 FAx 0 ，故梁 AB 受力如图 5-9（a） 所示。
材料力学
第五章 弯曲内力与强度计算
一 平面弯曲的概念与实例
二 梁的内力——剪力与弯矩
三
剪力图与弯矩图
四
载荷集度、剪力与弯矩间的关系
五
纯弯曲时梁横截面上的正应力
六
梁的弯曲正应力强度条件及其应用
七
弯曲切应力
八
提高梁的弯曲强度的措施
第一节 平面弯曲的概念与实例
直杆在垂直于其轴线的外力或位于其轴线所在平面内的外力偶作用下， 杆的轴线将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲。承受弯曲变形为主的杆 件通常称为梁。
（a）
（b） （c）
图5-12
解 （1）由静力平衡方程求出支座约束力。
FA
Me L
（方向向上）
FB
Me L
（方向向下）
（2）列剪力方程和弯矩方程。
FS ( x)
FA
Me L
(0 x L)
（a）
由于力偶在任何方向的投影皆等于零，所以无论在梁的哪一个横截面上，
剪力总是等于支座约束力 FA （或 FB ）。所以在梁的整个跨度内，只有一个剪 力方程式（a）。
设 a x2 a b ，左段受力如图 5-9（c）所示。 由平衡方程求得
FS2 FAy F 0
材料力学：第五章 弯曲内力
回顾: 剪力、弯矩的计算步骤（截断法,静力平衡方程 ）
(1) 分析整个梁静力平衡, 求约束处支反力 (2) 假想地将梁切开，并任选一段为研究对象
(3) 画受力图(三种力: 约束力、外载荷、内力)，FS 与 M 宜均设为正 (4) 列静力平衡方程，
剪力与弯矩图
剪力图与弯矩图:表示 FS 与 M 沿杆轴（x轴）变化情况的图线
回顾:
弯梁内力：剪力、弯矩
外力主 矢FS’
外力 主矩M’
弯矩M 剪力FS
剪力－作用线位于所切横截面的内力 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩
弯曲内力
回顾:
剪力、弯矩的正方向记忆 2
回顾:
剪力、弯矩的正负符号规定
剪力
使微段沿顺时针方 向转动的剪力为正
弯矩
使微段弯曲呈凹 形的弯矩为正
使横截面顶 部受压的弯 矩为正
剪力、弯矩计算方法 1：平衡方程法
由截断梁的静力平衡方程求内力 对截断梁列出外力、内力平衡方程
例 题: 剪力、弯矩计算
例 5-1 集中力F及外力偶矩Me作用在外伸梁AD上,计算横截
面E、横截面A+与 D-的剪力与弯矩。
例 题: 剪力、弯矩计算
例 5-1 集中力F及外力偶矩Me作用在外伸梁AD上,计算横截
固定端
支反力 FRx , FRy与矩 为 M 的支反力偶
强度校核的前提：
剪力与弯矩计算 应力计算
弯梁内力：剪力、弯矩
外力主 矢FS’
外力 主矩M’
弯矩M 剪力FS
剪力－作用线位于所切横截面的内力 弯矩－矢量位于所切横截面的内力偶矩
弯曲内力
剪力、弯矩的正方向记忆 2
剪力、弯矩的正负符号规定
3. 剪力FS 图: 水平直线 4. 弯矩M 图: 斜线
材料力学(单辉祖)第五章弯曲内力-上海大学2014版
5.2 梁的平面弯曲 约束不类型
梁的平面弯曲
梁横截面具有对称轴，且 全梁有纵向对称面平面
外力作用在梁的对称面内
则梁的轴线变形后为一纵 向对称内的平面曲线 ——梁的平面弯曲
梁的平面弯曲
平面弯曲
载荷 载荷平面
轴线
纵向对称面 弯曲后的轴线 平面弯曲：载荷平面不挠曲轴平面为同一平面 挠曲轴平面
m
+M
m
+M
梁的剪力和弯矩
横截面m-m处使微梁有凹面向下的弯曲变形 时，截面m-m上左、右两端的弯矩皆为负 (上部受拉)
−M
m
m
−M
弯矩符号规则：凹正凸负
Example-1
计算如图所示简支梁的剪力和弯矩。
解 首先计算支反力FAy和FBy
Y 0, FAy FBy P
M A 0,
FByl
M0
– 固定端 – 固定铰支端(丌可移简支端) – 可动铰支端(可移简支端)
约束不类型
固定端
支座使梁的端面既丌能移动，也丌能转动 限制移动的约束反力——水平支反力 FRx
和垂直支反力 FRy 限制转动的约束反力——支反力偶 M
M
L
FRx
FRy
M FRx
FRy
约束不类型
固定铰支端
这种支座使梁的端面丌能移动，但可 以转动
概念
内力、内力图
应力、变形
强度分析和刚度分析 采用同样的思路研究弯曲问题
5.3 梁的内力
梁的剪力和弯矩
当作用在静定梁上的外力
(主动力和约束反力)给定 M
F
后，可以利用截面法确定 FRx
材料力学-第5章 弯曲内力
第五章 弯曲内力
1
材料力学－第5章 弯曲内力
内容提纲：
• • • • • 概念及工程实例 梁的对称弯曲及计算简图 梁的剪力、弯矩 • 剪力图和弯矩图 弯矩、剪力和荷载集度间的微分关系 平面刚架和曲杆的内力
2
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
3
材料力学－第5章 弯曲内力
概念及工程实例
梁的对称弯曲和计算简图
可动铰支端
– 这种支座使梁的端面不能沿轴线的垂直方向移 动，但端面可沿轴线自由移动和转动 – 限制梁沿轴线垂直方向移动的约束支反力—— 垂直支反力 FRy
FRy FRy FRy FRy
21
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
• 工程中常用静定梁的三种基本形式
悬臂梁
q
A
Me qa2
B
C
MC
a
a
FCy
解：首先计算支反力FCy和MC
Y 0, M
C
FCy qa 0 3 M C M e qa a 0 2
得
0,
FCy qa, M C
1 2 qa 2
34
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的剪力图、弯矩图
分段考虑： 当 x a 时： 内力按正方向假设！
13
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中载荷——作用在梁某一横截面处的载荷， 单位为 N（牛顿） 集中载荷一般用F 表示 F q( x)dx
x dx
F
x
14
材料力学－第5章 弯曲内力
梁的对称弯曲和计算简图
集中力偶——梁某一横截面处作用在纵向对 称面内的力偶，单位为N· m（牛顿· 米） 集中力偶一般用M表示
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A x B
l
解：以自由端为坐标原点，则可不求反力列剪 力方程和弯矩方程： M(x) Fy 0 x FS(x) F x qx0 x l
S
B
M
B
0
x qx 2 0 x l M x qx 2 2
FB
FS4 FB 2 F M 4 FB a 0 M 4 2Fa (顺 )
材 料 力 学
第五章 弯曲内力
F
FA=3F 1 2 A1 2
1—1 -P -Pa
Me =3Fa FB =-2F 3 4 B 3 4 x
3—3 2P Pa 4—4 2P -2Pa
内力
2—2 2P -Pa
l
B
qx2 M x 2
FS
FS,max ql
ql2 8
x ql2 2
x 注意：
l/2
M max
ql 2
2
M 弯矩图中正的弯矩值绘在x轴的下方(即弯矩值绘在 弯曲时梁的受拉侧)。
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第五章 弯曲内力
例 图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的 剪力图和弯矩图。 q
梁——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。
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第五章 弯曲内力
承受弯曲作用的杆，称为梁。
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。 扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。 (轴) 弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
A FA x B
l
FB
1、列剪力方程和弯矩方程 q
M(x)
FS(x)
A
FA
x
ql FS x FA qx qx 2 2 x qlx qx M x FA x qx 2 2 2
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第五章 弯曲内力
2、作剪力图和弯矩图 q
A
l
FS ql 2
ql FS x qx 2 B qlx qx2 M x 2 2
3、 静定梁和超静定梁
在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由
平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。
图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，
称为超静定梁。
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第五章 弯曲内力
§5.3 剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩图
5.3.1 梁的剪力和弯矩(梁的横截面上的两种内力) 图a所示跨度为l的简支梁其
M
从而有
M F a x FB l x 0
C
0
M F a x FB l x F a x F l a x l Fa l x l
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第五章 弯曲内力
梁的横截面上位于横截面 内的内力FS是与横截面左右两
故根据作用与反作用原理，m－m左边的梁段对于右边 梁段(图c)的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同，但指 向和转向相反。这一点也可由m－m右边分离体的平衡条件加
以检验：
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第五章 弯曲内力
F
y
0, FS F FB 0
从而有 Fa F l a FS F FB F l l
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第五章 弯曲内力
剪力图和弯矩图 剪力方程
弯矩方程
FS FS ( x)
M M (x)
反映梁的横截面上的剪 力和弯矩随截面位置变 化的函数式
显示剪力和弯矩随截面位移的变化规律的图形则 分别称为剪力图和弯矩图。
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第五章 弯曲内力
例 图示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试 作梁的剪力图和弯矩图。
侧的两段梁在与梁轴相垂直方
向的错动(剪切)相对应，故称 为剪力；梁的横截面上作用在 纵向平面内的内力偶矩是与梁 的弯曲相对应，故称为弯矩。
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第五章 弯曲内力
为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横
截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号
要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如下图。
b
B
FB
剪力方程无需分段： F x F M e 0 x l S A M(x) M(x) l A B x FS(x) FA FS(x) F
B
弯矩方程——两段： Me AC段： M x FA x x CB段：
0 x a l Me l x a x l M x FA x M e
A x B
l
解：1、以自由端为坐标原点，列剪力方程和 弯矩方程： M(x) x FS x qx0 x l FS(x)
B
x qx 2 0 x l M x qx 2 2
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第五章 弯曲内力
2、 作剪力图和弯矩图 A
ql
FS x qx
解：支反力为
M F
y
A
0
FB 2a 3Fa F a 0
FB 2 F ()
0
FB FA F
FA 3F ()
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第五章 弯曲内力
y
F a 1A2 1 2 FA 截面1—1 F 1 C1
Me =3Fa
3 4 3 4 B a
y
x FB
2a
FS1 F M1 F a 0 M1 C1 M 1 Fa ( 顺 ) 1 FS1 截面2—2 Fy 0 FS2 FA F 0 F FS2 FA F 2 F C2 2 M 2 FA 2 F MC2 0 M2 F a 0 S2 M 2 Fa ( 顺 )
在一段梁上，剪力和弯矩按一种函数规律变化，该 段梁的两个端截面称为控制面。控制面也是函数定义域
的两个端点。下列截面都可能为控制面：
(1) 集中力作用点两侧截面。 (2) 集中力偶作用点两侧截面。 (3) 分布载荷起点和终点处截面。
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第五章 弯曲内力
例5-1 求图示外伸梁在截面1—1、2—2、3—3和 4—4横截面上的剪力和弯矩。 y Me =3Fa F B 1A2 3 4 1 2 3 4 x a a FB FA 2a
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第五章 弯曲内力
梁的分类
F q
平面弯曲
简支梁 悬臂梁
梁的横截面
M
都有对称轴 外伸梁
纵向对称面
集中力，集中力偶，分布载荷
平面问题，梁受 三个约束，都是 静定梁。
梁有纵向对称面，且载荷均作用在 纵向对称面内，变形后梁的轴线仍 在该平面内，称为平面弯曲。
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第五章 弯曲内力
§5.2 梁的计算简图及分类
M(x) FS(x)
Fa a x l M(x) FS x FB l Fa l x M x FB (l x) FS(x) l a x l
Fb 0 x a FS x l Fb M x x0 x a l
第五章 弯曲内力
§5.1 弯曲变形的概念和工程实例
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第五章 弯曲内力
弯曲的概念 受力特点： 杆件受到垂直于杆轴线的外力（横向力）或外力 偶（其矢量垂直于杆轴）作用。 Me Me
A
F
B
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Me
Me
A
F
B
变形特点： 1、直杆的轴线在变形后变为曲线； 2、任意两横截面绕垂直于杆轴的轴作相对转动。
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第五章 弯曲内力
综上所述可知： (1) 横截面上的剪力——使截开部分梁产生顺时针方向 转动为正；产生逆时针方向转动为负。 (2) 横截面上的弯矩——作用在左侧面上使截开部分
逆时针方向转动，或者作用在右侧截面上使截开部分顺时
针方向转动者为正；反之为负。
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第五章 弯曲内力
Ⅱ.控制面
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第五章 弯曲内力
例5-4 图示简支梁受集度为q的均布荷载作用。试列 剪力方程和弯矩方程。 q A
FA
B x
l FB
解：1、求支反力
2、列剪力方程和弯矩方程 q M(x) F x F qx ql qx S A A
FA x
ql FA FB 2
2 x qlx qx2 FS(x) M x FA x qx 2 2 2
F 0 M 0
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第五章 弯曲内力
y F
a 1A2 1 2 FA
Me =3Fa
3 4 3 4 B a x FB
FS3 FA F 0
2a
3 M3 C3
截面3—3 F
FA 截面4—4
3F
S3
M4
FS4
4C4
4
FS3 FA F 2F M 3 F a FA a 0 M 3 Fa ( 逆 )
CB段 B FB
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第五章 弯曲内力
例5-6 图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。 试列剪力方程和弯矩方程。 a
A
Me
C
b
B
FA
解: 1、求支反力
l
FB
M
A
0
M e FA l 0
Me FB l
Me FA l
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第五章 弯曲内力
2、 列剪力方程和弯矩方程 a A C x FA l